现代光学的基础

1、1.费马原理表述及数学表达式为的原理：光线沿光程为平稳值的路径传播。即:P -q n(r)ds平均值2.数学表达式：利用物像等 光程性原理 求由聚光纤 维薄片制成 的微透镜焦 距公式利用物像等 光程性有p -pL(QMQ') l(qoq')L(QMQ') nQM nMQ'n. (s )2 h2 n (x)2h2L(QOQ ) ns n x由于是薄片微透镜，所以s,r,x于是h2 2r , .(s )h2s(1代入光程方程 ns（1r s厂sn'x(1),.(x )2 h2x(1rn _sr sn s（恰巧被消除）3.跃迁型光纤数值孔径公式的推导及应用&#

2、39;r x nx'r x nxnn_sxn令s像方焦距或称后焦距 f rn n令s物方焦距或称前焦距N.A n0sin 0 , n： n；（o为外界入射光束与轴线之间的最大孔径角）4. Maxwell电磁理论微分方程组H0t平面波u（r,t）Acos( tF-kro)U(二t)Ae k reikt（设。0)复振幅u（r,t）AeikrAei(kxxkyy kzz)球面波u (r,t)cos( rtk ro)U (r ,t)ai ikF erei t(设 00)ik (cos x cos y cos z)Ae5.平面波、球面波的波函数复数表示及复振幅表达式复振幅U（P）ik rai2y

3、eik x2 y22zz2z （发散球面波）U(P)U(P)ai eera ik r e ，rrik r、x2y2 z2（汇聚球面波）.(x冷)2 (y y。)2（z z0）2 （轴外源点）6.平面波，球面波的波前函数的描述及识别平面波波前函数 （z=0）平面上）Ux , y ) Aeik sin x球面波波前函数U （x, y）ra U （x, y） 1e rik rik rx2y2r2（发散球面波）（汇聚球面波）例题：已知一列波长为 的光波在（x， y）接受面上的波前函数为U (x, y )其中常量f的单位为mm 1，试分析与波前函数相Ae i2 fx联系的波的类型与特征。解：由上式可见该

4、波前因子是一个线性相因子， 故可断定它代表了一列平面波， 为了进 一步确定该平面波的传播方向，现将波前函数改写为含波数k的形式U (X,y)AeAeik ( f x )可见这是一列传播方向平行(X, z)面，即ky 0的平面波与z轴夹角 满足sinf 或 k x2它表示向下倾斜，倾角为 的平行光束，由于光的波长已被确定为故波矢的z分量kz为方程 k2 k； k2 (2 )2 确定为 kz k2 k； 2 .f27傍轴条件，远场条件傍轴条件z2远场条件z例题1对于光波，设波长500nm横向范围1mm约定 >>取为50倍，试分别求出傍轴条件下纵向距离 Zp和远场条件的zf解：根据上面两

5、式分别求得zp、50501mm1cmzf50 250()50(2 103) 1mm 100m显然此时Zf>>Zp,这源于光波极短，以致带来了高倍率。例题2对于声波，设波长1m,横向范围10cm,则纵向距离zp和zf分别为多少2 10zp . 5070cmzf 50 zf 5050() 10cm 50cmp 100可见此时Zp>Zf傍轴条件包含了远场条件，这源于声波长轴长以致小于1例题3 一台天文望远镜，其物镜口径为 2160cm,用以观察远方星体，问多远的星体星光射到该望远镜，可以被看成是一束平行光？解：这是一个求远场距离的问题，设光波长为550nm,即550 10 6mm于

6、是远场距离应该是zf 50彳 502160 62.16m4.24 105km这个距离与月球距离/550 10 653.8 10 km 相近2 2 ik (4X y )例题4已知一光波的波长为k，观测平面(xy)上的波前函数为 U(x, y) e D试分析与此波前函数相系的波长的类型与特征解：由前函数可见波前仅含二次项因子故可以断定它代表了一列傍轴波，中心在 上,由相同因子的负号断定它是汇聚球面波，2 2ik(x ?)D 2()准形式类似U (x, y) e8x轴为确定汇聚中心位置，将波前函数改为标a1 ik 兰一(准形式u (x, y) - ezy2ikze )于是断定该傍轴汇聚球面波的中心位

