全等三角形典型例题（1）

1、天道酬勤三角形的全等判定一、证明三角形全等的思路全等三角形的判定公理及推论     （1）边角边公理（SAS）  （2）角边角公理（ASA）     （3）角角边推论（AAS）  （4）边边边公理（SSS）     （5）斜边、直角边公理（HL）二、全等三角形的应用证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。三、例题分析例1：如图，是一个屋顶钢架，A

2、B=AC，D是BC中点。求证：分析：要证明，就必须证出1=2，才能知道1=2=90°，可得。怎么才能证出1=2呢，从题目条件可看出，只要证出和全等即可，分析一下这两个三角形全等条件够吗？显然可利用“边边边”公理可证。证明：在和中 （SSS）1=2（全等三角形对应角相等）（平角定义）（垂直定义）例2：已知：如图，AB=AD，BC=DC。求证：B=D。分析：要证B=D，显然在和中。若，就必然得出B=D。如何证明和全等呢，全等条件具备哪些呢？已知AB=AD，BC=DC只差一个条件，就可以用“边边边”公理了。同学们自己想一想，为什么不选择“边角边”公理呢？这样只要连结AC便是公共边。证明：连

3、结AC 在和中 （边边边）B=D同学们想一想，能不能连结BD两点呢，目前来说，还不行，等以后学习面多了，自然也是可证明的，只是我们在添加辅助线时，尽量保留下已知条件和要证明的结论的完整性。例3：如图，AB=AE，AC=AD，BC=DE。求证：CAE=DAB分析：从求证CAE=DAB一种考虑，可以从现成的已知条件入手，直接证明，得出BAC=EAD，再通过等式性质可得CAE=DAB。另外也可以考虑，变化一下已知条件，根据等式性质，先求出BD=EC，再证再出结论也可以。证明（一）：在和中（边边边）BAC=EAD（全等三角形对应角相等）BACCAD=EADCAD（等式性质）即CAE=DAB证明（二）：

4、BC=DE（已知）BCCD=DECD（等式性质）即BD=EC在和中（边边边）CAE=DAB（全等三角形对应角相等）例4：已知：如图，AB=CD，AD=BC。求证：AB/DC B=D分析：从要求证的结论AB/DC，来考虑，显然需要先证出角等。（或同位角，内错角等）（或同旁内角互补）方可知道两直线平行，为了此目的，我们选定好辅助线，连结AC，就可达此目的，只要证出连结对角线后所分成的两个三角形全等就可以了。证明：连结AC 在和中 （边边边）1=2（全等三角形对应角相等）AB/DC（内错角相等，两直线平行）B=D（全等三角形对应角相等）例5：已知：两个三角形的两边及第三边上的中线对应相等，求证这两个

5、三角形全等。分析：命题的证明，要转化成几何证明格式，既根据命题的题设和结论，写出已知，求证，证明，画出几何图形。已知：在和中，AD、是中线，且AD=。求证：分析：从结论上，要证，显然只有两条边对应相等，欲证全等，必须找第三个条件，或者说，只有证出两边的夹角相等，或证出第三边相等，才能达到要证明的目的，此题的关键是中线AD=，如何发挥其作用，是我们初学者应该认真学习掌握的。AD=，若倍长AD到E，到仍是等量，再连结BE，可将AC转移到BE，转移到这样，问题可以得到解决。证明：延长AD到E，使DE=AD，连结BE 延到，使，连结 在和中 （边角边）BE=AC（全等三角形对应边相等） E=3（全等三

6、角形对应角相等）同理可证在和中（边边边）5=6（全等三角形对应角相等）（等式性质）在和中（边角边）小结：在证题中，遇到中线，往往给它倍长，使问题转化，同学们不妨在证题时，试一试用中线倍长这一规律。并且，欲证出某一结论，有时又不是一次全等就可以证明的，它有时需要通过两次全等，或再经过等式性质方可达到证明的目的。这就更需要认真学习几何的分析法，提高逐步推理的能力。斜边、直角边公理：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（简写成“斜边直角边”或“HL”）此公理，可以通过画图法加深对它的认识、理解和掌握。例6：已知：如图，在和中，CD，分别是高，且，。求证：分析：从求证来看，它们是和的对应角

7、，或和的对应角，很显然，要证，首先应考虑先证出上述两组三角形全等，从已知条件上看，只要再证出，就可以达到证，证明目的就能达到。证明：CD，分别是和的高（已知） 在和中 （HL） （全等三角形对应角相等） 在和中 （ASA） 例7：已知，如图ACE=90°，AC=AE，B为AE上一点，EDCB于D，AFCB交CB延长线于F。求证：DF=CFAF分析：从结论上分析，DF=CFAF，从图中可直接看出DF=CFCD，那么现在只要求出CD是否等于AF，所以证明CD=AF，显然是问题的关键所在，而要证明CD=AF，很容易得出就要证明，现在，看它们全等的条件，已知有AC=CE，F=2=90

8、6;，如何寻找另外一个全等条件呢？再回过头来仔细分析，吃透已知条件，不难看出3与4是互为余角，而1与4也是互为余角，得出3=1，问题得到解决。证明：ACE=90°（已知）即34=90°EDCB于D（已知）2=90°1=3（同角的余角相等）AFCB于F（已知）F=90°在和中（角角边）AF=CD（全等三角形对应边相等）DF=CFDCDF=CFAF（等量代换）例8：已知：如图，A=D=90°，AC、BD交于点O，且AC=BD。求证：OB=OC分析：同学自己分析一下所要证明的结论OB=OC，显然在和当中，而这两个三角形，具备A=D，1=2，这两个角相

9、等的条件，若要证明这两个三角形全等，必须只能找一条边相等，要求证的OB=OC不能当作条件来找了，那么，就只剩下AB和DC可以利用了，同学不难发现，AB和DC不仅是和的对应边，同时还是和的对应边，所以只要证出就迎刃而解了。证明：A=D=90°（已知） 在Rt和Rt中 RtRt（HL） AB=DC（全等三角形对应边相等） 在和中 （角角边） OB=OC（全等三角形对应边也相等）小结：全等三角形的证明，几个公理都已学完，这对于证明一个结论，一定更加灵活，思路也更加广泛，但同时也增加了难度，要注意以下几点：1、搞清楚概念，记住公理性质等。弄清知识之间的关系，使知识系统化，另外学会从不同角度整

10、理，归纳知识，以便于灵活运用这些知识，如，可以整理一下都学过哪些可以证明角相等、线段相等的定理（或公理），哪些定理是互逆的，本章学过哪些辅助线的作法。2、注意掌握最常见的基本图形，学会分析所遇到的图形是由哪些基本图形变化而来的。3、养成良好的思维习惯，学会对问题进行“分析”，既从证明的结论入手，逆推过去，如果和已知条件相符合，或已知条件可满足，再加以证明。4、不断总结、不断思索，一般较为复杂的几何证明题，不会是一次全等就可以证明的，往往过程比较复杂，所以方法也不可能就是一种，同学们不妨试一试，不同的证法，这样不断思索、不断提高，逐步提高逻辑推理能力。【专项训练】：一、判断正误（对的打，错的打×）1、两边和一个角对应相等的两个三角形全等。（）2、如果，D在BC上，在上且，那么一定有。（ ）3、如果，D在BC上，在上且，那么一定有。（ ）4、三个角对应相等的两个三角形全等。（）5、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（）6、一锐角和一直角边对应相等的两个直角三角形全等。（）7、一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等。（）8、一腰相等的两个等腰直角三角形全等。（）三、证明题：1、已知：如图，AB、CD、EF互相平分于O点。求证：2、已