东北大学自动控制原理第三章

1、主要内容主要内容n 自动控制系统的时域指标自动控制系统的时域指标n 一阶系统的阶跃响应一阶系统的阶跃响应n 二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 n 高阶系统的阶跃响应高阶系统的阶跃响应 n 自动控制系统的代数稳定判据自动控制系统的代数稳定判据n 稳态误差稳态误差 n 小结小结 学习重点学习重点v了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义；了解典型信号和自动控制系统时域指标的定义； v掌握一阶和二阶系统分析与暂态性能指标计算方法；掌握一阶和二阶系统分析与暂态性能指标计算方法； v建立系统参数与系统暂态响应之间的对应关系；建立系统参数与系统暂态响应之间的对应关系； v了解系统参数对系统暂态性能指标

2、的影响，能够定了解系统参数对系统暂态性能指标的影响，能够定性分析性分析高阶系统的暂态高阶系统的暂态响应响应过程过程； v理解和掌握线性控制系统稳定的充要条件，会用劳理解和掌握线性控制系统稳定的充要条件，会用劳斯判据判断系统的稳定性；斯判据判断系统的稳定性； v理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的理解稳态误差的概念，了解系统参数对系统误差的影响，熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算方影响，熟练掌握误差传递函数和稳态误差的计算方法。法。1. 分析方法分析方法 时域、频域时域、频域2. 时域分析的目的时域分析的目的 设法从微分方程判断出系统运动的设法从微分方程判断出系统运动的主要特征主要特征

3、而不必准确地把微分方程解出来，从工程角度而不必准确地把微分方程解出来，从工程角度分析系统分析系统运动规律运动规律。1.1.对控制性能的要求对控制性能的要求(1)(1)系统应是系统应是稳定稳定的；的；(2)(2)系统达到稳定时，应满足给定的系统达到稳定时，应满足给定的稳态稳态误差误差的要求；的要求；(3)(3)系统在暂态过程中应满足系统在暂态过程中应满足暂态品质暂态品质的的要求。要求。2.2.自动控制系统的典型输入信号自动控制系统的典型输入信号（1 1）阶跃函数）阶跃函数000)(tAttxr，A=1时称为时称为单位阶跃函数单位阶跃函数， )()()( 1)(tutxttxrr，或stLsXr1

4、)( 1 )(（2 2）斜坡函数）斜坡函数A=1时称为时称为单位斜坡函数单位斜坡函数000)(tAtttxr，21( )rXss（3 3）抛物函数）抛物函数当当A=1/2时，称为时，称为单位抛物线函数单位抛物线函数 000)(2tAtttxr，31)(ssXr（4 4）脉冲函数）脉冲函数 0(0)( )0 0(0)rAtx ttt ，( )1rXs 当当A=1时，称为时，称为单位脉冲函数单位脉冲函数 （t t）1)( dtt ( )1dttdt（5 5）正弦函数）正弦函数 用正弦函数作输入信号，可以求得系用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响统对不同频率的正弦输入函

5、数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。应，由此可以间接判断系统的性能。 本章主要以本章主要以单位阶跃函数单位阶跃函数作为系统的作为系统的输入量来分析系统的暂态响应。输入量来分析系统的暂态响应。 在工程上，许多高阶系统常常具有近在工程上，许多高阶系统常常具有近似似一、二阶一、二阶系统的时间响应。因此，深入系统的时间响应。因此，深入研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛研究一、二阶系统的性能指标，有着广泛的实际意义。的实际意义。1.1.一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型( )11( )1( )111cBrKXsKsWsKXssKTsssK2.2.一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应ss

6、Xr1)(sTssXsWsXrBc111)()()(TssLsTsLtxc111111)(11)0( ,1)(1tetxtTcts=3T(s)， （对应5%误差带） ts=4T(s)， （对应2%误差带）系统的时间常数系统的时间常数T 越小，调节时间越小，调节时间ts越小，越小，响应过程的快速性也越好。响应过程的快速性也越好。例例3-1 3-1 一阶系统的结构如下图所示。试求一阶系统的结构如下图所示。试求该系统单位阶跃响应的调节时间该系统单位阶跃响应的调节时间t ts s ；如果如果要求要求t ts s(5%)(5%) 0.1(0.1(秒秒) )，试问系统的反馈系，试问系统的反馈系数应取何值？

7、数应取何值？解：解：（1 1）首先由系统结构图写出闭环传递函数）首先由系统结构图写出闭环传递函数 100( )10( )100( )0.1110.1cBrX ssW sX sss得得 T=0.1（s）因此得调节时间因此得调节时间 t ts s=3=3T T=0.3(s)=0.3(s)，（，（取取5%5%误差带）误差带） (2)(2)求满足求满足t ts s (5%)(5%) 0.10.1（s s）的反馈系数值。的反馈系数值。假设反馈系数假设反馈系数K Kt t( (K Kt t0)0)，那么同样可由结构图写出闭那么同样可由结构图写出闭环传递函数环传递函数1001/( )1000.0111tBt

8、tKsWsKssK由闭环传递函数可得由闭环传递函数可得 T T = 0.01/= 0.01/K Kt t根据题意要求根据题意要求 t ts s (5%)(5%) 0.10.1（s s）则则 t ts s = 3= 3T T = 0.03/= 0.03/K Kt t 0.1(s)0.1(s)所以所以 K Kt t 0.3 0.3 1.1.典型二阶系统的暂态特性典型二阶系统的暂态特性 假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出假设初始条件为零，当输入量为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为量的拉氏变换为 )2()(222nnncssssX222( )2nBnnWsss系统的特征方程为系统的特征

