第三章离散傅立叶变换

1、第三章离散傅立叶变换第三章离散傅立叶变换傅立叶变换的几种可能形式傅立叶变换的几种可能形式周期序列的傅立叶级数（）周期序列的傅立叶级数（）离散傅立叶变换离散傅立叶变换离散傅立叶变换的性质离散傅立叶变换的性质离散傅立叶变换的应用离散傅立叶变换的应用离散傅立叶变换的几种可能形式离散傅立叶变换的几种可能形式傅立叶变换就是以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱”函数之间的一种变换关系，当自变量“时间”和“频率“取连续值或离散值时，就形成不同的形式的傅立叶变换对。非周期的连续时间、连续频率非周期的连续时间、连续频率傅立叶变换傅立叶变换非周期连续时间信号x(t)和它的频谱密度函数X(j) 构成的傅

2、立叶变换对为正变换反变换以连续时间矩形脉冲为例：dtejXtxtj)(21)(dtetxjXtj)()(x(t)t(a) 非周期连续时间函数 x(t)X(j)(b) 非周期连续频谱X(j)周期的连续时间、离散频率周期的连续时间、离散频率傅立叶级数傅立叶级数周期为T0的连续时间信号x(t)的傅立叶级数展开的系数为X(jk0)，构成的傅立叶变换对为：正变换反变换X(jk0)是以角频率0为间隔的离散函数，形成频域的离散频谱，0与时间信号的周期之间的关系为。傅立叶级数展开将连续时间周期函数分解为无穷多个角频率为0整数倍的谐波，k为各次谐波序号。220000)()(TTtjkdtetxjkXktjkej

3、kXtx0)()(00022TFx(t)T0-T00X(jk0)非周期的离散时间、连续频率非周期的离散时间、连续频率序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换非周期离散时间信号的傅立叶变换就是序列的傅立叶变换，其变换对为正变换反变换式中是数字频率。如果序列x(n)是模拟信号x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为Ts，抽样频率为fS，抽样角频率为S=2/ Ts ，由于数字频率与模拟角频率之间的关系为=T ，因此抽样数字频率S=STS，则上面的变换对也可写成: 正变换反变换nnjjenxeX)()(deeXnxnjj)(21)(nTjnTjenTxeX)()(22)(1)(ssdeeXnTxTjnTjs仍以连

4、续时间矩形脉冲为例:结果表明，时域的离散造成频域的周期延拓，而时域的非周期性对应与频域的连续性。tTSx(nT)(a) 离散时间序列X(ejT)S-S0(b) 序列的频谱图 离散时间序列及其傅立叶变换离散时间、离散频率离散时间、离散频率离散傅立叶变换离散傅立叶变换假如序列x(n)是模拟信号x(t)经过抽样得到，抽样时间间隔为Ts，则频率函数的周期为S=2/ Ts；如果频率函数也是离散的，其抽样间隔为0，则时间函数的周期为=2/T。当时间函数序列一个周期内的抽样点数为N时，有 上式表明在频域中频谱函数的一个周期内的抽样点数也为N，即离散傅立叶变换的时间序列和频率序列的周期都是N，可以得到表示于一

5、个周期内的常用的离散傅立叶变换对为正变换反变换00ssTTN102)()(NnnkNjenxkX102)(1)(NknkNjekXNnx(a) 周期离散时间序列tx(n)TST02T0-T0-2T000S-SX(k)(b) 周期离散时间序列的频谱图 周期离散时间序列及其傅立叶变换周期序列的离散傅立叶级数（周期序列的离散傅立叶级数（DFSDFS）周期序列周期序列一个周期为N的周期序列，对于所有n满足式中N为正整数。定义n=0到N-1的周期区间为的主值区间主值区间，而主值区间内的N个样本值组成的有限长序列称为的主值序列主值序列，即这一过程称为取主值序列。)(nx为整数kkNnxnx),()()(n

