第七章第一节空间几何体的结构特征及三视图和直观图

1、1 . 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征， 并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2 . 能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆 锥、锥、 棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述三视图棱柱等简易组合）的三视图，能识别上述三视图 所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的 直观图直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空 间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不

2、同间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同 表示形式表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图会画某些建筑物的三视图与直观图.（在不影响图（在不影响图 形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）1多面体的结构特征多面体的结构特征(1)多面体是由若干个多面体是由若干个 所围成的几何体所围成的几何体(2)棱柱有两个面棱柱有两个面 ，而其余每相邻，而其余每相邻 两个面的交两个面的交 线都线都 (3)棱锥有一个面是棱锥有一个面是 ，而其余各面都是有一个公，而其余各面都是有一个公 共顶点的共顶点的 (4)棱台是指棱锥被平行于棱台是指棱锥被平行于 的平面所截，

3、的平面所截， 和和 之间的部分之间的部分 平面多边形平面多边形互相平行互相平行互相平行互相平行多边形多边形三角形三角形底面底面截面截面底面底面2.旋转体的结构特征旋转体的结构特征3直观图直观图 空间几何体的直观图常用空间几何体的直观图常用 画法来画，其规则是：画法来画，其规则是：(1)在已知在已知 所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴 Ox、Oy，再作，再作Oz轴，使轴，使xOz90，且，且yOz .(2)画直观图时，把画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴画成对应的轴Ox、 Oy、Oz，使，使xOy ， xOz . 斜二测斜二测9045(或或135

4、)90模型模型(3)已知图形中，平行于已知图形中，平行于x轴、轴、y轴或轴或z轴的线段，在直观图轴的线段，在直观图 中分别画成平行于中分别画成平行于 、 或或 的线段的线段(4)已知图形中平行于已知图形中平行于 和和 的线段，在直观图中保的线段，在直观图中保 持长度不变，平行于持长度不变，平行于 的线段，长度为原来的一半的线段，长度为原来的一半(5)画图完成后，擦去作为辅助线的画图完成后，擦去作为辅助线的 ，就得到了空，就得到了空 间图形的直观图间图形的直观图 x轴轴y轴轴z轴轴x轴轴z轴轴y轴轴坐标轴坐标轴4三视图三视图(1)正投影的性质正投影的性质 垂直于投射面的直线或线段的正投影是垂直于

5、投射面的直线或线段的正投影是 垂直于投射面的平面图形的正投影是垂直于投射面的平面图形的正投影是 或或 (2)三视图三视图 三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的 、 、 看到的物体轮廓线的看到的物体轮廓线的 围围 成的平面图形成的平面图形 点点直线直线一部分一部分直线的直线的正前方正前方正上方正上方正左方正左方正投影正投影思考探究思考探究空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别？空间几何体的三视图和直观图在观察角度上有什么区别？提示：提示：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图

6、是从某一点观察几何体而画出的图形直观图是从某一点观察几何体而画出的图形 1.下列有关棱柱的命题中正确的是下列有关棱柱的命题中正确的是 () A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫 棱柱棱柱 C.一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱 D.棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等解析：解析：A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由

7、棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱.答案：答案：C2.用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆，则这 个几何体一定是个几何体一定是 () A.圆柱圆柱B.圆锥圆锥 C.球体球体 D.圆柱，圆锥，球体的组合体圆柱，圆锥，球体的组合体解析：解析：由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面由球的性质可知用平面截球所得的截面都是圆面.答案：答案：C3.如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两如图所示，下列几何体各自的三视

8、图中，有且仅有两 个视图相同的是个视图相同的是 () A. B. C. D.解析：解析：正方体的主视、左视、俯视图都是正方形；圆锥正方体的主视、左视、俯视图都是正方形；圆锥的主视、左视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及的主视、左视、俯视图依次为：三角形、三角形、圆及圆心；圆心；三棱台的主视、左视、俯视图依次为：梯形、梯形三棱台的主视、左视、俯视图依次为：梯形、梯形(与正与正视图可能不相同视图可能不相同)、三角形、三角形(内外两个三角形且对应顶点内外两个三角形且对应顶点相连相连)；正四棱锥的主视、左视、俯视图依次为：三角形、三角正四棱锥的主视、左视、俯视图依次为：三角形、三角形、正方形形、正方