7、置坐标为(0,0，D8)8.杨氏双孔干涉条纹间距公式及应用杨氏双孔干涉条纹间距公式x d例题 在双孔干涉实验中，采用氦氖激光束，其波长为633nm双孔间隔d1mm纵向距离D-2m，求条纹间距3362 10(633 10 )mm 1.3mmD 2 103解 带入间距公式x 2 10d9.衍射巴比涅原理及应用如果已知某一孔型屏的衍射场，则应用巴比涅原理，就能直接求其互补屏的衍射场10. 半波带半径公式及应用k Rbk ,k 1 R bRb设光波长 600nm , R 1m , b 3m 得 10.67 mm33 0.67 1.16nm100.100 0.676.7mm 由此可见相邻两个半波带半径之

8、差k k1 k随k数增加而减少，亦即半波带越来越密例题2 设 600nm ,2.00mmR1m试问该圆孔包含的半波带数目至少是几个1 1用公式k ()少半波带数为kmR(2.0)2(1 103) (600 10 6)6.7 这个数接近一奇数7,该圆孔严格的包含7R 2个时的纵向距离为6十1034-mm7 600 10 6 103420m11. 细致矢量图解法及应用12. 波带片的类透镜公式及应用菲涅尔波带片有若干实焦点与虚焦点，表明它既有类似会聚透镜的功能，又有类发散透镜的功能，所以，当物点发射球面波照明波带片时,就能产生若干像点.所以由公式11k 2Rb当b1满足k=1时,则b1便是第一相距

9、，即:11Rb121右端；21/ f1故上式改写为111 f1Rb1该式与透镜物像距公式完全类似，同样的我们可以获得第二个相距b2与物距R的关系式1 1如下一1 f2Rb2例题：对一张经典菲涅尔波带片的制作提出两点设计要求：(1) 对波长为633nm的氦氖激光,其第一焦距为400mm,(2) 主焦点的光强为自由光强的104倍问：(1) 待制作的波带片，其第一个半波带的半径为多少？(2) 这张波带片至少应该有多大的有效半径？解(1)根据第一焦距公式f1,得第一个半波带半径为1 . f1400 633 10 6 mm 0.50mm设焦点光强为I为自由光强10的N倍，即I=NI 0 ,相应的振幅倍率

10、为A . N A0JO4 A0102 A0 50A,由于有半数的半波带被遮蔽，故应露出的帮波带序号为1,3,5,99,亦即最外围的半波带序号为99或100它决定了这条半波带的有效尺寸100- k 1- 100 0.50mm 5.0mm13. 单缝夫琅禾费衍射强度函数及图样特征衍射强度函数1( )|。( 一)2 I。Ao Ao在公式中作为一个参考值，用1(0) I °为最大值,称其为零级衍射峰,其位置正是几何光学像点位置一等光程方位(2) 零点位置.sinxx函数存在一系列零点,当x k , 1, 2, sin x*=o,这在单缝衍射中表现为，当 sin k , k 1, 2，衍射强度

11、1( )0,出现暗点，上式成为单缝衍射零点条件(3) 次极大，sin x. x函数在相邻两个零点之间存在一个极大值，其位置和数值可由微分方程d( sin x. x)/dx 导出(4) 半波带宽度°,零级衍射斑的角范围，其零级衍射峰与邻近暗点之间的角方位只差值给以度量，称其为零级衍射的半角宽度，即 010,在平行光正入射条件下，00,1 sin 1.故得单缝夫琅禾费衍射的零级衍射半角度宽度为0.:或 0(5) 单缝宽度的的影响，表现为两个方面，一是影响半角宽度 0,比如缝宽a扩大为2a则0压缩为 0 /2,二是影响零级衍射峰值I 0 ,这是因为峰值即光强参考值I 0 ,正比于面积(a

12、b)的平方，比如缝宽a扩大为2a,则10增强为4 10(6)波长的影响，一是影响半波带宽度0 ,二是影响零级衍射峰值10 .例题1.在单缝夫琅 禾费 试验中，光波长 600nm透镜焦 距f 200mm单缝宽度a15 m,求零级斑的半角宽度和屏幕上显示的零级斑的几何线宽解：根据半角宽度公式得60600 100.04rad用半角宽度估算屏幕上零级15斑的几何线宽1丨10200 0.04mm 8mm例题2在单缝夫琅禾费衍射实验中，入射的平行光中含有两种波长成分 ，红光1 600nm,蓝光2 400nm,且设两者光强相等，即Ii I3 A2 A； 1试分析这二色光衍射图样的主要区别解：只要区别有两点一

