2017年江苏省高考数学试卷

1、2017年江苏省高考数学试卷一.填空题1. . （5分）已知集合A=1,2, B=a, a2+3.若AH B=1，则实数a的值为.2. （5分）已知复数z= （1+i） （1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是.3. （5分）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400, 300, 100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品 中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.4. （5分）如图是一个算法流程图：若输入 x的值为工，则输出y的值是 一5. （5分）若 tan （a 一三）.则 tan a =.466. （5分）如图，在圆柱OO内有

2、一个球Q该球与圆柱的上、下底面及母线均 相切，记圆柱oo的体积为 v 球。的体积为 v 则L的值是.7. （5分）记函数f （x）=#+叶定义域为D.在区间-4, 5上随机取一个 数x,则xCD的概率是.8. （5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线4-y2=1的右准线与它的两条渐 近线分别交于点P, Q其焦点是Fi, F2,则四边形FiPF2Q的面积是 .9. （5分）等比数列an的各项均为实数，其前n项为已知&红，G3,44a8=.10. （5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次， 一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则

3、x 的值是.11. （5分）已知函数f （x） =x3-2x+ex-三，其中e是自然对数的底数.若f ex（a-1） +f （2a2） <0,则实数a的取值范围是.12. (5分)如图，在同一个平面内，向量0区,OB, 0C的模分别为1, 1,帆,0A 与羽的夹角为a ,且tan a =7,而与玩的夹角为45° .若江=E+n而(m, n C R),则 m+n=.13. (5分)在平面直角坐标系xOy中，A ( - 12, 0), B (0, 6),点P在圆Q x2+y2=50上.若包羽020,则点P的横坐标的取值范围是 .14. (5分)设f (x)是定义在R上且周期为1的函

4、数，在区间0 , 1)上，f (x)二1 * ' “ED,其中集合 d=x|x=hL, nCN*,则方程 f (x) - lgx=0 的解的个(右翼的n数是.二.解答题15. (14分)如图，在三棱锥 A- BCD, AB1 AD BC±BD平面ABDL平面BCD 点E、F (E与A、D不重合)分别在棱 AD, BD上，且EF± AD.求证：(1) EF/平面ABC(2) ADL AC.16. (14分)已知向量 a= (cosx, sinx ), b= (3,一相)，x C 0 ,兀.(D若；ii E,求x的值；(2)记f (x) =a *b,求f (x)的最大值

5、和最小值以及对应的 x的值.2217. (14分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆E:三+J=1 (a>b>0) a b的左、右焦点分别为F1, F2,离心率为之，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F1作直线PF的垂线l 1,过点F2作直线PF2的垂线l 2.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线l1, I2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.18. (16分)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台形玻璃容器H 的高均为32cmi容器I的底面对角线 AC的长为10 -cm,容器II的两底面对角 线EG EG的长分别为14cm?口 62cm分别在

6、容器I和容器R中注入水，水深均为12cm现有一1g玻璃棒l ,其长度为40cm (容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不 计)(1)将l放在容器I中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC上，求l没 入水中部分的长度；(2)将l放在容器II中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求l没 入水中部分的长度.19. (16分)对于给定的正整数k,若数列an满足：an-k+ank+i+a-i+a+i+-+an+k .i+an+k=2ka对任意正整数n (n>k)总成立，则称数列an是“P (k)数列”.(1)证明：等差数列an是“P (3)数列”；(2)若数列an既是“P (2)数列”，又是“ P

7、 (3)数列”，证明：an是等差 数列.20. (16分)已知函数f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, bCR)有极值，且导函数f'(x)的极值点是f (x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b2> 3a；(3)若f (x), f' (x)这两个函数的所有极值之和不小于- 1,求a的取值范 2围.二.非选择题，附加题(21-24选做题)【选修4-1 :几何证明选讲】(本小题满 分0分)21. 如图，AB为半圆。的直径，直线PC切半圆。于点C, API PC, P为垂足.求证：(1)

8、/PACW CAB(2) AC=AP?AB选彳4-2 :矩阵与变换22.已知矩阵 A=。“，B=1 ” .Li oj Lo 2J(1)求 AB;22(2)若曲线C: 7+9=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线 G,求G的方程.选彳4-4 :坐标系与参数方程x=-8+t23 .在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为，t(t为参数)，r 2曲线C的参数方程为.7=2s(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到Ly=2V2s直线l的距离的最小值.选修4-5 :不等式选讲24 .已知 a, b, c, d 为实数，且 a2+b2=4, c2+d2=16,证明 ac+bd<8.【