9、方程为 0222nnss211nnp 221nnp 系统的特征根为系统的特征根为(1)(1)过阻尼过阻尼1输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 22110212222)()2()(psApsAsApspssssssXnnnnc1)(00scssXA)1(121)(22111pscpssXA)1(121)(22222pscpssXA输出量的时间函数：输出量的时间函数： 0 111211)()(2)1(2)1(222110122teepsApsAsAsXLtxttccnn，结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多结论：后一项的衰减指数远比前一项大得多。这时，这时，二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的

10、响应。二阶系统的暂态响应就类似于一阶系统的响应。 20020122( )()()ncnnnAAAXss ssss1)()(1)(2220220100nnnsnsncnsncscsssXdsdAssXAssXAnp2, 1系统的特征根为系统的特征根为输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换：（2 2）临界阻尼）临界阻尼1输出量的时间函数：输出量的时间函数：( )1(1), 0ntcnx tett （3 3）欠阻尼（）欠阻尼（ ）01 211nnpj 221nnpj 系统的特征根为系统的特征根为输出量的拉氏变换：输出量的拉氏变换： 2222222221( )21()(1)()(1)ncnnnnnnnns

11、X ssssssss式中：式中： 阻尼振荡角频率阻尼振荡角频率，或，或振荡角频率振荡角频率 阻尼角阻尼角 输出量的时间函数：输出量的时间函数： 12222( )( )1cos 1sin 1111sin, 01nncctnntdx tLXsettett 21dn21arctan结论：在结论：在 的情况下，二阶系统的暂态响应的暂的情况下，二阶系统的暂态响应的暂态分量为一按态分量为一按指数衰减指数衰减的简谐振动时间函数；振荡程的简谐振动时间函数；振荡程度与度与 有关：有关： 越小，振荡越剧烈。越小，振荡越剧烈。 01 （4 4）无阻尼（）无阻尼（ =0=0） 系统的特征根为系统的特征根为 输出量的拉

12、氏变换为输出量的拉氏变换为 二阶系统的暂态响应为二阶系统的暂态响应为 12, nnpjpj 222( )()ncnXss s( )1 coscnx tt 综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系综上所述，在不同的阻尼比时，二阶系统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比统的暂态响应有很大的区别，因此阻尼比 是二阶系统的重要参量。当是二阶系统的重要参量。当 = 0= 0时，系统不时，系统不能正常工作，而在能正常工作，而在 = 1= 1时，系统暂态响应进时，系统暂态响应进行的又太慢。所以，对二阶系统来说，行的又太慢。所以，对二阶系统来说，欠阻欠阻尼尼情况（情况（ ）是最有实际意义的。）是最有实际意义的。 10

13、2.2.二阶系统暂态特性指标二阶系统暂态特性指标 当当 时，典型二阶系统的输出响应为时，典型二阶系统的输出响应为 ( ) 1( )rx tt21( )1sin,(01)1ntcdx tet 快速性指标：上升时间快速性指标：上升时间tr ，调节时间调节时间ts平稳性指标：最大超调量平稳性指标：最大超调量 % ，振荡次数，振荡次数 2.2.二阶系统暂态特性指标二阶系统暂态特性指标（1 1）上升时间）上升时间t tr r： 系统的输出第一次达到稳态值的时间。系统的输出第一次达到稳态值的时间。0sin12rdttern令令t t = = t tr r时，时，x xc c（t t）=1=1得得21ndr

14、t结论：结论：当当 n一定时，阻尼比越大，则上升时间一定时，阻尼比越大，则上升时间tr越长；当一定时，越长；当一定时， n越大，则越大，则tr越短。越短。 （2 2）最大超调量）最大超调量 % % 输出最大值相对于输出稳态值的误差。输出最大值相对于输出稳态值的误差。用公式表示为用公式表示为 max( )%100%ccxxx最大超调量发生在第一个周期中最大超调量发生在第一个周期中t = tm 时刻。时刻。令令 得得 0mttcdttdx21cossinmdmdtt21tanmdt因此因此即即因为在因为在n=1时出现最大超调量，所以有时出现最大超调量，所以有 。峰值时间为峰值时间为 nntmd21

15、arctanntmdndmt21ndmt21将将 代入得最大值为代入得最大值为因为因为所以所以nmt2121max21sin1ex 21sinsin21max1xe根据超调量的定义根据超调量的定义在单位阶跃输入下，稳态值在单位阶跃输入下，稳态值 ，因此得最大超调量为因此得最大超调量为 max( )%100%ccxxx( )1cx %100%21e结论：二阶系统的最大超调量与值有密切的关系，结论：二阶系统的最大超调量与值有密切的关系，阻尼比越小，超调量越大。阻尼比越小，超调量越大。 （3 3）调节时间）调节时间t ts s与稳态值之间的偏差达到允许范围（一般取与稳态值之间的偏差达到允许范围（一般