9、形.答案：答案：D4.一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长 为为a的正方形，则原平面四边形的面积等于的正方形，则原平面四边形的面积等于.解析：解析：如图所示如图所示.原平面四边形面积为原平面四边形面积为a2 2 .答案：答案：25.如图所示，图如图所示，图、是图是图表示的几何体的三视表示的几何体的三视 图，其中图图，其中图是是，图，图是是，图，图是是 (说出视图名称说出视图名称).解析：解析：结合三视图的有关概念知，图是主视图，图结合三视图的有关概念知，图是主视图，图是左视图，图是俯视图是左视图，图是俯视图.答案：答案：主视图左视图俯视图主视

10、图左视图俯视图1.几种常见的多面体的结构特征几种常见的多面体的结构特征(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.特别地，当底面是正特别地，当底面是正 多边形时，叫正棱柱多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱如正三棱柱，正四棱柱).(2)正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的正棱锥：指的是底面是正多边形，且顶点在底面的 射影是底面中心的棱锥射影是底面中心的棱锥.特别地，各条棱均相等的正特别地，各条棱均相等的正 三棱锥又叫正四面体三棱锥又叫正四面体.2.理解并掌握空间几何体的结构特征，对培养空间想象理解并掌握空间几何体的结构特征，对培养空间想象 能力，进一步研究几何体

11、中的线面位置关系或数量关能力，进一步研究几何体中的线面位置关系或数量关 系非常重要，每种几何体的定义都是非常严谨的，注系非常重要，每种几何体的定义都是非常严谨的，注 意对比记忆意对比记忆. 下面有四个命题：下面有四个命题：(1)各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥；(3)底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；底面是正三角形的棱锥是正三棱锥；(4)顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心顶点在底面上的射影是底面多边形的内心，又是外心的棱锥必是正棱锥的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是其中

12、正确命题的个数是 ()A.1B.2C.3 D.4思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记命题命题(1)不正确；正棱锥必须具备两点，一不正确；正棱锥必须具备两点，一是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底是：底面为正多边形，二是：顶点在底面内的射影是底面的中心；命题面的中心；命题(2)缺少第一个条件；命题缺少第一个条件；命题(3)缺少第二缺少第二个条件；而命题个条件；而命题(4)可推出以上两个条件都具备可推出以上两个条件都具备.答案答案A1.几何体的三视图的排列规则：几何体的三视图的排列规则： 俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图俯视图放在主视图的下面，长度与主视图一样，左视图 放在

13、主视图右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图一放在主视图右面，高度与主视图一样，宽度与俯视图一 样，即样，即“长对正，高平齐，宽相等长对正，高平齐，宽相等”，如图所示，如图所示(以长以长 方体三视图为例方体三视图为例)：特别警示特别警示画几何体的三视图时，能看到的轮廓线画成画几何体的三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线实线，看不到的轮廓线画成虚线.2.应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图应用：在解题的过程中，可以根据三视图的形状及图 中所涉及到的线段的长度，推断出原几何图形中的点、中所涉及到的线段的长度，推断出原几何图形中的点、 线、面之间的关系及图中的一些线段的长

14、度，这样我线、面之间的关系及图中的一些线段的长度，这样我 们就可以解出有关的问题们就可以解出有关的问题. (2009山东高考山东高考)一空间几何一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体的三视图如图所示，则该几何体的体积为体积为 ()A.22B.42C.2D.4思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记由几何体的三视图可知，该几何体是由一由几何体的三视图可知，该几何体是由一个底面直径和高都是个底面直径和高都是2的圆柱和一个底面边长为的圆柱和一个底面边长为 ，侧，侧棱长为棱长为2的正四棱锥叠放而成的正四棱锥叠放而成.故该几何体的体积为故该几何体的体积为V122 ( )2 2 . 答案答案C31.注意原图

15、与直观图中的注意原图与直观图中的“三变、三不变三变、三不变”：“三变三变”坐标轴的夹角改变，坐标轴的夹角改变，与与y轴平行线段的长度改变（减半），轴平行线段的长度改变（减半），图形改变图形改变.“三不变三不变”平行性不变平行性不变,与与x轴平行的线段长度不变轴平行的线段长度不变,相对位置不变相对位置不变.2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与 原图形的面积有以下关系：原图形的面积有以下关系： S直观图直观图 S原图形原图形，S原图形原图形2 直观图直观图. 已知已知ABC的直观图的直观图ABC是边长为是边长为a的正三角形，的正三角形，求