6、x)(nx对于一个有限长序列如将其以N为周期进行周期性延拓，则可得由于周期序列不是绝对可和的，无论z取任何值，其z变换都是不收敛的，即因此周期序列不能用z变换法或傅立叶变换来进行讨论。为其它值nNnnxnx010)()(rNNnxnxrNnxnx)mod()()()(| | )(|nnznx离散傅立叶级数离散傅立叶级数令，则DFS变换对可写成正变换 反变换 离散傅立叶级数表明是以N为周期的周期序列，其基波成分为，k次谐波成分为，为DFS的k次谐波分量的复系数。由于的周期性，当已知0N-1次谐波成分后，根据周期性就可以确定其余的谐波分量，因此，无论时域或频域中都只有N个序列值是独立的。NjNeW

7、2nkNNnknNjNnWnxenxnxDFSkX10210)()()()(10102)(1)(1)()(NknkNNkknNjWkXNekXNkXIDFSnx)(kXnNje2nkNje2)(kX)(kX离散傅立叶级数的性质离散傅立叶级数的性质假定和是周期皆为N的两个离散周期序列，它们的DFS为、线性、线性式中为任意常数，可见由两个离散周期序列和线性组合成一个新的周期序列的DFS也是周期为N的离散周期序列。 )(1nx)(2nx)()(11nxDFSkX)()(22nxDFSkX)()()()(2121kXbkXanxbnxaDFSba,)(1nx)(2nx)()(21nxbnxa、移位特性

8、、移位特性时域移位 频域移位 如果N,那么证明： lm,)()(kXWmnxDFSmkN)()(lnnxWlkXIDFSN)(mod),()(NmmkXWmnxDFSkmN)(mod),()(NllnxWlkXIDFSnlN)()()()()(1010lnlkXWnxWnxWnxWDFSnklNNnnkNNnnlNN)()()()()(10110kXWWixWWWixWmnxmnxDFSmkNikNNimkNmkNikNmNminkNNn、时域卷积特性、时域卷积特性两个周期都为N的周期序列和，它们卷积的结果也是周期为N的周期序列，即 m的取值由0（N-1），因此称为周期卷积。)(1nx)(2n

9、x1021)()()(Nmmnxmxny05n000000555555mmmmmm111234图图 两个周期序列两个周期序列(N=6)的周期卷积过程的周期卷积过程)( ny)5(2mx)2(2mx)1(2mx)(2mx)(2mx)(1mx周期卷积与DFS的关系如下：设 若 则有 这就是时域卷积定理。这就是时域卷积定理。)()(11nxDFSkX)()(22nxDFSkX)()(nyDFSkY1021)()()(Nmmnxmxny)()()(21kXkXkY证明：)()()()()()( )()()()()(21101211010)(2110102110kXkXWmxWmxWWmnxmxWmnx

10、mxWnynyDFSkYNmmNmmkmNmkNNmNnmkNkmnNNnnkNNmNnnkN 、频域卷积特性、频域卷积特性 对于时域周期序列的乘积，同样对应于频域的周期卷积。若 则)()()(21nxnxny1021)()(1)()(NllkXlXNnyDFSkY离散傅立叶变换离散傅立叶变换由于长度为N的有限长序列可以看作是周期是N的周期序列的一个周期，因此利用DFS计算周期序列的一个周期，就可以得到有限长序列的离散傅立叶变换设x(n)是长度为N的有限长序列，可以把它看作是周期为N的周期序列的一个主周期，而将看作是x(n)以N为周期进行周期延拓得到，即同理)(nx)(nx)()(010)()

11、(nRnxnNnnxnxN为其它值NkXkX)()()()()(kRkXkXN离散傅立叶变换的正变换反变换101010,)()()()()()()()(NnnkNNNnnkNNNNNkWnxkRWnxkRnxDFSkRkXkX101010,)(1)()(1)()()()()(NnnkNNNnnkNNNNNnWkXNnRWkXNnRkXIDFSnRnxnx离散傅立叶变换的性质离散傅立叶变换的性质假定和都是N点的有限长序列，有、线性、线性 若两个有限长序列和的线性组合为，则有 式中为任意常数。说明：（1）若和的长度均为N，则的长度为N；（2）若和的长度不等，的长度为N1，的长度为N2，则的长度为N

12、=maxN1，N2，离散傅立叶变换的长度必须按N来计算。)()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX)(1nx)(2nx)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFTba,)(1nx)(2nx)(2nx)(2nx)(3nx)(3nx)(1nx)(1nx)(1nx)(2nx)()()(213nbxnaxnx、序列的圆周移位、序列的圆周移位有限长序列x(n)的圆周移位是以它的长度N为周期，将其延拓成周期序列 ，并将周期序列进行移位，然后取主值区间（n=0到N-1）上的序列值。因而一个有限长序列的右圆周移位定义为)(nx)()()()(nRmnxnRmnxNNNx(n)x(n)Nx(

