倒立摆PID控制及MATLAB仿真

1、倒立摆系统是一个典型的快速、多变量、非线性、不稳定系统，对倒立摆的控制研先无论在理论上和方法上都有深远的意义。本论文以实验室原有的直线一级倒立摆实验装置为平台，重点研究其PID控制方法，设计出相应的PID控制器，并将控制过程在MATLAB上加以仿真。本文主要研究内容是：首先概述自动控制的发展和倒立摆系统研究的现状；介4倒立摆系统硬件组成，对单级倒立摆模型进行建模，并分析其稳定性;研究倒立摆系统的几种控制策略，分别设计了相应的控制器,以MATLAB为基础，做了大量的仿真研究，比较了各种控制方法的效果：借助固高科技MATLAB实时控制软件实验平台；利用设计的控制方法对单级倒立摆系统进行实时控制，通

2、过在线调整参数和突加干扰等,吗4N47,4aQ上研究其实时性和抗干扰等性能；对本论文进行总结，对下一步研究作一些展望。关键词：一级倒立摆,PID,MATLAB仿真, 1.x.2.0.w. %. * 5 / 4«,«>0 '' «>< 一, J. . .* * ： . ,J/： * 、.* . % * * ： . < , 第1章自动控制概述1.1 自动控制概念1.1.1 开环控制.1.1.2 闭环控制.1.2 自动控制系统的分类,1.2.1 恒值系统、随动系统和程序控制系统*,L22随机系统与自动调整系统.*1.2.3 线性系

3、统和非线性系统":.;1.2.4 连续系统与离散系统薮125单输入单输出系统和多输入多输出系统如1.2.6集中参数系统和分布参数系统°、13对控制系统的性能要求.：，"71.4典型环节1.4.1比例环节./.I故极陋节一1.43微分环节.1.4.4惯性环节u。1.4.5时滞环节.4455.5.6f6第2章MATLAB仿真软件的应用2.1MATLAB的基本介绍.2.2 MATLAB的仿真.2.3 控制系统的动态仿真.2.4 小结”.-99,elO.12第3章直线一级倒立摆系统及其数学模型、*133.1 系统组成.3.1.1 立摆的组成3.1.2 电控箱心3.1.3

4、其它部件图.13.1414.1415.,<15-16-17心1820；，,喻21.23 ： ，:c“ 34.,.25 . ,.26 .27 ”.,27 ”27 .”.28 / .29 .31 w , .,31 .，,32 三审“34,34.363.1.4倒立摆特性32模型的建立.3.2.1微分方程的推导.2、322传递函数3.23状态空间结构方程:.一,324实际系型力)“:内3.2.5采用MATLAB语句形式进行仿真沁”?:。:第4章PID控制理论.,.2.：«.*.a.：2«.力4.2 PID的控制规律4.3 数字PID控制.4.3.1 位置式PID控制算法.&#

5、187;.432增量式PID控制算法.;4.4 常用的PID控制系统4.4.1 串级PID控制.442纯滞后系统的大林控制算法.4.4.3 纯滞后系统的Smitli控制算法.4.4.4 PID控制原理的特点.,445PID参数的调整.,，4.4.6 PID控制回路的运行.，.第5章直线一级倒立摆的PID控制器设计与调节.,"-77?O.V.:5.1PID控制器的设计.52PID控制器设计MATLAB仿真“_41错误味定义书签。k、V*参考文献43湖南工蚁学本科生毕业设计第1章自动控制概述1.1自动控制概念在现代科学技术的许多领域中，自动控制技术得到了广泛的应用，自动控制技术J.最显著

