数系的扩充与复数的引入

1、§13.6 数系的扩充与复数的引入基础自测1.（2008·浙江理，1）已知a是实数，是纯虚数，则a等于（ ）A.1B.-1C.D.-答案A2.设复数z=a+bi(a,bR)，则z为纯虚数的必要不充分条件是（ ）A.a=0B.a=0且b0C.a0且b=0 D.a0且b0答案A3.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆答案C4.（2008·辽宁理，4）复数+的虚部是（ ）A.iB.C.-iD.-答案B5.设为复数z的共轭复数，若复数z同时满足z-=2i，=iz，则z= .答案 -1+i例1 已知复数z

2、=+(a2-5a-6)i(aR),试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.解 （1）当z为实数时，则有，,a=6，即a=6时，z为实数.（2）当z为虚数时，则有a2-5a-60且有意义，a-1且a6且a±1.a±1且a6.当a(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)时，z为虚数.（3）当z为纯虚数时，有,.不存在实数a使z为纯虚数.例2 已知x,y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.解 设x=a+bi (a,bR)，则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i

3、,根据复数相等得,解得或或或.故所求复数为或或或.例3 计算：（1）;(2);(3)+;(4) .解 （1）=-1-3i.(2) =+i.(3) +=+=+=-1.(4) =-i.例4 (12分)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i,-2+4i，试求：（1）表示的复数，所表示的复数；（2）对角线所表示的复数;(3)求B点对应的复数.解 （1）=-，所表示的复数为-3-2i.=，所表示的复数为-3-2i.4分（2）=-，所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.8分(3)=+=+,表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6

4、i.12分1.已知mR，复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时，（1）zR；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二像限；（4）z对应的点在直线x+y+3=0上.解 （1）当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-10得m=-3,故当m=-3时，zR.（2）当z为纯虚数时,则有解得m=0，或m=2.当m=0或m=2时，z为纯虚数.（3）当z对应的点位于复平面第二像限时,则有解得m-3或1m2，故当m-3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二像限.（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时,则有+,得=0，解得m=0或m=-1±.当m=0或m=-1±时，点Z在直

5、线x+y+3=0上.2.已知复数z1=m+(4-m2)i(mR),z2=2cos+(+3sin)i (R).若z1=z2,求的取值范围.解 z1=z2,m+(4-m2)i=2 cos+(+3sin)i,由复数相等的条件，得,=4-m2-3sin=4-4cos2-3sin=4sin2-3sin=4(sin-)2-,-1sin1,当sin=时，min=-;当sin=-1时，max=7,-7.3.计算下列各题（1）；（2）+.解 （1）=i（1+i）4=i（1+i）22=i（2i）2=-4i.（2）+=+=i+=i+i1 003=i+i4×250+3=i+i3=i-i=0.4.已知关于x的

6、方程x2-（6+i）x+9+ai=0 （aR）有实数根b.（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解 （1）b是方程x2-（6+i）x+9+ai=0 （aR）的实根，（b2-6b+9）+（a-b）i=0，故 解得a=b=3.（2）设z=x+yi （x，yR），由|-3-3i|=2|z|，得（x-3）2+（y+3）2=4（x2+y2），即（x+1）2+（y-1）2=8.Z点的轨迹是以O1（-1，1）为圆心，2为半径的圆.如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值.|OO1|=，半径r=2，当z=1-i

7、时，|z|有最小值且|z|min=.一、选择题1.（2008·天津理，1）i是虚数单位，等于（ ）A.-1B.1C.-iD.i答案A2.（2008·广东文，2）已知0a2，复数z=a+i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是（ ）A.（1，5）B.（1，3）C.（1，）D.（1，）答案C3.（2008·山东文，2）设z的共轭复数是，若z+=4，z·=8，则等于（ ）A.iB.-iC.±1D.±i答案D4.若(a-2i)i=b-i，其中a、bR,i是虚数单位，则a2+b2等于 （ ）A.0 B.2C.5D.答案 C5.在复平面上，一个正

8、方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i，0，则第四个顶点对应的复数为 （ ）A.3+i B.3-iC.1-3iD.-1+3i答案D6.设a是实数，且+是实数，则a等于（ ）A.B.1C.D.2答案B二、填空题7.（2008·北京理，9）已知（a-i）2=2i,其中i是虚数单位，那么实数a= .答案 -18.(2008·湖北理，11)设z1是复数，z2=z1-i1（其中1表示z1的共轭复数），已知z2的实部是-1，则z2的虚部为 .答案 1三、解答题9.已知z2=8+6i,求z3-16z-.解 原式=-=-=-,|z|2=|z2|=|8+6i|=10,又由z2=8+

9、6i=±（3+i)2,z=±(3+i),当z=3+i时，原式=-60+20i；当z=-3-i时，原式=60-20i.10.已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），且复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一像限，求实数a的取值范围.解 设z=x+yi (x、yR),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.=(x-2i)(2+i)=(2x+2)+ (x-4)i.由题意得x=4,z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由于(z+ai)2在复平面对应的点在第一像限,所以,解得2a6,实数a的取值范围是（2，6）.11.是否存在复数z，使其满足·z+2i=3+ai (aR),如果存在，求出z的值；如果不存在，说明理由.解 设z=x+yi (x,yR)，则x2+y2+2i(x-yi)=3+ai.消去x得y2+2y+-3=0,=16-a2.当且仅当|a|4时，复数z存在，此时z=-i.12.设zC，求满足z+R且|z-2|=2的复数z.解 方法一 设z=a+bi (a,bR), 则z+=a+bi+=a+bi+=a+iR.b=.b=0或a2+b2=1.当b=0时,z=a,|a-