椭圆与双曲线的对偶性质条精讲

1、22务沽1.10.11.切点弦2 2若P)(Xo, Yo)在椭圆2a b22若P)(Xo, Yo )在椭圆2 a bP1P2的直线方程是竽餐b=1上，则过F0的椭圆的切线方程是XoX2a=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为12. AB是椭圆a222£丄a2 b2=1.=1的不平行于对称轴且过原点的弦,M为ABkOM kABbl . ayoy 1b2 "Pi、P2,则的中点，则13 .若2 2R(x°, y。)在椭圆务与=1内，则被Po所平分的中点弦的方程是a b22XoXy°y_Xoyo2. 22. 2a b a b2 214 .若FO( Xo, Yo

2、)在椭圆令 % = 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 a b22丄y_a2 b2_ XoXyoya2b2椭圆与双曲线的对偶性质100条1. | PF11 |PF2| = 2a222 .标准方程：笃爲=1a2 b2|PF1 |3. = e ： 1d14 .点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角5. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点 .6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离 .7 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8 .设A?为椭圆的左、右顶点，则厶PF1F2在边PF2 (或PF1)上

3、的旁切圆，必与A1A2 所在的直线切于A2 (或A1).A(-a,O), A2(a,0)，与y轴平行的直线x2 y29 .椭圆2 =1 (a> b > 0)的两个顶点为a b交椭圆于Pi、P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是2 215 .若PQ是椭Xy22=1( a > b > O )上对中心张直角的弦，则ab1 1育存|OP|,”|OQ|).2 216 .若椭圆笃爲=1 ( a > b > 0 )上中心张直角的弦L所在直线方程为 a bAx Bp1 (AB = 0),则(1) 2 占二 A2 B2；(2)慕a ba A +b B17.给定椭圆 C1:b

4、2x2a2y2=a2b2(a>b>0),C2:b2x2a2y2=2 巴 ab)2,a +b则(i)对 C上任意给定的点R(x0, y。)，它的任一直角弦必须经过C2上一定点2 . 2 2 . 2#a -ba -b、M( (22 x0， 22 y0).aba b(ii)对C2上任一点P'0(x)',y0')在C1上存在唯一的点 M ',使得M '的任一直角弦都经过F0'占x2y2c：-y十丄7=1 (a > 0,.b > 0)上一点，PiP2为曲线C的 a bki, k 2,则直线P1P2通过定点“(mxmy0) (m式1)

5、的18.设R)(Xo,yo)为椭圆(或圆)八、-动弦，且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为1 m b2充要条件疋k1 k22 .1 -m a2 2x y19.过椭圆2 =1 (a>0, b>0)上任一点A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交a bb2x椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC尹(常数)a y。2 220.椭圆笃召-1 (a> b > 0)的左右焦点分别为F1, F 2,点P为椭圆上任意一点a bF1PF2二吋，则椭圆的焦点角形的面积为2 Y a n2 b2YS1PFb tan , P(-Jc -b tan -, tan?).2 2X y21若

6、P为椭圆 2 =1 ( a> b > 0)上异于长轴端点的任一点，F1, F 2是焦点，a b”/任a -ca PPF.F ,PF2F .，贝Utan cot .a c 222222.椭圆 务*告=1 (a>b> 0)的焦半径公式：a bIMF1 戶a ex,|MF2| = a-ex0(F1(-c,O) , F2(c,0) M (心 y°).22若椭圆X- y = 1 (a> b> 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当 a2 b2、2 -1时，可在椭圆上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项2 2P为椭圆 务占

7、=1 (a> b> 0) 上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，贝Va b23.Ov ew24.2|AF2h|PA| |PFJ<2a IAF1I,当且仅当A,F2, P三点共线时，等号成立2 225.椭圆 % y2 =1 (a>b> 0) 上存在两点关于直线 l : y = k(x-X0)对称的充要条a b/ 2 2、2 件是 2 . (a -b ) 件是Xo22 2a +b k26. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，半径互相垂直.则该

8、点与焦点的连线必与焦Jx = a cos28 P是椭圆yE(a> b> 0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条件是e21亍1+s in ®22a2 b2 交于 P,Q,则 AP =BQ.x2 y230 .在椭圆2 = 1中a b2b2)29.设A,B为椭圆k(k 0,k = 1)上两点,定长为2m ( o v217x2a2cos :2,其中 tan二sin :b2x22y31.设s为椭圆-22ab移动，记|AB|= IM(x0 ) max2 a-*(c22二 a-b2c2e22椭xy32 .圆2=1ab2 2A aB2b2.C33 椭圆2 a2 2.22 2其直线A