16、取5%5%2%2%）而不再超出的暂态过程时间。）而不再超出的暂态过程时间。在暂态过程中的偏差为在暂态过程中的偏差为 tetxxxntccn221sin1当当 或或0.020.02时，得时，得 )02. 0( 05. 01sin122或snttesn05. 0 x忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05 或或0.02时，过渡过程即进行完毕。这样得到时，过渡过程即进行完毕。这样得到 )02. 0( 05. 012或snte由此求得调节时间为由此求得调节时间为 35%, 00.9snt42%, 00.9snt结论：结论： 调节时间调节时间ts 近似与近似与 成

17、反比关系。成反比关系。 n（4 4）振荡次数）振荡次数 在调节时间在调节时间t ts s内，波动的次数。内，波动的次数。fstt式中：式中： 为阻尼振荡的周期时间。为阻尼振荡的周期时间。 2122ndft3.3.二阶系统特征参数与暂态性能指标之间二阶系统特征参数与暂态性能指标之间的关系的关系 1%, 2, 3, 42% , 55% ,mrsstttt结论：结论：（1 1）阻尼比）阻尼比 是二阶系统的一个重要参量，由值是二阶系统的一个重要参量，由值 的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。的大小可以间接判断一个二阶系统的暂态品质。在过阻尼（在过阻尼（ ）情况下，暂态特性为）情况下，暂态特性为单

18、调单调变化变化曲线，没有超调和振荡，但调节时间较长，系统曲线，没有超调和振荡，但调节时间较长，系统反应迟缓。当反应迟缓。当 ，输出量作，输出量作等幅振荡等幅振荡或或发散振发散振荡荡，系统不能稳定工作。，系统不能稳定工作。（2 2）一般情况下，系统在欠阻尼（）一般情况下，系统在欠阻尼（ ）情况下）情况下工作。但是工作。但是 过小，则超调量大，振荡次数多，调过小，则超调量大，振荡次数多，调节时间长，暂态特性品质差。应注意到，节时间长，暂态特性品质差。应注意到，最大超最大超调量只和阻尼比这一特征参数有关。调量只和阻尼比这一特征参数有关。因此，通常因此，通常可以根据允许的超调量来选择阻尼比可以根据允许

19、的超调量来选择阻尼比 。1010（3 3）调节时间与系统阻尼比和自然振荡角）调节时间与系统阻尼比和自然振荡角频率这两个特征参数的乘积成频率这两个特征参数的乘积成反比反比。在阻。在阻尼比尼比 一定时，可以通过改变自然振荡角频一定时，可以通过改变自然振荡角频率率 来改变暂态响应的持续时间。来改变暂态响应的持续时间。 越大，越大，系统的调节时间越短。系统的调节时间越短。（4 4）为了限制超调量，并使调节时间较短，）为了限制超调量，并使调节时间较短，阻尼比一般应在阻尼比一般应在0.40.40.80.8之间，这时阶跃之间，这时阶跃响应的超调量将在响应的超调量将在1.5%1.5%25%25%之间。之间。n

20、n4.4.二阶工程最佳参数二阶工程最佳参数 707. 021 121TsTssWK 122122TssTsWB21%4.3%100%eTtnr7 . 4122%8.4385%4.146sstTTtTT用近似公式求得为用近似公式求得为1122nnT令令例例3-2 3-2 有一位置随动系统，其结构图如下有一位置随动系统，其结构图如下图所示，其中图所示，其中K Kk k = 4= 4。求该系统的：求该系统的：1 1）自）自然振荡角频率；然振荡角频率；2 2）系统的阻尼比；）系统的阻尼比；3 3）超）超调量和调节时间；调量和调节时间；4 4）如果要求）如果要求 ，应，应怎样改变系统参数怎样改变系统参数

21、K Kk k值。值。0.707解解 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为写成标准形式写成标准形式 由此得由此得（1 1）自然振荡角频率）自然振荡角频率 2, 4kBkkKWsKssK2222)(nnnBsssW2knK（2 2）阻尼比）阻尼比25. 021n%47%100%21es 63%)5(nst5 . 02nkK（4 4）当要求当要求 时，时，10.707211112222n4(2%)8 ssnt（3 3）超调量超调量调节时间调节时间例例3-3 3-3 为了改善例为了改善例3-23-2系统的暂态响应性能，系统的暂态响应性能，满足单位阶跃输入下系统超调量满足单位阶跃输入下系统超调量 的

22、要求，的要求，今加入微分负反馈今加入微分负反馈 ，如下图所示。，如下图所示。求微分时间常数。求微分时间常数。 %5%s解解 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 ) 1411(1414)41(4)(sssssWK4)41 (4)(2sssWB为了使为了使 ，令，令 。由由可求得可求得并由此求得开环放大系数为并由此求得开环放大系数为 %5% 707. 04 ,4122nn457. 0412707. 02412n414. 1414kK例例3-33-3说明：说明： 当系统加入局部微分负反馈时，相当系统加入局部微分负反馈时，相当于增加了系统的阻尼比，当于增加了

23、系统的阻尼比，提高了提高了系统系统的的平稳性平稳性，但同时也，但同时也降低了降低了系统的开环系统的开环放大系数。放大系数。5.5.零、极点对二阶系统暂态性能的影响零、极点对二阶系统暂态性能的影响(1)(1)具有零点的二阶系统的暂态特性分析具有零点的二阶系统的暂态特性分析 具有零点的二阶系统的闭环传递函数为具有零点的二阶系统的闭环传递函数为 )2(1)1(2) 1()()(222222nnnnnnrcsssssssXsX式中：式中： 时间常数。时间常数。 令令 ，则，则 将系统的结构图等效成下图所示的结构。将系统的结构图等效成下图所示的结构。 z1)2()()()(222nnnrcsszzssX

