有理数专题复习精选

1、一、授课目标：有理数复习二、授课重点、难点：有理数复习有理数总复习【知识点一】正数与负数1. 正数：像+1.8 , +420、+30、+10囁带有“ +”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。2. 负数：像3、 4754、 50、 0.6、 15%等带有“”号的数叫做负数。 而负数前面的“” 号不能省略。3. 零：既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。归纳：正数与负数概念：大于 0的叫正数，小于 0的叫负数，0既不是正数也不是负数非负数：正实数与零的统称。（表示为：x> 0）几个特殊的数：最小的自然数是0；绝对值最小的数是 0;同时0也最小的非负整数是

2、0;最小的正整数是1 ;最大的负整数是-1。对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数。例如一a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数， 当a是0时，一a是0，当a是负数时, a是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反 意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。【典例精析】例1把下列各数填在相应额大括号内：0.1 ,-789 , 25 , 0, -20 , -3.14 ,-590 ,6/7, n , -5/3, +3.65,n /2正数集 负数集自然数集非负数集例2下列说法正确的是：（）A. 正数都带有“ +”号，不带

3、“ +”号的数都是负数。B. 带“”号的数不一定是负数.C. 一个数不是正数就是负数 .D. 0C表示没有温度.【知识点二】有理数及其分类：有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正 分数和负分数。按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类：注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0C就是一个特定的温度；现在我们学过的数，L不是有理数，除 和与 有关的数外，其他的数都是有理数；弓I入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数 的外延也由自然数扩大到整数。【典例精析】例1下列说法错误的有（） 是负分数；1,不是整数；

4、非负有理数不包括0; 正整数、负整数统称为有理数；0是最小的有理数； 3.14不是有理数。例2下列各数中:7，-9.25，-301；记，-3.52，-7，1.25，-3，-一 。正整数(）；正分数（）；负整数(）；负分数（）；正数（）；负数（)°例3在在，0，0.333这四个数中，有理数的个数为（)(A) 1个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个【举一反三】1、判断下列语句正确与否。（1）有理数分为正数和负数。( )（2）有理数可以分为整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类。( )（3）整数一定是自然数。( )（4 ）非负整数是指正分数。( )（5）非负有理数就是正有理数。(

5、 )2、卜列说法中错误的是（)（t±=t手 日敕Wr（A）正整数定是自然数B）自然数定是正整数（C）零不是正数，也不是负数（D）任何有理数都可以表示为分数3、有理数中，是整数而不是正数的数统称为，是负数而不是分数的数统称为4、 下列说法正确的是（）（A）有最小的自然数，也有最小的整数（B）没有最小的整数，但有最小的正整数（C）没有最小的负数，但有最小的正数（D）零时有理数中最小的数（C）整数（D）分数）5、 零是（）（A）正数（B）负数6、正整数集合与负整数集合合并在一起组成的集合是（B）有理数集合（D）以上说法都不对）（C 0(D) 3.6（A）整数集合（C）自然数集合7、既是分数

6、又是正数的是（A） +4（ B） -1【知识点三】数轴：1 .数轴的概念规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，所有的有理数在数轴上都能找到表示它的点。 数轴是一条直线，可以向两段无限延伸。 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 原点的位置、单位长度的大小都可以根据实际情况而确定，一般都取向右的方向为正方向。单 位长度一旦确定，不能再改变。注意：数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0,负数都小于 0,正数大于负数。故而可以用数轴来比较数的大小。2 .数轴的画法一画：画直线，一般画水平

7、直线。二定：确定原点，在直线的适当位置选取一点作为原点，位置的选取可根据实际问题的需要而确三选：选取正方向，一般取向右的方向为正方向，并用箭头表示。四统一：统一单位长度。取适当的长度作为一个单位长度，然后在直线上均匀地画出刻度线。 五标数：确定要表示的数的对应点的位置，并用实心圆点表示。I I I II IIIIIIX-5-2012345尸【典例精析】例1在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（）A .正数 B .负数 C .非负数 D .非正数例2 与原点距离是2. 5个单位长度的点所表示的有理数是（）A . 2. 5 B . -2 . 5 C . ± 2 . 5 D .这个数无

8、法确定例3图中所画的数轴，正确的是（）_2 -10 12123 45-10 12-10 12ABCD【举一反三】1、 有理数a, b, c在数轴上的位置如图所示，用“<”将a, b, ?c?三个数连接起来 .* 学 半 Ac aob2、 大于-3 . 5小于4 . 7的整数有 个.3、 在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为 .【小试牛刀】1.下列说法：零的意义仅表示没有； 偶数也是自然数。其中正确的是（A （B）0是最小的整数；0既不是正数，也不是负数；0是）（C）（D）2将下列各数填在对应的圈中:-0.3,0 ，-100,3.7,99.9，-7 4 _>*_ v