9、B与椭圆笃*占=1相a bm < a)的弦中点轨迹方程为b22，当 y =0时，a =90".a y=1 (a> b> 0)的通径，定长线段 L的两端点A,B在椭圆上(Xo,yo)是 AB 中点，贝y当I GS时，有宀当s 时，有(x0)max = J4J,(X0)min=0.与直线A x B y CO有公共点的充要条件是2 2(xy) 岂 纠 1与直线 AxB C=0有公共点的充要条件是ab.一 _ -、2A a B b 一(Ax0 By。C).2 234. 设椭圆 务占=1 (a> b > 0)的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上a

10、b任意一点，在 PF1F2 中，记.F1PF ： ,PRF2 = 1 , F,F2P 二，则有s i n cesin：s i n a35. 经过椭圆b2x2圆上任一点的切线相交于2x , y36. 已知椭圆-a1a2y2 =a2b2 (a> b> 0)的长轴的两端点 A1和A?的切线，与椭 P1 和 P2,则 | PA | IP4 l=b2.22=1( a> b>0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP _ OQ . b2(1) J-2 ；(2)|OPf+|OQ|2的最大值为|OP |2|OQ |2a2 b24a笃；(3) S.opq的最小2-2a b值是-2

11、2 .a b37. MN是经过椭圆b2x2 a2y2 =a2b2 (a>b > 0)过焦点的任一弦，若 AB是经过椭 圆中心O且平行于MN的弦，则|AB|2 = 2a|MN |.38. MN是经过椭圆b2x2 a2y a2b2 (a> b> 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心 O2 1 1 1的半弦OP _ MN，则 2' =厶厶.a|MN | | OP |2 a2 b22 2x y39. 设椭圆 2 =1 (a>b>0) ,M(m,o)或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的a b任一点，过M弓I一条直线与椭圆相交于 P、Q两点，则直线A1P、A2Q

12、(A1 ,A2为对称轴上的a2b2两顶点)的交点N在直线I : x (或y)上.mm40. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.AiP41. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q,A2为椭圆长轴上的顶点， 和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点N，贝U MF丄NF.2 2x y42. 设椭圆方程 2=1,则斜率为k(k工0)的平行弦的中点必在直线 I : y二kx的共a bb2轭直线y = k x上，而且kk - -y .a2 2XV43. 设A、B、C、D为椭圆2=

13、1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为 ，：，a b直线AB与CD相交于P且P不在椭圆上，则IPAPBIbyTs*| PC | | PD | b2cos2 " a2 sin2 ：244. 已知椭圆 =1 (a>b>0)，点P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点，ZF1PF2a b的外(内)角平分线为l，作F2分别垂直l于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S形成 的轨迹方程是 x2 y2 =a2(b2y2 (ace)(x c)2 (x2 y2 ex)2 =ce(x c)2).45. 设厶ABC内接于椭圆 别交直线AC、BC于E和F, 的中点.x2丨，且AB为丨的直径，I为

14、AB的共轭直径所在的直线, 又D为l上一点，贝U CD与椭圆】相切的充要条件旦l分D为EF2 2x y46.过椭圆一22=1a b(a> b> 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦| PF |MN的垂直平分线交 x轴于P,则 1| MN |2y2 =1 (a> b>0)上任一点，过A作一条斜率为bx247 .设A (X1 ,y1)是椭圆ad是原点到直线的直线L ,又设.r2d =ab.b2x12a yiL的距离，ri,r2分别是 A至U椭圆两焦点的距离，则2 2a> b > 0)和 令+告=丸(), 一直线顺次与a b2 248.已知椭圆0丄可(

15、a2 b2它们相交于 A、B、C、D四点，则|AB | =|CD | .a> b> 0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,O),2, 22, 2a -ba -bx° :a2 2x y49 .已知椭圆一22-1a b2b2记.FiPF2 - ，则(1)|PFi|PF2|2 255.已知椭圆% 乂2 = 1a b两点，将A、B与椭圆左焦点(2a2 -b2)2 t 口/ t '2)(当且仅当aA、Fi、B三点共线时左边不等式取等号)Fi 连结起来，则 b2 _| F1A| | F1B |_AB丄x轴时右边不等式取等号，当且仅当2 2