24、sX由之得由之得 在初始条件为零时，取拉氏反变换为在初始条件为零时，取拉氏反变换为 10 ,2)()(2221nnrncsssXsX)()()(11sXzssXsXcccssXr1)()2()(22211nnncsssLtxdttdxztxsXzsLsXLtxccccc)(1)()()()(111111得得 即即 )1sin(11)(221tetxntcn)1cos(1)1sin(11 )1cos(1)1sin()(111)(22222222tltlzzlettzzetxnnnntnnnntcnn式中，式中，l 为极点与零点间的距离，可由系统闭环传递函数的为极点与零点间的距离，可由系统闭环传递

25、函数的零点和极点在复平面上所在的位置确定。零点和极点在复平面上所在的位置确定。 零极点在零极点在s s平面上的分布如下图所示平面上的分布如下图所示 22212()(1)cos1sinnnnnlzpzzll由左图知由左图知所以所以 )1sin(11 sin)1cos(cos)1sin(11)(22222tzlettzletxntnntcnn2222222221arctan1arctan()(1)2nnnnnnzzzzlzzz式中式中令令 ，为闭环传递函数的复数极点的实部与，为闭环传递函数的复数极点的实部与零点的实部之比，则得零点的实部之比，则得 所以所以zrn22221rrzl0 ),1sin(

26、121)(22222tterrtxntcn结论：由于闭环传递函数零点的存在，振荡性增强。结论：由于闭环传递函数零点的存在，振荡性增强。(2) (2) 二阶系统加极点的暂态响应二阶系统加极点的暂态响应 系统传递函数系统传递函数当当 时，特征方程式的三个根为时，特征方程式的三个根为 )(2()(32232RsssRsWnnnB1212233(1)(1)nnpjpjpR 因此得因此得 上式中各项的待定系数为上式中各项的待定系数为 33222102)(RsAssAsAsAsXnnc00212222( ) 1(2)(2) 12(2) 1(2) 1csnAXs sAA 式中式中 是负实数极点与共轭复数极点

27、的负实部之比是负实数极点与共轭复数极点的负实部之比nR3三阶系统的极点分布如下图所示三阶系统的极点分布如下图所示 输出量的暂态响应为输出量的暂态响应为 0 t,1sin11cos 1)2(1)(22122123tAAtAeetxnnnnttRcn或或 式中式中 222(2) 11, tan(2)1dn 0 t),sin(1)2(1 1)2(1sin1)2(1)2( cos1)2()2(11)2(11)2(1)(2222222222teetteetxdttddttcnnnn ，以，以 为参变量时三阶系统的单位阶跃响应如下图为参变量时三阶系统的单位阶跃响应如下图所示所示结论：具有负实数极点的三阶系

28、统，振荡性减弱，而上升时结论：具有负实数极点的三阶系统，振荡性减弱，而上升时间和调节时间增长，超调量减小，也就是相当于系统的惯性间和调节时间增长，超调量减小，也就是相当于系统的惯性增强了。增强了。 5 . 0高阶系统的闭环传递函数形式：高阶系统的闭环传递函数形式：将分子和分母分解成因式：将分子和分母分解成因式： nnnnmmmmBrcasasasabsbsbsbsWsXsX11101110)()()()()()()()()()(2121nmBrcpspspszszszsKsWsXsX如果系统是稳定的，且全部的极点和零点都如果系统是稳定的，且全部的极点和零点都互不相同，而极点中包含有共轭复数极点

29、，互不相同，而极点中包含有共轭复数极点，则当输入为单位阶跃函数时，输出量的拉氏则当输入为单位阶跃函数时，输出量的拉氏变换为变换为式中：式中： ；q q为实数极点的个数，为实数极点的个数，r r为共为共轭极点的对数。轭极点的对数。 qjrknknkjmiicsspsszsKsX11221)2()()()(rqn2用部分分式展开得用部分分式展开得 单位阶跃响应为单位阶跃响应为 qjrknknkkkkjjcssCsBpsAsAsX112202)(rknkktnkkknkkkqjrknkktktpjcteBCteBeAAtxnkknkkj12211201sin11cos)(结论结论（1 1）高阶系统暂

30、态响应各分量衰减得快慢，系）高阶系统暂态响应各分量衰减得快慢，系统闭环极点的实部越小，即在统闭环极点的实部越小，即在S S平面左侧平面左侧离虚轴离虚轴越近越近，则相应的分量衰减越慢，对暂态，则相应的分量衰减越慢，对暂态影响越大影响越大。（2 2）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点在点在S S平面中的位置有关，并且与平面中的位置有关，并且与零点零点的位置有的位置有关。关。如果某极点如果某极点-pj靠近一个闭环零点，远离原点及其它靠近一个闭环零点，远离原点及其它极点，则相应项的系数极点，则相应项的系数Aj比较小，该暂态分量的影比较小，该暂态分量的影响也就越