9、2 J 5-10123-2-102(A)(B)(C)，10，0.3， 2（D）（E）（F）（G）4. 下列说法：（1）数轴上表示+3的点只有1个；（2）约定向右为正，那么负数都在原点的左边；（3）数轴到原点的距离是 2个单位长度的点表示的是数2；（ 4）数轴上的一个点不在原点左边,则这个数表示的数一定是正数;正确的有（）（A） 1 个（B） 2 个5.数轴上点A到原点的距离是1 1（5）数轴上表示-3 的点在-4的右边，与-4的距离是。其中33（C） 3 个（D） 4 个1，点B到原点的距离是 2,则A B两点之间的距离是多少？6. 下列说法正确的是（） 规定了原点、正方向的直线是数轴；数轴上

10、两个不同的点可以表示同一个有理数；有理数1如在数轴上无法表示出来；任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。100（A）（B）（C）（D）7. 数轴上原点及原点右边的点表示的数是（）（A）正数（B）负数（C）非负数（D）非正数8. 下列4个数中，在-2到0之间的数是（）（A） -1（ B） 1（ C） -3（ D） 39 一个数在数轴上表示的点距原点2.8个单位长度，且在原点的左边，则这个数是10.若数轴上的A点表示的数是2,那么与A点距离3个单位长度的B点所表示的数是（）（A 5（ B）1（ C） -1（ D） -1 或 5【知识点四】相反数相反数： 定义及表示法：只有符号不同的数互

11、为相反数。比如：2和-2，6和-6（ 0的相反数仍然是0）。 求相反数方法：直接在数字前加负号；如果是式子，先把整个式子括起来，再在括号前加负号； 如果数字或式子不是最简形式，要先化简 性质：若a,b互为相反数，则a+b=0,上=_1（b式0）b注意：在数轴上表示互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等注：0点相反数是0.【典例精析】例1下列各对数中互为相反数的是（）A、一 6 与一（+ 6） B 、一 （ 7）与+（ 7） C 、一（+ 2 ）与+ （ 2.2） D32我们通常把在一个数前面添上“-”号，表示这个数的相反数 例如-（-4）=4,-（+5.5）=-5.5 ,

12、- 0=0.同样，在一个数前面添上“+”号，表示这个数本身.【举一反三】1 若a,b互为相反数，则下面式子中一定成立的是（） a + b=0; a= b; b= a; a=b2 .下列语句中不正确的是（）A、负数的相反数大于本身；B、正数的相反数小于本身；C、符号相反的两个数叫做互为相反数；D、互为相反数的两个数不一定是一个是正数，一个是负数3 一个数的倒数的相反数是3,这个数是。4 .下列说法正确的是（）A. 带“ + ”号和带“”号的数互为相反数B. 数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数C. 和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数D. 个数前面添上“-”号即为原数的相反数5.

13、如果一个数与它的相反数在数轴上对应点间的距离为8个单位长度，那么这个数是（）A. +8 和8B.+4和4C.+8 D. 4【知识点五】绝对值1 .绝对值：一般地，数轴上表示数 a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作I a I ,其中a可以是正数、负数和 0；2 .绝对值的非负性;一个正数的绝对值是它本身;如果a> 0，那么la =a;如果av 0，那么a =-a ;如果a=0,那么同=0a取何值，它的绝对值总是正数或0（通常也称非负数）.即对任意有理一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0由绝对值的意义，我们可以知道：1. 一个正数的绝对值是它本身；2. 0 的绝对值是0;3. 一

14、个负数的绝对值是它的相反数3 禾U用绝对值比较有理数的大小（特别是负数的大小比较）正数大于0，负数小于0,正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小;4. 几何定义：一个数的绝对值，等于在数轴上表示这个数的点到原点的距离。数轴上表示数a、b的两点间的距离| a-b |【典例精析】 例1当a> 0时，当a = 0时,当a v 0时,由此可以看出，不论有理数 数a,总有|a| > 0.【举一反三】1. x = 7，贝U x =2. 已知|a| =冋，则a和b的关系为3. | -a | =4,贝U a=4. | x-1 | =3,贝U x=5. | x | = | -2007

