2019年考研数学一真题及答案解析

1、2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.x - arctan x(1)已知极限lim =c,其中c,k为常数，且c#0,则()x Q xk，一，1(A)k=2,c =2，c 1(B) k=2,c= 2，一 一 1(C)k=3,c =3一八 1(D) k =3,c = 3(2)曲面x2+cos(xy) + yz+x =0在点(0,1,-1)处的切平面方程为()(A) xy+z = 2(B) x +y +z =2(C) x2y+z = 3(D) x y z

2、 =0(3)设 f (x) = x -1 , bn21=2 1 f (x)sin nHxdx(n =1,2，)，令 Sx)QOb Sn n x 二n 1一 9,则 S()=(4(A)(B)(C)(D)22 一一 22_2_ 2_ _22_(4)设1i：x +y =1,l2 :x + y =2,3 : x+2y = 2,4 : 2x + y =劭四条逆时针的平面曲线，记IiliVxi 、+4)dx+(2x-)dy(i =1,2,3,4),则 MAX(h) = ()63(A) Ii(B) I2(C) I3(D) I3(5)设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若AB =C,则B可逆，则(A) (B) (C

3、) (D)矩阵 矩阵 矩阵 矩阵C的行向量组与矩阵 C的列向量组与矩阵 C的行向量组与矩阵 C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 A的列向量组等价 B的行向量组等价 B的列向量组等价1 a 1"0 0 '(6)矩阵aba与0 b 0相似的充分必要条件为U a U<0 0 °)= 0,b二2(A)a(B)= 0,b为任意常数(C)=2,b = 0(D)= 2,b为任意常数二、填空题：9_14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸,指定位置上.1(9)设函数 f(x)由万程 y_x=ex(J)确定，则 lim n(f()1)=.n n(10)已知yi =e3

4、x -xe2x, y =ex xe2x, y3 = xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为 y=.fx=sint合物、加d2y(11)设(t为参数)，则一L.y = t sint + costdx t4(12)二 ln x , 2 dx 二(1 x)(13 )设A =(aj)是三阶非零矩阵，| A |为A的行列式，Aj为a.的代数余子式，若 a。+Aj =0(i,j =1,2,3)，贝U A=(14)设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则 PY Wa + 1| Y ：a =三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答理纸,指定位置上.解答应写出

5、文字说明、证明过程或 演算步骤.(15)(本题满分10分)计算(；卢*,其中“刈=(旭0出(16)(本题满分10分)od设数列an满足条件：a。=3,a1 =1,an/n(n1)an =0(n之2), S(x)是哥级数 工anxn的和函数，n =0(I) 证明：S”(x)S(x) =0,(II) 求S(x)的表达式.(17)(本题满分10分)3求函数f (x, y) =(y +巧ex+的极值. 3(18)(本题满分10分)设奇函数f(x)在-1,1上具有2阶导数，且f(1) = 1,证明:(I) 存在(0,1),使得f'(今=1(II)存在 1,1),使得 f ''(n

6、)+ f'(刃=1(19)(本题满分10分)设直线L过A(1,0,0), B(0,1,1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面 工，工与平面z=0, z = 2所围成的立体为C,(II) 求曲面工的方程(III) 求G的形心坐标.(20)(本题满分11分)” a 10 1, 一,、-设人= B=，当a,b为何值时，存在矩阵 C使得AC-CA=B ,并求所有矩阵 C。<1 0/ J b；4a2<a3 /七、b2。1b3(21)(本题满分11分)22设一次型 f (x1，x2,x3 )=2(a1x1 +a2x2 +a3x3 ) +(b1x1 +b2x2 +b3x3 )，记久=(I)

7、证明二次型f对应的矢I阵为2aTa +PTP ；(ID若% P正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型 2y2 + y2。(22)(本题满分11分)22 x _1x 0 ： x ： 3 、一设随机变量的概率密度为f(x) = «4，令随机变量Y = «x 1 <x<2,0 其他J x>2(I)求Y的分布函数(II )求概率 PX MY(23)(本题满分11分)e x x，0 皿设总体X的概率密度为f(x)=x3e , x 0,其中日为未知参数且大于零，X1,X2J|XN为来自总体【0,其它.X的简单随机样本.(1)求e的矩估计量；(2)