9、必做题】25 .如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，AAL平面ABCD且AB=AD=2AA=& , /BAD120° .(1)求异面直线AiB与AC所成角的余弦值；(2)求二面角B-AiD- A的正弦值.26 .已知一个口袋有 m个白球，n个黑球(m, nCN, n>2),这些球除颜色外全 部相同.现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,， m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉(k=1, 2, 3,，m+n .123m+n(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；(2)随机变量x表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，

10、E (X)是X的数学期望，证明E (X) <nGiH-n) (n-1)2017年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1. (5 分)(2017?工苏)已知集合 A=1, 2, B=a, a2+3.若 AH B=1,则实 数a的值为 1 .【考点】1E：交集及其运算.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：.集合 A=1, 2, B=a, a2+3. AH B=1,a=1 或 a2+3=1,解得a=1.故答案为：1.2. （5分）（2017?工苏）已知复数z= （1+i） （1+2i）,其中i是虚数单位，则z的模是【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则

11、、模的计算公式即可得出.【解答】 解：复数 z=（1+i） （1+2i） =1 2+3i= T+3i ,故答案为：3. （5分）（2017?工苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200, 400, 300, 100件.为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取18件.【考点】B3:分层抽样方法.【分析】由题意先求出抽样比例即为 上，再由此比例计算出应从丙种型号的产100品中抽取的数目.【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000牛，而抽取60辆进行检验，抽样比例为一1000 100则应从丙种型号的

12、产品中抽取 300X二二18件,100故答案为：184. （5分）（2017?工苏）如图是一个算法流程图：若输入 x的值为工，则输出y的值是 -2【考点】EF:程序框图.【分析】直接模拟程序即得结论.【解答】解：初始值x=占，不满足x>1, 16所以 y=2+log24=2 1口g 24=-2, 16J故答案为：-2.5. （5 分）（2017?!苏）若 tan （a -工）.则 tan a =_工 465【考点】GR两角和与差的正切函数.【分析】直接根据两角差的正切公式计算即可7V tantl -tarrr-【解答】解：:tan （ a - A） =M=tan-l =_!4 1+twC

13、Lt什 tanQ+1 66tan a 6=tan a +1,解得tan a ,5故答案为：工.56. （5分）（2017?tt苏）如图,在圆柱 OQ内有一个球 Q 该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱OO的体积为Vi,球。的体积为V2,则q！的值是_|一【考点】L5:旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF:棱柱、棱锥、棱台的体积；LG 球的体积和表面积.【分析】设出球的半径，求出圆柱的体积以及球的体积即可得到结果.【解答】解：设球的半径为R,则球的体积为：之冗田,3圆柱的体积为：冗R2?2R=2冗R3.口2KR3 §贝 1 忌=F=TT -V2 4 n/ 2-3故答案为：7. （5分

14、）（2017?工苏）记函数f （x） =/6+x-J定义域为D在区间-4, 5上随机取一个数x,则xCD的概率是 互.9 【考点】CF:几何概型.【分析】求出函数的定义域，结合几何概型的概率公式进行计算即可.【解答】 解：由 6+x x2>0得 x2 x 600,得20x&3,则 D=-2, 3,则在区间-4, 5上随机取一个数x,则x CD的概率P="，1=1故答案为：928. （5分）（2017?工苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线工-y2=1的右准线3与它的两条渐近线分别交于点 P, Q,其焦点是Fi, F2,则四边形RPF2Q的面积是 2«_.【考点

15、】KC双曲线的简单性质.【分析】求出双曲线的准线方程和渐近线方程， 得到P, Q坐标，求出焦点坐标， 然后求解四边形的面积.【解答】解：双曲线3-y2=1的右准线：x=l,双曲线渐近线方程为：y#x, 所以 P （弓,苧），Q 弓，一亨），Fi （- 2, 0） . F2 （2, 0）.则四边形FiPFQ的面积是：X4X73=23-占故答案为：2点.9. （5分）（2017?工苏）等比数列an的各项均为实数，其前n项为S,已知&=工，S6=,则 a8= 32.44【考点】88:等比数列的通项公式.【分析】设等比数列an的公比为qwl, 4M，S岑，可得力 一Q 二,441-q4UY &

