复变函数积分

1、 Department of Mathematics第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分 Department of Mathematics第一节第一节 复积分的概念及其简单性质复积分的概念及其简单性质 1 1、复变函数积分的的定义、复变函数积分的的定义 2 2、积分的计算问题、积分的计算问题3 3、基本性质、基本性质一、复变函数积分的定义1.有向曲线有向曲线: 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲线曲线, , 如果选定如果选定C的两个可能方向中的一个作的两个可能方向中的一个作为正方向为正方向( (或正向或正向), ), 那么我们就把那么我

2、们就把C理解为带理解为带有方向的曲线有方向的曲线, , 称为称为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, . C记为记为简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线简单闭曲线C(周线周线)的正向的正向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P顺此方顺此方向前进时向前进时, , 邻近邻近P点的曲线点的曲线的内部始终位于的内部始终位于P点的左方点的左方. xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中在今后的讨论中,常把两个端

3、点中的一个作常把两个端点中的一个作为起点为起点, 另一个作为终点另一个作为终点, 除特殊声明外除特殊声明外, 正方正方向总是指从起点到终点的方向向总是指从起点到终点的方向.2. 定义定义3.1( ),( ) , ( ) , azbzf zCCab以为起点为终点沿 有定义 顺着从 到 的方向取设分点oxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1 (1,2, ),kkkzzkn在每个弧段上任意取一点设有向曲线C( ),()zz tt 011,kknazzzzzb把曲线C分成若干弧段,作和式1 (),nnkkkSfz1 (),nnkkkSfzoxyab1 nzkz1 kz2z1zk C1 2

4、 1 , , ,( )(),( )(),( ):kkknCzzzSJf zCabJf zCabf z dz其中当分点无限增多 而这些弧段长度的最大值趋于零时 如果和数 的极限存在且等于则称沿从 到可积 而称 为沿从 到的积分 并记号表示( )d .CJf zz.C称为积分路径( )d,Cf zzC表示沿 正方向积分( )dCf zzC表示沿 负方向积分.关于定义的说明关于定义的说明:(1) , ( ),.baJJf z dzJa bC如果 存在 一般不能把 写成因为的值不仅和有关 而且和积分路径 有关(2) ( ),( ).f zCf zC沿 可积的必要条件是沿 有界1(3)( )dlim()

5、.nkkCnkf zzfz3. 定理定理3.1( )( , )( , ),( ) ,f zu x yiv x yCf zC若函数沿曲线 连续则沿可积 且证明证明 ),()()( ttyitxtzzC由参数方程给出由参数方程给出设光滑曲线设光滑曲线正方向为参数增加的方向正方向为参数增加的方向, , BA及终点及终点对应于起点对应于起点及及参数参数 ( )dCCCf zzudxvdyivdxudy, 0)( ttz并且并且 , ),(),()( 内处处连续内处处连续在在如果如果Dyxviyxuzf , ),( ),( 内均为连续函数内均为连续函数在在和和那么那么Dyxvyxu , kkki 设设

6、)( 111 kkkkkkkiyxiyxzzz因为因为 )()(11 kkkkyyixx, kkyix 1()nnkkkSfz nkkkkkkkyixviu1)(,(),( 1 (,)(,)nkkkkkkkuxvy , , 都是连续函数都是连续函数由于由于vu根据线积分的存在定理根据线积分的存在定理,所以1 (,)(,)nkkkkkkkivxuy 当当 n 无限增大而弧段长度的最大值趋于零时无限增大而弧段长度的最大值趋于零时, , , ),( , 下式两端极限存在下式两端极限存在的取法如何的取法如何点点的分法任何的分法任何不论对不论对kkC nkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviy

7、vxuzf111),(),(),(),()( Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i : ddd )(相乘后求积分得到相乘后求积分得到与与yixzivuzf Czzfd)( Cyixivu)dd)( Cyvyiuxivxudddd.dddd CCyuxviyvxu Czzfd)( Cyvxudd Cyuxvdd i 在形式上可以看成是在形式上可以看成是公式公式即复函数积分可表为两个实积分即复函数积分可表为两个实积分.二二. 复变函数积分的计算问题复变函数积分的计算问题( ),f zC沿 连续 则设有向曲线C( )( )( ),()zz tx tiy tt ( ) ( ) ( )d(

8、3.2)Cf z dzf z t z tt( )Re ( ) ( )dIm ( ) ( )d(3.3)Cf z dzf z t z ttif z t z tt复积分的变量代换公式或证明证明( )dCf zzddddCCu xv yiv xu y ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )du x ty t x tv x ty ty tt ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )div x ty t x tu x ty ty tt tty itxtytxivtytxud)()()(),()(),(.d)()( ttztzf注注用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从

9、积分路径的参数方程着手,称为参数方程法.例例1 解解. , , ,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 innerizxyor0z , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所以所以 . 0, 0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路

10、径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. .,d20 inneri Cnzzzd)(110三、复变函数积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf12 (4) , , nCC CC如果是由等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线 则12( )( )d( )d( )d .nCCCCf z dzf zzf zzf zz , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf

11、zMf zzf zsML设曲线 的长度为函数在上连续且满足那末估值不等式估值不等式22(5)( )d( )d( ) d ,()()CCCf zzf zzf zsdzdxdyds弧长微分(6)积分估值积分估值定理定理3.2证明证明 , 1两点之间的距离两点之间的距离与与是是因为因为 kkkzzz , 度度为这两点之间弧段的长为这两点之间弧段的长ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)( nkkksf1)( 两端取极限得两端取极限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因为因为 nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所以所以证毕证毕证明证明 2,

12、(01) Cztit 的参数方程为而而C之长为之长为2,根据估值不等式知根据估值不等式知21dCzz21dCsz2211zz例例221 d2, 2 CzzCii试证积分路径为连接 到点的直线段.21 ,Cz因为在上连续 且1212ti2141tdCs22xyo2i2i例例3 , . izCe dzCzRRR试证积分路径为圆周的上半圆周从 到证明证明 :Re , (0) iC zizCe dzizCedzsin0ReRdsin202ReRd2sin,(0)2由2202ReRd(1)ReizCe dz220|Re xy0R .R.例例4 解解. 1 1 (3) ; 1 (2) ; 1 (1) :

13、,dRe 2的折线的折线再到再到轴到点轴到点从原点沿从原点沿的弧段的弧段上从原点到点上从原点到点抛物线抛物线的直线段的直线段从原点到点从原点到点为为其中其中计算计算ixixyiCzzC (1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),10()( titttz,d)1(d,Re tiztz 于是于是 CzzdRe 10d)1(tit);1(21i xyoi 11iy=x(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为xyoi 11iy=x2xy ),10()(2 titttz,d)21(d,Re ttiztz 于是于是 CzzdRe 10d)21(titt1032322 tit;3221i

14、xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为),10()( tttz1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为),10(1)( tittz,dd,Re tztz 于是于是,dd, 1Re tizz 于是于是 CzzdRe 10dtt 10d1ti.21i 积分路径不同积分路径不同,积分结果也可能不同积分结果也可能不同.例例5 解解, 12zdzzz计算积分其中 为圆环及实轴积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为:21,I ztt zdzz12dtxyo2C1C1212III2:2(0),iCze1:(0),iCze:12,II ztt Izdzz1Czdzz2CzdzzIIzdzz0diiieiee21dt022d2iiieiee.所围区域位于上半平面部分的边界112dt0diiieiee21dt022d2iiieiee3