16、56 .设 A、B 是椭圆 x=1a bNPAB ,NPBA = P ,NBPA=Y2ab | cos |(1)|PA|= 2 .(2) tan°tanP=1 e .(3) S血ab 2a -c cosL2 257.设A、B是椭圆 务占=1 ( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)a2 b2部的两点，且xA、xB的横坐标xA，xB二a2，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于点，则N PBA= N QBA ( 2 )若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBAQBA=180a>b>0)的长轴两端点， P是椭圆上的一点,c、e分别是椭圆的半焦距离心率，2

17、2a2b2.22 cot .b - a、外P、2 2a> b > 0)上异于长轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点50 .设P点是椭圆笃爲=1a b2 Y仆n . Spf1F b tan；.1 cos251. 设过椭圆的长轴上一点B ( m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q两点，A为椭圆长轴 的左顶点，连结 AP和AQ分别交相应于过 B点的直线 MN : X = n于M, N两点，则2tla-ma.MBN =9022 .a 十 m b (n + a)2 252. L是经过椭圆 笃爲=1 ( a> b > 0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是a b椭圆两个焦点，e是离心

18、率，点P .二L ,若/ EPF -,则：是锐角且sin : _ e或 :-arc sine (当且仅当| PH |二亚时取等号).c2 2x y53. L是椭圆2 =1 ( a >b> 0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点，点P L ,a be是离心率， EPF , H是L与X轴的交点c是半焦距，则:是锐角且sin 冬e或ab:< arc sine (当且仅当| PH |时取等号).c2 2x y54. L是椭圆二 2 =1 ( a>b> 0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交 a b点，点P L， EPF -，离心率为e,半焦距为c,则为锐角且sin_

19、 e2或a < arc si ne2 (当且仅当 | PH |=bJa2+c2 时取等号).c(a> b> 0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于 A、B2 258设A、B是椭圆 笃爲=1 （ a>b>0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外a b部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，贝U P、2Q不关于x轴对称），且.PBA二/QBA，则点A、B的横坐标xA、xB满足xA xa ； （2）若过B点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，且.PBA . QBA = 180，则点A、B的 横坐标满足xA xB二a2.2 2

20、-1的长轴的两个端点，QQ'是与AA垂直的弦，则直线AQx y59.设A, A是椭圆2a b与a'q'的交点P的轨迹是双曲线2 2_r_12 , 2a b60.8ab2a2 b22 2 过椭圆2 y -1 （ a b2 2 _| AB| |CD |_空 口.a2 2到椭圆 冷爲=1 （ a> b> 0）两焦点的距离之比等于 电'（c为半焦距）的动a2 b2ba> b > 0 ）的左焦点 F作互相垂直的两条弦 AB、CD则点M的轨迹是姊妹圆（x于a）2 y2二b2.2 2x y62.到椭圆2 =1 （ a>b>0）a ba c的

21、长轴两端点的距离之比等于-b（c为半焦距）的动点M的轨迹是姊妹圆（x_2）2 y2e2 263.到椭圆务每=1a ba>b> 0）的两准线和x轴的交点的距离之比为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆2X64.已知P是椭圆丐aa 22 b 2（Xp） y=（丐）（e为离心率）.ee2£=1（ a> b>0） 上一个动点， A, A是它长轴的两个端点， b2''x2 b2y2且AQ _ AP , AQ _ A P，贝U Q点的轨迹方程是 41 a a65椭圆的一条直径（过中心的弦）的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴 之长的比例中项2 266.

22、设椭圆 与*占=1 （ a>b>0）长轴的端点为 AA',P（X1,yJ是椭圆上的点过a bb2x1'作斜率为厂1的直线丨，过A, A分别作垂直于长轴的直线交丨于M, Ma y11 IQII（1） | AM | AM |=b . （2）四边形MAAM面积的最小值是2ab .2 267. 已知椭圆2 7 =1 （ a> b>0）的右准线丨与x轴相交于点E ,a b的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线丨上，且BC _ X轴，则直线 的中点过椭圆右焦点AC经过线段EF2 268. OA、OB是椭圆（X-y2 1 （ a>0,b>0）的两条互

