北航 材料力学 第六章弯曲应力

1、Page1 Page2FsM弯曲内力( M, Fs )问题：梁横截面上的内力是如何分布的？问题：梁横截面上的内力是如何分布的？弯曲应力 (,)已知横截面上的弯曲内力，如何确定横截面上的应力？已知横截面上的弯曲内力，如何确定横截面上的应力？弯曲应力弯曲应力弯曲正应力弯曲正应力弯曲切应力弯曲切应力Page3对称弯曲对称弯曲 具有一个纵向对称面的梁受到作用于其纵向对称面内的载具有一个纵向对称面的梁受到作用于其纵向对称面内的载荷而产生的弯曲变形荷而产生的弯曲变形 （对称）纯弯曲（对称）纯弯曲: （对称弯曲条件下（对称弯曲条件下, ,）如果梁的载荷只是一对大小相等）如果梁的载荷只是一对大小相等, ,方向

2、相反的力偶施加于梁的两端方向相反的力偶施加于梁的两端MMPage4纯弯曲梁的受力特点纯弯曲梁的受力特点: : 任一横截面上的弯矩恒定任一横截面上的弯矩恒定, , 剪力为零剪力为零本章要解决的核心问题本章要解决的核心问题: : 对称弯曲梁对称弯曲梁横截面上的弯曲应力的分布与计算横截面上的弯曲应力的分布与计算常用的纯弯曲加载方法常用的纯弯曲加载方法Page5上式中上式中A 为截面面积为截面面积仍然属于连续体的静不定问题！仍然属于连续体的静不定问题！已知条件已知条件AsAAdAFydAydAM;0AdA Page6一、实验观测与假设一、实验观测与假设（动画）（动画）纵向线纵向线：成圆弧线成圆弧线,

3、,上方纵向线缩短下上方纵向线缩短下方纵向线伸长方纵向线伸长; ;横向线：横向线：保持直线，与纵向线正交保持直线，与纵向线正交 上方横线伸长上方横线伸长, ,下方缩短下方缩短; ;顶与底部纵、横线伸缩变形比顶与底部纵、横线伸缩变形比： 符合单向受力泊松效应符合单向受力泊松效应1. 1. 外部变形观测外部变形观测研究方法研究方法Page72. 2. 内部变形假设内部变形假设平面假设：平面假设：变形后横截面保持平面，且仍与纵线正交变形后横截面保持平面，且仍与纵线正交单向受力假设单向受力假设: : 梁内各梁内各“纵向纤维纵向纤维”仅受单向拉应力或压应力仅受单向拉应力或压应力纵向纤维受压应力而缩短纵向纤

4、维受压应力而缩短纵向纤维受拉应力而伸长纵向纤维受拉应力而伸长Page83. 3. 重要推论重要推论 变形过程中横截面间绕中性轴相对转动变形过程中横截面间绕中性轴相对转动 梁内存在一梁内存在一既不伸长既不伸长, ,也不缩短也不缩短, ,应力为零的纵向纤应力为零的纵向纤维过渡层维过渡层中性层中性层中性层中性层中性层与横截面的交线称为中性轴中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴中性轴 中性轴中性轴横截面纵向对称轴横截面纵向对称轴Page91. 几何方面几何方面考察线段考察线段ab的变形：的变形：ab dxd 变形前：变形前：变形后：变形后：()aby d ababyd ydydxd 二、弯曲正应力一般

5、公式二、弯曲正应力一般公式dx中性层中性层d ababy()0y 连续体的静不定问题，综合几何、物理和静力学三方面进行研究连续体的静不定问题，综合几何、物理和静力学三方面进行研究yz中性轴中性轴局部坐标系局部坐标系的建立的建立Page102. 物理方面物理方面由胡克定律和单向受力假设：由胡克定律和单向受力假设：yEE y y 坐标原点位于中性轴，坐标原点位于中性轴， 中性层的曲率半径中性层的曲率半径中性轴位置中性轴位置？ 的大小的大小?3. 静力学方面静力学方面0AdA Ay dA M 0AydA 2AEy dAM 2zAIy dA 1zMEI 定义定义中性轴过中性轴过形心形心确定确定 zM