13、n-2)Nx(n-2)NRN(n)nnnn0000N-1N-1N-1N-1图3.6 序列的周期移位(N=6)（）时域移位定理证明：由周期序列的时域移位性质由于有限长序列的DFT就是周期序列DFS在频域中的主值序列，有（）频域移位定理若则上式称为频率移位定理频率移位定理，也称为调制定理调制定理，此定理说明时域序列的调制等效于频域的圆周移位。)()()()(kXWnRmnxDFTmnxDFTmkNNN)()(kXWmnxDFSmkN)()()()()(kRkXWkRmnxDFSmnxDFTNmkNN)()(nxDFTkX)()()(nxWnRlkXIDFTnlNNN、共轭对称性、共轭对称性任一序列

14、都可以表示成共轭对称分量和共轭反对称分量之和。周期序列的共轭对称分量和共轭反对称分量都是周期性的，周期仍为N，取出它们的主值序列就得到了有限长序列的相应的分量，分别称为圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量，公式推导如下：设有限长序列x(n)的长度为N，以N为周期的周期延拓序列为)(nxo)(nxe)(nxep)(nxopNnxnx)()(则有同样可以证明则有限长序列的圆周共轭对称分量和圆周共轭反对称分量定义为由于满足，有)()(21)()(21)(NNenNxnxnxnxnx)()(21)()(21)(NNonNxnxnxnxnx)()(nxnxee)()(nxnxoo)()()(21)()(

15、)(nRnNxnxnRnxnxNNNNeep)()()(21)()()(nRnNxnxnRnxnxNNNNoop)()()(nxnxnxoe)()()()()()()()(nxnxnRnxnxnRnxnxopepNoeNDFTDFT的一系列的对称性质：的一系列的对称性质：（）式中x*(n)是x(n)的共轭复序列。（）（）复序列实部的DFT等于序列DFT的圆周共轭对称部分，即（）复序列虚部乘j的DFT等于序列DFT的圆周共轭反对称部分，即（）若x(n)是实序列，则X(k)只有圆周共轭对称部分，即满足（）若x(n)是纯虚数序列，则X(k)只有圆周共轭反对称部分，即满足)()()(*kNXkXnxD

16、FT)()(kXnxDFT)()(21)()(Re*kNXkXkXnxDFTep)()(21)()(Im*kNXkXkXnxjDFTop)()(*kNXkX)()(*kNXkX（）例：设x1(n)和x2(n)都是实数序列，试求X1(k)和X2(k)解：先利用这两个实数序列构成复序列，有 又故同样故 因此可以用一次DFT计算出Y1(k)，然后用上面的公式计算出X1(k)和X2(k)。)(Re)(kXnxDFTep)(Im)(kXjnxDFTop)()()(21njxnxny)()()()()()(2121kjXkXnxjDFTnxDFTkYnyDFT)(Re)(1nynx)()(21)()(Re

17、)(*1kNYkYkYnyDFTkXep)(Im)(2nynx)()(21)(1)(*2kNYkYjkYjkXop例：试利用DFT的对称特性求和的DFT。解：设因为所以n0cosn0sinnjenjnnx000sincos)(kNjNjNnkNjNkNNjnkNnjWeeWeWeWekXnxDFT000001111)()(10)(Recos0nxn kNkNkNkNkNjNjkNjNjepWWNWWNWeeWeekNXkXkXnxDFTnDFT20000*0cos21) 1cos(coscos1211112)()()()(Recos0000而因为所以)(Imsin0nxn kNkNkNkNkN

18、jNjkNjNjopWWNWNWjWeeWeejkNXkXkXjnxDFTnDFT20000*0cos21) 1sin(sinsin211112)()()(1)(Imsin0000、帕斯瓦尔（、帕斯瓦尔（ParsevalParseval）定理）定理证明：若y(n)=x(n),则即1010*)()(1)()(NnNkkYkXNnynx10*1010*10*1010*)()(1)()(1)(1 )()()(NkNkNnnkNNnNknkNNnkYkXNWnxkYNWkYNnxnynx10*10*)()(1)()(NkNnkXkXNnxnx102102| )(|1| )(|NkNnkXNnx、圆周卷