23、相垂直的弦，O为坐标a b2ab2原点，则（1）直线AB必经过一个定点（22 ,0） .（2）以O A、O B为直径的两圆的另一a +b2 2个交点Q的轨迹方程是（x具）2 丁2=（具）2（x"）.a2北2a2加22 2（x_a）y69. P（m, n）是椭圆 22=1 （ a> b > 0）上一个定点，P A、P B是互相垂直ab，-2 2、冷)( 2 )以 P A、P B2 2 2 2 2a2 b2为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是 2 2 .2 z ab +a m、2 丄 z b n 、2 （x 2 厂）（y-二 2）a +ba +b70.如果一个椭圆短半轴长为

24、的弦，则（1）直线AB必经过一个定点（2ab m（a _b ） n（b 一a）2 2 2n(a "gm且 y).24a b2 2、2（a b ）b,焦点Fi、F2到直线L的距离分别为d2，那么（1）d1d2 =b2，且Fi、F2在L同侧 直线L和椭圆相切.（2） d1d2 - b2，且Fi、F2在L同 侧:二直线L和椭圆相离，（3）d1d2 : b2，或Fl、F2在L异侧=直线L和椭圆相交.2 271. AB是椭圆 笃爲=1 （a> b>0）的长轴，N是椭圆上的动点，过 N的切线与 a b过A、B的切线交于C、D两点，则梯形 ABDC的对角线的交点 M的轨迹方程是 x2

25、4a2y2 =1（y = 0）.2 2x y72 设点P（X0,y°）为椭圆 2 -1 （ a > b > 0 ）的内部一定点，AB是椭圆a b2 2笃 与=1过定点P（x0,y。）的任一弦，当弦 AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时a b(| PA| | PB |)max(| PA| 1 PB |)min2 2 2 2 2 2ab 一(小0 bx0).当弦 ABb2a2b2 -(a2y。2 b2x。2)垂直于长轴所在直线时b273. 椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切74. 椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点75. 椭圆

26、两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c与a-c.76 椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78椭圆焦三角形中79. 椭圆焦三角形中80. 椭圆焦三角形中 到同侧焦点的距离成比例81椭圆焦三角形中 与同侧焦点连线段成比例,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、

27、外点,则椭圆中心与垂足连,则椭圆中心与垂足的,垂足就是垂足同侧焦82. 椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 线必与另一焦半径所在直线平行.83. 椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 距离为椭圆长半轴的长.84. 椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点85. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的 比为定值e.86. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线87. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线88 椭圆焦三角形中，过非焦顶点的切线

28、与椭圆长轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径的圆必过两焦点.x2 y89. 已知椭圆 r y=1(a .o,b 0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线a by = bx及y=-bx的平行线，与直线 OP分别交于R,Q ,0为原点，则：.aa(1) |0M|2 |ON|2 = a2 ； (2) IOQI2 QRjblrbb一90. 过平面上的 P点作直线h : y x及l2: y x的平行线，分别交 x轴于aaM ,N ,交y轴于R,Q . ( 1 )若|O M 2 + |O N2#a则P的轨迹方程是2 2笃 与=1(a 0,b 0) .(2)若|OQf |OR|2二b2 ,贝U P的

29、轨迹 方程是 a b2 2x y22 =1(a0,b0).a b2 291 点P为椭圆 笃 -y2 = 1(a 0,b 0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点， 过 a bbP引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M , N，交直线y x于Q, R，记lOMQ aab与ONR的面积为S1,S2，则：S, S =.292.点P为第一象限内一点，过 P引x轴、y轴的平行线，交 y轴、x轴于M,N ,bab交直线y = -一 x于Q, R，记=OMQ与=ONR的面积为S , S2,已知Si S ，则P a222的轨迹方程是笃笃=1(a 0,b 0).a b双曲线1. l|PFi|-|PF2#2a2

30、 标准方程:a2b2=i2 2=i2 2abI0.若P)(X0,y°)在双曲线22x y =iXgx_ycya2b2ii.若P)(x0,y°)在双曲线2.2ab22Xy2 .2 =i a b(a > 0,b > 0)(a> 0,b > 0)切点为Pi、P2,则切点弦PiP2的直线方程是x°xy°yI2.AB是双曲线a2b2-I上，则过F0的双曲线的切线方程是外，则过Po作双曲线的两条切线2.2 = i.a b(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB的中点，贝U koM kABb22 .ai3.若P)(X

31、0,y°)在双曲线2x2 a2乂2 =i (a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方b程是 2ab22X。2ay。2b2I4.若F0(x°, y°)在双曲线227 =i (a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程a b|PFi|di4 .点P处的切线PT平分 PFiF2在点P处的内角5. PT平分 PFIF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 .7.以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切8 .设Ai、A2为双曲线的左、

