最全圆锥曲线知识点总结

1、高中数学椭圆的知识总结1. 椭圆的定义 ：平面内一个动点P 到两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数（PFPF2aFF ），这1212个动点 P 的轨迹叫做椭圆 .这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.注意： 若 PF1PF2F1F2 ，则动点 P 的轨迹为线段 F1F2 ；若 PF1PF2F1F2 ，则动点 P 的轨迹无图形 .（ 1）椭圆 ：焦点在 x 轴上时 x2y2 1（ a2b2c2 ）xa cos（参数方程，其中a2b2yb sin为参数），焦点在 y 轴上时 y2x 2 1（ a b0）。a2b 22. 椭圆的几何性质 ：（ 1）椭圆 （以 x 2y 21（

2、 ab0）为例）：范围：a xa, byb ；焦点：a 2b2两个焦点 (c,0) ；对称性：两条对称轴x0, y0 ，一个对称中心（0,0 ），四个顶点( a,0),(0,b) ，其中长轴长为2 a ，短轴长为2 b ； 离心率： ec0 e 1 ， e，椭圆e 越大，椭圆越扁。a越小，椭圆越圆；（ 2） .点与 椭圆的位置关系 ：点P( x0 , y0 ) 在椭圆外x02y021；a2b2x02y02点 P(x0 , y0 ) 在椭圆上x02y021a22 1；点 P( x0 , y0 ) 在椭圆内22bab3直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）相交：0直线与椭圆相交； （ 2）相切：0直线

3、与椭圆相切；（ 3）相离：0直线与椭圆相离；如 : 直线 y kx 1=0 与椭圆 x2y21恒有公共点，则m 的取值范围是 _；5 m4. 焦点三角形 （椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）5. 弦长公式 ：若直线y kx b 与圆锥曲线相交于两点A 、 B，且 x1, x2 分别为 A 、 B 的横坐标，则 AB 1 k 2 xx，若 y1, y2 分别为 A 、B 的纵坐标，则AB 11yy2，若弦12k 21AB 所在直线方程设为xky b ，则 AB 1k 2y1y2 。6. 圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在 椭圆x2y21中，以P(x0 ,

4、y0 ) 为中点的弦所在直线的斜率k=b2 x0；a 2b2a2 y0如（ 1）如果椭圆 x2y21弦被点 A （ 4， 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是；369（ 2）已知直线 y= x+1 与椭圆 x2y2 1(a b0) 相交于 A、 B 两点，且线段AB 的中点在a2b2直线 L ：x 2y=0 上，则此椭圆的离心率为_；（ 3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆x2y2y 4x m 对称；41上有不同的两点关于直线3特别提醒 ：因为0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0 ！椭圆知识点的应用1. 如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一

5、个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a, b；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2. 椭圆标准方程中的三个量a, b, c 的几何意义椭圆标准方程中，a,b, c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：(ab0) ， (ac0) ，且 ( a2b2c2 ) 。可借助右图理解记忆：a, b, c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边

6、， b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看 x 2 ， y2 的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 Ax2By 2C ( A, B, C均不为零） 是表示椭圆的条件方程 Ax 2By 2C 可化为 Ax 2By 21，即 x2By 21，所以只有 A、 B、 C同号，CCCCAB且 AB 时，方程表示椭圆。 当 CC 时，椭圆的焦点在x 轴上；当 CC 时，椭圆的焦点在 yABAB轴上。5求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件

7、确定方程中的参数a,b, c 的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共 焦 点 ， 则 c相 同 。 与 椭 圆 x 2y 21 (a b 0) 共 焦 点 的 椭 圆 方 程 可 设 为a 2b 2x 2m b2y 21 (mb2 ) ，此类问题常用待定系数法求解。a 2m7判断曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据： 若把曲线方程中的x 换成x ，方程不变，则曲线关于y 轴对称； 若把曲线方程中的y 换成y ，方程不变，则曲线关于x 轴对称； 若把曲线方程中的x 、 y 同时换成 x

8、 、 y ，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何求解与焦点三角形PF1F2（ P 为椭圆上的点）有关的计算问题？思路分析：与焦点三角形PF1F2 有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式S PF1F21 PF1PF2sin F1 PF2 相结合的方法进行计算解题。2将有关线段 PF1 、PF2 、F1 F2 ，有关角F1 PF2(F1PF2F1BF 2 ) 结合起来，建立PF1PF2 、 PF1PF2 之间的关系 .9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与 短轴的 长短 关系决定椭圆形状 的变 化 。 离心率 ec (0 e 1) ，因为ac 2a

9、2b2 ， a c0 ，用 a、b 表示为 e1( b )2 (0e 1) 。a显然：当 b 越小时， e(0 e 1) 越大，椭圆形状越扁；当b 越大， e(0 e 1) 越小，aa椭圆形状越趋近于圆。题型 1:椭圆定义的运用x 2y 2F1 的直线交椭圆于例 1.已知 F1, F 为椭圆1 的两个焦点，过A 、B 两点若259F2 A F2 B 12，则 AB_.例 2.如果方程 x2ky22 表示焦点在 x 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是 _.例 3.已知 P 为椭圆 x 2y 21 上的一点， M , N 分别为圆 ( x3)2y21 和圆2516(x3)2y24 上的点，则PM