19、积、圆周卷积（）时域圆周卷积（）时域圆周卷积 设x1(n)和x2(n)都是N点的有限长序列，有若则此卷积过程与周期卷积和的过程是一致的，只不过这里要取结果的主值序列。公式中的只在0mN-1范围内取值，因而是圆周移位，因此这个卷积和称为圆周卷积圆周卷积和。和。 )()(11nxDFTkX)()(22nxDFTkX)()()(21kXkXkY)()()()()()()()(11022101nRmnxmxnRmnxmxkYIDFTnyNNNmNNNmNmnx)(200nn112x1(n)(a)(b)x2(n)0n121。)1 (2mx)(2mx0n1。0n12。)(2mx 0n12。)(1mx)2(

20、2mx012。ny(n)=x1n)x2n) 4图 两个有限长序列的圆周卷积和线性卷积0n34y(n)=x1(n)x2(n)0n340n4y(n)=x1(n)x2(n)y(n)=x1(n)*x2(n)n134y(n)=x1(n)x2(n)0312（）频域圆周卷积（）频域圆周卷积利用时域与频域的对称性，得到频域圆周卷积定理若则（）圆周相关定理（）圆周相关定理若则)()()(21nxnxny)()()(1)()()(1)()(11022101kRlkXlXNkRlkXlXNnyDFTkYNNNlNNNl)()()(*kYkXkRxy)()()()()()()()(*10*10mRmnxnymRmny

21、nxkRIDFTmrNNnNNNnxyxy（）用圆周卷积求线性卷积（）用圆周卷积求线性卷积 如果信号x(n)和单位抽样响应h(n)都是有限长序列，那么是否能用圆周卷积的运算来代替线性卷积运算呢？下面就这个问题加以讨论：设x1(n)是N1点的有限长序列，x2(n)是N2点的有限长序列。 x1(n) 和x2(n)的线性卷积： x1(m)的非零区间为0mN1-1， x2(n-m)的非零区间为0n-mN1-1，将两个不等式相加，得到 0nN1+N2-2102121)()()()()(Nmmlmnxmxmnxmxny x1(n) 和x2(n)的圆周卷积：假设x1(n) 和x2(n)进行L圆周卷积,Lma

22、x(N1,N2)，再讨论L等于何值时，圆周卷积才能代表线性卷积。将两个序列都补零为长度为L点的序列，即则1010()(1111LnNNnnxnx1010()(2222LnNNnnxnx)()()()(1021nRmnxmxnyLLmL将任一序列（这里采用x2(n)）变成L点周期延拓序列，即因此L L点的圆周卷积点的圆周卷积y(ny(n) )是线性卷积是线性卷积y yl l(n(n) )以以L L为周期的为周期的周期延拓序列的主值序列周期延拓序列的主值序列 结论：若若LNLN1 1+N+N2 2-1-1，则，则L L点圆周卷积能代表线性卷积。点圆周卷积能代表线性卷积。 rNrLnxnxnx)()

23、()(222)( )()( )()()( )()()()()()(210121011021nRrLnynRmrLnxmxnRmrLnxmxnRmnxmxnyLrlLrLmLrLmLLmL图 两个有限长序列的圆周卷积和线性卷积000nnn11234x1(n)y(n)=x1(n) x2(n)0n340n4y(n)=x1(n) x2(n)y(n)=x1(n)*x2(n)n134y(n)=x1(n) x2(n)0312(a)(b)(c)(d)(e)(f)x2(n)3443110012101111000111100011111001111100111110014432301210111100111110

24、1111101111101444412101111111111111111x(n)h(nh(n)=)=x(n)h(nh(n)=)=x(n)h(nh(n)=)=x(n)h(n)=134431000012101111000011110000111100001111100011111000111110001例：序列例：序列x(nx(n)=)=(n)+2(n-2)+(n)+2(n-2)+(n-3)(n-3)（1 1）求）求x(nx(n) )的的4 4点点DFTDFT。（2 2）若）若y(n)=x(n)y(n)=x(n)x(nx(n),),求求y(ny(n) )和和4 4点的点的Y(kY(k) )。（3