31、小。如果响也就越小。如果极点和零点靠得很近极点和零点靠得很近（称为（称为偶极偶极子子），则该极点对暂态响应），则该极点对暂态响应几乎没有影响几乎没有影响。如果某极点如果某极点-pj远离闭环零点，但与原点相距较近，远离闭环零点，但与原点相距较近，则相应的系数则相应的系数Aj将比较大。因此将比较大。因此离原点很近离原点很近并且附并且附近没有闭环零点的极点，其暂态分量项不仅幅值大，近没有闭环零点的极点，其暂态分量项不仅幅值大，而且衰减慢，对系统暂态响应的而且衰减慢，对系统暂态响应的影响很大影响很大。（3 3）主导极点：主导极点：如果高阶系统中距离虚轴最近的极如果高阶系统中距离虚轴最近的极点，其实部小

32、于其它极点的实部的点，其实部小于其它极点的实部的1/51/5，并且附近不，并且附近不存在零点，可以认为系统的暂态响应主要由这一极存在零点，可以认为系统的暂态响应主要由这一极点决定。如果找到一对共轭复数主导极点，那么，点决定。如果找到一对共轭复数主导极点，那么，高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并可高阶系统就可以近似地当作二阶系统来分析，并可以用二阶系统的暂态性能指标来估计系统的暂态特以用二阶系统的暂态性能指标来估计系统的暂态特性。性。 在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主在设计一个高阶控制系统时，我们常常利用主导极点这一概念选择系统参数，使系统具有一对共导极点这一概念选择系统参数，使

33、系统具有一对共轭复数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶轭复数主导极点，这样就可以近似地用一阶或二阶系统的指标来设计系统。系统的指标来设计系统。 一个线性系统正常工作的首要条件，就一个线性系统正常工作的首要条件，就是它必须是是它必须是稳定稳定的。的。 用代数的方法判断线性系统的稳定性，分用代数的方法判断线性系统的稳定性，分析系统参数变化对稳定性的影响，是本节析系统参数变化对稳定性的影响，是本节要介绍的内容。要介绍的内容。 1. 线性系统稳定性的概念和稳定的充分必线性系统稳定性的概念和稳定的充分必要条件要条件 系统特征方程的根（即系统闭环传递函数系统特征方程的根（即系统闭环传递函数的极点）全部

34、负实数或具有负实部的共轭的极点）全部负实数或具有负实部的共轭复数，也就是复数，也就是所有的闭环特征根分布在所有的闭环特征根分布在S平平面虚轴的左侧面虚轴的左侧。 2. 劳斯判据劳斯判据 系统的特征方程式的标准形式：系统的特征方程式的标准形式：1011000nnnna sa sasaa，10112124321343212753116420gsfseesccccsbbbbsaaaasaaaasnnnn3120111aaaaab5140121aaaaab7160131aaaaab2131111bbaabc3151121bbaabc4171131bbaabc列劳斯表列劳斯表劳斯判据：劳斯判据： 系统特

35、征方程的全部根都在系统特征方程的全部根都在S S左半平面左半平面的充分必要条件是的充分必要条件是劳斯表的第劳斯表的第一一列系数全列系数全部是正数。部是正数。 方程在右半平面根的个数等于劳斯表方程在右半平面根的个数等于劳斯表中第一列各元改变符号的次数。中第一列各元改变符号的次数。例例3-4 系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系系统的特征方程如下，试用劳斯判据判断系统的稳定性。统的稳定性。43223450ssss43210135241565sssss解：列劳斯表解：列劳斯表系统不稳定，有系统不稳定，有2个根个根在在S右半平面右半平面 建立劳斯表过程中的两种建立劳斯表过程中的两种特殊特殊情况情况把

36、把“0”用一个小的正数用一个小的正数 代替，继续计算。代替，继续计算。若若 上下符号相同，则处于临界稳定状态。上下符号相同，则处于临界稳定状态。（1）劳斯表中第一列出现）劳斯表中第一列出现“0” 例例3-5 3-5 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断试用劳斯判据判断系统的稳定性。系统的稳定性。02223sss解：列劳斯表解：列劳斯表222110123ssss第第1 1列各元中的上面和下面的系数列各元中的上面和下面的系数符号不变，故有一对虚根。符号不变，故有一对虚根。系统系统处于临界稳定状态。处于临界稳定状态。2120ss2,132, 1pjp将特征方程式分解，有将特征方

37、程式分解，有解得根为解得根为4323310ssss 例例3-6 3-6 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断试用劳斯判据判断系统的稳定性。系统的稳定性。4321011133013 11sssss解：列劳斯表解：列劳斯表系统不稳定，有两个根具系统不稳定，有两个根具有正实部。有正实部。（2 2）劳斯表的某一行中，所有元都等于零）劳斯表的某一行中，所有元都等于零 这表明方程有一些大小相等且对称于原点的这表明方程有一些大小相等且对称于原点的根。在这种情况下，可利用全根。在这种情况下，可利用全0 0行的上一行各元构行的上一行各元构造一个辅助多项式（称为辅助方程），式中均为造一个辅助

38、多项式（称为辅助方程），式中均为偶次。偶次。以辅助方程的导函数的系数以辅助方程的导函数的系数代替劳斯表中代替劳斯表中的这个全的这个全0 0行，然后继续计算。行，然后继续计算。 若第一列无变号则系统只有虚根，临界稳定；若第一列无变号则系统只有虚根，临界稳定； 若第一列有变号则系统右侧有根，不稳定；若第一列有变号则系统右侧有根，不稳定；例例3-7 3-7 系统的特征方程如下系统的特征方程如下, ,试用劳斯判据判断系统的稳定性。试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：列劳斯表解：列劳斯表6543228122016160ssssss654318201621216021216000ssss由上表可以看出，由上

