梯形常用辅助线的做法

1、梯形常用辅助线的做法平移一条对角线作悌形的中位线 过棉形一腰的中点构造全等三角形平移梯形的腰利用一腰中点症转将梯形补成平行四边形将梯形补成等腰梯形1.平移梯形一腰或两腰，把梯形的腰、两底角等转移到一个三角形中，同时还得 到平行四边形.【例1】已知：如图,在梯形ABC呼上- - " - 1 .求证:分析：平移一腰BC到DE,将题中已知条件转化在同一等腰三角形中解决，即AB=2CD.证明：过D作I.Li'iJm ,交AB于E. AB平行于CD,且二丄,四边形丄二_ 是菱形.又V】_二二为等边三角形.【例2】如图,在梯形ABCD中,AD/ BC , E、F分别是AD、BC的中点,若

2、B M F N CI . . AD = 7 ,BC = 15 , 求 EF .分析：由条件-丨-',我们通过平移AB、DC ;构造直角三角形 MEN使EF恰好是 MEN的 中线.解：过E作EM/ AB ,EN / DC ,分别交BC于M、N , _-二一是直角三角形1 ,丄 一二、：分别是：、丄T的中点,“EF 丄 二 4为二.的中点,-变式：如图1,梯形ABCD勺上底AB=3,下底CD=8腰AD=4求另一腰BC的取值范围。图1梯形匸丄 的面积相等求证：二匸三".析解：过点B作BM/AD交CD于点M则梯形ABCD转化为 BCM和平行四边形 ABMD 在 BCM中, BM=AD

3、=4 CM=CB DM=CB AB=8- 3=5,所以 BC的取值范围是：5 4<BC<升 4，即 1<BC<Q2. 延长梯形的两腰，使它们交于一点，可得到两个相似三角形或等腰三角形、直 角三角形等进一步解决问题.【例3】.如图,在梯形一匸中，一 -/，匚，梯形一的面积与分析：条件是两个梯形的面积相等，而结论是三线段长的 平方关系，如果延长两腰交于一点，就可得到三个相似的 三角形，再利用相似三角形的面积比与相似比的关系变形 就可得出结论.证明：延长丄;一、一' 使它们相交于J点,亠；dOSF2血F加-少eP$駆应助=応迦F 一爲血同理,bc2-ef2EpdOSF

4、故得山“一二二 L .'变式 1 如图5，在梯形 ABCD中,AD/BC,/ B=50°,Z C=80°, AD=2 BC=5,求 CD的长。析解：延长BA CD交于点巳在 BCE中，/ B=50°,Z C=80°。所以/ E=50°,从而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EG ED=5- 2=3变式2:如图所示，四边形 ABCD中, AD不平行于 BC AC= BD AD= BC.判断四边形 ABCD 的形状，并证明你的结论.变式3：（延长两腰）如图，在梯形 二中为二、_'!的中点。3. 从梯形上底的两端向下底

5、引垂线作高，可以得到一个矩形和两个直角三角 形然后利用构造的直角三角形和矩形解决问题.例4.如图,在梯形二二中，一m 二-工.求证：一一二分析：过上底向下底作两高，构造Rt,然后利用两三角形全等解决问题 证明：分别过D C、作AB的垂线,垂足分别为E、F.丄二一 一变式：如图7,在直角梯形 ABCD中, AB/DC,/ ABC=90 , AB=2DC对角线 AC丄BD,垂 足为F,过点F作EF/AB，交AD于点E,求证：四边形 ABFE是等腰梯形。析证：过点D作DGL AB于点G则易知四边形 DGBC1矩形，所以DC=BG因为AB=2DC所以AG=GB从而 DA=DB 于是/ DAB=/ DB

6、A又EF/AB，所以四边形ABFE是等腰梯形。如图8,在梯形 ABCD中, AD为上底，AB>CD求证：BD>ACA析证：作AEL BC于E,作DF丄BC于F,则易知 AE=DF在Rt ABE和Rt DCF中，因为 AB>CD AE=DF所以由勾股定理得 BE>CF即 BF>CE 在 Rt BDF和 Rt CAE中由勾股定理得BD>AC4. 平移对角线一般是过上底的一个端点作一条对角线的平行线 ，与另一底的延 长线相交,得到一个平行四边形和三角形，把梯形问题转化为平行四边形和三角 形问题解决.【例5】如图，等腰梯形一一中，二 _二，2 _f ,且二，一二 是

7、高，是中位线,求证:工;购二丄（CD+血）w分析：由梯形中位线性质得1,欲证丄一二,只要证' 汀过C点作C別仍,交血的延长线于E ,就可以把、一 和移到三角形二中,再证明等式成立就简单多了.证明：过一"点作一二交丄的延长线于点二，则四边形丄是平行四D C边形.VCD , EC=BD四边形是等腰梯形,又.胆丄BD，.必丄饥,C月丄应AH = HEJCH = -AE2C/i = -（AB+CD）【例6】.已知：如图,在梯形中.求证：梯形是 等腰梯形.证明：过D作丄二一,交BA延长线于E.则四边形是平行四边形.D C又二丄, 一于是，可得A0A8 = AC7M二梯形ABCD是等腰梯