16、#39; 3,联立解出即可得出.1 -q 4【解答】解：设等比数列an的公比为qwl,&=!,业立国441-q41-q4解得 ai=y, q=2.则 a8二 .二=32.故答案为：32.10. (5分)(2017?工苏)某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买x吨，运 费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用 之和最小，则x的值是 30 .【考点】7F:基本不等式.【分析】由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和 ©x6+4x,利用基本 z不等式的性质即可得出.【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和 =x6+4x>4X2

17、xX收1=240 (万元).当且仅当x=30时取等号.故答案为：30.11. (5分)(2017?工苏)已知函数f (x) =x3-2x+ex-L,其中e是自然对数Xe的底数.若f (a-1) +f (2a2) <0,则实数a的取值范围是 -1, 1.【考点】6B：利用导数研究函数的单调性.【分析】求出f (x)的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得 f (x)在 R上递增；再由奇偶性的定义，可得f (x)为奇函数，原不等式即为2a2< 1 - a, 运用二次不等式的解法即可得到所求范围.【解答】解：函数f (x) =x3 - 2x+ex-的导数为： ef' (x) =

18、3x2- 2+ex+-> - 2+2 Lx -L=0, exV ex可得f (x)在R上递增；又 f ( - x) +f (x) =( - x) 3+2x+e x - ex+x3 - 2x+ex - -=0,eK可得f (x)为奇函数，贝U f (a - 1) +f (2a2) <0,即有 f (2a2) < - f (a- 1) =f (1 - a),即有 2a2<1 -a,解得-1<a<y,二故答案为：-1, 1.212. （5分）（2017?工苏）如图，在同一个平面内，向量 豕，而，友的模分别为1,1,也 赢与坛的夹角为a ,且tan a =7,而与前

19、的夹角为45° .若羽=而+nOB (nn, nCR),贝U m+n= 3 .【考点】9R平面向量数量积的运算.【分析】如图所示，建立直角坐标系.A （1, 0）.由逶与羽的夹角为a ,且tan a =7. 45 cos a =1f , sin a =. Cr, -). 45 cos( a +45 ) = . sin(a+45) a B(上，鱼).利用沃=m5S+n而(m nCR),即可得出. 555【解答】解：如图所示，建立直角坐标系.A (1, 0).由瓦与坛的夹角为a ,且tan a =7.cos a = ' sin!)55cos ( a +45 ) =2sin ( a

20、 +45 ) =2B(q,京).00(cos a sin a(sin a +cos a)=.5W5; OC=miA+nOB (m, .1=m- In,2=0H,55 ' 55 '解得胃贝 U m+n=3m=4故答案为:3.13. (5分)（2017?江苏）在平面直角坐标系 xOy中，A （-12, 0）, B （0, 6）,点P在圆O: x2+y2=50上.若五五20,则点P的横坐标的取值范围是5在【考点】9R平面向量数量积的运算；7B:次不等式（组）与平面区域.【分析】根据题意，设P(X0, V。)，由数量积的坐标计算公式化简变形可得 2xo+yo+5<0,分析可得其表

21、示表示直线2x+y+50。以及直线下方的区域，联立直线与圆 的方程可得交点的横坐标，结合图形分析可得答案.【解答】解：根据题意，设P(X。, y。),则有X02+yo2=50,"-22PA PB= ( 12 x。，一 丫。)？( xo,6 y。)= (12+x。)x。 y。(6 y。)=12xo+6y+x。+y。<20,化为：12x0-6y0+3O< 0,即2x。-丫。+50 0,表示直线2x+y+5< 0以及直线下方的区域，f 22_联立. '。+'口 5°,解可得 x0=-5 或 x0=1,2x0-yQ+5=O结合图形分析可得：点P的横

22、坐标x。的取值范围是-5正，1,故答案为：-5正，1.14. (5分)(2017?江苏)设f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f (x) =|J' 'ED,其中集合 D=x|x=, nCN*,则方程 f (x)-x卸nX.lgx=0的解的个数是 8 .【考点】54:根的存在性及根的个数判断.【分析】由已知中f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f (x) = * '其中集合 d=xx=hL, nC N,分析 f (x)的图象与 y=lgxk, xDn图象交点的个数，进而可得答案.【解答】解：二.在区间0 , 1)上，f (x)J