39、表可以看出，s s3 3行的各项全部为零。为了求出行的各项全部为零。为了求出s s3 3s s0 0各项，各项，用用s s4 4行的各元构成辅助方程式行的各元构成辅助方程式 42( )21216p sss结论：在新得到的劳斯表中第结论：在新得到的劳斯表中第1 1列没列没有变号，因此可以确定在有变号，因此可以确定在S S右半平面右半平面没有特征根。另外，由于行的各元均没有特征根。另外，由于行的各元均为零，这表示有共轭虚根。系统处于为零，这表示有共轭虚根。系统处于临界稳定状态临界稳定状态。 它的导函数为它的导函数为用导函数的系数用导函数的系数4 4和和1212代替行相应的元继续算下去，得代替行相应

40、的元继续算下去，得劳斯表为劳斯表为 3824dp sssds6543210182016212160212166168283164sssssss这些虚根可由辅助方程式求出。本例的辅助方这些虚根可由辅助方程式求出。本例的辅助方程式是程式是由辅助方程求得虚根为由辅助方程求得虚根为 42( )21216p sss1,23,42 ,2pjpj 3. 胡尔维茨判据胡尔维茨判据 系统的特征方程式的标准形式：系统的特征方程式的标准形式：构造胡尔维茨行列式构造胡尔维茨行列式D D 1011000nnnna sa sasaa，nnnaaaaaaaaaaaaaD212031420531000000000000胡尔维

41、茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复平面胡尔维茨稳定判据：特征方程式的全部根都在左半复平面的充分必要条件是上述行列式的充分必要条件是上述行列式D D的各阶主子式均大于的各阶主子式均大于0 0，即，即 . 0 , 0, 0 , 0 , 03142053132031211DDaaaaaaaaDaaaaDaDn 与劳斯表中第与劳斯表中第1列的系数比较，存在如下关系：列的系数比较，存在如下关系： 若若 均为正，则均为正，则D1，D2，Dn自然也都为正，自然也都为正，反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是反之亦然。可见劳斯稳定判据和胡尔维茨稳定判据实质是一致的。一致的。当当n较大时，胡尔

42、维茨判据计算量急剧增加，所以它通常较大时，胡尔维茨判据计算量急剧增加，所以它通常只用于只用于 的系统。的系统。 12113211/,/,/nnbDD cDDgDD111,b cg6n4. 谢绪恺判据谢绪恺判据 系统的特征方程式：系统的特征方程式：上式根全部具有负实部的必要条件为上式根全部具有负实部的必要条件为其根全部具有负实部的充分条件为其根全部具有负实部的充分条件为 19761976年中国学者聂义勇进一步证明，可将此充分条件放宽为年中国学者聂义勇进一步证明，可将此充分条件放宽为 此判据被称为谢绪恺判据。此判据被称为谢绪恺判据。谢绪恺判据完全避免了除法，且节省了计算量。谢绪恺判据完全避免了除法

43、，且节省了计算量。 101103nnnna sa sasan，112(1, 2,2)iiiia aa ann1121(1, 2,2)3iiiia aa ann1120.465(1, 2,2)iiiia aaann5. 参数对稳定性的影响参数对稳定性的影响 例例3-8 3-8 系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 式中，式中，K Kk k为系统的开环放大系数。为系统的开环放大系数。 kkBKsTsTsTKsW111321解：解：系统特征方程为系统特征方程为 0132123231213321kKsTTTsTTTTTTsTTT解：列劳斯表解：列劳斯表3123123212231311011KKsT

44、T TTTTsTTT TTTKsbsK1 2 311231 22 31 31KKTT TbTTTTTT TTT若要系统稳定，应有若要系统稳定，应有1010KbK由此可见，由此可见，将各时间常数的数值错开，可以将各时间常数的数值错开，可以允许较大的开环放大系数。允许较大的开环放大系数。当当 时，若要系统稳定，则时，若要系统稳定，则123TTTT08KK024.2KK当当 时，若要系统稳定，则时，若要系统稳定，则123,10TTTTT6. 相对稳定性和稳定裕量相对稳定性和稳定裕量 应用代数判据只能给出系统是应用代数判据只能给出系统是稳定还是不稳稳定还是不稳定，定，即只解决了即只解决了绝对稳定性绝对

45、稳定性的问题。在处理实际的问题。在处理实际问题时，只判断系统是否稳定是不够的。因为，问题时，只判断系统是否稳定是不够的。因为，对于实际的系统，所得到参数值往往是近似的，对于实际的系统，所得到参数值往往是近似的，并且有的参数随着条件的变化而变化，这样就给并且有的参数随着条件的变化而变化，这样就给得到的结论带来了误差。为了考虑这些因素，往得到的结论带来了误差。为了考虑这些因素，往往希望知道系统往希望知道系统距离稳定边界有多少余量距离稳定边界有多少余量，这就，这就是是相对稳定性相对稳定性或或稳定裕量稳定裕量的问题。的问题。 方法：方法： 利用代数判据，以利用代数判据，以 代入系统特征方程式，写出代入