6、的特征就是通过对各类机器，各种物理参量、工业生产过程等的控制直接造福,?所谓自动控制，就是指在无人直接参与的情况下，利用控制装置操纵受控对象，使受控对象的被控量等于给定值或按给定信号变化规律去变化Q:/为达到某一目的,由相互制约的各个部分,按一定的规律组织成的，具有一定功能的整体，称为系统，它一般由控制装置（拴制器）和被控对象所组成。自动控制有两种最基本的形式，即开环控制和闭环控制汽1.1.1开环控制控制装置与受控对象之间只有顺向作用而无反向联系时，称为开环控制，其特点是,系统结构和控制过程均很简单g开环控制的示意框图如图1.1所示输入量，控制器F控制量I输出量.图1.1开环控制系统开环控制是

7、一种简单的无反馈控制方式，在开环控制系统中只存在控制器对被控量对象的单方向控制作用，不存在被控制量（输出量）对被控量的反向作用，系统的精,*，/度取决于组成系统的元器件的精度和特性调整的精确度.开环系统对外扰及内部参量;/°/,变化的影响缺乏抑制能力，但开环系统内构简单，比较容易设计和调整，可用于输出,v量与输入量关系为己知，内外扰动对系统影响不大，并且控制精度要求不高的场合01 ',*,在开环控制系统中，对于每一个输入参考量，就有一个与之相对应的工作状态和2 /输出量，系统的精度取决于元、器件的精度和特性调整的精度，当系统的内扰和外扰*影响不大并且控制精度要求不高时，可采用

8、开环控制方式.t，1.1.2闭环控制控制装置与受控对象之间，不但有顺向作用，而且还有反向联系，即有被控量对控制过程的影响.闭环控制的特点是：在控制器和被控对象之间，不仅存在着正向作用,而且存在反馈作用，即系统的输出量对控制量有直接影响，将检测出来的输出量送回到系统的/e/输入端，并与信号比较的过程称为反馈，若反馈信号与输入信号相减，则称负反馈。、1 .义反之,若相加，则称正反馈，输入信号与反馈信号之差称为偏差信号,偏差信号作用，：.于控制器上，控制器对偏差信号进行某种运算，产生一个控制作用，使系统的输出量2 .趋向于给定数值，闭环的实质就是利用负反馈的作用来减小系统的误差，因此闭环控1 v：一

9、«5制又称为反馈控制,其示意图如图1.2所示:。2 .%：.图1.2闭环控制系统反馈控制是一种基本的控制规律，它具有自动修正被控量偏离给定值的作用，使亲镒因而可谢愉炳扰和外扰所引起的误急.达到自制接制的目的：闭环控制是一种反馈控制，在控制过程中对被控量（输出量）不断测量，并将其反债到输入端与给定值（参考输入量）比较'利用放大后的偏差信号产生控制作用。因此,r丁,wp有可能部分采用相对来说精度不高,成本较底的元器件组成控制精度较高的闭环控制系统，闭环控制系统精度在很大程度上由形成反馈的测量元器件的精度决定。在此，闭环系统具有开环系统无可比拟的优点，故应用极广，但与此同时，反馈的

10、引入使本来稳定运行的开环系统可能出现强烈的振荡，甚至不稳定，这是采用反馈控制构成的闭环控制时需要注意解决的问题。1.2自动控制系统的分类根据不同的分类方怯，自动控制系统的类型可概括如下:*/1.2.1 恒值系统、随动系统和程序控制系统若系统的给定值是一定值，而控制任务就是克服扰动，使被控量保持恒值。此类系统称为恒值系统。5着系统给定值按照事先不知道的时间函数变化，并要求被控量跟随给定值变化. /，/.e则此类系统称为随动系统，者系统的给定值按照一定的时间函数变化,并要求被控量随之变化，则此类系统 %,飞称为程序控制系统1.2.2 随机系统与自动调整系统随机系统又称伺服系统或跟踪系统。其特点是在

