2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(1)

1、.2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题此题总分值36分，每题6分 此题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个不管是否写在括号内，一律得0分1数列an的通项公式an，那么an的最大项是 Aa1 Ba2 Ca3 Da42函数y3的图象是 xOyxOyxOyxOyA B C D3抛物线y22px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得POF是直角三角形，那么这样的P点共有 A0个 B2个 C4个 D6个4设fx是定义在R上单调递减的奇函数，假设x1x20，x2x

2、30，x3x10，那么 Afx1fx2fx30 Bfx1fx2fx30Cfx1fx2fx30 Dfx1fx2fx35过空间一定点P的直线中，与长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 A0条 B1条 C4条 D无数多条6在ABC中，tanA，cosB假设的最长边为1，那么最短边的长为 A B C D二、填空题此题总分值54分，每题9分 本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上7集合Ax|x3n，nN，0n10，By|y5m，mN，0n6那么集合AB的所有元素之和为_8设cos2，那么cos4sin4的值是_9x3x23的展开式中，x5的系数为_10那么x2y2的最大

3、值是_11等比数列an的首项为a1=2020，公比q，设fn表示这个数列的前n项的积，那么当n_时，fn有最大值12长方体ABCDA1B1C1D1中，AB14，AD13，那么对角线AC1的取值范围是_三、解答题此题总分值60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分13设集合Ax|log3x2，Bx|1，假设ABÆ，务实数a的取值范围14椭圆1的有焦点为F，P1，P2，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且P1FP2P2FP3P3FP4P24FP1，假设这24个点到右准线的间隔 的倒数和为S，求S的值ABCDE15ABC中，ABA

4、C，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且BADEAC证明是直角16设p是质数，且p271的不同正因数的个数不超过10个，求p2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷一、选择题此题总分值36分，每题6分 此题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的请将正确答案的代表字母填在题的括号内，每题选对得6分；不选、选错或选出的字母超过一个不管是否写在括号内，一律得0分1数列an的通项公式an，那么an的最大项是 Aa1 Ba2 Ca3 Da4解：an，当n2时，an取最大值，应选B2函数y3的图象是 xOyxOyxOyxOyA B C D解：由于|log3x|0，故y1

5、，只有A满足此条件，应选A3抛物线y22px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得POF是直角三角形，那么这样的P点共有 A0个 B2个 C4个 D6个解：作垂直于x轴的焦点弦交抛物线于点P1、P2，那么P1OF、P2OF是直角三角形对于抛物线上异于O、P1、P2的点Q，显然QFO90，QOF90，从而假设QOF为直角三角形，那么只能是FQO90设点Q坐标为，yy0，±p，那么有y20， 由y0得，0，此方程无实解，从而这样的点P只能2个，选B4设fx是定义在R上单调递减的奇函数，假设x1x20，x2x30，x3x10，那么 Afx1fx2fx30 Bfx1fx2fx30C

6、fx1fx2fx30 Dfx1fx2fx3解：那么x1x2，知fx1fx2fx2Þfx1fx20；同理，fx2fx30，fx3fx10；所以，fx1fx2fx30选B5过空间一定点P的直线中，与长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱所在直线所成等角的直线共有 A0条 B1条 C4条 D无数多条解：首先，过角的顶点与角的两边成等角的直线在角所在平面的射影是角或其外角的平分线故假设以长方体的过一个顶点的三个平面为坐标平面建立空间坐标系，那么方程|x|y|z|共有8解，此8解共组成4条直线，故选C6在ABC中，tanA，cosB假设的最长边为1，那么最短边的长为 A B C D解：作辅助

7、图如右：取高CDa，那么AD2a，BD3a，最短边ACa；由5a1，得a，应选D二、填空题此题总分值54分，每题9分 本小题共有6小题，要求直接将答案写在横线上7集合Ax|x3n，nN，0n10，By|y5m，mN，0n6那么集合AB的所有元素之和为_解：AB15；故所求和36270530152258设cos2，那么cos4sin4的值是_解：即cos2sin2Þcos4sin42cos2sin2； 又，cos2sin21Þ cos4sin42cos2sin21 ÷2： cos4sin49x3x23的展开式中，x5的系数为_解：x3x23x33x2×3x

8、23x×9x427x6Þx5 的系数2710那么x2y2的最大值是_解：满足条件的点集组成的图形为图中阴影部分及其边界其中点3，0与原点间隔 最大，故x2y2max911等比数列an的首项为a1=2020，公比q，设fn表示这个数列的前n项的积，那么当n_时，fn有最大值解：由于f4k0，f4k10，kN*f4kaq2k4k1；f4k1aq2k4k1故a1q4k于是f12f13，且当k3时，f4k1f4k；又aq30，有f9f12；aq28k3， 故f8f12，且k3时，f4k4f4k，从而f12最大12长方体ABCDA1B1C1D1中，AB14，AD13，那么对