23、' kD ,I, X®第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数，又f (x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间1 , 2)上，f (x) / GT)' xD ,此时f (x)的图象与y=lgx有K-l, K®且只有一个交点;同理：区间2, 3)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间3, 4)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间4, 5)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间5, 6)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间6, 7)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间7, 8)上

24、，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；区间8, 9)上，f (x)的图象与y=lgx有且只有一个交点；在区间9, +00)上，f (x)的图象与y=lgx无交点；故f (x)的图象与y=lgx有8个交点； 即方程f (x) - lgx=0的解的个数是8, 故答案为：8二 . 解答题15. (14分)(2017?江苏)如图，在三棱锥 A- BCD, AB±AR BC±BR 平面 ABDL平面BCR点E、F (E与A、D不重合)分别在棱 AR BD上，且EF±AD 求证：(1) EF/平面ABC(2) ADL AC.【考点】LS:直线与平面平行的判定；LQ空

25、间中直线与直线之间的位置关系.【分析】(1)利用AB/ EF及线面平行判定定理可得结论；(2)通过取线段CD上点G,连结FG EG更彳导FG/ BC则EG/ AC利用线面垂 直的性质定理可知FG± AD结合线面垂直的判定定理可知 ADL平面EFG从而 可得结论【解答】证明：(1)因为AB1 AD EF±AD且A、B、E、F四点共面，所以 AB/ EF,又因为EF?平面ABC AB?平面ABC所以由线面平行乎U定定理可知：EF/平面ABC(2)在线段CD上取点G 连结FG EG®彳3FG/ BC则EG/ AC,因为BC! BD所以FG/ BC又因为平面ABDL平面B

26、CD所以FG，平面ABD所以FGL AD又因为 ADLEF,且 EFA FG=F所以AD±平面EFG所以AD-L EG故 ADL AC16. (14 分)(2017?江苏)已知向量= (cosx, sinx), b= (3,-巾,x 0 ,兀.(1)若W/E,求x的值;(2)记f (x)二用，求f (x)的最大值和最小值以及对应的x的化【考点】GL三角函数中的恒等变换应用；9R:平面向量数量积的运算.【分析】(1)根据向量的平行即可得到tanx=-近，问题得以解决，3(2)根据向量的数量积和两角和余弦公式和余弦函数的性质即可求出【解答】解：(1)a= (cosx, sinx ), b

27、= (3, J5), a / b,-V3cosx=3sinx , . tanx=-西， 3vx 0 ,兀,5元 x=,cosx -sinx ) =2m反cos (x+),266(2) f (x) =3 b=3cosx - «sinx=2 V3vx 0 ,兀,一 Kcos (x+671T当x=0时，f (x)有最大值，最大值3,当x=匚时，f (x)有最小值，最大值-2/3.62217. (14分)(2017?江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:三+J=1 a b(a>b>0)的左、右焦点分别为Fi, F2,离心率为9，两准线之间的距离为8.点 二P在椭圆E上，且

28、位于第一象限，过点Fi作直线PF的垂线li,过点F2作直线PF2 的垂线12.(1)求椭圆E的标准方程；(2)若直线11, 12的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.【考点】KL:直线与椭圆的位置关系.【分析】(1)由椭圆的离心率公式求得a=2c,由椭圆的准线方程x=±21i,则C2x"=8,即可求得a和c的值，则b2=a2- c2=3,即可求得椭圆方程；(2)设P点坐标，分别求得直线PE的斜率及直线PF的斜率，则即可求得12 及li的斜率及方程，联立求得 Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得yo2=xo2 - 1,联 立即可求得P点坐标；方法二：设P (m, n),当mr 1时，=

29、-, k口匚=-,求得直线11及11PF2PF1 11Hd，2 1的方程，联立求得Q点坐标，根据对称性可得 电二=± n2,联立椭圆方程，即可 n求得P点坐标.【解答】解：(1)由题意可知：椭圆的离心率 el,则a=2c,a 222椭圆的准线方程x=±-5-,由2Xr二8,CC由解得：a=2, c=1,则 b2=a2 - c2=3,22椭圆的标准方程： 手二1；(2)方法一：设P(xo, y。)，则直线PE的斜率kpFf x0-lk n 一1乂 n T贝U直线12的斜率k2二一一3,直线1 2的方程y= - -2 (x- 1),y。y 口直线PF1的斜率kppPL x0 +