46、系统特征方程式，写出 z z 的多项的多项式，然后用代数判据判定式，然后用代数判据判定 z z 的多项式的多项式的根是否都在新的虚轴的左侧。的根是否都在新的虚轴的左侧。sz 32725290sss32101257292925729ssss例例3-9 3-9 系统特征方程式为系统特征方程式为列劳斯表列劳斯表第一列中各项符号没有改变，所以没有根第一列中各项符号没有改变，所以没有根在在S S平面的右侧，平面的右侧，系统是稳定的系统是稳定的。检查上述系统是否有检查上述系统是否有 裕量。裕量。将将 代入原特征方程式，得代入原特征方程式，得11sz32(1)7(1)25(1)290zzz新的特征方程为新的

47、特征方程为32414200zzz第一列无变号，第一列无变号，说明系统说明系统至少至少有有 的稳定裕量。的稳定裕量。 13210114420920zzzz列出劳斯表列出劳斯表稳态误差稳态误差 在稳态条件下，在稳态条件下，输出量的期望值与稳态值之输出量的期望值与稳态值之间的差值。间的差值。n扰动稳态误差扰动稳态误差 由外扰而引起的，常用这一误差来衡量由外扰而引起的，常用这一误差来衡量恒值系恒值系统统的稳态品质。因为对于恒值系统，给定量是的稳态品质。因为对于恒值系统，给定量是不变的。不变的。n给定稳态误差给定稳态误差 衡量衡量随动系统随动系统稳态品质的指标。因为对于随动稳态品质的指标。因为对于随动系

48、统，给定量是变化的，要求输出量以一定的系统，给定量是变化的，要求输出量以一定的精度跟随给定量的变化。精度跟随给定量的变化。 1. 扰动稳态误差扰动稳态误差 扰动误差的拉氏变换：扰动误差的拉氏变换： 212( )( )( )1( )( )( )( )efcEW sWsN sN sW s WsXssWs 扰动误差的传递函数：扰动误差的传递函数： 212( )( )( )1( )()fceW sW s W s WsXsW sN s 020120lim( )lim( )( )( )lim( )1( )( )(lim)sscsetssfx ts W sN sW ssN sW s WessssWE根据拉氏

49、变换的终值定理，扰动作用下的根据拉氏变换的终值定理，扰动作用下的稳态误差为稳态误差为212( )( )( )1( )()fceW sW s W s WsXsW sN s例例3-10 速度负反馈系统速度负反馈系统 在负载电流作用下转速误差的拉氏变换为在负载电流作用下转速误差的拉氏变换为 (1)( )(1)(1)aseemsKRT sCW sT sT sK式中：式中： 系统开环放大系数。系统开环放大系数。 1KcsfeKK K KC当负载为阶跃函数时，当负载为阶跃函数时， 。则转速的稳态误差为。则转速的稳态误差为 zzIssI1)( 00lim( )lim( )(1)lim(1)(1)(1)ezt

50、saszezasmsKeKen ts WsIsRT sICI RT sT sKCK 由于这一系统在负载扰动下存在稳态误差，所以称为由于这一系统在负载扰动下存在稳态误差，所以称为有差系统有差系统。 则速度误差的拉氏变换为则速度误差的拉氏变换为(1)( )( )(1)(1)szaemss T sI s Rn sCT sT sKefsCKKK 式中式中若将上述调速系统中的比例调节器若将上述调速系统中的比例调节器换成积分调节器换成积分调节器cK1s0) 1)(1() 1(lim)(lim0KsTsTsCRIsTstnmseazsst该系统为无差系统。该系统为无差系统。在开环传递函数中，串联积分环节，可

51、以在开环传递函数中，串联积分环节，可以消除阶跃扰动的稳定误差。消除阶跃扰动的稳定误差。 当负载电流作阶跃变化时，有当负载电流作阶跃变化时，有2. 给定稳定误差和误差系数给定稳定误差和误差系数 误差定义为误差定义为 ( )( )( )rfE sXsXs 这个误差是可以量测的，但是这个误差这个误差是可以量测的，但是这个误差并不一定反映输出量的实际值与期望值并不一定反映输出量的实际值与期望值之间的偏差。之间的偏差。 另一种定义误差的方法是取系统输出量另一种定义误差的方法是取系统输出量的实际值与期望值的差，但这一误差在的实际值与期望值的差，但这一误差在实际系统中有时无法测量。实际系统中有时无法测量。

52、对于左图所示单位反馈系统，上述两种对于左图所示单位反馈系统，上述两种误差定义是相同的。误差定义是相同的。 给定误差的传递函数为给定误差的传递函数为 1( )1( )( )(11)( )gferKE sW sXsWWs Wss 001limlim( )1( )ssrssKes E ssX sWs根据拉氏变换的终值定理，给定作用下的稳态误根据拉氏变换的终值定理，给定作用下的稳态误差为差为开环传递函数可以表示为开环传递函数可以表示为式中：式中： N开环传递函数中串联的积分环节的开环传递函数中串联的积分环节的 阶次阶次NnjjNmiikKsTssTKsW11) 1() 1()(N = 0，0型系统；型