10、PN 的最小值为题型 2： 求椭圆的标准方程例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.(1)经过两点 A( 3, 2), B( 23,1) ；(2)经过点 (2， 3)且与椭圆 9x24 y236 具有共同的焦点；(3)一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为424.题型 3:求椭圆的离心率1ABC中，A30,AB2, SV ABC3,若以 A, B 为焦点的椭圆经过点C，则椭圆的例 、o离心率为.例 2、过椭圆的一个焦点F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P，若F1 PF2 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 1.已

11、知实数 x, y 满足 x2y 21 ,则 x2y2x的范围为422y2uuuruuur例 2.已知点 A, B 是椭圆 x1 （m0, n0）上两点 且 AOBO 则=m2n2,题型 5：焦点三角形问题例 1.已知 F1, F2 为椭圆x2y21 的两个焦点， p 为椭圆上的一点，已知P, F1 , F2 为一个直角三94角形的三个顶点，且PF1PF2,求 PF1的值 .PF2例 2.已知 F1x2y2的两个焦点，在C 上满足 PF1PF2 的点的个数为., F2 为椭圆 C:418例 3.已知椭圆的焦点是F1(0,1),F2(0,1),且离心率 e1 求椭圆的方程 ; 设点 P 在椭圆2P

12、F2 1,求 cos F1PF2 .上 ,且 PF1题型 6: 三角代换的应用例 1.椭圆 x2y21上的点到直线 l: x y 90 的距离的最小值为 _16 9例 2.椭圆 x2 y2 1的内接矩形的面积的最大值为16 9题型 7：直线与椭圆的位置关系的判断例 1.当 m 为何值时，直线yxm与椭圆 x2y21相交？相切？相离？169例 2.若直线 ykx1(kR) 与椭圆 x 2y 21恒有公共点，求实数 m 的取值范围；5m题型 8：弦长问题例 1.求直线 y2x4 被椭圆4x2y21所截得的弦长 .99例 2.已知椭圆 x2y21的左右焦点分别为F1,F2，若过点 P（ 0，-2）及

13、 F1 的直线交椭圆于 A,B2两点，求 ABF 2 的面积；题型 9：中点弦问题例 1. 求以椭圆 x2y 21 内的点 A （ 2， -1）为中点的弦所在的直线方程。85例 2.中心在原点，一个焦点为 F1 (0,50) 的椭圆截直线 y 3x 2 所得弦的中点横坐标为1 ，2求椭圆的方程例 3.椭圆 mx2ny21与直线 x y1 相交于 A、B 两点，点 C 是 AB的中点若 AB 22 ，OC的斜率为2（O为原点），求椭圆的方程2巩固训练1. 如图 ,椭圆中心在原点 ,F 是左焦点 ,直线 AB1 与 BF 交于 D,且 BDB1 =90 o ,则椭圆的离心率为2.设 F1 , F2

14、 为椭圆 x2y2uuuruuur1的两焦点， P 在椭圆上，当F1PF2 面积为 1 时， PF1PF2 的值为43.椭圆 x2y21 的一条弦被 A 4,2平分 ,那么这条弦所在的直线方程是3694. 若 F1, F2 为椭圆的两个焦点 ,P为椭圆上一点 ,若PF1F2 :PF2 F1 :F1PF2 1: 2 : 3 , 则此椭圆的离心率为5.x2y21(ab 0)的焦距为2c，以O为圆心， a 为半径的圆，在平面直角坐标系中，椭圆a2b2过点 (a2,0) 作圆的两切线互相垂直，则离心率e =c双曲线基本知识点标准方程（焦点在x 轴）标准方程（焦点在y 轴）双曲线x2y2y2x21( a

15、0,b0)1(a0,b 0)a 2b2a2b2定义：平面内与两个定点F1 ， F2 的距离的差的绝对值是常数（小于F1F2 ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。M MF1 MF22a 2a F1F2定义yPyy yxxF2F1F2xxPF1范围x a ， y Ry a ， x R对称轴x 轴 ， y 轴；实轴长为2a , 虚轴长为 2b对称中心原点 O(0,0)焦点坐标F1(c,0)F2 (c,0)F1 (0,c)F2 (0, c)焦点在实轴上， c222ca b；焦距： F1 F2顶点坐标（a ,0 ） ( a ,0)(0,a ,)(0 ， a )2离心率e

16、c1 b2 ,( e1)aa渐近线ybxyaax方程b共渐近线x2y2k （ k0y2x2k （ k0 ）的双曲线a 2b 2a2b2系方程双曲线 x2y21与直线 y kxb 的位置关系：a2b2直线和双x2y21转化为一元二次方程用判别式确定。利用a2b2曲线的位ykx b置二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。相交弦 AB的弦长 AB1k 2 (x1x2 )24x1 x2补充知识点：2222 xy1xy1916169x2y21(y 3)x2y21(y 3)169169同步练习一 : 如果双曲线的渐近线方程为y3 x ，则离心率为（）4 5 55或53343422例 2、已知双曲线xy1

