复变函数积分(总结)

1、复变函数积分复变函数积分小结小结1. 复变函数积分的概念：复变函数积分的概念：knkknczfdzzf)(lim)(1 连连续续，沿沿光光滑滑曲曲线线被被积积函函数数Cyxivyxuzf),(),()(积分存在的条件：积分存在的条件：2. 2. 复变函数积分的计算复变函数积分的计算ccdyyxudxyxvidyyxvdxyxu),(),(),(),(C)(zfdzC),(),(yxivyxuidydx （很少使用，多用作理论推导）（很少使用，多用作理论推导）)(tzfdttz)( （”万能公式万能公式”，只要，只要 C C 的复数方程可以写出）的复数方程可以写出）特殊情形，特殊情形，）内处处解

2、析）内处处解析在复平面（或单连通域在复平面（或单连通域若若)(zfdzzfzz10)()(1zG)(0zGdzzfC)(原原函函数数为为的的起起点点，终终点点；分分别别为为)()(,zfzGCzz10分部积分公式仍成立分部积分公式仍成立Cdzzf)(若积分曲线若积分曲线 C 为闭曲线为闭曲线解解析析的的情情况况首首先先，判判定定被被积积函函数数)(zf则则所所围围成成的的区区域域内内解解析析，在在积积分分闭闭曲曲线线若若被被积积函函数数Czf)()(10Cdzzf)(个个奇奇点点，所所围围成成的的区区域域内内只只有有一一在在积积分分闭闭曲曲线线若若被被积积函函数数Czf)()(2为为零零的的点

3、点。且且该该奇奇点点是是使使分分母母0zz 0zzzgzf)()(若若)()()(002zgidzzzzgdzzfCC :,.,)()(nzzzDCzf213包包含含多多个个奇奇点点内内围围成成的的区区域域在在积积分分闭闭曲曲线线若若被被积积函函数数的的条条件件一一起起满满足足复复合合闭闭路路定定理理使使它它们们与与，的的闭闭曲曲线线条条分分别别包包含含奇奇点点作作CCCCzzznnn,.,.,2121Cdzzf)(nkCkdzzf1)(=接下来，一般可按照情形（接下来，一般可按照情形（2 2）利用柯西积分公式进行计算）利用柯西积分公式进行计算问题：问题：若柯西积分公式不能利用的话，若柯西积分

4、公式不能利用的话， ？第五章，将给出一个计算积分简单实用的第五章，将给出一个计算积分简单实用的“万能公式万能公式”3. 3. 解析函数的性质解析函数的性质1. 在（多）连通域内解析的函数沿（多）连通域的边界积分值为在（多）连通域内解析的函数沿（多）连通域的边界积分值为0。0dzzf)( dzfizfC)()(213.解析函数可利用积分形式表示解析函数可利用积分形式表示 4.4.解析函数解析函数的的任意阶的导数任意阶的导数都是都是存在存在的的, ,且都是且都是解析函数解析函数. .2. 2. 区域区域内的内的解析函数解析函数 ，只要，只要边界上的函数值边界上的函数值给定，则给定，则区域内区域内

5、任意点的函数值任意点的函数值也就完全确定；且其模也就完全确定；且其模 在边界处取得极值在边界处取得极值)(zf)(zf例例1：dzzzzc23121)(cos21zC为为正正向向圆圆周周解：解：域域内内解解析析，在在积积分分曲曲线线所所围围成成的的区区被被积积函函数数23121)(coszzz012123dzzzzc)(cos的的复复数数方方程程21zC : 2021iez)(dzzzzc23121)(cos dieeeeiiii211212211212023cos？? ?？dzzzccc21sin例例2 2：负负向向11zc :正正向向32zc :解：解：dzzzccc21sindzzzc1

6、sindzzzc2sindzzzc1sin对对于于为为零零的的点点）分分母母个个奇奇点点，所所围围成成的的区区域域内内恰恰有有一一在在积积分分曲曲线线001zzCzz(sin为负向的圆周为负向的圆周注意：注意：1C0201zczidzzzsinsin dzzzc2sin对对于于为为零零的的点点）分分母母个个奇奇点点，所所围围成成的的区区域域内内恰恰有有一一在在积积分分曲曲线线001zzCzz(sin0202zczidzzzsinsin 所以，所以，021dzzzcccsindzzzzc 2)1)(1(例例3 3：211zC为为正正向向圆圆周周)(0112dzzzzc)(域域内内解解析析在在积积

7、分分曲曲线线所所围围成成的的区区被被积积函函数数211)(zzz解：解：dzzzzc 2)1)(1(2112zC为为正正向向圆圆周周)(dzzzzc211)(解：解：1112zzzz域内只有一个奇点域内只有一个奇点在积分曲线所围成的区在积分曲线所围成的区被积函数被积函数)(111122zzzzzz)()(为为零零的的点点分分母母1zdzzzzc112)(1212zzzi)( 2i 2113zC为为正正向向圆圆周周)(dzzzzc 2)1)(1(dzzzzc211)(解：解：1112zzzz域内只有一个奇点域内只有一个奇点在积分曲线所围成的区在积分曲线所围成的区被积函数被积函数)(221111)()(zzzzzz为为零零的的点点分分母母)( 1zdzzzzc211)(1112zzzi)( 2i 414zC为为正正向向圆圆周周)(dzzzzc 2)1)(1(解：解：1111212zzzzz域内有两个奇点域内有两个奇点在积分曲线所围成的区在积分曲线所围成的区被积函数被积函数)(2121CCzz,构构造造小小的的闭闭曲曲线线分分别别围围绕绕根据