32、右顶点，则PFiF2在边PF2 (或PFi)上的旁切圆，必与AiA2所在的直线切于A2 (或Ai).2 29.双曲线 冷-每=i (a>0,b>0)的两个顶点为 A(-a,0), A2(a,0)，与y轴平行的 a b2是X2a2 y b2X°x畑a2 b2直线交双曲线于 P仆P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是2 2x y15 .若PQ是双曲线2 =1( b > a > O )上对中心张直角的弦，则a b111122 72 ( r1 l OP I, r2 =| OQ I).»r2a b2 216 .若双曲线一22 = 1 ( b > a &

33、gt; 0)上中心张直角的弦L所在直线方程为a bAx By=1 (AB = 0),则(1) 2 - 2 二 A2 B2;(2) L =a b|a A -b B |2 29999夕 夕on99ab夕17.给定双曲线 C1 : b x -a y =a b (a>b>0) , C2: b x -a y =( 22 ab),a -b则(i)对G上任意给定的点P)(x0, y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点2丄-22丄-2a +ba +bM( (2 2 x0 , _ 2 2 y0 ).a -ba -b(ii)对C2上任一点P'0(x)',y0')在G上存在唯

34、一的点M ',使得M '的任一直角弦都经过P0'占八、-221&设R(X0, y°)为双曲线笃-=1a b弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k 2,贝U直线 件是匕k2=U叮1 -m a2 2x y19.过双曲线2 =1 (a>0,b>o)a b(a> 0,b >0)上一点，P1P2为曲线C的动弦，且P1P2通过定点 M (mx(),-my0) (m = 1)的充要条上任一点 A(xo, yo)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且kBC _ - 2a y。b x0 (常数).2 220双曲

35、线令-古(a> 0,b> o)的左右焦点分别为F1, F2,点P为双曲线上任意点 F1PF2 -双曲线的焦点面积为S f1pf2Y2=b co t -2a I 222，b 'P(-、c b tan jcot 二).2 c 222x y21.若 P 为双曲线 2 =1 (a>0,b>0)a b是焦点,PF,F2 八， PF2F厂，则=tan cot (或c +a 22(或左)支上除顶点外的任一点,Fi, F 2、Sta_cot 二).c a 222 222.双曲线牛-占=1a2 b2当M (x),y)在右支上时，当M (x),yo)在左支上时， x2 y2(a&g

36、t;0,b>o)的焦半径公式：(Fi(-c,O) , F2(c,0)|MF1 1= ex) a,| MF2-a . |MF十-exO a, |MF21= -e -a .23若双曲线 2 =1 (a>O,b>O)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L,则当a b1v e< 2 +1时，可在双曲线上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中2 224. P为双曲线 笃笃=1 (a> 0,b> 0) 上任一点,Fi,F2为二焦点，A为双曲线内一定 a b点，则| AF2 | -2a <| PA| |PFi |，当且仅当A, F2,P三点共

37、线且P和A, F2在y轴同侧时，等号成立22x y25.双曲线 2 =1 (a> 0,b>0)上存在两点关于直线I : y = k(x-x0)对称的充要a b/ 2 2、2条件是X。2 鸟篦.a -b k6. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 7. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必 与焦半径互相垂直x = a sec®28. P是双曲线(a> 0, b> 0)上一点，则点 P对双曲线两焦点张直角的y =bta n 甲1e =2.1 -tan ®2

38、 2x yk (a>0,b>0, k 0,k=1 )上两点，其直线 AB与a b充要条件是29.设A,B为双曲线2X双曲线一2a2y2 =1相交于b2P,Q ,则 AP 二 BQ .230.在双曲线= i中，定长为一 b2m ( m ) 0 )的弦中点轨迹方程为a221心*)m2兰,其中cos ： sin :a2_ b2tan：=0时，- - 90、.2yb2,记 |AB|= I ,2X31 .设S为双曲线a=1 (a> 0,b> o)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲线上移动2a(X0)mincM(Xo,y°)是AB 中点，则当I - "S时，