16、原三角形求原三角形ABC的面积的面积.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记建立如图所示的建立如图所示的xOy坐标系，坐标系，ABC的顶点的顶点C在在y轴上，轴上，AB边在边在x轴上，轴上，OC为为ABC的高的高.把把y轴绕原点顺时针旋转轴绕原点顺时针旋转45得得y轴，则点轴，则点C变为点变为点C，且，且OC2OC，A、B点即为点即为A、B点，长度不变点，长度不变.已知已知ABACa，在，在OAC中，中，由正弦定理得由正弦定理得 ，所以所以OC a a，所以原三角形所以原三角形ABC的高的高OC ，所以所以SABC a a a2.若若ABC是边长为是边长为a的正三角形，则其直观图的正三角形，则其直观

17、图ABC的面积是多少？的面积是多少？解：法一：解：法一：由于直观图的面积由于直观图的面积S与原图形的面积与原图形的面积S间满足间满足 )，易知易知ABC的面积为的面积为 .法二：法二：如图如图(1)(2)所示的实际图形和直观图所示的实际图形和直观图.由由(2)可知：可知：ABABa，OC OC a，在图在图(2)中作中作CDAB于于D，则则CD OC a，SABC ABCD 三视图是新课标新增的内容，是一个知识交汇三视图是新课标新增的内容，是一个知识交汇的载体，因而是高考的重点内容之一但新课标对的载体，因而是高考的重点内容之一但新课标对这部分内容的要求较低，一般不会直接考查画图的这部分内容的要

18、求较低，一般不会直接考查画图的问题，而经常会与立体几何中有关的计算问题融合问题，而经常会与立体几何中有关的计算问题融合在一起考查在一起考查.2009年广东高考将三视图与几何体的体年广东高考将三视图与几何体的体积计算、空间位置关系融为一体，考查了学生的空积计算、空间位置关系融为一体，考查了学生的空间想象能力，是一个新的考查方向间想象能力，是一个新的考查方向 考题印证考题印证 (2009广东高考广东高考) 某高速公路收费站入口处的安全某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图标识墩如图1所示所示.墩的上半部分是正四棱锥墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体下半部分是长方体ABCDEFGH.

19、图图2、图、图3分别是该标识分别是该标识墩的主视图和俯视图墩的主视图和俯视图.(1)请画出该安全标识墩的左视图；请画出该安全标识墩的左视图；(2)求该安全标识墩的体积；求该安全标识墩的体积；(3)证明：直线证明：直线BD平面平面PEG.【解解】(1)该安全标识墩左视图如下图所示该安全标识墩左视图如下图所示. 4分分(2)该安全标识墩的体积该安全标识墩的体积VVPEFGHVABCDEFGH 40406040402064 000(cm3).8分分(3)由题设知四边形由题设知四边形ABCD和四边和四边形形EFGH均为正方形，均为正方形，FHEG，又又ABCDEFGH为长方体，为长方体，BDFH.9分

20、分设点设点O是是EFGH的对称中心，的对称中心，PEFGH是正四棱锥，是正四棱锥，PO平面平面EFGH，而，而FH平面平面EFGH，POFH.11分分FHPO，FHEG，POEGO，PO平面平面PEG，EG平面平面PEG，HF平面平面PEG.13分分而而BDFH，故故BD平面平面PEG.14分分自主体验自主体验下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图(1)若若F为为PD的中点，求证：的中点，求证：AF面面PCD；(2)求几何体求几何体BECAPD的体积的体积 解：解：(1)证明：由几何体的三视图可知，底面证明：由几何体的三视图可知，底面ABC

21、D是连长为是连长为4的正文形，的正文形，PA面面ABCD，PAEB，PA2EB4.PAAD，F为为PD的中点，的中点，PDAF.又又CDDA, CDPA，CDAF，AF面面PCD.(2)VBECAPDVCAPEBVPACD (42)44 4441.对于斜二测画法叙述正确的是对于斜二测画法叙述正确的是 () A.三角形的直观图是三角形三角形的直观图是三角形 B.正方形的直观图是正方形正方形的直观图是正方形 C.矩形的直观图是矩形矩形的直观图是矩形 D.圆的直观图一定是圆圆的直观图一定是圆 解析：解析：正方形、矩形的直观图都是平行四边形，正方形、矩形的直观图都是平行四边形， 故故B、C错误；圆的直观图是椭圆，故错误；圆的直观图是椭圆，故D错误错误.答案：答案：A2. (2009山西模拟山西模拟)将正三棱柱截去三个角将正三棱柱截去三个角(如图如图(1)所示所示 A、B、C分别是分别是GHI三边的中点三边的中点)得到几何体如图得到几何体如图(2)， 则该几何体按图则该几何体按图(2)所示方向的侧视图为所示方向的侧视图为 () 解析：解析：由正三棱柱的性质得侧面由正三棱柱的性质得侧面AED底面底面EFD