6、yI M dAzyPage11三、最大弯曲正应力三、最大弯曲正应力zM yI maxmaxmax/zzMyMIIy zzIWy 定义定义maxzMW （抗弯截面系数）（抗弯截面系数）正应力沿截面如何分布？正应力沿截面如何分布？Page12z)(IMyy 根据实验结果，引出纯弯曲梁变形的平面假设和单向受根据实验结果，引出纯弯曲梁变形的平面假设和单向受力假设力假设zWM max 抗弯截面系数）抗弯截面系数）（zW 正应力公式：正应力公式： 由上述两个假设出发，从几何、物理和静力学三个方由上述两个假设出发，从几何、物理和静力学三个方面对弯曲正应力进行分析面对弯曲正应力进行分析maxp ，对称弯曲，对

7、称弯曲 , 纯弯与非纯弯（横力弯曲）纯弯与非纯弯（横力弯曲） 应用条件：应用条件：该公式的推导和应用要基于特定的坐标系（中性轴为该公式的推导和应用要基于特定的坐标系（中性轴为 z 轴，轴，纵向对称轴为纵向对称轴为 y 轴，且向下为正）轴，且向下为正）Page13一、一、 静矩静矩zAyASydASzdA zyoyzdA积分积分分别称为截面对坐标轴分别称为截面对坐标轴x和和y的静矩的静矩二二. . 形心形心Czcyc,yzccSSyzAA zcycSy A Sz A 如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。 形心轴：通过截面形心的坐标轴。形心轴：通过截

8、面形心的坐标轴。Page14三、三、 组合截面的静矩与形心组合截面的静矩与形心11123123123zAAAAcccSydAydAydAydAyAyAyA zyoA1A2A311inniciziicSyASyAAA Page15z zy yo oy yz zdAdAr r2pAIdA 一、一、 截面对截面对o o点的极惯性矩或二次极矩点的极惯性矩或二次极矩22,zyAAIy dAIz dA 二、二、 截面对截面对z z轴或轴或y y轴的惯性矩轴的惯性矩四、四、 一个恒等式一个恒等式222()pzyIIIzy 三、三、 惯性矩的组合截面公式惯性矩的组合截面公式y111,nnnzziyiyzyzi

9、iiiIIIIIIz zy yo oA1A2A3Page162202200()(2)zAAAIy dAya dAyaya dA 22,zyAAIy dAIz dA 一、一、 惯性矩的平行移轴定理惯性矩的平行移轴定理Cy0z0形心直角坐标系形心直角坐标系Oyz任意直角坐标系任意直角坐标系二者平行二者平行200 dzAIyA 00 dAyA 02zzIIa A同理同理:02yyIIb APage17思考：思考：下列计算是否正确？下列计算是否正确？ 其中其中C是截面形心。是截面形心。212ZZIIAa解：解：不正确。不正确。 因为因为 Z1 不是形心轴不是形心轴Ca1z2zPage18 34132D

10、 464D 44164D 332D 3112bh216bh截面截面zIzWDzyoDzyodhzyob()d D 典型截面的惯性矩与抗弯截面系数典型截面的惯性矩与抗弯截面系数Page19例例 1 已知已知：钢带厚钢带厚d d=2mm, 宽宽b=6mm, D=1400mm, E=200GPa。计算计算：带内的带内的 max 与与 M解解：1. 1. 问题分析问题分析 yE maxmaxyE zEIM 1 应力变形应力变形 关系：关系： 内力变形或内力应力关系：内力变形或内力应力关系：已知已知 =(D+d d)/2, E, 截面尺寸，可截面尺寸，可应用下述关系求应力与内力应用下述关系求应力与内力m

11、axMW 或或Page2022d d D maxmaxyE 2. 2. 应力计算应力计算MPa 285maxmax yE2maxd d y3. 3. 弯矩计算弯矩计算zEIM 1 zEIM 12 3d d bE 1.141 kN mm 701. 0 m 100 . 13 2maxmaxbMW1.14kN M6d d 或或Page21ABBF=15 kN0.4 mCOzyyc12020z20120求截面求截面 B-B B-B 上的最大拉上的最大拉/ /压应力压应力例例2特点特点: : 非等截面、非恒定弯矩、横截面上存在剪力（横力弯曲）非等截面、非恒定弯矩、横截面上存在剪力（横力弯曲）步骤步骤1:

12、 1: 求解求解 B-B B-B 截面上的弯曲内力截面上的弯曲内力: : 弯矩弯矩: : MB = F L = 6000 Nm 剪力剪力: : FS = 15 kNPage22步骤步骤3: 3: 计算截面对中性轴计算截面对中性轴 z z 的惯性矩的惯性矩6221221084. 821dAydAydAyIAAAzm4步骤步骤2: 2: 建立临时坐标系建立临时坐标系, , 确定截面确定截面B-BB-B的的形心和中性轴形心和中性轴 z z 的位置的位置 ( (Y Yc c) )045. 0212112AAydAydAAydAYAAAcm步骤步骤4: 4: 依据公式依据公式, , 计算最大拉计算最大拉

13、/ /压应力压应力zBCTIyMmaxmax/MPaMPaCT5 .645 .30maxmaxPage23例例: : l=1m,b=30m,t=5mm, = - 0.001, = 0.0005, E=200GPa, 求求 D上上 D下下 1 1、梁内的绝对值、梁内的绝对值最大正应力；最大正应力； 2 2、梁底部纵向总、梁底部纵向总伸长量伸长量； 3、高度高度h的大小；的大小； 4、载荷载荷q之值。之值。tb1h2hhztCABCDq/2l/4lx/4lPage24解：解：1 1、计算梁内绝对、计算梁内绝对 值最大正应力值最大正应力（1 1）画梁的剪力弯矩图）画梁的剪力弯矩图（2 2）由梁的弯曲

14、公式）由梁的弯曲公式maxmaxmaxMyEI 知正应力、正应变与弯知正应力、正应变与弯矩成正比矩成正比, ,其最大值发生其最大值发生在在H H截面。截面。29128ql18ql2132ql38qlsFMHDxx3l/8ABCDq/2l/4lx/4lPage25HDHDMM max,max,:上上上上HHDDMM max,9( 0.0001)40.00225上上上上HHEMPa 5max,max,2 100.00225450上上上上29128ql18ql2132ql38qlsFMHDxx3l/8（3 3）绝对值最大正应变）绝对值最大正应变Page262 2、计算底部纵向总伸长、计算底部纵向总伸

15、长（1 1）弯矩方程）弯矩方程xxM xqlxqxqlxlllxM xqllxll 22223111( )3( ) 4( )0828211( )(1)82（2）底部应变底部应变由于由于 与与M M成正比，可设成正比，可设xxxCxlllxxClxll 2121( )3( ) 4( )021( )(1)2下下下下 123()0.00050.0024( )( )0.00222lCllC下下下下左左下下右右由由， 得得由由，得得分析：由分析：由 需求应变方程，从应变与弯矩成需求应变方程，从应变与弯矩成正比，可先求弯矩方程。正比，可先求弯矩方程。ldx Page27（4 4）底部纵向总伸长量）底部纵向

16、总伸长量llllllxxxdxdxllll xl xxxmllld d 220222233020.002 34()0.002 1342 0.002()()0.002102323xxxxxxlx llll 211( ) 0.002 3( ) 4( )0;( ) 0.002(1)22ABCDq/2l/4lx/4l（3 3）底部纵向应变方程）底部纵向应变方程Page28tb1h2hhztC3 3、计算高度、计算高度h hMyEI 由由 知形心知形心C与顶和底面的与顶和底面的距离与顶和底面的应变成正比距离与顶和底面的应变成正比DDh h 12:上上下下DD 0.0010.0005上上下下，hhh 12

17、21hh, hh33 12由截面对形心轴的静矩为零由截面对形心轴的静矩为零代入：代入：b=30mm,t=5mm().()h5 51040 81mmh5 5- 10 mm（舍去）（舍去）解得：解得：()()0hth bthth t t222111 136322 3Page294、计算载荷、计算载荷qD2DDM hEI 下下下下tb1h2hhzt29128ql2132qlMHDxDM hql hEIEI 2296D D 下下EIqN ml h 29612568.8/D D下下th tIh tt h t hbttbt hmm 3213224()()()122()12253430.5Page30作业作