8、形.变式 1 如图 3,在等腰梯形 ABCD中, AD/BC, AD=3 BC=7, BD=5<2，求证：AC丄BD。析解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四边形BCED是平行四边形，则DE=BC CE=BD=5.2，所以 AE=AD DE=ADF BC=3 7=10。在等腰梯形 ABCD中, AC=BD=5 2 , 所以在 ACE 中，AC2 CE2 =(5.,2)2 ® 2)2 =100 二AE2，从而 AC丄 CE 于是 ACL BC。变式2:(平移对角线)已知梯形 ABCD勺面积是32,两底与高的和为16,如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为

9、高DH=12cm求梯形ABCD变式 3:如图 4,在梯形 ABCD中, AD/BC, AC=15cm BD=20cm 的面积。ACED是平行四边形，即析解：过点D作DE/AC，交二 S.DcE 。所以S梯形 ABCD - S .DBE由勾股定理得 EH = . DE2 -DH2 = AC2 -DH2h：152 -122 =9 (cm)BH h ；BD2 -DH2 =孑202 - 122 =16 (cm)11所以 S DBEBE DH (9 16) 12=150(cm2)，即梯形 ABCD勺面积是 150cm2。225. 遇到梯形一腰中点的问题可以作出梯形的中位线 ，中位线与上、下底都平行 且三

10、线段有数量关系或利用“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点 并延长与下底延长线交于一点，构成三角形解决问题.【例7】.已知：如图4,在梯形中二& 是一 的中点,且B亠二.求证：亠二证明：取J的中点F,连结FE.则AD+BC = 2EF呼二苕.亠-【例8】.已知：梯形 ABCD中AD BC,E为AB中点,且AM BC=DC , 求证: DEL EC,DE平分/ ADC,CE平分/ BCD证法1:取DC中点F,连结EF,E为AD中点,则EF为梯形的中位线1 EF/ AD/ BC EF= (AD+ BC)/ 仁/ 5, / 3=7 6/ DC=A+ BC2 EF= DC=DF=CF7

11、1=72, 73=747 2=7 5, 7 4=7 6 7 1 + 7 3+7 2+7 4=180° 7 1 + 7 3=90° DELC,DE平分 ADC,CE平分7 CD证法2:延长CE与DA延长线交于一点F,过程略.证法3:在DC上截取DF=AD连结AF BF、EF解决.变式 1如图9,在梯形 ABCD中, AB/DC，0是BC的中点，/ AOD=90 ,求证：AB+ CD=AD图91析证：取AD的中点E,连接0E则易知0E是梯形ABCD的中位线，从而OEd （AB+ CD）2在厶 AOD中，/ AOD=90 , AE=DE所以OE二丄人。 2由、得AB+ CD=AD

12、变式2:在梯形 ABCD中, AD/ BC / BAD=90, E是DC上的中点，连接 AE和BE,求/AEB=2/ CBE解、分析：分别延长 AE与BC，并交于F点，从而等到人。£与厶FCE是全等的，在利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以求出结论”。解：分别延长 AE与BC，并交于F点/ BAD=90且 AD/ BC/ FBA=180/ BAD=90又 AD/ BC / DAE=/ F（两直线平行内错角相等）/ AED=/ FEC（对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点） ADEA FCE （AAS AE=FE在厶 ABF 中/ FBA=9d 且 AE=FE BE=F

13、E （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） 在厶 FEB中 / EBF=/ FEB/ AEB=/ EBF+ / FEB=2/ CBE6.已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交， 使问题转化为三角形中位线。例10如图10,在梯形 ABCD中, AD/BC, E、F分别是BD AC的中点，求证：(1)1EF/AD ; (2) EF 二丄(BC _AD)。2图10析证：连接DF,并延长交 BC于点G,易证 AFDA CFG贝U AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF是厶BDG的中位线1从而 EF/BG，且 EF BG2因为 AD/BG, BG 二 BC -

14、CG 二 BC -AD1所以 EF/AD , EF（BC - AD）27.当遇到以上的梯形辅助线添加后不能解决问题时，可以特题特解，结合具体问 题中的具体条件，寻求特殊的方法解决问题.比如可将对角线绕中点旋转 L.、利用一腰中点旋转1一、将梯形补成平行四边形或三角形问题【例9】.已知：如图5,在梯形ABCD中,' M、N分别是BD、AC的中点.求证：证明：连结并延长二,交一T于e.则 m 二-厶.I又N是AC的中点,MN-EC 2 ,MlfBC,MN = -BC-AD故一取一腰的中点，连结顶点和这个中点并延长与对边的延长线相交，可得两个全 等三角形.【例10】.如图,梯形二二 中， 】