8、求日的最大似然估计量2013年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案项符合题目要求一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一 的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.x - arctan x(1)已知极限I,mk=c,其中c,k为常数，且c#0,则()一，1(A) k=2,c =21(B) k=2,c= 2，一 一 1(C)k=3,c =31(D) k =3,c = 3【答案】D1 331 3x-arctanx一丁 o(x3x1斛析limk lim3- = lim -3- = c, k = 3,c =x Qxkx 0xkx # xk3(2)曲面x2+c

9、os(xy) + yz+x =0在点(0,1,-1)处的切平面方程为()(A) xy+z = 2(B) x +y +z =2(C) x-2y+z = -3(D) x -y z =0【答案】A【解析】设 F (x, y,z) = x2+cos(xy)+yz+x ,则 Fx(x, y,z) =2x -y sin(xy) +1= Fx(0,1, -1) =1 ；Fy(x, y,z) = -xsIn(xy) +z= Fy(0,1,-1) =-1 ；Fz(x, y,z) = y= Fz(0,1, -1) =1,所以该曲面在点(0,1,-1)处的切平面方程为 x-( y-1)+ (z+1) =0 ,化简得

10、x y +z = -2 ,选A(3)设 f (x)=0,1), bn =2 1 f (x)sin nnxdx(n =1,2,)，令 S( x) = £ bn sin 刖 x,则c 9S()=()4(A)(B)(C)34141(D)0 : x ： 1根据题意，将函数在-1,1上奇延拓f(x)2为周期的，则当xw (-1,1)且f(x)1-x 2-1 : x : 0，它的傅里叶级数为 S(x)它连续时，S( x>f ( x)因此9S(一一 ) 二 S412)S-4 一1)-S 4(1一)(4)设卜：x2 +222y = 1,l2 : x y= 2,3 : x_ 2_2y : 2,4

11、:2攵2y二第四条逆时针的平面曲线，记Ii =(y+X)dx+(2x-2)dy(i =1,2,3,4),则 MAX(I)= ( k 63 '(A) Ii(B) I2(C) I3(D) I4【答案】D 33【解析】Ii = (y )dx (2x -)dy(i -1,2,3,4) h2y2=. .(1 -x - J;-)dxdyDi2利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域Di,D4上函数为正值，则区域大,积分大，所以I4 >I1 ,在D4之外函数值为负，因此 I4 >I214 AI3,故选D。（5）设矩阵A,B,C均为n阶矩阵，若 AB=C,且C可逆，则（）

12、(A) (B) (C) (D)矩阵 矩阵 矩阵 矩阵C的行向量组与矩阵 C的列向量组与矩阵 C的行向量组与矩阵 C的行向量组与矩阵AABB的行向量组等价 的列向量组等价 的行向量组等价 的列向量组等价(A)=0, b =2(B)= 0,b为任意常数(C)=2,b = 0(D)= 2,b为任意常数(B)【解析】由于为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1a1、200aba与0b01abN00相似的充分必要条件为的特征值为2,b,0。又 7-E A I1-a-1-a-1=K（九b）（九一2） 2a2,从而a = 0,b为任意常数。【解析】由C=AB可知C的列向量组可以由 A的列向量组线性表示，又

13、 B可逆，故有 A = CBB)。A的列向量组也可以由 C的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（6）矩阵相似的充分必要条件为(B)P2 aR aR(O P3>Pi>P2(D) P3AB【答案】(A)【解析】由 Xi N (0,1 )X2 _ N (0,22 逐3N(5,32 9，r = P2 <X1 <2 = P|X1 <2)= 2<1>(2)-1 ,p2 =P-2 WX2 <2=PX2 <21 = 20(1 )-1 ,故 p1Ap2.由根据X3 u N (5,32 )及概率密度的对称性知，P1 A p2Ap3,故选(A

14、)(8)设随机变量 X t(n),YF(1,n),给定 a(0 <a<0.5),常数 c 满足 PX > c = a，则 PY a c2=()(A) 口(B) 1 -a(C) 2a(D) 1 -2a【答案】(C)【解析】由 X t(n),Y F(1,n)得，Y = X2 ,故 PY ac2 = P 仅 2 ac2 = P a < c必 >c = 2a二、填空题(914小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答理纸,指定位置上).(9)设函数 f (x)由方程 yx =ex(1_y)确定，则 lim n( f (1)-1) =.n-F： n【答案】11f(x)1【斛