15、|,贝U x=【知识点六】有理数比较大小两个负数，绝对值大的反而小.在数轴上表示的两个有理数，左边的数总比右边的数小正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数。【典例精析】例1.比较两个负数-3和-3.5的大小： 先分别求出它们的绝对值：卜3|=3,卜3.5|=3.5 比较绝对值的大小：3.5>3 得出结论：-3>-3.5【举一反三】1 .已知 |a|=3 , |b|=5，且 a<b,则 a-b 的值为【快乐小练】一.判断题(1) 符号相反的两个数叫做互为相反数；(2) 互为相反数的两个数不一定一个是正数，一个是负数；相反数和我们以前学过的倒数是一样的(4) 如果两个数的绝对值

16、相等，那么这两个数相等；(5) 如果一个数是正数，那么这个数的绝对值是它本身；(6) 如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数三解答题(1) 绝对值是12的数有几个？是什么？(2)绝对值是0的数有几个？是什么？(3) 写出绝对值小于5的所有整数，并在数轴上表示出来.(4) 已知 |X 4|+|Y+2|=0，求 2X |Y| 的值。【巩固练习】1 .如果a与1互为相反数，则|a 2|等于()A. 2B. -2C. 1D. -12 在数轴上的点 A、B位置如图所示，则线段 AB的长度为()-52*AOBA. -3 B. 5第 46题图 D. 73某市20XX年元旦的最高气温为2C,最低气温为8

17、C,那么这天的最高气温比最低气温高()A.- 10CB .-6 CC .6 CD . 10C4如图，数轴上 A, B两点表示的数分别为-1和、3 ,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为()A.2 * 3B1 3C.-2.3D.1.3I L.CA OBo + b5. 若a, b互为相反数，m的绝对值是2,求+2 | m|的值.26 .设有理数在数轴上对应点如图所示，化简|b-a | + | a+c | + | c-b | .<*4#cb 0 a7. 若 |2m-3 | + | 3n+2 | = 0,求 m+ 2n 的值。【知识点七】有理数的加法一、有理数加法法则：1. 同号两数相加

18、，取相同的符号，并把绝对值相加;2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;3. 互为相反数的两个数相加得0；4. 一个数同0相加，仍得这个数.一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝 对值.这与小学阶段学习加法运算不同.【典例精析】例1计算：(+26)+(-18)+5+(-16)【举一反三】-、选择题1、一个正数与一个负数的和是A、正数B、负数C、零D、以上三种情况都有可能2、绝对值不大于3的所有整数的和为A、6,B、 一 63、两个有理数的和A、一定大于其中的一个加数C、大小由两个加数符号决定 二、判断C

19、、土 6D、0B、一定小于其中的一个加数D、大小由两个加数的符号及绝对值而决定1. 绝对值相等的两个数的和为02. 若两个有理数的和为负数，则这两个数至少有一个是负数3. 如果某数比-5大2,则这个数的绝对值是3【知识点八】有理数的减法a b=a+( b).减法规则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即表示成【典例精析】(2)7.3-(-6.8)例 1 计算：(1)(-32)-(+5);解：减号变加号(1) (-32) -(+5)=(-32)+(-5)=-37.丨 f减数变相反数减号变加号I I(2) 7.3-(-6.8)=7.3 + 6.8 =14.1 .I f 减数变相反数(注意：两处必

20、须同时改变符号.)例2.求出数轴上两点之间的距离：(1)表示数10的点与表示数4的点； (2)表示数2的点与表示数一4的点;(3 )表示数一1的点与表示数一6的点。【举一反三】1、下列说法中正确的是()A减去一个数，等于加上这个数 B零减去一个数，仍得这个数C两个相反数相减是零 D在有理数减法中，被减数不一定比减数或差大2、 下列说法中正确的是()A两数之差一定小于被减数B减去一个负数，差一定大于被减数C减去一个正数，差不一定小于被减数D零减去任何数，差都是负数3、若不为0的两个数的差是正数，则一定是()A被减数与减数均为正数，且被减数大于减数B被减数与减数均为负数，且减数的绝对值大C被减数为

21、正数，减数为负数D以上3种均可满足条件4、已知b < 0，贝U a, a b, a+ b从大到小排列 【快乐小练】1计算(注意出计算过程)111| 1 ' ( 2 1 ) | ( 1 ')4322. 若a<b<0,将1, 1-a , 1-b这三个数按由小到大的顺序排列.3. 已知 |x-1 | =3，求-3 | 1+x | - | x | +3 的值.4. 有理数a, b, c在数轴上的位置，如图所示，化简|a+b | - | b-2 | - | a-c | - | 2-c | .*>b a 0 c 2【知识点九】有理数加减混合运算算式(-8)-(-10