18、业6-16-36-8A-9cPage31假设假设: (y) / 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布截面侧边，并沿截面宽度均匀分布思考思考: : 能否假设能否假设 ( (y) ) 沿截面高度均匀分布沿截面高度均匀分布? ?xdx2h2h2b2byyzC y SF一、横力弯曲矩形截面梁一、横力弯曲矩形截面梁(hb)的弯曲切应力的弯曲切应力横力弯曲：截面上既有剪力又有弯矩的对称弯曲。横力弯曲：截面上既有剪力又有弯矩的对称弯曲。Page32由图示微体平衡：由图示微体平衡：xFbydd1)( bISFyzz)()(S Sz( )面积面积 对中性轴对中性轴 z 的静矩的静矩l dAFlxMbISyzzdd)(

19、)( l d* AyIMzzzIMS)( 12( )Fyb dxF xF 0,zM yI )(zSydA1212MMdM SFySF*y xdxmn121mnmnFFdF bdx( )y Page33S()( )zzF SyI b l1( )22 2zhhSbyy 22S4123)(hybhFy AFSmax23 zbhI 312bhy 2224SFCzy2h2h2b2by O max 截面静矩与惯性矩截面静矩与惯性矩l最大切应力发生在中性轴最大切应力发生在中性轴lPage34 截面翘曲与非纯弯推广截面翘曲与非纯弯推广O max 平截面假设不再严格成立平截面假设不再严格成立矛盾解法矛盾解法切应

20、力利用纯弯正应力切应力利用纯弯正应力公式推导公式推导纯弯正应力公式依据平截面假设纯弯正应力公式依据平截面假设切应力非均匀分布引起截面翘曲切应力非均匀分布引起截面翘曲但当但当l h时，纯弯正应力公式用于横时，纯弯正应力公式用于横力弯曲仍然相当精确仍然相当精确力弯曲仍然相当精确仍然相当精确Page3522max66bhFlbhFl bhF23max hlFbhbhFl43262maxmax 当当 l h 时，时， max max横截面上各点假设：横截面上各点假设： / /侧边侧边，或，或/剪力剪力 沿截面宽度方向沿截面宽度方向均匀分布均匀分布 h h/ /b b值对解的影响：值对解的影响：F h/

21、 /b越大，解越精确。越大，解越精确。(h/b2时，时，足够精确足够精确) )FlbzyhC 弯曲正应力与弯曲切弯曲正应力与弯曲切 应力比较应力比较Page36二、对称薄壁梁的弯曲切应力二、对称薄壁梁的弯曲切应力(1). 切应力切应力 方向与分布假定方向与分布假定 sFtxyzdxdxSw1F( ) s2F( ) s(2)(2)、计算、计算 的大小的大小 沿截面中心线沿截面中心线 1. 1. 问题分析问题分析沿截面厚度均匀沿截面厚度均匀依据：切应力互等定理依据：切应力互等定理同样依据切应力互等定理，将同样依据切应力互等定理，将横向截面上的切应力计算转化横向截面上的切应力计算转化为纵向截面上的切

22、应力计算。为纵向截面上的切应力计算。Page37sFtxyzdx21121( )()()zwwzzzzs tdxFFMyMFdAdASIIdMFFSI 12( )( )zzSFFdMsdxdxI t dxSw1F( ) s2F( ) s2. 2. 的计算的计算 ( )( )szzF SsI t SdMFdx Page38sFyz( )( )() szzq ss tF SI 利用剪流概念，可以形象地确定切应力方向利用剪流概念，可以形象地确定切应力方向3、剪流剪流( )( )szzF SsI t 截面中心线单截面中心线单位长度上的剪力位长度上的剪力Page39问题问题：定性分析下述截面在：定性分析

23、下述截面在B B点的切应力，画截面剪流的方向点的切应力，画截面剪流的方向sFBA1F2F21212002FFAFF sFB00A 1F2FdxAPage40sFsFA例：例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向注意注意A A处剪流的方向。处剪流的方向。Page41工字梁的弯曲切应力工字梁的弯曲切应力(1). 切应力切应力 方向与分布假定方向与分布假定 (2) (2) 计算计算 的方法的方法 问题分析问题分析大小：沿截面厚度均匀分布大小：沿截面厚度均匀分布依据：切应力互等定理依据：切应力互等定理总的原则：依据切应力互等定理，将横向截面上的切应力总的原则：依据切应力互等