25、 3）若）若h(nh(n)= (n)+(n-1)+2)= (n)+(n-1)+2(n-3)(n-3)， 求求y(n)=x(n)y(n)=x(n)h(nh(n),),解解（1 1） (2)(2)30342421)()(nkknkNWWWnxkX)3(2)2(5) 1(4)(5)(2545)1(442412121)(34244246445444645444342434243424nnnnnyWWWWWWWWWWWWWWWWWkYkkkkkkkkkkkkkkkkk，因为（3 3）已知）已知h(nh(n)=1,1,0,2,x(n)=1,0,2,1)=1,1,0,2,x(n)=1,0,2,1 因此利用矩

26、阵运算，得到：因此利用矩阵运算，得到： y(ny(n)=2)=2(n)+5(n-1)+4(n-2)+5(n)+5(n-1)+4(n-2)+5(n-3)(n-3) 或或y(ny(n)=2,5,4,5)=2,5,4,5545212011102211002111021利用利用DFTDFT计算模拟信号的计算模拟信号的 傅立叶变换傅立叶变换( (级数级数) )对对对连续时间非周期信号的傅立叶对连续时间非周期信号的傅立叶 变换的变换的DFTDFT逼近逼近 连续时间非周期信号连续时间非周期信号x(tx(t) )的傅立叶变换对为的傅立叶变换对为用用DFTDFT方法计算这一变换对方法计算这一变换对: :dtet

27、xjXtj)()(dejXtxtj)(21)(、采样：对x(tx(t) )以T为间隔进行采样，即 由于 因此得到、截断：将序列x(nT)=x(n)截断成包含有N个抽样点的有限长序列，因此有由于时域抽样，抽样频率为fS=1/T，频域产生以fS为周期的周期延拓，若频域为带限信号，则有可能不产生频域混迭，而成为连续周期频谱。、频域抽样：在频域的一个周期中取N个样点，每个样点间隔为F0， fSF0。频域抽样使频域的积分式变成求和式，而在时域就得到原来已经截断的离散时间序列的周期延拓，时域周期为F0。因此有 )()(| )(nxnTxtxnTtnTdtTdtnTt,nnTjTenTxjX)()(sdej

28、XnTxnTj0)(21)(10)()(NnnTjenTxTjX10000,NkddkNTfNFTs001002 FNTTfFfTsss222200000得到一些参量关系：)()()(| )()(10210000nxDFTTenxTenTxTjXjkXNnnkNjNnnTjk因此得到：)(1)(1)(1)()(2)(01020102001020100000jkXIDFTTejkXNfejkXNNFejkXFejkXnTxNknkNjsNknkNjNknkNjNknTjk2 2对连续时间周期信号的对连续时间周期信号的 傅立叶级数的傅立叶级数的DFSDFS逼近逼近ktjkTtjkejkXtxdte

29、txTjkX000)()()(1)(00000010) 1(TNnTdtTnTTndt连续时间周期信号x(t)的傅立叶级数对为：T0为连续时间周期信号的周期.1010200)(1)()(0NnNnnkNjnTjkenxNenTxTTjkX1、时域抽样x(n)=x(nT)=x(t)|t=nT设一个周期内的样点数为1020100)(1)()(0NknkNjNknTjkejkXNNejkXnTx)(| )()()(1)(00jkXIDFSNtxnTxnxDFSNjkXnTt因此得到用DFS(DFT)来逼近连续时间周期信号傅立叶级数对的公式:、将频域离散序列截断，截断长度等于一个周期（时域抽样造成的频

30、域周期延拓的一个周期），有3 3利用利用DFTDFT对非周期连续时间信号傅对非周期连续时间信号傅立叶变换对逼近的全过程图解立叶变换对逼近的全过程图解4 4利用利用DFTDFT计算模拟信号时计算模拟信号时 可能出现的问题可能出现的问题、频域的混迭失真及参数的选择、频域的混迭失真及参数的选择、截断效应、截断效应、栅栏效应、栅栏效应）根据采样定理，只有当采样频率）根据采样定理，只有当采样频率f fS S大于信号的最高频率大于信号的最高频率f fh h两倍时，才能避免频域混迭。即两倍时，才能避免频域混迭。即f fS S2 f2 fh h。也就是抽样间隔为。也就是抽样间隔为T T满足满足=1/f=1/f