53、系统；N = 1，型系统；型系统；N = 2 ，型系统。型系统。N 越高越高，系统的稳态，系统的稳态精度越高精度越高，但系统的，但系统的稳定性愈差稳定性愈差。一般采用的是。一般采用的是0型、型、型和型和型系统。型系统。 （1）典型输入情况下系统的给定稳态误差分析典型输入情况下系统的给定稳态误差分析ssXr1)(0 0型系统：型系统： 00111( )limlim1( )1( )1rssKKKesXsWsWsK 1( )1peK 令令 ，称为位置稳态误差系数，称为位置稳态误差系数0lim( )pKsKWspKkK型系统：型系统： 011( )lim01( )rsKesXsWs 型系统：型系统：

54、011( )lim01( )rsKesXsWs 单位阶跃函数输入单位阶跃函数输入pk pk 0 0型系统：型系统：200111( )lim1( )lim( )sKKsesWsssWs 1( )veK 令令 ，称为速度稳态误差系数，称为速度稳态误差系数0lim( )vKsKsWs 单位斜坡函数输入单位斜坡函数输入 21( )rXss型系统：型系统：2001111( )lim1( )lim( )sKKKsesWsssWsK 型系统：型系统：2001111( )lim01( )lim( )sKKsesWsssWs vk 0vk vKkK0 0型系统：型系统：3200111( )lim1( )lim(

55、 )sKKsesWsss Ws 1( )aeK 令令 ，称为加速度稳态误差系数，称为加速度稳态误差系数20lim( )aKsKs Ws 单位抛物线函数输入单位抛物线函数输入 型系统：型系统：3200111( )lim1( )lim( )sKKsesWsss Ws 型系统：型系统：32001111( )lim1( )lim( )sKKKsesWsss WsK 0ak 31( )rXss0ak aKkK 误差系数与稳态误差之间的关系误差系数与稳态误差之间的关系1t系统 0型00 型00 型00 rXt212tpKvKaK kKkKkK11kK1kK1kK（2）动态误差系数动态误差系数 既可求出稳态

56、值，又可以既可求出稳态值，又可以了解了解到进入稳态后，到进入稳态后，误误差随时间变化的规律。差随时间变化的规律。 误差传递函数为误差传递函数为 111(1)( )1( )1( )(1)(1)n NNjjen NmNrKjkijisT sE sWsXsWssT sKTs如果将分子和分母中的幂次相同的各项合并，则可写成如果将分子和分母中的幂次相同的各项合并，则可写成 20122012( )1( )1( )nnenrKnsssE sWsXsWssss用分母多项式除分子多项式，可把上式写为如下的用分母多项式除分子多项式，可把上式写为如下的s s的升的升幂级数幂级数 由此可得误差的拉氏变换为由此可得误差

57、的拉氏变换为 2012( )111( )erE sWsssXskkk 2012111( )( )( )( )( )errrrE sWsXsXssXss Xskkk式中式中 k 0动态位置误差系数；动态位置误差系数； k 1动态速度误差系数；动态速度误差系数； k 2动态加速度误差系数。动态加速度误差系数。 稳态误差值稳态误差值 进入稳态时的系统误差为进入稳态时的系统误差为 )()(lim)(lim2312000sXksksksssEerssss )(1)(1)(1)(1lim)(lim3210txktxktxktxkterrrrtt例例3-11 3-11 有一单位反馈系统，其开环传递函数为有一

58、单位反馈系统，其开环传递函数为试计算输入量为和时系统的稳态误差及其时间函数。试计算输入量为和时系统的稳态误差及其时间函数。1)(2sTsTTKsWmdmkk解解 该系统为该系统为0型系统，系统的误差传递函数为型系统，系统的误差传递函数为 2211)()(sTTsTKsTTsTsXsEdmmkdmmr展开成展开成s的升幂级数，得的升幂级数，得 222)1 (1)1 ()1 (11)()(sKTTKTTKsKTKKsXsEkdmkdmkkmkkr故动态误差系数为故动态误差系数为 当给定量为阶跃函数时当给定量为阶跃函数时 稳态误差为稳态误差为 )1 ()1 (,)1 (,132210mkdmkkmk

59、kkTKTTKKkTKKkKk1( )1( ),( )rrx ttXssksresssKkskskksXssWee111111lim)()(lim)(0221000稳态误差的时间函数为稳态误差的时间函数为 012111( )( )( )( )rrre tx tx tx tkkk因为因为 ，（不计时间等，（不计时间等于零时的脉冲值），故得于零时的脉冲值），故得 当给定量为单位斜坡函数时当给定量为单位斜坡函数时 稳态误差值为稳态误差值为 稳态误差的时间函数为稳态误差的时间函数为 ( )1( ),( )( )( )0rrrrx ttx tx tx tktKkte111)(lim0( ),( )1,(

60、 )( )0,rrrrx tt x tx tx tskkskeesvss2100111lim)(101)(kktte例例3-12 3-12 一单位反馈系统的开环传递函数为一单位反馈系统的开环传递函数为 试求输入量为试求输入量为 时，系统的稳态误时，系统的稳态误差时间函数和稳态误差。差时间函数和稳态误差。 解解 系统给定误差的传递函数为系统给定误差的传递函数为 用分子多项式除以分母多项式，可得用分子多项式除以分母多项式，可得s的升幂级数的升幂级数 )51 ()1 (10)(2ssssWK221021)(tgtggtxr3232510105)()(ssssssXsEr3252101)()(sssX