应用弹塑性力学李同林第四章

1、应用弹塑性力学李同林第四章这是变形理论。 这个理论首先由亨斯基提出， 然后由前苏联的伊留申 进一步完善。问题提出得更清楚了，并且给出了使用条件。因此，这 个理论也被称为亨奇 -伊柳辛理论。伊柳欣的变形理论应该满足几个 条件:(1)外载荷 (包括体力 )成比例增加，变形体处于主动变形过程中 ( 即应 力强度无中间卸载 )；(2)材料所用体积不可压缩，采用泊松比卩=1/2进行计算；(3)材料的应力 -应变曲线具有幂强化形式，即或者在变形过程中(4)满足小弹塑性变形的各种条件，塑性变形和弹性变形大小相同。 满足上述条件后， 变形理论将给出正确的结果。 如果负载没有成比例 地增加，则外部负载成比例地增

2、加是简单负载的必要条件。 这样不仅 不能保证物体内部的简单加载状态， 而且物体表面也不能满足简单加 载条件。体积不可压缩性和泊松比 卩=1/2的假设不仅简化了具体计算， 而且与实验结果基本一致， 因此变形理论的物理关系主要表现为应力 挠度和应变挠度之间的关系，这是令人满意的。法律。使用幂强化模型可以避免区分弹性区和塑性区， 但实际上该模型对不 同材料的限制很小，因为各种材料都可以通过选择公式中常数 a的指 数 m 来拟合拉伸曲线。采用小变形条件是因为平衡方程和几何方程 是在小变形条件下推导出来的，物理关系也是小变形条件下的关系。 伊柳辛不仅明确规定了亨奇变形理论的适用条件， 而且证明了简单加

3、载定理。他提出， 在小的弹塑性变形条件下，总应变与应力挠度成正 比，即:如果使用主应力，有等效应变的表达式为 :从这里因此， Hench-Ilyushin 理论的应力 -应变关系可以写成如下 :展开等式 (4-84):根据胡克定律 (4-33)，弹性应变为 : 因为塑性应变是总应变和弹性应变之间的差，所以它由方程(4-85)和(1)获得:公式 (4-86)可以缩写为 :实施例4-3众所周知，具有封闭端的薄壁圆筒的平均半径为 R，平均 直径为D，壁厚为T,圆筒长度为L,并且承受内压P以产生塑性变 形。材料是各向同性的。尝试找到 :(1) 如果忽略弹性应变，周向、轴向和径向应变之比在圆筒壁上的一

4、点处增加；(2) 如果材料是不可压缩的，即卩=1/2圆柱壁上一点的周向、轴向和径向应变总量之比。因为t/r1是解，所以可以近似地考虑圆柱壁中每个点的径向应力Z r=0 如果圆柱体横截面上的轴向合力为 P,横截面面积为A，纵向合力为pl, 一侧的纵向横截面面积为 A1，贝培点的周向应力和轴向应力分 别为 :那么Z仁z 0Z 2=Z nZ 3 =。而球形应力分量是：应力偏转分量为 :根据增量理论 （忽略弹性变形 ）：因此：即基于总理论公式（4-84）和卩=1/2=0，获取 ：Xi 话题4-1 试验证明，下式适用于弹性变形过程中某一点的应力状态。1（1）? 8? 8; （2）? k?（设置 卩=1/

5、2）G4-2试图证明g, e?他们之间的关系是：1G?2（1 ? ）11? g? E2,然后是 3? k。？，0 = 0 同时，4-3 试验证明,对于各向同性弹性体,如泊松比上述弹性常数的物理意义。4-4 如果材料屈服的原因是形状变化比能 （异常能 ）达到某个极值,试 着根据单轴拉伸应力状态和纯剪切应力状态来确定屈服极限? s 和?S.4-5 尝试根据体积应变规则证明泊松比，即物体在单轴拉伸下不会横 向膨胀，而在三轴拉伸下体积不会收缩？在 .上1 的下限是 :0 ？。E24-6 试用物体三维等效压缩的应力状态证明 :K ？并验证它是否 与 k 有关？与 .一致，3（1？ 2v）3K 是体积弹性

6、模量。4-7已知钢的弹性常数E仁210Gpa,卩=.3;橡胶的弹性常数E=5MPa, 卩=0.47。试着比较它们的体积弹性常数（K1是钢，K2是橡胶的体积 弹性模量 ）。4-8 在双轴拉伸应力下有一个微分体。1？0，？2？0，？3？0），主要的菌株是？ 1？1.7？10？4，？2？0.4？10？4 .知道吗？= 0.3，试着找出主要菌株？ 3 .4-9将问题4-9中的图中所示的1厘米X1厘米X1厘米的铝方块嵌入带 有无间隙凹槽的钢块中。假设钢块没有变形，试着找出:在压力 P =6KN 的作用下，铝块中某一点应力状态的三个主应力和主应变，弹 性常数 E=70Gpa？= 0.33 .直径D = 4