39、有+ (c =a 巾，e =);当 I 时，有(x0)min =4b 十丨 2ea2b2232. 双曲线 %占=1 (a>0,b>0)与直线 Ax By C = 0有公共点的充要条件是a b"2 2 2, 2 2A a - B b 二 C .2 233. 双曲线(X 一：0)乂 弹 1 (a> 0,b > 0)与直线 Ax By C二0有公共点ab的充要条件是 A2a2 -B2b2空(Ax。By。C)2.占=1 (a> 0,b> 0)的两个焦点为 F1、f2,P (异于长轴端点)为双 b2x234.设双曲线-a曲线上任 意一点，在 PF1F2中，记

40、.EPF? =- , PF1F , RF2P二，则有sin 二2占=1 (b> a > 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点, b2D |OQ|2 a22 2g; (2) |OP|2+|OQ|2 的最小值为 fa b2 ； (3) bb - a2 2'乙11a b是经过双曲线中心 O且平行于 MN的弦,2 2 丄=1 a2 b2237. MN是经过双曲线38. MN是经过双曲线中心O的半弦OP _ MN ,(a> 0,b > 0)过焦点的任一弦(交于两支)，若 AB则 |AB j2a|MN(a> b> 0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线

41、1 1 12 2 2a|MN | |OP| a b2 239. 设双曲线2a b一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点,2交点N在直线l : x =上.m40. 设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交=1 ( a>0,b>0) ,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任则直线 A、A2Q(Ai ,A2为两顶点)的Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，M、N两点，贝U MF丄NF.P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶 点，A1P和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点 N，贝U MF丄NF.连结AP41 .P、和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 过双曲线一个焦点F的

42、直线与双曲线交于两点c e.(sin 語一sin ：) a2 2x y35. 经过双曲线 2 =1 (a>0,b>0)的实轴的两端点 A1和A?的切线，与双曲线a b上任一点的切线相交于 P1和P2,则| PA | | PA |=b2.2x36. 已知双曲线一2 a1且 OP _OQ. (1)、|OP |22厲2S OPQ的最小值是_a2 -b -a2 x42.设双曲线方程a共轭直线43.设 A、B、C、D22x y1 ( a>0,b > 0) 上四点,AB、CD所在直线的 a b直线AB与CD相交于P,且-a2sin2 :.sin :为双曲线分别为，：，cos2 :

43、2 2|PC| |PD| b2C0S2 ： -a2 244.已知双曲线令 匕a2 b2F1PF2的外(内)角平分线为R、S形成的轨迹方程是倾斜角|PA| | PB| b2=1 (a>0,b>0),点P为其上一点l，作F1、F2分别垂直I于R、S,Fi,不在双曲线上，则F 2为双曲线的焦点,P跑遍整个双曲线时,2 每=1,则斜率为k(k丰0)的平行弦的中点必在直线 I : y = kx的 b,b2y = k x上，而且kk 2.a3 22、2、=(ab c y ).x2 y2 =a2(a3b(x-c)(a2 b2)x-b2c2 a4c2(x-c)y245 .设 ABC三顶点分别在双曲

44、线 丨上，且AB为丨的直径，I为AB的共轭直径所在 的直线，丨分别交直线AC、BC于E和F,又D为丨上一点，贝U CD与双曲线-相切的充要条件是D为EF的中点.2 246.过双曲线 笃-爲=1 (a> 0,b>0)的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于M,Na b两点，弦MN的垂直平分线交 x轴于P,则If匸！| MN |22 2x v47.设A ( X1 ,y1)是双曲线 =1 (a>0,b >0) 上任一点，过A作一条斜率为 bL的距离，的直线L,又设d.r2d =ab.a是原点到直线b2x1 a2V1 r1,r2分别是 A到双曲线两焦点的距离，则48.已知双曲线次与

45、它们相交于A、49.已知双曲线2 2x_y_，1 a2 b2B、C、D 四点，,AB |22x v ,22=1 (a> 0,b> 0)a b(a> 0,b>0)2 2和二壬八(0£九£1 ), 一条直线顺 a b=|CD | .,A、B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与a2 + b2x轴相交于点P(x0,0)，则x0或x0 <a50.2 2设P点是双曲线才計1 ( a> 0'b> 0)上异于实轴端点的任一点尸、F2为其焦2b22 y点记 F1PF2 二二，则(DIPF1IIPF2I.(2) S PRF2 二 b co