15、析】lim n(f( )-1)=limf (0)n :n x 0 x由 y _ x = ex(1 -),当 x = 0 时，y = 1方程两边取对数ln(y -x) =x(1 -y) 1.两边同时对x求导，得 (y 1 )=(1 y) xyy - x将x=0, y=1代入上式，得f'(0)=1 _3x 2xx 2x2x(10)已知y1二e-xe,y?=e -xe ,y3 = xe是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该方程的通解为 y =.【答案】y "ge3' . C2ex -xe2x【解析】因y =e3x - xe2x, y2 = ex - xe2x是非齐次线

16、性线性微分方程的解，则 小y 对应的齐次线性微分方程的解，可知对应的齐次线性微分方程的通解为e3x-ex是它所,因此该方程的Vp= Ge3xC2ex、p 5_、r- 3xx2 x通解可与为y =C1eC2e - xex=sintd2y(11)设i(t为参数)，则一2【解析】 二sint tcost _sint =tcost,dxdtdt= cost ,dy t costdxcost=t ，喷i所以立_L,所以dt, 2 dx costd2y dx2t=4二2(12)1二 ln x 2 dx (1 x)2ln2二 ln x2(1 x)dx二-1 lnxd(ln x1 x1dx x(1 x)二dx

17、 二1 x(1 x) 1 x 1 x= ln xTn(1 x)-bo1, x二 In1 xJ = ln2y 二tsint costdx余子式，若(13 )设A:)是三阶非零矩阵，| A |为A的行列式，Aj为aj的代aij +Aj =0(i,j =1,2,3)，则|A=【答案】-1【解析】由a。- Aj =0可知，AT =一AA -ai1Ai1 *ai2A2 *ai3A3 =a1jA1j + a2jA2j +a3jA3j33-a2 - - ' aj < 0j 1i 1从而有 A = AT = A*| = A2,故 A =-1.(14)设随机变量X服从标准正态分布 XN(0,1)，

18、则E(Xe2X) =【答案】2e2【解析】由X|_ N（0,1）及随机变量函数的期望公式知, X2,1 匚.2 ,E Xe2X = : xe2xLe»dx=L ： xe" 一 dx = 2e2.-二 2二2二-二三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答理,纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.（15）（本题满分10分）计算 冷x,其中f（x）= jln（*【解析】xln(t 1)-()dt0 tdx =1 1 . 1ln(t 1)不一。xdxxdtdu=-4ln2 8 u - arctan u 0冗-4ln 2 8(1 -) - -4ln2 8-

19、2二1t ln(t 1) 1 u2 1-11=-4ln 2 82 du = -4ln 2 8 110 u2 101n(t 1)1ln(t 1).= .0dt.0xd 2 0ttdt 2oFt-d1t=Y 1 1n(t + 1)d V? = T /i 1n(t +1) 0 .10 dt1 t1 u=-41n 2 4 dt = Yln 2 4 2udu0t 10u2 1（16）（本题满分10分）8设数列an满足条件：a0 =3,a1 =1,anin(n1)an =0(n之2), S(x)是哥级数Z anxn的和函数,n=0(III) 证明：S”(x)S(x) =0,(IV) 求S(x)的表达式.Q

20、OoOoO【解析】(I)设 S(x)=E anxn , S'(x) =2 annxn” , S'(x) =£ ann(n-1)xn'， n z0n 1n =2QOcoco因为 an_2-n(n T)an =0 ,因此 S"(x)=£ ann(n1)xn_2 =E an_2xn-2 =S anxn = S(x); n =2n =2n =0(II)方程S"(x)S(x) =0的特征方程为K21=0,解得九=_1，%=1,所以S(x) =Ge"+qex,又 a0= S(0) =3=C1+ c2=3,a1=S'(0) =

21、1=c1c2=1 ,解得 c1 =2,c2 =-1,所以 S(x) =2e* -exo17 (本题满分10分)3 求函数f(x, y)=(y+x_)ex+的极值.3fx,=x2ex*+(y+I)ex%3= (x2+y+)ex y = 03fy' =ex y (y x)ex y3=(1+y+)exy = 042解得33A = fxx'' =(2x x2)ex y (x2 y )ex y = ( +2x2 2x+y)ex y 33B ' fxy''=ex y+(x2 y3-)ex y3=(+x2+y+1)ex y333x yX,x-yXxyC = f

