三角函数 三角函数公式表

1、常见三角函数在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x,y)。 在这个直角三角形中，y是的对边，x是的邻边，r是斜边，则可定义以下六种运算方法： 基本函数英文表达式语言描述正弦函数Sinesin =y/r角的对边比斜边余弦函数Cosinecos =x/r角的邻边比斜边 正切函数Tangenttan =y/x角的对边比邻边余切函数Cotangentcot =x/y角的邻边比对边正割函数Secantsec =r/x角的斜边比邻边余割函数Cosecantcsc =r/y角的斜边比对边注：tan、cot曾被写作tg、ctg，现已不用这种写法。 非常见三角

2、函数除了上述六个常见的函数，还有一些不常见的三角函数，这些运算已趋于淘汰： 函数名与常见函数转化关系正矢函数versin =1-cos 余矢函数covers =1-sin 半正矢函数havers =(1-cos )/2半余矢函数hacovers =(1-sin )/2外正割函数exsec =sec -1外余割函数excsc =csc -1单位圆定义六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在 0 和 /2 弧度之间的角。它也提供了一个图像

3、，把所有重要的三角函数都包含了。根据勾股定理，    三角函数单位圆的方程是：x2+y2=1 图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同 x 轴正半部分得到一个角 ，并与单位圆相交。这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos 和 sin 。图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有 sin = y/1 和 cos = x/1。单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式。 对于大于 2 或小于等于2 的角度，可直接继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正

4、弦和余弦变成了周期为 2的周期函数：对于任何角度 和任何整数 k。 周期函数的最小正周期叫做这个函数的“基本周期”。正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是 2 弧度或 360°；正切或余切的基本周期是半圆，也就是 弧度或 180°。上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数的定义如图所示。    其他四个三角函数的定义在正切函数的图像中，在角 k 附近变化缓慢，而在接近角 (k + 1/2) 的时候变化迅速。正切函数的图像在 = (k + 1/2) 有垂直渐近线。这是因为在 从左侧接进 (k + 1/2) 的时候函数接近正无穷，而

5、从右侧接近 (k + 1/2) 的时候函数接近负无穷。 另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为 O 的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。特别    三角函数是，对于这个圆的弦 AB，这里的 是对向角的一半，sin 是 AC（半弦），这是印度的阿耶波多介入的定义。cos 是水平距离 OC，versin = 1-cos 是 CD。tan 是通过 A 的切线的线段 AE 的长度，所以这个函数才叫正切。cot 是另一个切线段 AF。 sec = OE 和 csc = OF 是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作 OA 沿着 A 的切线分别向水平和垂直轴的投影。DE

6、是 exsec = sec -1（正割在圆外的部分）。通过这些构造，容易看出正割和正切函数在 接近 /2的时候发散，而余割和余切在 接近零的时候发散。 三角函数线依据单位圆定义，    三角函数线我们可以做三个有向线段（向量）来表示正弦、余弦、正切的值。 如图所示，圆O是一个单位圆，P是的终边与单位圆上的交点，M点是P在x轴的投影，S(1,0)是圆O与x轴正半轴的交点，过S点做圆O的切线l。 那么向量MP对应的就是的正弦值，向量OM对应的就是余弦值。OP的延长线（或反向延长线）与l的交点为T，则向量ST对应的就是正切值。向量的起止点不能颠倒，因为其方向是有意义的。 借助线三

7、角函数线，我们可以观察到第二象限角的正弦值为正，余弦值为负，正切值为负特殊角的三角函数 角度sincostancot0°010无意义30°1/23/23/3345°2/22/21160°3/21/233/390°10无意义0180°0-10无意义270°-10无意义0同角三角函数关系式 平方关系sin2()+cos2()=1 cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=1- 2sin2(a)=2cos2(a)-1 sin(2a)=2sin(a)cos(a) tan2()+1=1/cos2() 2sin2(a)=1-cos

8、(2a) cot2()+1=1/sin2(a) 积的关系sin=tan×cos cos=cot×sin tan=sin×sec cot=cos×csc sec=tan×csc csc=sec×cot倒数关系tan ·cot1 sin ·csc1 cos ·sec1商的关系sin/costansec/csc cos/sincotcsc/sec    三角函数直角三角    三角函数形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对