17、的离心率为 e2 ，则 k 的范围为（）4k12k1 k05k012k0x22同步练习二 : 双曲线y1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为a222b2例 3、设 P 是双曲线 xy1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2 y 0 ， F1， F2 分别是a29双曲线的左、右焦点，若PF1 3 ，则 PF2的值为同步练习三 : 若双曲线的两个焦点分别为(0， 2)，(0，2) ，且经过点 (2，15)，则双曲线的标准方程为。例 4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是（）(A)x 22=1和y2-x 2(B)x2-y22x2-y93=13=1 和 y -=133等轴双曲线的主

18、要性质有：(C)y2 x 22y2=1(D)x22=1和x2y2-=1 和 x -33-y-=1（ 1）半 实轴 长 =半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b 这两393个字母）；（ 2）其标准方程为x2y2C，其中 C 0；同步练习四 : 已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1， F2 分别为 ( 5，0) 和 (5，0) ，点 P 在双曲线上且 PF1PF2 ，且 PF1F2 的面积为1，则双曲线的方程为（）（ 3）离心率 e2 ；2212212y 1 x21 xy xy xy22（ 4）渐近线 ：两条渐近线y=±x 互相垂直；233244例题分析：

19、例 5、与双曲线 x2y21 有共同的渐近线，且经过点A( 3,23 的双曲线的一个焦点到一条例 1、动点 P 与点 F1(0，5) 与点 F2 (0， 5) 满足 PF1PF2 6 ，则点 P916渐近线的距离是（）的轨迹方程为（）（A）8（B） 4（ C）2（ D）1同步练习五 : 以 y3x 为渐近线，一个焦点是F（0， 2）的双曲线方程为 _.例 6、下列方程中，以x±2y=0 为渐近线的双曲线方程是(A) x 2y 21( B) x 2y 21(C ) x 2y 21(D )x 2y2116441622同步练习六 : 双曲线 8kx 2-ky 2=8的一个焦点是 (0 ，

20、3) ，那么 k 的值是2例 7、经过双曲线x2y1 的右焦点 F2 作倾斜角为30°的弦 AB，3（ 1）求 |AB|.（ 2） F1 是双曲线的左焦点，求 F1AB 的周长同步练习七过点（0， 3）的直线l 与双曲线x2y21只有一个公共点，求直线l 的方程。43高考真题分析1.【 2012 高考新课标文10】等轴双曲线 C 的中心在原点， 焦点在 x 轴上， C 与抛物线 y 216x的准线交于 A, B 两点， AB 4 3 ；则 C 的实轴长为（）(A) 2(B)22(C )(D )2. 【 2012高考山东文11】已知双曲线x2y21(a0,b0) 的离心率为C1 ： a

21、2b22. 若抛物线22 py( p 0)的焦点到双曲线C1 的渐近线的距离为2，则抛物线 C2 的方程为C2 : x(A)x28 3y(B)x2 16 3y(C) x28 y(D) x216y333. 【 2012高考全国文10】已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x2y22 的左、右焦点，点P在C上，|PF1 |2 | PF2 |，则 cos F1 PF2（A） 1（B） 3（C） 3（D） 445454. （ 2011年高考湖南卷文科 6) 设双曲线 x2y21(a 0) 的渐近线方程为3x2 y 0, 则 a 的a29值为（）A4B3C2 D15.【 2012 高考江苏8】（ 5

22、分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 x2y 21的离心率为5 ，mm24则 m 的值为抛物线y 22 pxy22 pxx 22 pyx22 py( p0)( p0)( p0)( p0)抛yyyyll物lO线FxO FxFOxOxFl平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线。定义 M MF =点 M到直线 l 的距离 范围x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0对称性关于 x 轴对称关于 y 轴对称焦点( p ,0)(p ,0)(0, p )(0,p )2222焦点在对称轴上顶点O

23、 (0,0)离心率e=1pppyp准线xxy2方程222准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准p线的距离2焦点到准p线的距离焦半径ppppAFAFAFAFA(x1, y1 )x1x1y1y12222焦 点弦长 AB( x1x2 ) p( x1x2 ) p( y1y2 ) p( y1y2 ) pyA x1 , y1oFx焦点弦Bx2 , y2AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切A( x1 , y1 )，则 AB2 p若 AB 的倾斜角为，则 AB2 p若 AB 的倾斜角为22B( x2 , y2 )sincosx1 x2p2y yp241211AFBFAB2AFBFAF ?BFAF ?BFp切线y0 yp(xx0 )x0 xp( yy0 )x0 xp( yy0 )y0 y p(x x0 )方程1、直线与抛物线的位置关系直 线 l : ykx b ， 抛 物 线 C : y22px ， 由ykxby2， 消 y 得 ：2 px（ 1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（ 2）当 k0 时， 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点；=0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点； 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。（