30、 lXn+1Kn+1贝U直线12的斜率k1=-,直线1 1的方程y= (x+1), %工0-1d)(s+i)由P,Xn-1 ,则 Q ( Xo , y=FqQ在椭圆上，P,Q的横坐标互为相反数，纵坐标应相等，则2.1x0 1yo=,2:.yo =xo1,22 -跖二H一1又P在第一象限，所以P也正）.772 16而2 9 ,则'lyo-P的坐标为：当廿1时，kp限含，kpF由 l i，PFi, 12±PR,则 k】1二3，i m+lirrbl ,_ in-1-，k1一n 12 n直线11的方程y=-返（x+1）,直线12的方程ny= n(x 1),方法二：设P （m, n）,

31、由P在第一象限，则m>0, n>0, 当m=1时，加匚不存在，解得：Q与R重合，不满足题意,2联立解得：x=-m 则 Q （ - mi, -）,n2 i由Q在椭圆方程，由对称性可得： 二L=±n2,n即 m2 - n2=1, 或 m2+n2=1,由P （m, n）,在椭圆方程，r 2 加-l=n22in n+=:I 4 3,解得：，-1El2 16或'l-m2=n2M 1，无T+T=1解, 又P在第一象BM,所以P的坐标为：P学7，18. （16分）（2017?江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱台 形玻璃容器II的高均为32cm容器I的底面对角线

32、AC的长为10 cm,容器H的两底面对角线EG EiG的长分别为14cm和62cm分别在容器I和容器II中注 入水，水深均为12cm现有一1g玻璃棒l ,其长度为40cm (容器厚度、玻璃棒 粗细均忽略不计)(1)将l放在容器I中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC上，求l没 入水中部分的长度；(2)将l放在容器II中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG上，求l没 入水中部分的长度.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积.【分析】(1)设玻璃棒在CC上的点为M玻璃棒与水面的交点为 N,过N作NP / MC 交 AC于点 P,推导出 CC，平面 ABCD CC，AC, NPL AC 求出

33、MC=30cm 推导出 ANSAAMC由此能出玻璃棒l没入水中部分的长度.(2)设玻璃棒在GG上的点为M玻璃棒与水面的交点为 N,过点N作NPL EG 交EG于点P,过点E作EQL EG,交EG于点Q推导出EEGG为等腰梯形，求 出E1Q=24cm EE=40cm由正弦定理求出sin /GEM=,由此能求出玻璃棒l没 入水中部分的长度.【解答】解：(1)设玻璃棒在CC上的点为M玻璃棒与水面的交点为N,在平面ACMfr,过N作NP/ MC交AC于点P,.ABCD ABCD为正四棱柱，. CCL平面ABCD又 : AC?平面 ABCD CC,ACNPLAC, NP=12cm 且 AM=AC+MC,

34、解得 MC=30cm. NP/ MC .AN即AAMC细善、幽WM MC 4C 30得 AN=16cm玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm(2)设玻璃棒在GG上的点为M玻璃棒与水面的交点为 N, 在平面EEGGfr,过点N作NP! EG交EG于点P,过点E作EQLEiG,交EiG于点Q,EFGH EiFiGH 为正四棱台，EE=GG, EG/ EiG ,EG EiG ,.EEGG为等腰梯形，画出平面 EiEGG勺平面图,v EiG=62cm EG=14cm EQ=32cm NP=12cmEiQ=24cnp由勾股定理得：EiE=40cmsin Z EEG - , sin / EGM=si叱 EE

35、G=, cos/EGM二55根据正弦定理得:EGsin/EGM sinZENG，；sin h|：-3 飞>725,94，cosNEMG二话,sin / GEM=sin (/ EGM+ EMG =sin / EGMcos EMG+coM EGMsinZ EMG=, . EN= =20cmsin/GEM 1玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm19. (16分)(20177tt苏)对于给定的正整数k,若数列an满足：ank+a k+i+a .i+an+i+a+k. i+a+k=2kan对任意正整数n (n>k)总成立，则称数列an是“P (k)数列”.(D证明：等差数列an是“P (3)