9、边比邻边, ·对称性 180度-的终边和的终边关于y轴对称。 -的终边和的终边关于x轴对称。 180度+的终边和的终边关于原点对称。 90度-的终边和的终边关于y=x对称。 诱导公式 公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等 k是整数sin（2k）sin cos（2k）cos tan（2k）tan cot（2k）cot 公式二： 设为任意角，+的三角函数值与的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式三： 任意角与 -的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式

10、四： 利用公式二和公式三可以得到-与的三角函数值之间的关系sin（）sin cos（）cos tan（）tan cot（）cot 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2-与的三角函数值之间的关系sin（2）sin cos（2）cos tan（2）tan cot（2）cot公式六： /2±及3/2±与的三角函数值之间的关系sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（/2）cos cos（/2）sin tan（/2）cot cot（/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3

11、/2）tan sin（3/2）cos cos（3/2）sin tan（3/2）cot cot（3/2）tan诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则） sincostancotseccsc360°k+sincostancotseccsc90°-cossincottancscsec90°+cos-sin-cot-tan-cscsec180°-sin-cos-tan-cot-seccsc180°+-sin-costancot-sec-csc270°-cos-sincottan-csc-sec270°+-cossin-cot

12、-tancsc-sec360°-sincos-tan-cotsec-csc-sincos-tan-cotsec-csc定名法则 90°的奇数倍+的三角函数，其绝对值与三角函数的绝对值互为余函数。90°的偶数倍+的三角函数与的三角函数绝对值相同。也就是“奇余偶同，奇变偶不变” 定号法则 将看做锐角（注意是“看做”），按所得的角的象限，取三角函数的符号。也就是“象限定号，符号看象限”.（或为“奇变偶不变，符号看象限” 2在K/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。正负号看原函数中所在象限的正负号。关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第

13、一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切、余切为正，第四象限余弦为正。） 比如:90°+。定名：90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：将看做锐角，那么90°+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。所以sin(90°+)=cos , cos(90°+)-sin 这个非常神奇，屡试不爽 还有一个口诀“纵变横不变，符号看象限”，例如：sin(90°+)，90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将看做锐角，那么90°+是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin(90&

14、#176;+)=cos 两角和与差的三角函数cos(+)=cos·cos-sin·sin cos(-)=cos·cos+sin·sin sin(±)=sin·cos±cos·sin tan(+)=(tan+tan)/(1-tan·tan) tan(-)=(tan-tan)/(1+tan·tan) 和差化积公式sin+sin=2sin(+)/2cos(-)/2 sin-sin=2cos(+)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos(+)/2cos(-)/2 cos-cos=-2sin(+)/

15、2sin(-)/2 积化和差公式sin·cos=(1/2)sin(+)+sin(-) cos·sin=(1/2)sin(+)-sin(-) cos·cos=(1/2)cos(+)+cos(-) sin·sin=-(1/2)cos(+)-cos(-) 倍角公式sin(2)=2sin·cos=2/(tan+cot) cos(2)=(cos)2-(sin)2=2(cos)2-1=1-2(sin)2 tan(2)=2tan/(1-tan2) cot(2)=(cot2-1)/(2cot) sec(2)=sec2/(1-tan2) csc(2)=1/2*s

16、ec·csc 三倍角公式sin(3) = 3sin-4sin3 = 4sin·sin(60°+)sin(60°-) cos(3) = 4cos3-3cos = 4cos·cos(60°+)cos(60°-) tan(3) = (3tan-tan3)/(1-3tan2) = tantan(/3+)tan(/3-) cot(3)=(cot3-3cot)/(3cot2-1) n倍角公式sin(n)=ncos(n-1)·sin-C(n,3)cos(n-3)·sin3+C(n,5)cos(n-5)·sin

17、5- cos(n)=cosn-C(n,2)cos(n-2)·sin2+C(n,4)cos(n-4)·sin4- 半角公式sin(/2)=±(1-cos)/2) cos(/2)=±(1+cos)/2) tan(/2)=±(1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos)=(1-cos)/sin cot(/2)=±(1+cos)/(1-cos)=(1+cos)/sin=sin/(1-cos) sec(/2)=±(2sec/(sec+1) csc(/2)=±(2sec/(sec-1) 辅助角公式Asin+Bcos=(