11、输入量总是在频繁地或缓慢地变化,要求系统的输出量能够以一定的准确度跟随输入量而变化。自动调整系统又称恒值调节系统（或调节器系统）其特点是输入保持为常量，或整定后相对保持常量，而系统的任务是尽量排除扰动的影响，以一定准确度将输出量保持在希望的数值上。1.2.3 线性系统和非线性系统组成系统的元、器件的特性均为线性（或基本线性）能够用线性常微分方程描述其输入与输出的关系称为线性系统，主要特点是具有齐次性和叠加性,系统时间响应的特征与初博瞬乐关。在组成系统的元、器件中只要有一个元、器件的特性不能用线性方程描述，即为Pe*/非线性系统，描述非线性系统的常微分方程中，输出量及各阶导数不完全是一次的，.。

12、或者有的输出量导数项的系数是输入量的函数，系统的时间响应特性与被初始状态有极灿物k1.2.4连续系统与离散系统°8*连续系统各部分的输入和输出信号都是连续函数的模拟量。离散系统是指某一处或者数处的信号以脉冲或数码的形式传递的系统。、一般说来，同样是反馈控制系统，但数字控制精度（尤其是控制的稳态准确度）高于离散控制。因为数码形式的控制信号远比模拟控制信号的抗干扰能力强。:/:描述连续控制系统用微分方程，而描述离散控制系统则用差分方程1.2.5 单输入单输出系统和多输入多输出系统单输入单输出系统亦称单变量系统，其输入量和输出量各为一个,系统结构较为湖南工蚊学本科.生毕业设计简单。多输入多

13、输出系统亦称为多变系统，其输入量和输出量为多个，系统结构较为复杂岂回路也多,一个输入量对数个输出量都有控制作用。TU.?4.1.2.6 集中参数系统和分布参数系统能用常微分方程描述的系统称为集中参数系统，系统中的参量或是定常的或是时间的函缴【，可以用时间作为变量的的常微分方程描述其运动规律°不能用常微分方程,而需用偏微分方程描述的系统描述的系统称为分布参数系统,系统的输出将不再单纯是时间变量的函数，而且还是系统内部状态变量的函数，所需偏微分方程描述系统。1.3对控制系统的性能要求在控制过程中，一个理想的控制系统，始终应使其被控量（输出）等于给定值输I,、入）.但是由于机械部分质量、惯

14、量的存在，电路中存储元件的存在以及能源功率的限/.,°制,;使得运动部件的加速度受到限制，其速度和位置难以瞬时变化。所以当给定值变化时，被控量不可能立即等于给定值，而需要一个过度过程，即动态过程,所谓动态过程就是指系统受到外加信号（给定值或扰动）作用后,被控量随时间变化的全过程。rrrr3r9因此对系统性能的基本要求有三个方面。稳定性：稳定性是这样来表述的：系统受到外作用后，其动态过程的振荡倾向和系统恢复恢复平衡的能力。如果系统受外力作用后，经过一段时间，其被控量可以达到某一稳定状态，则称系统是稳定的,否则称为不稳定系统。快速性：快速性是通过动态过程时间长短来表征的，过渡过程时间越短

15、，表明快速性越好，反之亦然。快速性表明了系统输出对输入响应的快慢程度。系统响应越快,门、门rp说明系统的输出复现输入相号的能力越强。准确性：准确性是由输入给定值与输出响应的始终值之间的差值来表征的。:它反映了系统的稳态精度。着系统的最终误差为零，则称为无差系统，否则称为有差系统。稳定性、快速性和准确性往往是互相制约的。在设计与调试过程中，着过分强调系统的稳定性，则可能会造成系统响应迟缓和控制精度较低的后果：反之，若过分强调系统响应的快速性，则又会使系统的振荡加剧，甚至引起不稳定。在分析和设计自动控制系统时,应该尽量使其对三方面的性能有所侧重，井兼顾其他，以全面满足要求因叫1.4典型环节一个物理