31、S S 1/2f 1/2fh h。实际信号的持续时间都是有限的，从理论上来说，其频谱宽度实际信号的持续时间都是有限的，从理论上来说，其频谱宽度是无限的，在工程上总是对信号先进行低通滤波是无限的，在工程上总是对信号先进行低通滤波预滤波或预滤波或抗混迭滤波，限制高于的频率分量出现。抗混迭滤波，限制高于的频率分量出现。）DFTDFT得到的频率函数也是离散的，其频域抽样间隔为得到的频率函数也是离散的，其频域抽样间隔为F F0 0，即频率分辨力即频率分辨力,T,T0 0=1/ F=1/ F0 0为最短信号记录长度。为了对全部信为最短信号记录长度。为了对全部信号进行采样，必须使抽样点数号进行采样，必须使抽

32、样点数N N满足条件满足条件00FfTTNs例例: :有一频谱分析用的有一频谱分析用的FFTFFT处理器处理器, ,其抽样点数必须是其抽样点数必须是2 2的整数幂的整数幂, ,假假定没有采用任何特殊的数据处理措施定没有采用任何特殊的数据处理措施, ,已知给定的条件为已知给定的条件为: :频率分辨率频率分辨率10Hz,10Hz,信号最高频率信号最高频率4kHz.4kHz.试确定以下参量：试确定以下参量：最小记录长度最小记录长度；抽样点间的最大时间间隔（最小抽样抽样点间的最大时间间隔（最小抽样频率）；频率）；在一个记录中最少点数在一个记录中最少点数解：解： 最小记录长度最小记录长度 抽样点间的最大

33、时间间隔抽样点间的最大时间间隔 sFT1 . 0101100sfTh3310125. 0104212180010242280010104221030mhNFfN取在实际中遇到的序列在实际中遇到的序列x(nx(n) )，其长度往往是很长，甚至是，其长度往往是很长，甚至是无限长的，用无限长的，用DFTDFT对其进行谱分析时，必须将它截断为长度对其进行谱分析时，必须将它截断为长度为为N N的有限长序列，即的有限长序列，即根据频率卷积定理，有根据频率卷积定理，有式中，式中，其中部分称为主瓣。其中部分称为主瓣。假设，则假设，则)()()(nRnxnyNdeReXeHeXeYjNjjjj)()(21)(*

34、)(21)()()2/sin()2/sin()()(21NenRFTeRNjNjNN2|)4()(nconnxljlleX)24()24()(|RN(e ej j)|X(e ej j)|Y(e ej j)|2/N-2/N/4-/40(a) RN(e ej j) )的幅频曲线的幅频曲线(b) X(e ej j) )的幅频曲线的幅频曲线(c) Y(e ej j)的幅频曲线的幅频曲线序列截断后的频谱与原序列频谱有着明显的序列截断后的频谱与原序列频谱有着明显的差别，这种差别对谱分析带来两方面的影响：差别，这种差别对谱分析带来两方面的影响：1 1）频谱泄露）频谱泄露原序列原序列x(nx(n) )的频谱是

35、离散谱线，经截断后使每根谱线都的频谱是离散谱线，经截断后使每根谱线都带上一个辛格谱，就好象使谱线向两边延伸，通常将这种因带上一个辛格谱，就好象使谱线向两边延伸，通常将这种因时域上的截断导致频谱展宽称之为时域上的截断导致频谱展宽称之为“泄露泄露”，显然泄露使频，显然泄露使频谱变得模糊，分辨率降低。谱变得模糊，分辨率降低。2 2）谱间干扰）谱间干扰因截断使在主谱线两边形成许多旁瓣，引起不同分量间因截断使在主谱线两边形成许多旁瓣，引起不同分量间的干扰，称之为谱间干扰，这不仅影响频谱分辨率，严重时的干扰，称之为谱间干扰，这不仅影响频谱分辨率，严重时强信号的旁瓣可能湮灭弱信号的主谱线，或者将强信号谱的强信号的旁瓣可能湮灭弱信号的主谱线，或者将强信号谱的旁瓣误认为是另一信号的