36、数列”；(2)若数列an既是“P (2)数列”，又是“ P (3)数列”，证明：an是等差数列.【考点】8B:数列的应用.【分析】3+a+3)+(1)由题意可知根据等差数列的性质，an-3+an-2+an-i+an+i+an+2+an+3= (dn- (an-2+an+2)+ (*+&+1) 2 x 3a,根据 “P (k)数列”的定义，可得数列an是数(3)数列”；(2)由 “P ( k)数列”的定义，则 an - 2+an -1 +an+i+an+2=4an , an-3+a-2+an-i+an+i + an+2+an+3=6an,变形整理即可求得 2an = an-i+an+1

37、,即可证明数列an 是等差 列.【解答】解：(1)证明：设等差数列an首项为ai,公差为d,则an=ai+ (n- 1) d,贝an - 3+9n - 2+a - i+an+i + an+2+9n+3) =(an-3+an+3)+ ( Hn - 2+3n+2)+ (an-i+Hn+i), =2an+2an+2an, =2 义 3an,.等差数列an是“P (3)数列”；(2)证明：由数列an是 “P (2)数列"an-2+an- l+an+l+8n+2=4an,数列an是 数(3)数列" n n-3+an-2+an-l+an+l+an+2+an+3=6an,由可知：an-3

38、+an-2+an+an+1=4an-1 ,an l+an+an+2+an+F4an+l,由-( +)：-2an=6an - 4an 1 - 4an+i,整理得：2an=a - i+On+i, .数列an是等差数列.20. (16分)(2017?tt苏)已知函数 f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, b RR 有极值， 且导函数f' (x)的极值点是f (x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的 自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b2> 3a；(3)若f(x),f (x)这两个函数的所有极值之和不小于一全求a的取值范 围.【考点

39、】6D:利用导数研究函数的极值.【分析】(1)通过对 f (x) =x3+ax2+bx+1 求导可知 g (x) =f' (x) =3x2+2ax+b,进而再求导可知g' (x) =6x+2a,通过令g' (x) =0进而可知f' (x)的极小2_值点为x=-且，从而f (-口)=0,整理可知bW+反(a>0),结合f (x)339 a=x3+ax2+bx+1 (a>0, b RR有极值可知f' (x) =0有两个不等的实根，进而可 知 a>3.(2)通过(1)构造函数 h (a) =b2-3a=4： 一旦+_=_L- (4a327)

40、(a3 813 转 81a227),结合a>3可知h (a) >0,从而可得结论；2(3)通过(1)可知f ' (x)的极小值为f '(-/)=b-彳，利用韦达定理3及完全平方关系可知y=f (x)的两个极值之和为釜-粤+2,进而问题转化为232解不等式b-小心-胖+2卫-丹-，因式分解即得结论.o z 3 a y 2【解答】(1)解：因为f (x) =x3+ax2+bx+1,所以 g (x) =f' (x) =3x2+2ax+b, g' (x) =6x+2a,令 g' (x) =0,解得 x=. 3由于当x> -2时g' (x

41、) > 0, g (x) =f' (x)单调递增；当x< -且时g' 33(x) <0, g (x) =f' (x)单调递减；所以f' (x)的极小值点为x= -l, 3由于导函数f' (x)的极值点是原函数f (x)的零点，33所以 f (-为=0,即-二+2_-至+1=0, 327 932所以 b=2a + (a>0). 9 a因为 f (x) =x3+ax2+bx+1 (a>0, bC & 有极值，所以f' ( x) =3x2+2ax+b=0有两个不等的实根，所以4a212b>0,即a2 卫一+旦

42、>0解得a>3, JJJ5 a所以 b=J+旦(a>3).9 a(2)证明：由(1)可知 h (a) =b2- 3a=i- -+ 9 = 1(4a3-27) (a3-813 / 81a227),由于 a>3,所以 h (a) >0,即 b2>3a；2(3)解：由(1)可知f ' (x)的极小值为f ' (-“ =b-3 J设x1，x2是y=f (x)的两个极值点，则x1+x2=包, xix2, 33所以 f (xi) +f (x2)=xJ+qJ+a (叼2+92)+b (xi+x2)+222=(xi+x2) (xi+x2) - 3xix2+a