16、系统是由许多元件组合而成的，虽然各种元件的具体结构和作用原理是多种多样的，但若抛开具体结构和物理特点，研究其运动规律和数学模型的共性,，.*.就可以划分为数不够的几种典型环节（典型环节只代表一种特定的运动规律，不一定*tT.是一种具体的元件）。1.4.1比例环节比例环节的微分方程为(L1).式中,K为放大倍数。比例环节的传递函数为(L2)G(s)=%=KR(s)C(s)RU>图L3：比例环节方框图比例环节的特点是，其输出不失真，不延迟，成比例地复现输入信号的变化，即信号的传递没有惯性.1.4.2积分环节积分环节的微分方程为:其中T为积分时间常数，八 J。T 怨U(f)C1.3)积分环节的

17、传递函数为:G0.黑一*坪）Ts其中积分环节的方框图如图14所示-ZIC(s).1/Ts1图L4积分环节方框图湖南工业大学本科里毕业设计积分环节的特点是，输出量与输入量对时间的积分成正比.若输入突变，输出值、要等时间T之后才等于输入值,故有滞后作用。输出积累一段时间后,即使使输入为零,*“、><,%/«输出也将保持原值不变，即具有记忆功能。只有当输入反向时，输出才反向积分而下»/*/-降。常利用积分环节来改善系统的稳态性能。>5.3，*.*1.4.3微分环节(1.5)(1.6)理想的微分环节的微分方程为其巾坳微分时间律耙对微分方程取拉氏变换后，可求得传递函

18、数G®嘿=理想的微分环节的方框图如图1.5所示图1.5微分环节方框图 . .若输入为单位阶跃信号，即MbM),则输出的单位阶跃响应为C(f)=祝f)1.7)这是一个面积为T的腺冲,脉冲宽为零，幅值为无穷大，理想微分环节的输入和.:.输出如图L6所示立,4犷,1图L6理想微分环节的单微阶跃响应/eooe个了.微分环节的特点是，其输出与输入信号对时间的微分成正比，即输出反映了输入/V信号的变化率?而不反映输入量本身的大小口因此,可由微分环节的输出来反映输入信号的变化趋势，加速系统控制作用的实现。常利用微分环节来改善系统的动态性能。1.4.4惯性环节惯性环节的微分方程为湖南工蚊学本科为毕业

19、设计(1.8)丁幽+c(f)=Krdt式中T为时间常数，K为比例系数。惯性环节的传递函数为£1.9)8上式称为惯性环节的标准式。当K(S)=l时，-sTs+ls在单位阶跃信号作用下的相应为(1.10)c(f)=K(l-eT)/图1.7为K=1时，惯性环节的方框图。R(S)图1.7惯性环节方框图惯性环节的特点是，其输出量不能瞬时完成与输出量完全一致的变化。1,4.5时滞环节时滞环节也称延迟环节，其数学表达式为,:%丁(1.11) C(t)r)4(r-r)式中。为延迟时间。由此,可得传递函数-B时滞环节的方框图如图L8。门*R(8)图L8时滞环节方框图时滞环节的特点是，其输出波形与输入波

20、形相同，但延迟了时间°时滞环节的存在对系统得稳定性不利。系统的典型环节是按数学模型的共性去建立的，与系统中采用的元件不是一一对;".应的湖南工业大学本科里毕业设计分析或设计系统必先建立系统或被控对象的数学模型，将其与典型环节的数学模.：.丁3.丁二型对比后，即可知其由什么样的典型环节组成。;典型环节的概念只适用于能够用线性定常数学模型描述的系统，而且类型环节数门,FQ，,I*和、'14学模型是在1系列理想条件限制下建立的咒:湖南工业大学本科生毕业设计。 第2章MATLAB仿真软件的应用%2.1MATLAB的基本介绍MTALAB系统由五个主要部分组成，下面分别加以介绍

