巧用对称点求最小值2

1、巧用对称点求最小值、情景创设：问题1：操场上有两位同学在活动，同学A有急事找同学B，问同学A应选择怎样的路线跑最近？问题2：若把同学A、B的位置改成两个村子，中间隔了条公路，要在公路边造一个车站，使它到两个村子的距离之和最小，车站应造在何处？问题3：如果A、B两个村子位于公路的同侧，车站又该造在何处？为什么？2、DCAPBEANANBPMO图1河边DBCA 合作、交流、探索：如图1，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现要在河边CD上建一水厂，向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为2万元/km，请你在CD上选择水厂的位置Q，使

2、铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用。如图2，A是圆上一个三等分点，B是的中点，P是直径MN上一动点，已知O的半径为1，求AP+BP的最小值。 图2如图3，在菱形ABCD中，BAD=60°， AB=1，E为AD中点，P为对角线AC上任意一点，试求PED周长的最小值。 图3 已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴交于A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（-1，0）。（1）求点B的坐标；（2）点D是抛物线上一点，且以AB为一底的梯形ABDC的面积为9，求此抛物线的解析式。（3）在满足（2）的条件下，且a<0，抛物线的对称轴上是否存在一点P，使ACP的周长最小？若存在，求出点P

3、坐标；若不存在，请说明理由。利用轴对称求最小值 山东省章丘市绣水中学 李爱芸 文章来源：2008年下半年度试题与研究中考数学题中有些求两线段之和最小的题目，同学们感到找不到思路，其实它是利用轴对称求最短距离的变形，现以部分中考题为例加以分析，希望能对同学们有所帮助。例：如图，草原上两居民点A，B在笔直河流l的同旁，一汽车从A处出发到B处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在途中画出这一点。理解转化题意：将这一问题转化为数学问题，即已知直线l及l同侧的点A和点B，在l上确定一点C,使AC+BC最小。首先我们思考若点A和B点分别在直线l的两侧，则点C的位置应如何确定，根据两点

4、之间线段最短，点C应是与AB直线l的交点，如图（2），这就是说，设线段AB交l于点C，点C/是直线上异于点C的任意一点，总有AC+BCAC/+BC/。因此，解决上述问题的关键是将点A（或点B）移至l的另一侧（设点A移动后的点为A/），且使A、A/到直线l上任意点的距离相等，利用轴对称可达到这一目的。解：如图（3），作点A关于直线l的对称点A/，连接A/B交l于点C，则点C的位置就是汽车加水的位置，即汽车选在点C处可使行驶的路程最短。l（3）ABA/CABCC/（2）l（1）AB变形1：已知：如图,正方形ABCD的边长为8，M 在BC上，N是AC上的一动点，则BN+MN的最小值为多少？理解转化题

5、意：点B、M都在直线AC的同旁，因此利用轴对称找点B的对称点，在此题中由正方形的性质可知点B的对称点是点D，所以连结DM,DM的长就是BN+MN的最小值。CDAMNB解：连结MD交AC于N/点四边形ABCD是正方形点D与B关于AC对称N/B=N/DDM=DN/ +MN/ =N/B+N/M在直角三角形MBC中由勾股定理求得 DM=10BN+MN的最小值为10.变形2： 如图MN是O的直径,MN=2点A在O上,AMN=30°B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为多少?理解转化题意：利用圆的轴对称性过点B作BCMN得点B的ABNOCMPP对称点C, 连结AC与MN交

6、点即为P点.解：过点B作BCMN交O于点C连结AC交MN于点P则AC=PA+PB连结OA,OCBCMN弧BN=弧NC =弧ANNOC=AMN=30°AOC=AON+NOC=90°MN=2OA=OC=1在RTAOC中由勾股定理得AC= =即PA+PB最小值为变形3： 点A的坐标为（0，2）点，点B是半径为的B的圆心，点B的坐标为（4，2），请你探索在x轴上是否存在一个点C以及在B上是否存在一个点D，使得AC+CD最小，若存在，请你在图中作出点C和点D，并求出点C、D的坐标和AC+CD的最小值；若不存在请说明理由。理解转化题意：点A 点B在X轴的同旁,作点A关于x轴的对称点E，连结BE交X轴于点C, ，交B于点D，点C点D即为所求。12435X0-1-2-1123yABCDGE解：作点A关于x轴的对称点E，作直线BE交x轴于点C，交B于点D，连接AC，则点C、D即为