随机过程第二章

1、1第二章 随机过程的概念与基本类型v随机过程的定义和统计描述v随机过程分布律和数字特征v复随机过程v随机过程基本类型2 2随机变量与随机过程在每次试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，但未确定的数值。在实际应用中，我们经常要涉及到在试验过程中随时间t而改变的随机变量。例如，接收机的噪声电压，此外，还包括生物群体的增长问题；电话交换机在一定时间段内的呼叫次数；一定时期内的天气预报；固定点处海平面的垂直振动；等等3在第Wi次试验中测量获得的噪声电压Xt是一个样本函数4)(1tXw)(2tXw)(3tXw)(tXkw)(tXnw1t2t5定义2.1设（,F,P）是概率空间，T是给定的参数集，若对

2、每个tT，由一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族X(t,e),t T是（,F,P）上的随机过程。随机过程X(t,e),t T可以认为是一个二元函数。对固定的t，X(t,e)是（,F,P）上的随机变量；对固定的e， X(t,e)是随机过程X(t,e),t T的一个样本函数。6X(t)通常表示为在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间。通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程的类型。在时间和状态上都连续连续型随机过程7在时间上连续，状态上离散离散型随机过程8在时间上离散，状态上连续连续型随机序列9在时间上离散，状态上离散离散型随

3、机序列1010有限个随机变量统计规律联合分布函数随机过程统计规律有限维分布函数族设XT=X(t),tT是随机过程，对任意n1和t1,t2, ,tn T，随机向量(X(t1),X(t2), ,X(tn)的联合分布函数为)(,)(),(1121,1nnnttxtXxtXPxxxFn这些分布函数的全体1,),(2121,1nTtttxxxFFnnttn称为XT=Xt,t T的有限维分布函数。1111设XT=X(t),tT是随机过程，如果对任意tT，EX(t)存在，则称函数TttEXtmdefx),()(为XT的均值函数，反映随机过程在时刻t的平均值。若对任意tT，E(X(t)2存在，则称XT为二阶矩

4、过程，而称TtstmtXsmsXEtsBXXdefX,),()()()(),(为XT的协方差函数，反映随机过程在时刻t和s时的线性相关程度。TttmtXEttBtDXXX,)()(),()(2为XT的方差函数，反映随机过程在时刻t对均值的偏离程度。TtstXsXEtsRX,),()(),(为XT的相关函数，反映随机过程在时刻t和s时的线性相关程度。数字特征数字特征12对于二阶矩随机过程，其协方差函数和相关函数一定存在，且有如下关系：)()(),(),(tmsmtsRtsBXXXX例题2.5设随机过程0),sin()cos()(ttZtYtX其中，Y和Z是相互独立的随机变量，且EY=EZ0，DY

5、=DZ=2，求X(t)的均值函数和协方差函数。122.6 232 ,( )1,2,.,( ) ( ; ):1;( ) (1,2;,);nX nnnX nF n xnX nFx x例设盒子中有 个红球，个白球，每次从盒子中取出一球后放回，定义随机过程第n次取出的是红球第n次取出的是白球求：(1) 的一维分布函数族 (1) 的二维分布函数族1313两个随机过程之间的关系两个随机过程之间的关系互协方差函数互相关函数定义：设X(t),tT，Y(t), tT是两个二阶矩过程，则称TtstmtYsmsXEtsBYXXY,),()()()(),(为X(t),tT与Y(t), tT的互协方差函数，称)()()

6、,(tYsXEtsRXY为X(t),tT与Y(t), tT的互相关函数。14两个随机过程X(t),tT与Y(t), tT的互不相关定义0),(tsBXY互协方差函数与互相关函数之间的关系)()(),(),(tmsmtsRtsBYXXYXY例题2.8：设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。例题2.7设有两个随机过程X(t)=g1(t+)和Y(t)=g2(t+)，其中g1(t)和g2(t)都是周期为L的周期方波，是在(0,L)上服从均匀分布的随机变量，求互相关函数RXY(t,t+)的表达式。15复随机过程复随机过程定义：设Xt,

7、tT，Yt, tT是取实数值的两个随机过程，若对任意tTtttiYXZ其中 ，则称Zt, tT为复随机过程。1i复随机过程的数字特征函数复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数相关函数协方差函数tttZiEYEXZEtm)()(2( )|( )| ( )( )ZtZtZtZD tE Zm tE Zm tZm t),(tsZZZEtsR( , )( )( )ZsZtZBs tEZmsZmt( , )( , )( )( )ZZZZBs tRs tms mt相互之间的关系16复随机过程的性质复随机过程的性质复随机过程XT,tT的协方差函数B(s,t)具有性质：（1）对称性（埃米特性）：（2）非负定性