7、0mm毫米，厚度为？在2 mm的钢套筒中，气缸承受轴向压力P = 40KN。如果铝的弹性常数 E1是70 GPa? 1 = 0.35，钢E =210GPa试着找出气缸中某一点的圆周应力。4-11 试验证明各向同性弹性体的主应力方向与相应的主应变方向一致。4-12将一个小物体放入高压容器中， 在静水压力P = 0.45N牛顿/ 平方毫米的作用下，测量体积应变 0=.6 X0-5。如果泊松比 卩=0.3试着找出物体的杨氏弹性模量 e。4-13各向同性物体中某一点在X和丫方向上的法向应力分量分别为二35N/mm2; =25N/mm2，同时Z方向的应变完全受限。设 E=2.11 X05N/mm2,卩=

8、0.3并试着求出 Z和£ , e 的值4-14如果位移分量为 卩=Ayz u =Ax? w= AKxy ,其中a和k是常数，与物理力无关。和KM1。试着找出应力分量，并验证这组应力分量是 否可以作为弹性力学问题的可能解决方案。4-15物体中点的应力状态为 :单轴拉伸下物体的屈服极限 Z b = 19兆帕。特雷斯和米塞斯屈服条件 用于判断该点处于何种变形状态。 如果主应力方向都在相反的方向上 变化（即相同的值但不同的数值 ），那么对研究点的变形状态的判断是 否改变。4-16找出 d 点的流动规律 （即）用主应力写出了 4-17 Mises条件，并研究了两种特殊情况：Z 1二;Z2（2）

9、 Z 2二尝试将列出的米塞斯条件与特雷斯卡条件进行比较。4-18给定的单轴拉伸曲线如图所示。“E和“E”是已知的。当B点的应变被称为£时，试着找出该点的塑性应变。4-19 给定以下主要应力，试着找出 ：也在4-XXXX，法国工程师特雷 雷斯卡在一系列金属挤压实验的基础 上发现，在变形的金属表面上有非常细微的痕迹， 这些痕迹的方向非 常接近最大剪应力的方向。 因此，他认为金属的塑性变形是由于剪切 应力引起的金属晶格滑移而形成的。Tresca提出，在一个物体中，当 最大剪应力n max绝对值)达到某一极限值时，材料进入塑性状态。当 Z 1>Z 2时，该条件可写成如下： 如果你不知道

10、主应力的大小和顺序，那么特雷斯卡条件应该写成 : 在方程 (4-44)中，如果有方程，材料已经进入塑性状态。 如果方程 (4-44) 被改写成一个通式，它是 ：在主应力空间中，方程(4-45)的几何轨迹对应于图4-18(a)所示的正六 边形圆柱体。柱面和Z 1 Z平面Z3弋公式(4-45)的截止轨迹为：这代表六条直线，如图4-18(b)所示，即：如图4-18(c)所示，圆柱和n平面之间的截距是正六边形。上面出现的 K 值只需要通过简单的应力状态试验来确定。如果采用 单轴拉伸试验，Z是屈服极限，因此存在。Z仁Z sZ 2=Z 3=0则得到 公式(4-43 )：如果使用纯剪切试验，则：，是剪切屈服

11、极限ns因此Z仁nZ 2=0Z 3-=ns比较方程 (4-48)和方程 (4-49)，如果特雷斯卡屈服条件是正确的， 必须 有： 最大剪应力的假设被普遍接受，因为它与实验结果一致。然而，当使 用 Tresca 条件时，主应力的总和和顺序应该是已知的， 因为最大剪切应力n ma可以通过这种方式获得。如果主应力的顺序是已知的，使 用特雷斯卡条件是非常方便的。 因为从数学表达式来看， 它是一个简 单的线性公式，用它来解决问题非常方便。此外。 Tresca的最大剪应 力屈服条件忽略了中间主应力 Z2对材料屈服的贡献，这是它的不足 之处。米塞斯屈服条件如上所述， 特雷斯卡条件非常方便地用于预测主应力的顺