18、A2+B2)sin(+）（tan=B/A） Asin+Bcos=(A2+B2)cos(-）（tan=A/B） 万能公式sin(a)= (2tan(a/2)/(1+tan2(a/2) cos(a)= (1-tan2(a/2)/(1+tan2(a/2) tan(a)= (2tan(a/2)/(1-tan2(a/2) 降幂公式sin2=(1-cos(2)/2=versin(2)/2 cos2=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 tan2=(1-cos(2)/(1+cos(2) 三角和的三角函数sin(+)=sin·cos·cos+cos·sin·c

19、os+cos·cos·sin-sin·sin·sin cos(+)=cos·cos·cos-cos·sin·sin-sin·cos·sin-sin·sin·cos tan(+)=(tan+tan+tan-tan·tan·tan)/(1-tan·tan-tan·tan-tan·tan) 其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2)2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2)2 csc(a)=1/s

20、in(a) sec(a)=1/cos(a) cos30=sin60 sin30=cos60 推导公式tan+cot=2/sin2 tan-cot=-2cot2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin=sin(/2)+cos(/2)2 其他及证明sin+sin(+2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+sin+2*(n-1)/n=0 cos+cos(+2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+cos+2*(n-1)/n=0 以及 sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+

21、tanB-tan(A+B)=0 cosx+cos2x+.+cosnx= sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx 证明： 左边=2sinx(cosx+cos2x+.+cosnx)/2sinx =sin2x-0+sin3x-sinx+sin4x-sin2x+.+ sinnx-sin(n-2)x+sin(n+1)x-sin(n-1)x/2sinx （积化和差） =sin(n+1)x+sinnx-sinx/2sinx=右边 等式得证 sinx+sin2x+.+sinnx= - cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx 证明: 左边=-2sinxsinx+sin2x+.+s

22、innx/(-2sinx) =cos2x-cos0+cos3x-cosx+.+cosnx-cos(n-2)x+cos(n+1)x-cos(n-1)x/(-2sinx) =- cos(n+1)x+cosnx-cosx-1/2sinx=右边 等式得证 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa =4cos3a-3cosa si

23、n3a=3sina-4sin3a =4sina(3/4-sin2a) =4sina(3/2)2-sin2a =4sina(sin260°-sin2a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60°-a)/2*2sin(60°-a)/2cos(60°+a)/2 =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos3a-3cosa =4cosa(cos2a-3/4) =4cosacos2a-(3/2)2 =4cosa(cos

24、2a-cos230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos(a+30°)/2cos(a-30°)/2*-2sin(a+30°)/2sin(a-30°)/2 =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin90°-(60°-a)sin-90°+(60°+a) =-4cosacos(60°-a)-cos(60°+a) =4cosacos(60°-a)cos(6

25、0°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)三角形与三角函数1、正弦定理：在三角形中，各边和它所对的角的正弦的比相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (其中R为外接圆的半径) 2、第一余弦定理：三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的和，即a=c cosB + b cosC 3、第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即a2=b2+c2-2bc·cosA 4、正切定理(napier比拟)：三角形中任意两边差和的比值等于对应

26、角半角差和的正切比值，即（a-b）/(a+b)=tan(A-B)/2/tan(A+B)/2=tan(A-B)/2/cot(C/2) 5、三角形中的恒等式： 对于任意非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明: 已知(A+B)=(-C) 所以tan(A+B)=tan(-C) 则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地,我们同样也可以求证:当+=n(nZ)时，总有tan+tan+tan=tantantan  

27、  三角函数图像三角函数图像： 定义域和值域sin(x),cos(x)的定义域为R,值域为-1,1 tan(x)的定义域为x不等于/2+k,值域为R cot(x)的定义域为x不等于k,值域为R y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域为 c-(a2+b2) , c+(a2+b2） 初等三角函数导数y=sinx-y'=cosx y=cosx-y'=-sinx y=tanx-y'=1/cos2x =sec2x y=cotx-y'= -1/sin2x = - csc2x y=secx-y'=secxtanx y=cscx-y'=-cscxcotx y=arcsinx-y'=1/(1-x2) y=arccosx-y'= -1/(1-x2) y=arctanx-y'=1/(1+x2) y=arccotx-y'= -1/(1+x2) 倍半