8、，对任意ti T及复数ai，i=1,2, ,n，n1，有( , )( , )B s tB t snjijijiaattB1,0),(说明：1. 如果函数f(s,t)具有非负定性，那么它必具有埃米特性。2. 若f(s,t)为一非负定函数，则必存在一个二阶矩过程（并可要求它为正态过程）以给定的f(s,t)为协方差函数。17两个复随机过程Xt，Yt的互相关函数定义为)(),(tsXYYXEtsR互协方差函数定义为( , )( )( )XYsXtYBs tE XmsYmt例题2.9设随机过程 ，其中X1,X2, ,Xn是相互独立的，且服从N(0,k2)的随机变量，w1,w2, ,wn是常数，求Zt,t

9、0的均值函数m(t)和相关函数R(s,t)。1,0knittkkZX et18随机过程的几种基本类型随机过程的几种基本类型二阶矩过程正交增量过程独立增量过程马尔可夫过程正态过程维纳过程平稳过程1919二阶矩过程二阶矩过程2( ),( )( )XX t tTtTE X tX t 定义：设已给定随机过程，如果对于一切，均有，则称为二阶矩过程。222( )( ) 2( )( )( )( ) xm tEX tEX s X tEX sEX t性质：1二阶矩过程必存在均值（常设为0）。由Schwartz不等式知其相关函数和协方差都存在。三个分支：正态（高斯）过程，宽平稳过程和正交增量过程。20定义：设X(

10、t),tT是零均值的二阶矩过程，若对任意的t1t2t3t4 T，有2143( )( )( )( )0EX tX tX tX t则称X(t)是正交增量过程正交增量过程。例题设X(t),tT是正交增量过程，T=a,b为有限区间，且规定X(a)=0，当astb时，求其协方差函数。正交增量过程正交增量过程21定义：设X(t),tT是随机过程，若对任意的正整数n和t1t2tn T，随机变量X(t2)-X(t1),X(t3)-X(t2), ,X(tn)-X(tn-1)是互相独立的，则称X(t),tT是独立增量过程。特点：独立增量过程在任一个时间间隔上过程状态的改变，不影响任一个与它不相重叠的时间间隔上状态

11、的改变。独立增量过程独立增量过程2222正交增量过程独立增量过程定义依据：不相重叠的时间区间上增量的统计相依性互不相关相互独立正交增量过程独立增量过程正交增量过程独立增量过程二阶矩存在，均值函数恒为零23定义：设X(t),tT是独立增量过程，若对任意st，随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于t-s，则称X(t),tT是平稳独立增量过程平稳独立增量过程。例题2.10考虑一种设备一直使用到损坏为止，然后换上同类型的设备。假设设备的使用寿命是随机变量，令N(t)为在时间段0,t内更换设备的件数，通常可以认为N(t)，t0是平稳独立增量过程。平稳独立增量过程平稳独立增量过程24定义：设X(t),t

12、T是随机过程，若对任意正整数n及t1t2, 0，且其条件分布)(|)()(,)(|)(111111nnnnnnnnxtXxtXPxtXxtXxtXP则称X(t),tT是马尔可夫过程。马尔可夫性系统在已知现在所处状态的条件下，它将来所处的状态与过去所处的状态无关。马尔可夫过程马尔可夫过程25定义：设X(t),tT是随机过程，若对任意正整数n及t1,t2, ,tnT，(X(t1),X(t2), ,X(tn)是n维正态随机变量，则称X(t),tT是正态过程或高斯过程。特点：在通信中应用广泛；1. 正态过程只要知道其均值函数和协方差函数，即可确定其有限维分布。正态过程正态过程26定义：设W(t),-t

13、0则称W(t),-t 为维纳过程，也称布朗运动过程。定理：设W(t),-t 是参数为2的维纳过程，则对任意t(-, )，W(t) N(0,2|t|);1. 对任意-a s,t ,),min()()()()(2atasaWtWaWsWE维纳过程维纳过程维纳过程是正态过程的一种特殊形式27定义：设X(t),tT是随机过程，如果对任意常数和正整数n， t1,t2, ,tnT，t1+,t2+, ,tn+ T，(X(t1),X(t2), ,X(tn)与(X(t1+),X(t2+), ,X(tn+)有相同的联合分布，则称X(t),tT为严平稳过程或侠义平稳过程。定义：设X(t),tT是随机过程，如果X(t),tT是二阶矩过程；对任意tT，mX(t)=EX(t)=常数；1. 对任意s,t T，RX(s,t)=E