12、序。 但总的 来说，这相当麻烦。 191年，德国力学家 R .冯.米塞斯指出 :在等倾平 面上，特雷斯卡条件六边形的六个顶点是通过实验得到的， 但连接这 六个顶点的直线包含着这样的假设 (中间主应力不影响屈服 )。这个假 设是否合适需要通过实验来证明。 守财奴认为用一个圆连接六个顶点 似乎更合理， 而且可以避免因曲线不平滑而造成的数学困难。 主应力 空间中米塞斯屈服条件的轨迹是一个从外部连接到特雷斯卡六边形圆柱体的圆柱体，如图19(a)所示，它垂直于正八面体斜面或 n平面。 所以它在n平面上的截距等于圆圈，如图 4-19 所示如图4-19(b)所示，它在Z 1 Z平面上的截距是一个由六边形围成

13、的椭 圆。如果用公式表示，英里条件可以写成 :或者写成上述两个公式中的 k 是常数，其值可以通过简单的应力状态试验来确 定。如果采用单轴拉伸试验，Z为屈服极限，则Z仁Z sZ 2=Z 3=0由 公式(4-51)得出:如果采用纯剪切试验，n s=k是用同样的方法得到的，所以我们知道 也就是说n s0.577 Z s1924年，赫内基解释了米塞斯条件的物理意义。他指出，方程 (4-51) 相当于形状变化应变能量密度等于某一值，即 :亨斯基认为，当韧性材料的形状改变， 应变能密度 Uod 达到某一值 k' 时，材料开始屈服。如果采用单向拉伸 在拉伸试验中，当材料屈服时，已知公式 (4-51)

14、与公式 (4-55)一致。因 此，米塞斯经常投降。这种状态称为畸变能状态。 1937年，戴娜(戴娜)对米塞斯给出了另一种解释， 即这种情况的物理 意义。戴娜认为，公式(4 -51)相当于八面体剪应力 叶8等于某一值， 即 换句话说，当八面体剪应力达到一定值时，材料开始屈服。在 1952 年，诺沃契洛夫 (注 1)用剪切应力的均方值对米塞斯条件的物理意义 给出了另一种解释 (略)。简而言之，尽管上述三种解释以不同的形式 表达，但它们实际上是。他们之间有着内在的联系。 关于验证上述屈服条件，有大量的实验数据。这里不再详细描述。实 验表明，变形能条件比最大剪应力条件更接近实验结果， 主应力的阶 次无

15、需事先知道，中间主应力Z2寸屈服的贡献也被考虑在内。图4-20 显示了细管实验和拉扭实验的结果。图 4-20(a)显示了泰勒等人的拉 伸和扭转试验结果；图4-20(b)显示了洛达克细管的试验结果。如图 4-21 所示，例 4-2 有一个横截面相等的圆轴，并承受弯曲和扭 转应力。已经材料的实测屈服极限为 Z s = 3O0K帕，已知弯矩Mw = 10kNm,扭矩Mn二30kNm。如果安全系数n=1.2，则尝试根据材料力学和强度理 论的相关公式设计轴的直径。解决方案 :圆轴是在弯曲和扭转的共同作用下，所以轴中危险点横截 面上的两个应力分量是 :在上面的公式中，主应力是 :显然。圆轴上一点的应力状态

16、是Z仁Z maxZ 2=0 Z 3=Z min Z和Z3分别是:根据特雷斯卡条件，Z4Z 3=Z s公式被取代，安全系数被认为获得：解决方案如下 :因此，轴向直径可以是d> 10.9厘米。根据米塞斯条件：式 (3)和安全系数包括在简化中 ：根据等式 (6)：因此，轴向直径可以是d> 10.4厘米第 4-5 节岩土材料的变形模型和强度准则4-5-1 岩土材料的变形特征及主要假设岩土材料、煤炭、地质或采矿工程中的土壤、结构工程中的混凝土、 石头和工业陶瓷统称为岩土材料。在一般的常规材料试验机中， 进行岩土介质的材料力学实验时， 由于试验机头部的位移大于试件的变形， 当试件损坏时， 试验

17、机中储存的 弹性变形会立即释放， 这将冲击试件并导致严重的破坏， 从而无法得 到材料应变软化阶段的规律，即完整的应力 -应变曲线。如果使用刚 性试验机， 并且可以控制加载速度以适应试样的变形速度， 则可以获 得完整的应力 -应变曲线。岩石、混凝土和其他材料的典型全应力 -应 变曲线如图 4-22 所示。实验表明，当应力较低时，试件材料的内部 裂纹被压实。在此阶段 （OA 段），应力值增加很少，但压缩应变较大。 内部裂缝压实后，应力和应变近似线性增加。在这个阶段 （AB 部分 ）， 有体积变化，而 B 点的应力值称为屈服强度。随着压力的增加，材 料的 微裂纹也在不断发生和扩展， 因此应力和应变之