22、yy =e (1 , y )e =(一+y , 2)e 33/111，一 4二 二 一 二2对于（1, ）点，A = 3e 3,B=e 3,C=e3,A=AC B2>0,A>0,3一 4、, 一，一 一一, 二，°，一1）为极小值点，极小值为 一e 3555对于（1,2） , A=e 3,B =e 3,C =e 3,A=ACB2 <0,不是极值. 3（18）（本题满分10分）设奇函数f（x）在-1,1上具有2阶导数，且f（1） = 1,证明：(III) 存在 (0,1),使得 f')=1(IV) 存在 1,1 ),使得 f''(")

23、+f')=1【解析】(1)令 F(x) = f (x)-x, F(0) = f(0) =0,F(1)= f (1)-1 =0,则 ms(o,i y吏彳导 f Y)=0,即f y)=i令 G(x) =ex(f '(x) 1),则 GK) =0,又由于f(x)为奇函数，故f'(x)为偶函数，可知G(-之)=0, 则杂 jYj)u(-1,1 漠 G'(与=0,即 e f '(n)+e"f p) =0,即 f '')十 f ')=1(19)(本题满分10分) 设直线L过A(1,0,0), B(0,1,1)两点，将L绕Z轴旋转一周

24、得到曲面 工也与平面z=0, z = 2所围成的立体为夏,(III) 求曲面工的方程x-1y-0z-0-1 一 1 一 1(IV) 求G的形心坐标【解析】(1) l过A,B两点，所以其直线方程为:所以其绕着z轴旋转一周的曲面方程为：2222 xy123x y =(1-z) z - -(z-)二=224(2)由形心坐标计算公式可得111 zdxdydz-Qhidxdydz2oo二 01z(1-z)z dz2二 0 M1-z) z dz7-,所以形心坐标为5(0,0,1)5(20)(本题满分11分)Ha)f0 1 ), 一，_设人= B= ，当a,b为何值时，存在矩阵 C使得AC-CA=B ,并求

25、所有矩阵 C。<1 0/d b;、 . . . ,x1 x2,.,【解析】由题意可知矩阵 C为2阶矩阵，故可设 C= 1 2 ,则由AC-CA= B可得线性方程组:_x +ax3 =0-ax1 +x2 +ax4 =1,1Dx 一 x3 - x4 = 1x2 -ax3 ; b-1101a0-1a-100、11b/01-11-10-a1、10b100、001-11-1-10001 、1 + a0b10090100_a00-100011 a1 ab -1 - a由于方程组(1)有解，故有1 +a=0,b1a = 0,即 a = 1,b = 0,从而有ri-1-1(0(00；x = k1k21X

26、2 - k1，其中降k2任意.X3 = k1X4 = k2从而有'k +k2 +1 k1 )k1(21)（本题满分11分）a1设二次型 f X1,X2,X3 =2 a1X12 2 一+ a2X2 +23X3 ) +(1X1 +b2Xz+b3X3 )，记口,P = b2 °<b3>（I）证明二次型f对应的矢I阵为2aTot +PTP ；（11）若g p正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型2y2 十 y2。【解析】（1）2f =(2百22_222_2b2)>2(2“ 号谆(242b b)(包a3bib3)X1X3(4 a2a32b2Ib3

27、X2 X32 a2 +b2则f的矩阵为2a1a2+b1b2自包+附3= 2：",T l-'l-' T2a1a2 hd2a2 b22a2a3 b2b32ala3 b1t32a2 a3 b2b32a2 b；二22a1a©2a2a2a3a2a32a3 )(2)令A=2c(£T 十郎T,则Aa =23% 十郎r =2a,aP =2。二邛十邮TP =P征值，又由于r(A) =r(2aaT+PPT) < r(aa T) + r(PP T) = 2，故0为A的特征值,征值为2,1,0,故f在正交变换下白标准形为2 yl2 +y2b2hdb1b3b1b2b2b3，则1,2均为则三阶矩阵血b2 b3 blA的特A的特(22)(本题满分11分)1 22 x ,1设随机变量的概率密度为f(x) = 1Zx0<X<3,令随机变量Y = 'x1 <x<2,J其他1x >2(I)求Y的分布函数(II)求概率 PX <Y【解析】(1) FY(y)=pYEy 由Y的概率分布知，当 y<1时，FY(y)=0；当 y>2 时，FY(y)