15、，丄、心 分别平分和；，二D CF AB为丄 中点,求证-.分析：要证明丄、一-,可以利用二为一中点,延长 丄 与小 的延长线交于：，丄丄 !-,得到,再证明_ '一 一 J 即可.证明：延长 丄、丄 交于点F,显然丄二丄.CD二畝 CEFBJ丄丄是线段的垂直平分线.评注：添加辅助线后，沟通了丄T、丄二 与一' 的联系，由线段垂直平分线性质 得出亠 -,从而问题获得解决.利用一腰中点旋转L【例11】.已知：如图,在梯形中咒三三是cd的中 点.求证:亠一 _.证明：延长 AE BC相交于点F.易证二二一二_：T.曲二CF , AE = EF二；， m Jr 即 yi. BE是等腰

16、底边上的高. 曲丄朋.说明：在图5中，丄上二相当于由工二绕点E旋转得到；在图6中，二匸是由二亠绕点E旋转L.得到.【例12】.如图,梯形二匸中，匸二，二 为腰丄T的中点,求证:MASCO证明：延长使丄 二，延长上，使一丄,则四边形分析：上丄I与梯形ABCD勺面积关系不明显,如果利用梯形 助特点把它补成如图7的平行四边形，它们之间的关系就清晰了梯形补成平行 四边形,各种关系明显、直观，解题思路清晰是平行四边形厂为亠 的中点,连结丄工，丄工 与上 交于点-连结、二，则心械酉址国EF叙=心平肝四竝黴总CSF H丄，二 是_T 中点,T为丄中点且是丄工中点.四边形 二：_是平行四边形,如 .血二产心J

17、【模拟试题】1. 若等腰梯形的锐角是 60°,它的两底分别为11cm 35cm,则它的腰长为 cm2. 如图所示，已知等腰梯形ABCD中, AD/ BC / B= 60° , AD= 2, BC= 8，则此等腰梯形的周长为（）A. 19B. 20C.21D.223. 如图所示，AB/ CD AE丄DC AE= 12, B»20, AC= 15,则梯形 ABCD的面积为(A. 130 B. 140 C. 150 D. 1604.如图所示，在等腰梯形BC= 70,求BD的长.EDCABCD中，已知 AD/ BC,对角线 AC与BD互相垂直，且AD= 30,5.如图所示

18、，已知等腰梯形的锐角等于60°,它的两底分别为 15cm和49cm求它的腰长an6.如图所示，已知等腰梯形 DE的长.ABCD中, AD/ BC, AC丄 BD, AD+ BC= 10, DEI BC于 E,求anCE7. 如图所示，梯形 ABCD中, AB/ CD, / D= 2/ B, AM DC= 8,求 AB的长.DC8. 如图所示，梯形 ABCD中, AD/ BC, ( 1)若E是AB的中点，且 AD+ BC= CD贝U DE与 CE有何位置关系？ (2) E是/ ADC与Z BCD的角平分线的交点， 则DE与CE有何位置关系？【课后演练】1 (本小题满分5分)已知：如图，

19、梯形ABCD 中，AD / BC，AB=DC，Z BAD、/ CDA 的平分线 AE、DF分别交直线BC于点E、F.求证：CE=BF.2 .女口图，在梯形 ABC fD ，A D/B ,CBD=CD, NBDC=90° AD =3, BC=8 .求 AB 的长.3.如图6,在梯形ABCD中, 求BE的长.4.如图，在平面直角坐标系中,A （ 2屈,0）, B （ 2丽,2）AD / BC，/A =90，/C =45 , DE=EC , AB=4,AD=2 ,把矩形OABC逆时针旋转30得到矩形OA1B1C1.(1 )求Bi点的坐标；(2)求过点(2，0)且平分矩形OA&C,面

20、积的直线I方程；(3 )设(2)中直线|交y轴于点P,直接写出 PC1O与.PB1A1的面积和的值及APOA与PBiCi的面积差的值.丫OA备用图5.如图，矩形纸片ABCD中, BC=4 AB=3点P是BC边上的动点（点P不与点B C重合）现将 PCD& PD翻折，得到 PC' D;作/BPC的角平分线，交 AB于点E.设BP=x,BE= y,则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是6.已知：如图，梯形ABCD中，DC / AB, AD=BC,对角线 AC、BD交于点 O, / COD=60 若 CD=3,AB=8，求梯形 ABCD的高.7 .已知如图，直角梯形 ABCD 中，AD / BC, AB丄BC , AD=2 , BC=DC=5，点P在BC 上移动，则当PA+PD取最小值时， APD中边AP上的高为 .8如图，在矩形 ABCD中，AB=2，BC=1，动点P从点B出发， 沿路线B > C > D作匀速运动，那么 ABP的面积S与点P运动 的路程x之间的函数图