22、)+(-6)-(+4)是有理数的加减混合运算，可以按照运算顺序，从左到右逐一计算.通常也可以应用有理数的减法法则，把它改写成(-8)+(+10)+(-6)+(-4)，统一为只有加法运算的和式.在一个和式里，通常把各个加号省略不写.如上式可写成省略加号的和的形式(和式中第一个加数同时省略括号，若是正数，正号也省略不写.):-8 + 10 - 6 - 4 .这个式子仍看作和式，读作“负&正10、负6、负4的和”.按运算意义也可读作“负8加10减6 减 4” .【知识点十】有理数的乘法乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与0相乘，都得0。有理数的乘法法则：两数相乘，同号

23、得，异号得，绝对值。任何数与0相乘，。【知识点十一】：互为倒数两数相乘 两个有理数相乘时，先确定积的符号，再把绝对值相乘。带分数相乘时，要先把带分数化成假分数，分数与小数相乘时，要统一成分数或小数。互为倒数的两数相乘得 1。(在有理数范围内，我们仍然规定：乘积是1的两个数互为倒数.) 【典例精析】例1 :计算：(3 )X( 1 )例2：填空：1. -1的倒数是1还是-1?为什么？2. -的倒数是;0的倒数43. 若a+b=O,则a、b互为数,若ab=1,则a、b互为数.2 94. 计算：x ( )=.3 4总结： (1)倒数：乘积是1的两个数互为倒数。(2) 正数的倒数是，负数的倒数是，0没有

24、倒数。(3) 如何求一个数的倒数？你能说说吗？【知识点十二】多个有理数相乘与两个有理数相乘一样，几个不等于 0的有理数相乘，要先确定积的符号，再确定积的绝对值【典例精析】下列各式的积是正的还是负的？为什么？(1) 2 X (-3) X (-4) X 5X 6X 7 X 8X 9X (-10);(2) 2 X (-3) X 4X (-5) X (-6) X 7 X 8X 9 X (-10);(3) 2 X (-3) X 4X (-5) X (-6) X 0X 7X 8X 9X (-10);【举一反三】(1)(- 12X )4 X( - 6) X2 ;【知识点十三】乘法运算定律：乘法交换律：一般地

25、，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。ab=ba乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。(ab) c=a (bc)乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相力口。 a (b+c) =ab+ac【典例精析】例1：判断下列各式中用了哪条运算律？如何用字母表示？1、(-4 )X 8=8 X( -4 )2、(-8 )+5+(-4 )=(-8 ) +5+(-4 )3、(-6 )x2 +(-1 )=(-6 )x2 _ +(-6 ) X(-1 )3232554、29 X(-x(-12) =29 X(-X(-12 )665

26、、(-8 ) +(-9 )=(-9)+ (-8 )【知识点十四】有理数的除法有理数的除法都可转化成乘法。除以一个数等于乘以这个数的倒数。零不能作除数。零除以任何一个不为零的数，都得零。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。【典例精析】 负数的奇次幕是负数，负数的偶次幕是正数。(1)123255(2) (-8) (-6)【知识点十五】有理数的乘方求n个相同因数的积的运算叫做乘方。乘方的结果叫做幕。 a n中，a叫做底数，n叫做指数。如图：当an看作a的n次方的结果时,也可读作a的n次幕。正数的任何次幕都是正数，0的任何正整数次幕都是 0。【典例精析】9的4次幕。1通常省略不写。D 、5个

27、6相加。例1：例如；在94中，底数是9，指数是4，94读作9的4次方，或 一个数可以表示成这个数本身的一次方，例如，5=51，指数n个an就是n个a相乘，即 an=a a a所以可利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。例2：1.6 5 表示()A、5个6相乘 B 、6个5相乘 C 、5与6相乘2. -4 3的底数是，幕是56例 3： (-2) =, (-2) =【举一反三】一、把下列乘法式子写成乘方的形式：1、(一 3)X(- 3)X(- 3)=二、把下列乘方写成乘法的形式：1、-0.9 3 =F ：A92、一= J)3、(a - b f.判断下列各题是否正确: 23 =2 3 ；()

28、2 2 2 = 23 ；() 23 = 2 2 2 ；()-24 =(-2) (-2) (-2) (-2)；()四. (1 )-7 12是(填“正”或“负”)数；(2 )-12 9是（填“正”或“负”）数；(3 ) 125=;(4 ) 1n=;五计算：1、-110 = ； 2、-19=;3、汁"=；4、（一1 严.六、选择题1、118 表示（）A、11个8连乘B、11乘以8C、8个11连乘D、8个别1相加2、一 32的值是（)A、一 9B、9C、一 6D、63、下列各对数中，数值相等的是（)A、 32 与一23B、- 23 与(2)32 2C、一 3 与（一3）D、( 3X2)2 与