21、,1，MATALB语言体系：MATLAB是高层次的矩阵/数组语番具有条件控制、函数调用、数据结构、输入输出、面向对象等程序语言特性。利用它既可以进行小规模编程，完成算法设计和算法实验的基本任务,也可以进行大规模编程，开发复杂的应用程序oMATLAB工作环境：这是对MATLAB提供给用户使用的管理功能的总称.包括管理工作空间中的变量据输入输出的方式和方法,以及开发、调试、管理M文件的各种工具交图形句相系统：这是MATLAB图形系统的基础，包括完成2D和3D数据图示、图像处理、动画生成、图形显示等功能的高层MATLAB命令，也包括用户对图形图像等对象进行特性控制的低层MATLAB命令，以及开发GU

22、I应用程序的各种工具。MATLAB数学函数库：这是对MATLAB使用的各种数学算法的总称,包括各种初等函数的算法，也包括矩阵运算、矩阵分析等高层次数学算法。(5)MATLAB应用程序接口(API)：这是MATLAB为用户提供的一个函数照使得用户能够在MATLAB环境中使用c程序或FORTRAN程序，包括从MATLAB中调用于程序(动态链接)，读写MAT文件的功能。可以看出MATLAB是一个功能十分强大的系统，是集数值计算、图形管理、程序开发为一体的环境.除此之外,MA丁LAB还具有根强的功能扩展能力，与它的主系统一起，可以配备各种各样的工具箱,以完成一些特定的任务0MATLAB有几种在不同电脑

23、作业系统的版本，例如在视窗3.1上的MATLABforWindow*SIMULINK,在麦金塔上的MATLABforMacintch,：另外还有在Unix上的各种工作站版本©基本上这些版本主要是提供方便的操作环境，采用图形介面，2.2MATLAB的仿真工具SIMULINKMATLAB的SIMULINK子库是一个建模、.分析各种物理和数学系统的软件。由于在WINDOWS界面下工作,所以对控制系统的方块图编辑、绘制很方便.MATLAB命令窗口启动SIMULINK程序后，出现的界面如下。分别为信号源、输出，离散系统库、线性系统库，非线性系统库,系统连接及扩湖南工业大学本科生毕业设计 展系统

24、。下面分别介绍:信号源程序提供了八种信号源，分别为阶跃信号、正弦波信号、白噪声、时钟、常值信号、>».文件、信号发生器等可直接使用。而信号发生器(singalgein)可产生正弦波、方波、锯齿波、随机信号等。下信号输出程序提供了三种输出方式，可将仿真结果通过三种方式之一如仿真窗口、文件等形9式输出0离散系统”程序提供了五种标准模式,延迟、零-极点、滤波器、传递函数、状态空间等°井，、/"且每种标准模式都可方便地改变参数以符合被仿真系统。"零-极点、(4)线性系统程序提供了七种标准模式，加法器,比例、积分器，微分，传递函教P°PL，一

25、9;bL、rVVr状态空间等。同离散系统一样,每种标准模式都可方便地改变参数以符合被仿真系统。v一rLbLP.15)非线性系统I、回环特性、死非线性系统库提供了十三种常用标准模式，如绝对值.乘法、函数区特性、斜率、继电器特性、饱和特性、开关特性等.系合螺：系统连接库提供了四种模式，输入、输出、多路转换等。(7)系统扩展考虑到各种复杂系统的要求，另外提供了十二种类型的扩展系统库,每一种又有不同的选择模式。2.3控制系统的动态仿真由于SIMULINK提供了丰富的数学模型i且兼容于WINDOWS,所以用附NDOWS提供的简单命令即形成各种复杂的系统模型。下面分别介绍。下丁”P:某一位置随动系统的方块