18、间存在明显的非线性 增长，并表现出一定的应变硬化特征 （BC 截面 ）。点 C 处的应力值称 为强度极限（抗压强度极限Z b或抗拉强度极限z b。）在点C附近，试 样的总体积变形从收缩变为膨胀， 即材料中出现宏观裂纹。 裂纹的扩 展使材料的变形不断增加，而应力不断减小。这一阶段（光盘部分 ）称为应变软化阶段。 DE 阶段显示材料的剩余强度。 当达到强度极限时， 材料中累积的应变能的值是由峰值左侧的曲线 OABCF 包围的区域， 表示为U1,以及从裂纹到失效的整个过程中消耗的能量。该量是由峰值右侧曲线（FCDE）包围的区域U2。如果u1 > U2,材料 破坏后还会有一些能量残留，这部分变形

19、能量的突然释放会伴随着 “岩爆”；如果 u1 总而言之。 岩土材料的应力 -应变曲线大致可分为三 段。第一阶段（OABC）是应力和应变的非线性上升，第二阶段（CD）是 应变软化阶段，第三阶段(DE)是残余强度阶段，这在一些材料中不发 生。通常，材料在拉伸状态下的应力 -应变曲线的变化规律与压缩状 态下的相似，但代表各阶段应力和应变的值与压缩状态下的值有很大 的不同。岩土材料的抗压强度远远高于拉伸强度。至于岩土材料， 它们通常处于三向或双向压缩状态。 在岩石力学和土 力学中，模拟三向应力状态的试验称为 “三轴试验 ”。三轴试验中最常 见的一种是模拟三向应力状态的特殊情况， 即在三个相互垂直的方向

20、 上保持两个方向上的压力值相等， 而在另一个方向上改变压力值。 这 种试验可以在三轴试验机上完成。图 4-23 是该三轴试验机的主要结 构原理示意图。在测试过程中，圆柱体样品被流体包围，流体被施加 高压以向样品提供围压。 在试验过程中， 通常将围压保持在一定的恒 定值，通过可推动的活塞头向试件施加轴向压力，不断增加压力，直 至试件损坏。通常，围压和轴向载荷可以相互独立地控制，并且在试 验过程中提供特殊的装置来测量轴向载荷、围压和变形。通常，围压 越低，材料的屈服强度越低， 应变软化阶段越明显。 随着围压的增加， 屈服强度增加，塑性也明显提高。图 4-24 是在常规实验机器上对翁 碧岩大理石进行

21、三轴试验的结果。图4-24(a)显示了在翁碧岩大理岩三轴压缩试验中， 当围压增加时， 翁碧岩大理岩在不同围压下的破裂 或流动类型。另一个三轴试验是模拟压力在三个相互垂直的方向上的 独立变化。为了区别于上述三轴试验，通常称之为 “真三轴试验 ”。真 三轴试验通常在三组正交的立方体岩石试样表面上独立进行。 在试验 过程中， 应特别注意减少加载岩石样品表面的摩擦， 以便获得样品三 维应力状态的良好近似值。 可以想象， 真三轴试验比三轴试验要复杂 和困难得多，在这方面还有许多问题需要解决。 通过以上对大量岩土材料试验数据的讨论和分析， 人们认识到由于岩 土材料成分的不均匀性， 缺陷和裂纹的分布使细裂纹

22、在加载过程中进一步扩展和移动， 导致材 料的宏观强度和刚度降低。 因此，材料的非弹性变形主要是由微裂纹 和缺陷的产生和扩展引起的。岩土材料的压缩性 (抗剪强度随压应力 的增加而增加 )、剪胀性 (剪切应力下的塑性体积应变 )和等压屈服 (在 所有方向上的等压下的塑性屈服 )是岩土塑性理论和金属塑性理论的 重要区别。这些差异主要表现在 :(1)岩土介质在静水压不太大或环境 温度不太高的工程环境下表现出应变软化特性。 (2) 岩土材料的抗压 强度决定了岩土材料的剪切屈服和破坏必须考虑材料的平均应力和 内摩擦性能。 (3)金属材料的特点是材料的弹性系数与塑性变形无关， 岩土材料应考虑弹塑性耦合。 (

