《数系的扩充》高中数学选修2—2教案

1、数系的扩充高中数学选修22教案【目标】1. 了解实数系扩充的原因和过程，理解虚单位 i 的概 念，理解复数代数形式、实部、虚部、纯虚数、虚数等概念；2. 理解复数相等概念，了解复数系与实数系的关系；3.感受数系的扩充和复数的诞生都是人类思想的创 新和大解放，每次都引发对自然界更深层次的认识，推动了 科学的进步.【重点】 复数的诞生及其概念.复数的分类和复数相等.【难点】 .虚单位 i 的的概念.虚单位 i 的第二条性质.【程序】 1问题情境问题 1 自然数集 N、整数集 Z、有理数集 Q.实数集 R 之 间有怎样的包含关系呢？ey:NZ, ZQ QR,总之 NZQR,.接着问：这些数是怎样产生

2、的？ey:为了计数产生了自然数，为了表示各种具有相反意义的量产生了负数； 为了测量等产生了分数为了度量正方形对角线的长产生了无理数.发现 1:数集在按照某种“规则”不断扩充，数系与运算联系紧密，.人们总希望数系中的运算能够在本数系中畅通无阻.数系的每一次扩充的效果，是解决了在原有数集中某种运算受阻的矛盾，负数解决了在正数集中不够减的矛盾，分数解决了在整数中不能整除的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾 .接着问：数系一般按照什么样的“规则”扩充？ey: “规则”就是在原有数系的基础上“添加”新的数 . 2.实数系也面临着问题数系扩到实数系 R 以后，因为没有一个实数的平方等于-1.问题：这表明什

3、么运算在实数系R 中不能畅通无阻？从方程的观点看，像 x2= - 1 这样的方程在实数系 R 还 是无解的.让我们尝试来克服这个矛盾. 3.大胆类比、解放思想评：自然数 N 中“添加”新数-1，就“忽如一夜春风来， 千树万树梨花开”在实数中引入了一个新数，也能取到这种效果吗？ 4.严格定义、理清思路我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定它的平方等于-1，即；实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.这就规定了虚数单位 i 的两条本质属性. 5.“添加”虚数单位，诞生新的数系i 与实数相乘，得形如 bi 的数，当 bz0 时，称 bi 为纯 虚数.这就“忽如一夜春风来，

4、千树万树梨花开”形如 bi 的数与实数相加，得形如的数叫复数.复数的定义：形如的数叫复数，叫复数的实部，叫复数 的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 c 表示复数通常用字母 z 表示，即，把复数表示成的形式，叫 做复数的代数形式 6.复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系对于复数，当且仅当 b=0 时，复数是实数；当 bz0 时，复数叫做虚数；当 bz0 且=0 时，叫做纯虚数；当且仅当=b=0 时，z=+bi 就是实数 0. 7.例题解析例 1 请说出复数 4, 0, 6 的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数?由学生回答：例 2 实数取什么数值时， 复数 z=+i

5、是：实数？虚数？纯 虚数？【分析】因为 R 所以+1, - 1 都是实数，由复数 z=a+bi 是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定的值.解：当一仁 0,即=1 时，复数 z 是实数；当一 1 工 0,即工 1 时，复数 z 是虚数；当=0,且1 工 0 时，即=0 时，复数 z 是纯虚数. 8.复数相等的定义相等的复数定义：设 a, b, c, d R a+ bi = c + di. 若,.例 3.已知+i=+i ,其中 x, y R 求 x 与 y 的值.解：根据复数相等的定义，得，所以x=3 , y= 2复数相等的定义是求复数值，在复数集中解方程的重要 依据一般地，两个复数只能说相等或不相

6、等，而不能比较 大小.如 3+5i与 4+3i 不能比较大小. 9.小结通过在实数中引入虚单位，我们将实数集扩张成了复数 集.认识了虚单位 i , i 具有两条本质属性.理解了实数集扩充到复数集的原因和过程.知道了 a+ bi 成为实数、虚数、纯虚数的条件简单地说：b= 0a + bi 为实数；bz0a + bi 为虚数；bz0, a= Oa+ bi 是纯虚数.复数 = 实数U虚数理解复数相等的定义. 10.作业设计数集的文氏图，用它来表示实数、虚数、纯虚数等数集的包含关系.下面正确的是 2.a=0 是复数 z=a+bi 为纯虚 数的什么条件？答：必要非充分条与1 的关系：就是1 的一个平方根，即方程x2= - 1的一个根