第4讲直线圆上

1、第二讲抛物线、椭圆和双曲线的定义满分晋级圆锥曲线 3 级圆锥曲线问题中的圆锥曲线 4 级圆锥曲线问题的圆锥曲线 2 级抛物线、椭圆和双曲线的定义抛物线的定义例1求到定点 A æ 0 , p ö 和定直线 l ： y = - p 距离相等的点的轨迹方程çè2 ÷ø21第 2 讲 抛物线、椭圆和双曲线的定义学生版知识点睛抛物线1、定义到定点与到定直线距离相等的点的轨迹称为抛物线2、标准方程x2 = 2 py 和 y2 = 2 px ，其中 p 表示定点到定直线的距离3、基本量焦点、准线、顶点4、简单几何特征范围；对称性例题精讲例2例3（2

2、010 年陕西）已知抛物线 y2 = 2 px （ p > 0 ）的准线与圆 x2 + y2 - 6x - 7 = 0 相切，则 p 的值为（）A 1B1C2D42（2010 年全国卷）已知抛物线 y 2 = 2px （ p > 0 ）的准线为l ，过 M (1 , 0) 且斜率为 3 的直线与l 相交于点 A ，与C 的一个交点为 B 若 AM = MB ，则 p =uuru r2第 2 讲抛物线、椭圆和双曲线的定义 学生版已知平面的一条定直线 l 和O ，求与直线 l 和圆 O 都相切的圆的圆心 C 的轨迹抛物线、椭圆和双曲线的定义抛物线、椭圆和双曲线的定义例4x 2y 2a2

3、 证明：椭圆+= 1（ a > b > 0 ）上的点到左焦点(-c , 0 ) 与到直线l ： x = -的距离之a2b2c比为常数；x2y2a2 证明：双曲线-= 1 上的点到左焦点(c , 0) 与到直线 l ： x = -的距离之比为常数a2b2c 根据抛物线的定义以及题、的结论，试给出抛物线、椭圆和双曲线的统一定义知识点睛抛物线、椭圆和双曲线的定义抛物线 x2 = 2 py 的焦点为æ 0 , p ö ，准线为 y = - p ；çè2 ÷ø2抛物线 y2 = 2 px 的焦点为æ p , 0ö

4、 ，准线为x = - p ；çè 2÷ø2x2y2a2a2椭圆+= 1（ a > b > 0 ）的左焦点对应的左准线为x = -，右焦点对应的右准线为 x =；a2b2ccx2y2a2a2双曲线-= 1 的左焦点对应的左准线为 x = -，右焦点对应的右准线为 x =a2b2cc圆锥曲线上的点到焦点距离与到准线距离的比为常数，且该常数即为离心率e 如下图所示：3第 2 讲 抛物线、椭圆和双曲线的定义学生版例题精讲uru r例5（2010 重庆高考）已知以 F 为焦点的抛物线 y2 = 4x 上的两点 A 、B 满足 AF = 3FB ，则弦

5、AB的中点到准线的距离为；（2012 年通州高三期末）已知抛物线 x2 = 2 py （ p > 0 ）的焦点为 F ，过 F 的直线交抛物线于 A 、B 两点，若 AF = 3FB ，则直线的斜率k =；uuruuurx2y2（2011 年四中高二期中）已知椭圆C ：+= 1 （ a > b > 0 ）的左焦点为 F1 (-c , 0) 过22ab点 F 且倾斜角为 的直线与椭圆相交所得的弦被 F 分为 2 :1 的两段，则椭圆C 的离心率113为圆锥曲线的极坐标方程知识点睛圆锥曲线的统一方程根据抛物线、椭圆和双曲线的定义，过焦点作准线的垂线，以焦点为极点，垂足到焦点的方向

6、为极轴正方向建立极坐标系，则= e ，其中 p 表示焦点到准线的距离，e 表示离心率p + cos 此方程即 =ep，为抛物线、椭圆和双曲线的统一方程1- e cos由此方程还可以得到抛物线、椭圆和双曲线的一个性质：过焦点的弦被焦点分成的两部分的长4第 2 讲抛物线、椭圆和双曲线的定义 学生版度 、 满足 1 + 1 = 2 ，也即 ep 是 和 的调和平均数12ep1212圆锥曲线定义的由来如 下 左 图 ， 一 方 面 截 线 上 的 点 P 到 上 下 两 球 与 截 面 的 切 点 F1 、 F2 的 距 离PF1 + PF2 = PK1 + PK2 = AD 为定值，因此截面曲线为椭

7、圆，如下右图，类似的可以通过第一定义证PF1= PK1 = cos ( - l - ) 为定值，从而可以得明椭圆可以由平面截圆锥面得到；另一方面，d ( P , l )PQ11到椭圆的定义的，如下三图，可以由定义证明椭圆、双曲线、抛物线都可以由平面截圆锥面得到，而当截面与圆锥面的轴线垂直且不通过母线与轴线的交点时，截面是圆；当截面通过圆锥面的轴线时， 截面是两条相交直线，因此圆、椭圆、双曲线、抛物线和两条相交直线统称为圆锥曲线5第 2 讲 抛物线、椭圆和双曲线的定义学生版例题精讲例6x2y2已知椭圆+= 1（ a > b > 0 ）上有 n（ n 3 ）个点 P （ i = 1 ,