24、定理，将横向截面上的切应力计算转化为纵向截面上的切应力计算。计算转化为纵向截面上的切应力计算。腹板翼缘sF方向方向: :沿截面中心线沿截面中心线 Page42sFbHhyz2tmaxS()( )zzF SyI b 2222222222222max2( )()()82 2( ) ()(4)8()8zszsztbhSHhyFyb Hht hyI tFbHb t hI t 腹腹板板4腹板的切应力分析：腹板的切应力分析：按矩形截面梁公式计算，按矩形截面梁公式计算，翼缘参与静矩计算。翼缘参与静矩计算。Page43sFzyx1tzszzzwwzzwwzItSFItSdxdMSIdMFFdxtSIMdAIM

25、ydAFSIdMMdAIydMMdAFFFdxt1112112211)()()()()()()()()(翼缘的切应力分析：翼缘的切应力分析：1 .1 .建立局部坐标系建立局部坐标系F2 F1dx2. 2. 取微体进行受力分析取微体进行受力分析Page44221( )()81()2()( )4zszSHhtHhF HhI 翼翼缘缘zszItSFItSdxdM11)()()(sFzyxmax完整的工字梁截面完整的工字梁截面上的切应力分布图上的切应力分布图Page4540,sFkNaa计计算算处处弯弯曲曲切切应应力力及及最最大大切切应应力力sF100a1050100a, z aS解：解：337411

26、100 20080 18012122.779 10zImm ,5350 10 75 2 80 10 951.51 10z aSmm ,max53100 10 50 2 80 10 951.76 10zSmm 45,7,maxmax4 101.51 1010.85220 2.779 1012.652sz aazszzFSMPatIFSMPatI Page46例例求截面求截面 B-B B-B 上的最大弯曲切应力以及上的最大弯曲切应力以及D点的切应力点的切应力解：最大弯曲切应力发生在中性轴上解：最大弯曲切应力发生在中性轴上确定中性轴的位置，同前，略确定中性轴的位置，同前，略yzhb3522max,1

27、003. 9202. 0)045. 012. 0(02. 02mbhSzDABBF=15 kN0.4 mCOzyyc12020z20120Page47352max,1003. 92mbhSz)(66. 702. 01084. 81003. 91500065max,maxMPaISFzzsd)(13. 702. 01084. 81040. 81500065MPaISFzzsDdzyy1y2Cb)(104 . 82)025. 0045. 0(12. 02)(35222122myybSzD点切应力的求解点切应力的求解DABBF=15 kN0.4 mCOzyyc12020z20120Page48一、梁

28、危险点处的应力状态一、梁危险点处的应力状态QQ 矩形截面梁矩形截面梁: :危险点：危险点：a, c 点处点处: : 单向应力；单向应力； b 点处点处: : 纯剪切纯剪切Czyabc,maxC ,maxt max abc,maxC ,maxt max Page49QQ薄壁截面梁薄壁截面梁: :c , d 点处点处: : 单向应力单向应力a 点处点处: : 纯剪切纯剪切b 点处点处: : , , 联合作用联合作用Cyz1 max abcd,maxC ,maxt 1 max Oyabc,maxC ,maxt max d1 1 1 1 危险点：危险点：Page50二、梁的强度条件二、梁的强度条件 弯

29、曲弯曲正应力正应力强度条件：强度条件：弯曲切应力强度条件：弯曲切应力强度条件： , , 联合作用强度条件联合作用强度条件（详见第（详见第9 9章强度理论）章强度理论）maxmax zWMmaxmax,max d d zzSISF max：最大弯曲正应力：最大弯曲正应力 ：材料单向应力许用应力材料单向应力许用应力 max ： 最大弯曲切应力最大弯曲切应力 ： 材料纯剪切许用应力材料纯剪切许用应力Page51三、梁强度条件的选用三、梁强度条件的选用F 细长非薄壁梁：细长非薄壁梁：F 短粗梁、薄壁梁与短粗梁、薄壁梁与 M 小小 FS大的梁：大的梁：maxmax max max max MM 有时需考