26、图如下所示图21传递函数图11湖南工业大学本科用毕业设计 根据SIMULINK提供的方框图，转换为符合仿真要求的图形:,”不 . <Jraph Src图22传递函数九块图输入仿真时间、仿真步长,选择数值计算方法即得到系统的阶跃响应。图2,3 K=4系统阶跃响应图2月校正系统阶跃响应:13 -如果系统的动态响应特性不好，可以调出扩展库中的各种调节器，以改善系统的动态响应-比如引入典型的PID调节器,加入调节器后的系统响应如上图所示。：(2)非线性系统某一带有死区的随动系统如下图所示9死区范围±0.5,从系统的阶跃响应可以看出,由于系统的非线性，使得原来无差系统变为有差系统，同样可

27、以引入各种调节器来:50>6 ! ；曲用 Dead校正系统，改善系统的动态响应。<工一v:峪:图2.5非线性系统方框图；O/湖南工业大学本科生毕业设计 (3)离散系统 . 从离散系统库调出离散模型，得到系统的方框图和系统的阶跃响应如图所示, eet*<、，9 .T f唱 /图2.6离散系统图._ . _ a_ _ I A f一一1 1 7、一一 = 一 J 1二 .丁 图27非线性系统阶跃响应:图2; 8离散系统阶跃响应 2.4小结MATLAB的SIMULINK对控制系统可以方便地进行仿真计算，分析控制系统的瞬态响曲朗|态指标，同时仿真结果可以用图形和数据文件输出，数据文件可

28、以在别的系统中应用。不仅对单变量，而且对多变量及状态空间均可仿真计算，确实是一种方便、有效的工具。限于篇幅,MATLAB的其它功能,如控制系统的频域、时域分析另文介绍,第3章直线一级倒立摆系统及其数学模型GIP系列倒立摆系统是固高科技有限公司为全方位满足各类电机拖动和自动控制课程的教学需要而研制、开发的实验教学平台。GIP系列的主导产品由直线运动型、旋转运动型和平面运动型三个子系列组成。直线运动倒立摆的基本模块为直线运动控制模块，该模块由交流/直流伺服电机驱动滑动小车沿直线轴承滑动，完成定位控制和速度跟踪的任务,在滑动小车上加装一个单摆系统，构成经典的控制教学产品：单节倒立摆系统，可完成各类控

29、制课程的教学实验，让学生具有一个可供实验验证的平台。该系统可用测试、研究和开发各类新的控制算法巴3.1 系统组成倒立摆系统包含倒立摆本体、电控箱及由运动控制卡和普通PC机组成的控制平台'一、标r等三大部分争系统组成框图如图3.1o97，:光电同盘«1倒立攫本体图31倒立摆系统框图湖南工业大学本科生毕业设计 3.1,1倒立摆的组成小车由电机通过同 步带驱动在滑杆上来回如图3.2 0运动,保持摆杆平衡。电机编码器和角编码器向运动卡反馈小车和摆杆位置（线位移和角位移）, r . . 图3.2一敲倒立摆的模型示意图3.1.2电控箱电控箱内安装有如下主要部件,交流伺服驱动器I/O接口板

30、开关电源开关、指示灯等电气元件3.1.3其它部件图电机倒立摆使用的电机是由日本松下公司提供的小型小惯量电机（MSMA系列,200W）.电机配有专门的驱动器。编码器倒立攫系铳使用的是光电新幽阻其工愉触感喇用一赚制的光栅板作为便移检测元件,光栅板上方格之间的距离为0.5nlm左右。编码器内部有一个发光元件和两个聚焦透镜，发射光经过透镜聚焦后从底部的小孔向下射出，照在编码器下面的光栅当在光栅板上转动编码器时，由于光栅板上明暗相间的板上，再反射回编码器器内。条纹反射光有强弱变化，编码器内部将强弱变化的反射光变成电脉冲，对电脉冲进行计数即可测出移动的距离。控制卡倒立摆还使用了由固高提供的控制卡，型号是G