9、角线AC1的取值范围是_解：设长方体的三度分别为x，y，z，对角线ACd那么可得x2z216，y2z29d2x2y2z225z2，但0z3，从而16d225Þ4d5Þ所求取值范围为4，5三、解答题此题总分值60分，第13题，第14题各12分，第15题16分，第16题20分13设集合Ax|log3x2，Bx|1，假设ABÆ，务实数a的取值范围解：由log3x2Þ03x4Þ1x3由1Þxax3a0 当a0时，解为ax3a； 当a0时，解为Æ； 当a0时，解为3axa假设ABÆ，那么当a0时，有a1Þ1a0；当

10、a0时，有3a3Þ0a1所以，a的取值范围为1，00，114椭圆1的有焦点为F，P1，P2，P24为24个依逆时针顺序排列在椭圆上的点，其中P1是椭圆的右顶点，并且P1FP2P2FP3P3FP4P24FP1，假设这24个点到右准线的间隔 的倒数和为S，求S的值解法一：椭圆的a3，b2，c，e，p对于椭圆上任一点P，|FP|r，P到准线的间隔 |PH|d，FP与Ox正向夹角为，那么有 rcosdp，e于是， d1ecosp，Þ1ecos所以， S1ecoscos 故 S2180 解法二：设过焦点且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点那么有 代入： 4x29k2x2360即， 49

11、 k2x218xk245k2360 所以， x1x2，x1x2 而点P到准线间隔 dxÞ， 故直线与椭圆的两个交点到准线间隔 的倒数和为 而过焦点且倾斜角90时，两交点到准线的间隔 c，故90及270的两个点到准线间隔 倒数和也所以，S12×6；S2180解法三：令代入椭圆方程得，t24cos29sin28tcos160同上15ABC中，ABAC，AD、AE分别是BC边上的高和中线，且BADEAC证明是直角证明一：延长AE到F，使EFAE，延长AD到K，使DKAD连FK，FB因FBACÞAFBEAC又BD垂直平分AK，故AKBBAD，因BADEAC，所以AKBAF

12、B所以A、F、K、B四点共圆FKBCÞFKA90故AF为该圆直径E为此圆圆心故EAEBEC，即点C在此圆上此圆为ABC的外接圆，BC为圆的直径所以BAC为直角证明二：取ABC的外接圆，延长AE交圆于点F，连FB，那么CBFCAFBAD，但BADABD90，从而FBCABC90，即ABF90从而AF为圆的直径假设E不是圆心，那么AFBC，ÞABAC与矛盾故E为外心从而BAC90证明三：作ABC的外接圆，作EFBC，交外接圆于点F，连AF那么EF是BC的垂直平分线，故F为的中点，于是AF是BAC的平分线由BADEAC，得DAFEAF又，EFAD，故DAFEFAÞEAF

13、EFAÞEAEF故AF的垂直平分线经过点E由于ABC的外接圆圆心应是弦AF、BC的垂直平分线的交点，故E为ABC的外心从而ABC为直角三角形，得，BAC为直角证明四：取AC中点F，连DF、EF，由EFABÞAEFEABBADDAEEACDAEDAC，由AD为高，故DACADF，所以，ADFAEFÞA、D、E、F四点共圆于是有EFA90，从而BAC90，故证证明五：以D为原点，BC所在直线为x轴建立坐标系设点A、B、C的坐标分别为A0，a，Bb，0，C0，c设AB到AD的角为，那么tankAC，kAE，ÞtanEAC 由tanEACtanÞ化简得

14、a2bc即|AD|2|DB|·|DC|故ABC为直角三角形证明六：设BCa，BDp，ADh，那么tanB，tanAEBBAEDACÞtanBAEtanDAC在ABE中，有··即h2a2p2ph2papa2p2h2a2pÞh2pap从而|AD|2|DB|·|DC|故ABC为直角三角形得证证明七：设BADEAC，那么ADABcosACsinC， BAEDAC90C而SBAESCAEÞAB·AEsin90CAC·AEsinÞABcosCACsin×：sin2sin2CÞC90或C假设C90，那么D、E重合，与ACAB矛盾，ÞC那么有BAC90，得证16设p是质数，且p271的不同正因数的个数不超过10个，求p解 p2时，p271753×52，d752×3610，故p2是此题的解； p3时，p2718024×5，d805×21010，故p3是此题的解； 假设质数p3，那么