23、4)岩土材料中应考虑单一屈服面。 (5)金属材料中的正交流动法则不再适用于岩土材料。 由于岩土材料与金属材料的变形特性存在显著差异， 岩土材料的强度 准则 (金属塑性理论中称为屈服条件，岩土塑性理论中称为塑性条件 ) 应包括平均应力； 并能反映应力应变张量中球形分量和偏转分量的交 叉影响。体积应变的屈服使强度准则曲面的末端闭合等。 材料变形的 复杂性和应力 -应变模型的多样性是解决岩土材料承载力的首要问 题。合理简化应力 -应变曲线和正确选择强度准则对解决这一问题具 有重要意义。由于影响岩土塑性变形的因素很多， 有些因素不可忽视， 岩土塑性理论中的假设相对较少。主要假设是 :(1)连续性假设虽

24、然岩土介质在肉眼可见的尺度上表现出不均匀性和 不连续性， 但在工程问题的力学分析中， 它可以作为一个连续介质岩 土力学问题，即在较大尺度范围内描述各种力学量时取统计平均值。(2)在大多数情况下，不管时间和温度的影响，蠕变和松弛效应可以 忽略，应变率对变形规律的影响可以忽略。在一般工程问题中，温度 变化不大，温度的影响可以忽略。4-5-2 岩土材料变形模型根据大量的岩土材料试验数据， 可以简化岩土材料的应力 - 应变曲线， 以强度极限为岩土材料变形特性的转折点。可采用以下基本变形模 型:(1)理想弹塑性模型该模型假定应力在达到最大值后保持不变，而材料的变形仍可继续增长。如图4-25(a)所示，数

25、学表达式为：该模型适用于材料应变软化不明显的情况，即在c点附近有一段应力下降不明显的时期。(2)脆塑性模型如图4-25(b)所示。在这个模型中，当应力达到最大值时，就会发生 “下降”。下降后的应力值称为剩余强度，数学表达式是 ：其中b称为剩余强度系数，0 < b选择不同的边坡E1可以描述不同的 材料软化特性。考虑到岩土材料应力 -应变实验曲线的多样性，上述变形模型也可以 不同地组合。 4-5-3岩土材料的强度标准在岩土材料实验中， 当时材料中出现了宏观裂纹。 在复杂的应力条件 下，当材料中出现宏观裂纹时，应力之间满足的条件称为强度准则。 该公式类似于金属塑性理论中的屈服条件， 因此强度准

26、则也可称为塑 性条件，它表明材料将从弹性状态进入非弹性变形状态。 两者的临界 状态意味着材料将进入塑性状态或出现宏观裂纹。 它的应变与变形模 型有关， 对于理想的弹塑性模型， 它意味着进入无约束的塑性变形状 态。另一方面， 脆塑性模型和线性软化模型分别表示应力将下降并进 入线性软化状态。点c之后的应力组合(见图4-22)仍然满足强度标准， 但是此时表征材料机械性能参数的值根据不同的模型而不同。例如， 对于理想的弹塑性模型，力学性能参数的Zb直不变，而在脆塑性模型中，强度值从Zb减小到KZb线性软化模型中强度值的减小与£和 e 有关。因此，岩土材料的承载特性不仅与变形模型有关，还与强

27、度准则有关。对于一般岩土材料， 随着静水压力的增加， 屈服应力和破坏应力都大 大增加。即使在初始各向同性的假设下，方程 (4-42)也应修正为 : 的屈服条件。岩土力学中的强度准则通常可以表述为 :介质中点元体的任何微截面 上的剪应力n怀能超过某一临界值。当I n达到这个临界值时，材 料将产生剪切滑移。 在最简单的情况下， 上述临界值和断裂面上的法 向应力Z之间存在线性关系，即： 这是库仑抗剪强度标准。 在上式中 :C 通常是常数， 是固体材料在 Z n=0 微截面上的剪切强度。在岩石力学中，它通常被称为内聚力。B是内 摩擦角(在岩石力学中，压应力通常为正，Z之前的负号应改为加号)。 在更一般的情况下，等式(4-61)中的B将随着(-z n的增加而减小，即： 这是摩尔的强度标准。莫尔强度准则可以用曲线 (如双曲线、抛物线、 摆线等)来表示。)来显示B值随着zn勺增加而变化，如图4-26(b)所 示。当我们只考虑B为常数的情况时，它就是库仑剪切断裂准则。 等式(4-61)代表一对光线。如图4-25(a)所示。中等应力状态的最大应 力圆应在这两条射线或莫尔包络 MN和M ' N '包围的区域，当材料 产生剪切滑移时， 极限应力圆应与射线或包络相切。 莫尔强度准则的 包络线可以通过材料在不同应力状态下的一系列试验和材料损伤时 的极限应力圆来确定。在库仑抗剪强度准则中