46、t：.1 -cos日12251.设过双曲线的实轴上一点B ( m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结 AP和AQ分别交相应于过 B点的直线 MN : X二n于M , N两点,2a22 .则.MBN =90：二 a 一口52. L是经过双曲线a m b (n a)22x y2=1 (a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是a b双曲线实轴的两个焦点,e是离心率，点P L ,若.EPF =:-1，则是锐角且sin 或e1- - arc sin (当且仅当e53. L是经过双曲线ab| PH |时取等号).c22x v22=1 (a> 0,b

47、> 0)的实轴顶点a bA且与x轴垂直的直线,H是L与X轴的交点ab .时取等号).c2 254. L是双曲线务焦点Fi且与x轴垂直的直线，E、F是双曲1 (a> 0,b> 0) a b线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点11c,则二为锐角且sin 2或- arc sin 2ee占=1 (a> 0,b> 0)，直线L通过其右焦点F2,且与双曲线右支交bP L , EPF二，离心率为e,半焦距为(当且仅当| PF1 F a2 c2时取等号).c2x55.已知双曲线一2aF是双曲线的准线与 x轴交点，点P L , e是离心率，-EPF1 1c是半焦距，则：是锐角且

48、sin 或:<arcsin(当且仅当|PA|=e于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点F1 连结起来，则 I F1AI | F1B|_ (2a 2b ) (当且仅当AB丄x轴时取等号).2 256 .设A、B是双曲线一22 =1a b.PAB = , . PBA，. BPA =22ab |cos： |a(a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点,c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有_2a2b2(1)|PA| 222.(2) tan： tan 1-e2.(3) SPab-2 cot .| a -c cos ； Ib +a2 257.设A、B是双曲线笃-爲-1 (a>

49、;0,b> 0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦a b、 2点的区域)、外部的两点，且 Xa、xB的横坐标xa x =a , (1)若过A点引直线与双曲线 这一支相交于P、Q两点，则.PBA QBA ; (2)若过B引直线与双曲线这一支相交于P、Q 两点，贝U ZPBA £ QBA=180：.2 258设A、B是双曲线 笃-当=1 (a>0,b> 0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦a b点的区域)，外部的两点，(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q两点，(若BP 交双曲线这一支于两点，则 P、Q不关于x轴对称)，且.PBA QBA，则点A、B的横 坐标x

50、A、xB满足xA xB =a2; (2)若过B点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q两点，且EPBA NQBA =180、，则点A、B的横坐标满足xA xBQQ是与AA垂直的弦，贝U直线'x2 y259.设A, A是双曲线 2 - 2 =1的实轴的两个端点，a b2 2''x yAQ与AQ的交点P的轨迹是双曲线 2 =1a b2 260.过双曲线X2 一 y2 =1a b(a> 0,b>0)的右焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD,则8ab2于bAB| |CD|.2 261.到双曲线笃-气ha2 b22 2 2动点M的轨迹是姊妹圆(x：ec) - y =(eb)

51、.2 262至U双曲线 与-告=1 ( a>0,b>0)的实轴两端点的距离之比等于a b距)的动点M的轨迹是姊妹圆(x _a)2 y2 =b2.*=1c a(a> 0,b >0)两焦点的距离之比等于 -b(c为半焦距)的(c为半焦x263.到双曲线(a>0,b>0)的两准线和x轴的交点的距离之比为为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆2x64.已知P是双曲线2a22 b 2(xa) y =( )(e为离心率).e2，2 =1 (a>0,b>0)上一个动点， A , A是它实轴的两个端b22 .22x b y 点，且AQ _ AP , AQ - AP，则Q

52、点的轨迹方程是一24 1.a a65. 双曲线的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项2 2x y66. 设双曲线 2 =1 (a> 0,b> 0)实轴的端点为 A, A , P(x1,y1)是双曲线上的点a bb2 Xf，过P作斜率为的直线丨，过A,A分别作垂直于实轴的直线交丨于M , M，则a yi(1)| AM | AM 卜b2.(2)四边形MAAM面积的最小值是2ab .x2 y267. 已知双曲线 2=1 (a>0,b>0)的右准线丨与x轴相交于点E，过双曲线右a b焦点F的直线与双曲线相交于 A、B两点，点C在右准线丨上，且BC _ X轴，则直线AC经 过线段EF的中点(x _a)268. OA、OB是双曲线2a2y-2 =1 (a> 0,b> 0,且ab )的两条互相垂直的弦, b22ab2O为坐标原点，则(1)直线AB必经过一个定点(二 2 ,0) .(2)以O A、O B为直径的两 b -a圆的另一