8、 2 , 3 , L , n ）， F 、l 分别为a2b2椭圆的左焦点和左准线若ÐPFP = 2 （ i = 1 , 2 , 3 , L , n - 1 ），点 P 到 l 的距离记为 dii +1in（ i = 1 , 2 , 3 , L , n ），求证： 1 + 1 +L + 1 为常数（与P 的位置无关）1ddd12n6第 2 讲抛物线、椭圆和双曲线的定义 学生版抛物线、椭圆和双曲线的焦点弦长知识点睛通过焦点的直线 l 被圆锥曲线 E 所截得的线段 AB 的长度称为焦点弦长（注意对于双曲线， A 、B 可以在双曲线的不同支上）利用统一极坐标方程可以方便的推导出焦点弦长公式（

9、其中 表示直线的倾斜角）：x2y22ab2b2 + c2 sin2 对于椭圆 E :+= 1，有=AB；a2b2x2y22ab2对于双曲线 E :-= 1，有 ABa2b2=； 2 p 对于抛物线 E : y 2 = 2 px ，有 AB=sin2 2、过圆锥曲线的焦点且与准线平行的的弦称为圆锥曲线的是表征圆锥曲线形状的一个重要的量圆锥曲线的和离心率一样都2b2对于椭圆和双曲线，长度为；a对于抛物线，长度为2 p （过焦点最短的弦）（过焦点最短的弦）（ 过焦点最短的弦）例题精讲7第 2 讲 抛物线、椭圆和双曲线的定义学生版b2 - c2 sin 2 例7（2009 年福建高考）过抛物线 y 2

10、 = 2 px （ p > 0 ）的焦点 F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于 A ，B 两点，若线段 AB 的长为8 ，则 p =_x2y2（2010 年丰台一模）椭圆+= 1的焦点为 F1 ， F2 ，过 F2 垂直于 x 轴的直线交椭圆于一2516的值是点 P ，那么PF1 过双曲线C ： 2x2 - y2 = 2 的右焦点的直线交双曲线于 A 、 B 两点，若| AB |= 4 ，则这样的直线有_条华山论剑8第 2 讲抛物线、椭圆和双曲线的定义 学生版（2009 年湖南）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 到点 F (3 , 0 ) 的距离的4 倍与它到直线 x =

11、2 的距离的3 倍之和记为d ，当点 P时， d 恒等于点 P 的横坐标与18 之和 求点 P 的轨迹C ； 设过点F 的直线l 与轨迹C 相交于 M 、N 两点，求线段MN 长度的最大值实战演练P 是抛物线 y2 = 2 px （ p > 0 ）上的点， F 是抛物线的焦点，则以 PF练为直径的圆与 y 轴位置相交为（）相离相切不确定）过抛物线 y2 = 2 px （ p > 0 ）的焦点F 的直线与抛物线相交于 M 、N 两点，练习2（2009 年自 M 、N 向抛物线的准线作垂线，垂足分别为M1 、 N1 求证： AM 1 AN1 yM1MOFxN1N我们在初中的学习中了解到

12、二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的图象是抛物线试利用抛物线的定义证明二次函数 y = ax 2 + bx + c （ a ¹ 0 ）的图象是抛物线练习3x2y2定点 N (1 , 0) ，动点 A 、B 分别在抛物线 y2 = 4x 及椭圆+= 1 所围成的部分上练习4，43且 AB x 轴，则NAB 的周长l 的取值范围是x2y2）已知双曲线C ：-= 1（ a , b > 0 ）的离心率为 3 ，右准线方程为a2b2练习5（2009 年x = 3 则双曲线的方程为3（2010 年四川）已知 F (2 , 0) ，定直线l ： x =

13、 1 ，动点 P 与点 F 的距离是它到直线 l 的2距离的 2 倍则点 P 的轨迹为9第 2 讲 抛物线、椭圆和双曲线的定义学生版（2009 年）已知椭圆C ： x + y = 1（ a > b > 0 ）的左、右焦点分别为 F 、F F1122a2b2= 5 则C 的也是抛物线C : y2 = 4x 的焦点，点 M 为 C 与C 在第一象限的交点，且MF212213方程为x2y2已知 A 、 B 为过椭圆+= 1 （ a > b > 0 ）的左焦点 F 的直线与椭圆的交点，练习6a2b211+是否为定值，并说明理由yBOFxAx2y2 椭圆+= 1 上的点 M 与椭圆右焦点F 的连线 MF 与 x 轴垂直，且OM 与椭圆的右a2b222顶点 A 和上顶点 B 的连线平行，则椭圆的离心率为；练习7x2y2（2