13、是红光与蓝光各自展开的半角宽度不等二1 a二 600 =1.5 倍202 a 2400即红光图样更为扩展二是红光与蓝光衍射斑中心的强度不等*-22 jnm222也A22弓(型)245%I20A22160014. 圆孔夫琅禾费衍射艾里斑半角宽度公式及应用半角宽度公式 01.22 或D 0 1.22D人眼分辨本领与瞳孔直径决定人眼分辨本领的是瞳孔 的直径D ,它是可调的，其 正常范围的2 8mm据此,可以估算出人眼最小可分辨角e 设550nmD 2mm,物防为空气， 则e=1.221.22550nm3.3 10 4 rad 1'0.08mm 25cm 3.3mm 10mD2mm15. 马吕

14、斯定律及应用2 2I p ( ) I 0 COS其中 I 0 A016. 部分偏振光通过偏振片后光强特点及数学描述当一偏振片面对一束部分偏振光而旋转时，透射光强必将变化，因为部分偏振光的偏振光不具有轴对称性，其他方向透射光强|p(),等于Im、Im按马吕斯定律在 方向贡 献之和(完全非相干叠加)即2 2Ip( ) ImCOS Im COS现将该式作如下改写2 2 2 2Ip( ) I m(COS Sin ) (Im I m)Sin即 Ip( ) Im (Im Im) COS其中，第一项是常数Im，在P旋转过程中保持不变，如同入射光为自然光那样，第二 项是余弦平方项，具有入射光为线偏振光那样的马

15、吕斯定律形式。部分偏振光是一自然光与一线偏振光的混合17. 偏振度概念及应用设一偏振片面对一束光而旋转一周，获得投射光强为最大值为IM ,光强极小值为Im，则入射光的偏振度被定义为p 5览由此我们可以作出判断I M I mp 1 入射光为线偏振光0 p 1 入射光为部分偏振光或椭圆偏振光p 0 入射光为自然光或圆偏振光例题1 一对偏振片R,P2其透振方向彼此正交，另有一偏振片P插入其间，透振方向为4。若一束光强为Io的自然光射入这个偏振片系统，问最终透射光强为多少?解：若无中间那个偏振片，则透射光强为零，任何一偏振片经一正交偏振片，最终透射 光强总是为零(消光)，现在有一偏振片 P置于其间，情

16、况就不同了，见图先是自然光通过 p ,透射光强为I1 1。/2,按马吕斯定1律通过p的光强为Ip 11 COS2I 0 COS2I2 I p COS2IoCOS2 Sin221-Io(Sin2 )8再按马吕斯定律，最终通过p2的透射光强为1当 4 时 I2- I012.5%8例题2 一束光含有两个同频线偏振成分， 其振动方向夹角为a0，彼此间的相位差是随机 变化的，当一偏振片面对这束光旋转时，试分析透射光强的变化-出现光强极大或极小的透振方向角 值，以及相应的光强值解：如图，分别将振幅矢量 Ai,A2向P投影，然后非相干叠加，得透射光强函数为lp( ) a2cos2A2cos2(2 0 2 )

17、1 112纭(1 cos2 ) li-(1 cos(2 o 2 )1 1(l1 l2)(12 cos2 l1 cos(2 0 2 )12 cos2 11 cos2 0cos2l1 sin 2 0sin2其中第二项括号式展开为(h I2cos2 0)cos2l1sin2 0sin2l o cos(2o)这里Io . (I2 11 cos2 o)2 (hsin2。). I； 2I1I2COS2 0 I；arcta n(h sin 2 0 l211 cos2-)0最后结果表示为Ip( ) 2(|1 I2) 110 cos(20)这表明透射光强随做周期性变化，其周期为，即0011当aM_ J时，出现透射光强极大，Im-(11 1 2)l 0 ；2222当am00J 时，出现透射光强极小，lm«|1 122 222218. 线偏振数密度概念及应用引入线偏振数密度函数，反应非轴对称的角分布，有助于定量分析部分偏振光的偏振结 构。（）一Y，（）即为线偏振数密度，即单位角范围中包含的线偏振的数目。线偏振数密度用以分析自然偏振光自然光的片真结构具有轴对