43、 (xi+x2) 2x1x2】+b (xi+x2)+23=-+2, 273又因为f (x), f' (x)这两个函数的所有极值之和不小于- 12abe 3/、 7所以 b 一二 十 二二+2=- > -, 3273 a 92 '因为 a>3,所以 2a3 63a 54<0,所以 2a (a2-36) +9 (a-6) < 0,所以（a 6） （2a2+12a+9） < 0,由于 a>3 时 2a2+12a+9>0,所以a-6<0,解得a<6,所以a的取值范围是（3, 6.二.非选择题，附加题（21-24选做题）【选修4-1

44、:几何证明选讲】（本小题满分0分）21. （2017?江苏）如图，AB为半圆。的直径，直线PC切半圆。于点C, API PCP为垂足.求证：（1） /PACW CAB（2） AC=AP?AB【考点】NC与圆有关的比例线段.【分析】（1）利用弦切角定理可得：/ ACPW ABC利用圆的性质可得/ACB=90 .再利用三角形内角和定理即可证明.（2）由（1）可得：zAPSAACtB即可证明.【解答】证明：（1） .直线PC切半圆。于点C, /ACPW ABC.AB为半圆。的直径，ACB=90 .,. API PC, ./APC=90 .丁. / PAC=90 - / ACP / CAB=90 -

45、/ ABC丁 / PACW CAB（2）由（1）可得：AAPSAACB, AB AC. aC=ap?ab选彳4-2 :矩阵与变换22. （2017?T苏）已知矩阵 A=。, B= 1。.Li oj Lo 2J（1）求 AB;22（2）若曲线C: 7+9=1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线 G,求G的方程.【考点】OE矩阵与矩阵的乘法的意义.【分析】（1）按矩阵乘法规律计算；（2）求出变换前后的坐标变换规律，代入曲线 G的方程化简即可.【解答】解：（1） AB=° M °j=P咋U oA o 2H1 oJ（2）设点P （x, y）为曲线C的任意一点，点P在矩阵AB的变换

46、下得到点P' （xo, yo）,则 j；="，即 xo=2y, yo=x,x=yo, y=曲线G的方程为x2+y2=8.选彳4-4 :坐标系与参数方程x=-8+t23. （2017?工苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为* tf 2（t为参数）,曲线C的参数方程为卡2s但为参数）.设p为曲线C上的动y=2V2s点，求点P到直线l的距离的最小值.【考点】QH参数方程化成普通方程.【分析】求出直线l的直角坐标方程，代入距离公式化简得出距离 d关于参数s 的函数，从而得出最短距离.【解答】解：直线l的直角坐标方程为x - 2y+8=0,P到直线l的距离d=|2s2-

47、4V2s+8| （V2s-2）2+4二当s=«时，d取得最小值选修4-5 :不等式选讲24. （2017?!苏）已知 a, b, c, d 为实数，且 a2+b2=4, c2+d2=16,证明 ac+bd<8.【考点】7F:基本不等式；R6:不等式的证明.【分析】a2+b2=4, c2+d2=16,令 a=2cosa , b=2sin a , c=4cos 0 , d=4sin 0 .代 入ac+bd化简，利用三角函数的单调性即可证明.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2),即可得出.【解答】证明：: a2+b2=4, c2+d2=1

48、6,令 a=2cos a , b=2sin a , c=4cos 0 , d=4sin 0 .ac+bd=8 (cos a cos 0 +sin a sin 0 ) =8cos (a - p ) <8.当且仅当 cos ( a-B ) =1时取等号.因此 ac+bd<8.另解：由柯西不等式可得：(ac+bd) 2< (a2+b2) (c2+d2) =4X 16=64,当且仅当之上 c d时取等号.- 8<ac+bd< 8.【必做题】25. (2017?tt苏)如图，在平行六面体 ABCD ABCD中，AAL平面ABCD且 AB=AD=2 AA/BAD=120 .(1)求异面直线AB与AC所成角的余弦值；(2)求二面角B-AiD- A的正弦值.【考点】MT二面角的平面角及求法；LM异面直线及其所成的角.【分析】在平面 ABC呐，过A作Ax, AD由AAL平面 ABCD可得AA，Ax, AA LAD以A为坐标原点，分别以Ax、AD AA所在直线为x、y、z轴建立空