30、虑有时需考虑 , , 联合作用的强度条件联合作用的强度条件 maxt,maxc,tc 梁梁强度问题的分析步骤：强度问题的分析步骤：1 1、内力分析、内力分析确定危险截面确定危险截面2 2、应力分析、应力分析确定危险点确定危险点3 3、根据强度条件进行强度校核。、根据强度条件进行强度校核。Page52例例 4-1 简易吊车梁，简易吊车梁，F =20 kN，l = 6 m， = 100 MPa ， = 60 MPa，选择工字钢型号选择工字钢型号Page53S()( ),lFFl FFF (0)SmaxS,( )1,MFl 4maxFlM 2. 2. 按弯曲按弯曲 条件选截面条件选截面 4 FlWz

31、 查教材查教材P367, 附录附录F 型钢表：选型钢表：选 22a, Wz=3.0910-4 m43. 3. 校核梁的剪切强度校核梁的剪切强度d d maxmax,zzSIF MPa 1114 .44m 1003 .解：解：1. 1. 内力分析内力分析Page541mABCD3 m1m20kN20kN已知已知40MPa100MPa校核梁的强度校核梁的强度200170Cy30z301yba讨论：危险截面是否一定讨论：危险截面是否一定是弯矩最大的截面？是弯矩最大的截面？Page55解：解：画弯矩图画弯矩图10kN m20kN mM 图:200170Cy30z301yba1mABCD3 m1m20k

32、N20kN可能危险截面分析：可能危险截面分析：C C截面：弯矩绝对值最大。截面：弯矩绝对值最大。a a点拉应力，点拉应力，b b点压应力可点压应力可能达危险值。能达危险值。B B截面：正弯矩最大，截面：正弯矩最大，b b点拉应力可能达危险值。点拉应力可能达危险值。Page56截面形心：截面形心：6413940.3 10CzymmImm C C截面：截面：6166620106140.31030.240201013940.31069100CazaaCCbzaaMyIMPMPMyIMPMP B B截面：截面：6610 1013934.540.3 10BCbazM yMPI 强度足够强度足够1mABC

33、D3 m1m20kN20kN200170Cy30z301ybaPage57例例:(a):(a)所示悬臂梁，由两块尺寸相同的木板胶结而成，所示悬臂梁，由两块尺寸相同的木板胶结而成，l =500 mm，b =50 mm，h =80 mm， =10 =10MPa， =1/3 =1/3MPa。试求试求 F F (b)(b)若此梁由三块木板胶结而成，若此梁由三块木板胶结而成，b b=50mm=50mm，中间一块高，中间一块高=50mm=50mm，上下两块相同，高均为上下两块相同，高均为15mm15mm，许用载荷又为多少？，许用载荷又为多少？bFlh( )ayhb155015( )bPage58 解：（解

34、：（a a）梁内最大弯矩值）梁内最大弯矩值 最大剪力最大剪力 梁内最大正应力梁内最大正应力 在中性层，最易发生剪切破坏处也在中性层胶合处在中性层，最易发生剪切破坏处也在中性层胶合处FlMmaxFFsmax612maxmaxbhFlWMzKNlbhF067. 15 . 061010)08. 0(05. 0662223maxbhFKNbhF8889. 03103108. 005. 02326max综上F=0.8889 KNPage59 解：（解：（b b）由正应力控制的许用载荷同前）由正应力控制的许用载荷同前 此时梁截面最易发生剪切破坏处在离中性层此时梁截面最易发生剪切破坏处在离中性层25mm25mm胶合处胶合处 KNlbhF067. 15 . 061010)08. 0(05. 06622yhb155015( )b)41 (2322hybhFKNhybhF459. 1)08. 0()025. 0(41 (3103108. 005. 02)41 (3222622此处此处F =Min1.459,1.067=1.067KNPage60例：例：已知已知 ，校核图示，校核图示悬臂梁的强度。悬臂梁的强度。（1 1）矩形截面）矩形截面（2 2