31、T-400-SV卡。SV卡的特点是输出类型可以是模拟量或者是脉冲量，它还采用了PID滤波器，外加速度和加速度前馈。通过调节，设置合适的参数，可提高控制系统的速度和精度。0a*%15湖南工业大学本科茎毕业设计 3.1.4倒立摆特性虽然倒立摆的形式和结构各异，但所有的倒立摆都具有以下的特性：,.非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统,实际中可以通过线性化得到系统的近似模/"I*.型,线性化处理后再进行控制，也可以利用非线性拴制理论对其进行控制,倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点a%.不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙，各种阻力等，实际控制中一般通过减少各种卡;.误差，如通过施加预

32、紧力减少皮带或齿轮的传动误差，利用滚珠轴承减少摩擦阻力等».e不确定因素龄耦合性倒立摆的各级摆杆之间，以及和运动模块之间都有很强的耦合关系，倒立摆的控>.%,制中一般都在平衡点附近进行解耦计算，忽略T些次要的耦合量a开环不稳定性倒立摆的稳定状态只有两个，即在垂直向上的状态和垂直向下的状态匕其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点，垂直向下为稳定的平衡点。约束限制由于机构的限制，如运动模块行程限制，电机力矩限制等为制造方便和降低成本，倒立摆的结构尺寸和电机功率都尽量要求最小,行程限制对于倒立摆的摆起尤为突出，容易出现小车的撞边现象e3.2模型的建立系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模

33、。实验建模就是通过在研究对象上:.°V加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入一输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容d机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入一状态O关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难Q但1A.%.是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体 %下.V,?、/：L九'匚系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方

34、程。下面我们采用 I>,t其中的牛顿一欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型a/*/3.2.1 微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图3.4所示图3. 4直线一级倒立摆系铳我们不妨做以下假设:M小车质量、m摆杆质量、b小车摩擦系数、1摆杆转动轴心到杆质心的长度、,I摆,杆惯F加在小车上的力、X小车位置、4）摆杆与垂直向上方向的夹角、。摆杆与垂直 /:向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）， /:图3.5是系统中小车和摆杆的受力分析图、？*其中,N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量.注意：在实。&#

35、171;际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所.。录,图示方向为矢量正方向:”?同lb）摆杆隔离受力图 3. 5 （叫小车隔离受力E1=54分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程, (3.1)Mx=F-bx-N湖南工蚁学本科生毕业设计由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式:«N=/n(l+/siii6>)kN=mx+ml0cos0-ml62sui把这个等式代入上式中，就得到系统的第一个运动方程:(m+M)x+bxcos0一血夕sin。)=/(3.3)为了推出系统的第二个运动方程,我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程

36、:P-rngm/?.-(/cos0:即：P-mg=-mlGsiu。-血图cos0dr-(3.4)为姐平衡方程如下:Plsin。-NlcosB=18(3.5)方程中力矩的方同由于e=H+0，cos°=-cos8,sin0=TinG,故等式前面有负号Q合并这两个方程，约去P和N,得到第二个运动方程:（/+ml平+mgl疝0=-/m/xcos0(3.6)设。=+。（"是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设e与1（单位是弧度）相比很小，即是1,则可以进行近似处理：cosJ亭-1落山。=一。用U代表被控对象的输入力F»畿性化后两个运动方程如下：(/+用尸,一切g/0=mx(

37、M+;mx)+bxml6=u(3.7)322传递函数对方程组（3.7）进行拉普拉斯变换，得到(/+.尸)®(s)s?-inglesj-mlX(s)s(M+/n)X(5)y2+bX(s)s-nil(s)s2=U(s)(3.8)注意:推导传递函数时假设初始条件为00.湖南工蚁学本科毕业设计 由于输出为角度以求解方程组(3.8)的第一个方程，可以得到:X(s) =ml(3.9)把上式代入方程组(3.8)的第二个方程，,得到:M + mndsml与小k)S7汕MsF=U(S)(3.10)整理后得到传递函数:。屹4峋 4上« + 尸)/ _似+川加丸3 I-Ji * .32 bmgl