29、3X 224、下列说法中正确的是（）A、23表示2X 3的积B、任何一个有理数的偶次幕是正数C、 32与（3）2互为相反数D、一个数的平方是4，这个数一定是2935、 如果一个有理数的平方等于（2）2,那么这个有理数等于（）A、 2 B、2C、4 D、2 或26如果一个有理数的正偶次幕是非负数，那么这个数是（）A、正数B、负数C、非负数D、任何有理数7、 24X ( 22)X ( 2) 3=()A、29B、 29C、 224D、2248、两个有理数互为相反数，那么它们的n次幕的值( )A、相等B、不相等C、绝对值相等D、没有任何关系9、一个有理数的平方是正数，则这个数的立方是（)A、正数B、负

30、数C、正数或负数D、奇数10、( 1) + ( 1) *|-1+ （ 1）2003的值等于（)A、0B、1C、-1D、2七、填空题1、 （ 2）6中指数为，底数为; 4的底数是，指数是r 3 5-3的底数是，指数是，结果是；< 2丿2、 根据幕的意义，（3）4表示，43表示;3、 平方等于 丄的数是，立方等于的数是;64644、一个数的15次幕是负数，那么这个数的2003次幕是5、 平方等于它本身的数是，立方等于它本身的数是7、-2 7 3 , -2 7 4, -2 7 5的大小关系用“V”号连接可表示为8、如果 |a4| = -|a4|，那么 a 是;9、 如果一个数的平方是它的相反数

31、， 那么这个数是；如果一个数的平方是它的倒数，那么这个数是；10、若-a2b3> 0，则 b 0八、计算题1、- -243、一 1 20035、_23-3 27、_2 2 _2 _2 3 239、- 2（-2 4 -32十 f-1-<7丿4、-13 -3-1 36、_32 亠-3 2& 42 斗 _丄 j54 斗（一5）3'、一 4 丿23310、- -2 2 -3亠-1 30-2 3【知识点十六】科学记数法任何一个数都可以表示成整数数位是一位数的数乘以10的n次幕的形式。用字母 N表示数，则N=axi0n（1 w|V10，n是整数），这就是科学记数法。【典例精析】

32、例1.甲型H 1N1流感病毒的直径大约是 0.000 000 081米，用科学记数法可表示为（）A. 8.1 X0* 米B. 8.1 沁0° 米C. 81X10-9 米D. 0.81 >1 0 米【举一反三】1.6100000000中有位整数2如果一个数记成科学记数法后，10的指数是31，那么这个数有 位整数。【知识点十七】近似数与精确度近似数：取近似数常用四舍五入法精确度：一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位用四舍五入法按要求对给定的数进行取舍：【典例精析】例1.用四舍五入法取近似值，3.1415926精确到百分位的近似值是 精确到千分位近似值是例

33、2.用四舍五入法得到的近似值 0.380精确到位，48.68万精确到位.例3.用四舍五入法取近似值，0.01249精确到0.001的近似数是例4.用四舍五入法取近似值，396.7精确到十位的近似数是 【举一反三】1.用四舍五入法取近似值，396.7精确到十位的近似数是 52 . 2006748精确到百位是；近似数0.20的精确度是精确到位，2.03 X0的精确度是精确到 位，【知识点十八】有效数字有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到末位数为止，所有的数字都叫这个数的有效数字。【典例精析】例1 (1)0.03049(保留两个有效数字)(2)81.661(保留三个有效数字)例2.用四舍五入法取

34、近似值，0.01249精确到0.001的近似数是 保留三个有效数字的近似数是.例3下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？(1)70 万(2)9.03 万 1.8 亿 6.40X105【举一反三】1、下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？(1) 89.26精确到位，有个有效数字；有效数字是 ;(2) 0.0560精确到位，有个有效数字；有效数字是 ;(3) 85.6万精确到 位，有个有效数字；有效数字是 ;4（4）2.50疋10 精确到位，有个有效数字；有效数字是 （5）30 000精确到位，有个有效数字；有效数字是 （6） 13.5亿精确到 位，有个有效数字；有效数字是 2、用四舍五入法，按括号里的要求取近似值，并指出有效数字3、下面所描述的数据中，是精确数据的是A、小明班上有45人C、某次地震中，伤亡十万人4、下列说法正确的是（）A、近似数1.8与1.80表示的意义一样C、圆周率n等于3.1416: ）B、吐鲁番盆地低于海平面155米D、小红测得数学书的长度为21.0厘米B、4.5万精确到万位D、2.00有三