38、.尸Sq(3.11)其中： = (m+A/)(/+ m/2)-(m/):3.2. 3状态空间结构方程系统状态空间方程为%二 AX + Bny = CX f Dn方程组(3.12)对乂。解代数方程，得到解如下; , -(1+加* ./上 、，,十.0H1(M + 川)+ MmFI(M + a«)+ Mml- I(M + 加)+ MmFm M2fr+/n/2)7 -mlb ,+ml1(M + m)+ MmP 1(M + m)+Mml2 + /(Af +MtnF(3,13)整理后得到系统状态空间方程:1配湖南工业大学本科生毕业设计1+ ml2b*> J ,0 Mg/01+ m)+Mm

39、l2、 0-mlb.IM +m)+Minl2/ (M +/M)MmF 0 mgl(M +in)0I + ml2.-1 (M + m)+ Mml20ml/(M + i) + MM尸(3.14)(3.15)由公式(3.7)的第一个方程为： .(/ + /«/: ) - mgl。= mix对于质量均匀分布的摆杆有：,1 12/华土闻3(3.16)(3.17)于是可以得到:fl c.-ini2 +ml2 (j>-mgltj> = mix化简得到:19)皱片=k;寓0加'=口 4 IX b0；000；100000,03g4/001:00-1034/(3.20)10、it实际

40、的系统模型如下:M小车质量L096Kgm舞相质量& 109 Kgb小车摩擦系数0 . lN/m/secI摆杆转动轴心到杆质心的长度0.2 5m e 摆杆惯量 0.0034 kg*m*mT采样频率0.005秒 , 拄意：在进行实际系统的MATLAB仿真时，我们将采样频率改为实际系统的采样频 ， I * 彳率。我们的在实际操作中自行检查系统参数是否与实际系统相符，否则的改用实际参 % / / 数进行实验.3.2.4实际系统模型把上述参数代入，可以得到系统的实际模型摆杆角度和小车位移的传递函数： e(s)_0.0275?X) 0.0102125 ? -0.26705摆杆角度和小车加速度之间的

41、传递函数为： <D0_0.02725雨- 0.0102125 s? -0.26705(3.21)(3.22)摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数:峋一2.3务55 sU9) /+ 0.0883167 2 27.9169 s 2.3094223)以外界作用力作为输入的系统状态方程:0 0001-0.08831670一0.225655.0 0.62男 170 27.8285(3.24)1 0 0 00. 0 1 0x X以小车加速度作为输入的系统状态方程:x y= °0000010I 06 251需要说明的是&在固高科技所有提供的拴制器设计和程序中，采用的都是以小军的加速

42、度作为系统的输入.如果、用户需要采用力矩控制的方法，可以参考以上把外界作用力作为输入的各式63.2.5采用MATLAB语句形式进行仿真仿真程序如图3.6所东图3.6系统数学模型仿其程序可得仿真曲线和结果如图3.7和3.8所示ImpulseResponse0.10.20,3。40.50.6070.80.9Time(sec)oO65ooO432opnvQ.耳OoO图3.7系统数学模型仿真曲线3,8系统仿真系数第4章PID控制理论4JPID控制概述在工业自动化设备中，常采用由比例、积分、微分控制策略形成的校正装置作为F.Tt.系统的控制器。自从计算机进入控制领域以来，用数字计算机代替模拟计算机调节器.'卜/:/匚bar.V卡组成计算机控制系统，不仅可以用软件实现PID控制算法，而且可以利用计算机的逻辑'*.,功能，使PID控制更加灵活。数字PID控制在生产过程中是一种最为普遍的控制方法,/J;'将偏差的比例、积分、和微分通过线性组合构成控制量，对被控对象进行控制，故称为PID控制器a当今的自动控制技术都是基于反馈的概念。反馈理论的要素包括三个部分:测量、*比较和执行不测量关心的变量，与期望值相比较，用这个误差纠正调节控制系统的响*事这个理论和