第二节对坐标的曲线积分

1、实例实例: : 变力沿曲线所作的功变力沿曲线所作的功. .,: BAL曲线弧曲线弧.),(),(),(jyxQiyxPyxF 常力沿直线常力沿直线 AB 所作的功所作的功:分割分割.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .ABFW . )()(1jyixMMiiii xL1 nMiM1 iM2M1Mix iy BAOy求和求和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取极限取极限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW ,),(),(),( jQiPFiiiiii 取取.),(),( iiiiiiiyQxPW 即即 niiWW1,),(1iiiiiMMF

2、W ( 近似值近似值 )( 精确值精确值 )xL1 nMiM1 iM2M1Mix iy BAOy一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质, 0 . ),( , , )., ; , 2 , 1 ( ),(, , ),(),( . ),( 11101111222111时时的最大值的最大值如果当各小弧段长度如果当各小弧段长度上任意取定的点上任意取定的点为为点点设设个有向小弧段个有向小弧段成成分分把把点点上的上的用用上有界上有界在在有向光滑曲线，函数有向光滑曲线，函数的一条的一条到点到点面内从点面内从点为为设设定义定义 iiiiiiiiiiniinnnMMyyyxxxBMAMn

3、iMMnLyxMyxMyxMLLyxPBAxOyL.),(lim),(), ( ),(, ),(101iiniiLniiiixPdxyxPxLyxPxP 记作记作或称第二类曲线积分或称第二类曲线积分的曲线积分的曲线积分上对坐标上对坐标在有向曲线弧在有向曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数的极限存在的极限存在类似地定义类似地定义.),(lim),(10iiniiLyQdyyxQ . , ),(),(弧段弧段叫做积分叫做积分叫做被积函数叫做被积函数其中其中LyxQyxP2.2.存在条件：存在条件：., ),(),( 对坐标的线积分存在对坐标的线积分存在上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当

4、LyxQyxP3.3.组合形式组合形式 LLLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP),(),(),(),(.)()( , jdyidxdsjQiPF 其中其中. LdsF4.4.推广推广, 空间有向曲线弧空间有向曲线弧.),(lim),(10iiiniixPdxzyxP . RdzQdyPdx.),(lim),(10iiiniiyQdyzyxQ .),(lim),(10iiiniizRdzzyxR 5.5.性质性质. ,)1(2121 LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLLL则则和和分成分成如果把如果把则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设

5、, , )2(LLL 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.),(),(),(),( LLdyyxQdxyxPdyyxQdxyxP且且存在存在则曲线积分则曲线积分且且有一阶连续导数有一阶连续导数为端点的闭区间上具为端点的闭区间上具及及在以在以终点终点运动到运动到沿沿的起点的起点从从点点时时变到变到由由单调地单调地当参数当参数的参数方程为的参数方程为且连续且连续上有定义上有定义在曲线弧在曲线弧设设定理定理, ),(),( , 0)()( , )(),(, ),( , ),(),( , ),( , ),( 22 LdyyxQdxyxPttttBLALyxMttytx

6、LLyxQyxP 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法.)()(),()()(),( ),(),(dttttQtttPdyyxQdxyxPL 证明证明 上取一列点上取一列点在在 L,1210BMMMMMAnn 它们对应于一列单调变化的参数值它们对应于一列单调变化的参数值.,1210 nnttttt根据对坐标的曲线积分的定义，有根据对坐标的曲线积分的定义，有.),(lim),(10iiniiLxPdxyxP . ),(),( ),( 1之间之间与与在在这里这里，即，即对应于参数值对应于参数值设点设点iiiiiiiiiitt ),()(11 iiiiittxxx 应用微分中值定

7、理，有应用微分中值定理，有由于由于 ,)(iiitx . , 1i1之间之间在在在在其中其中 iiiiittttt .)()(, )(lim),(10iiiniiLtPdxyxP ，从而，从而换成换成把上式中的把上式中的上连续，我们可以上连续，我们可以或或在在因为函数因为函数 ) , ( , )( iit .)()(, )(lim),(10iiiniiLtPdxyxP 所以所以.)()(),( ),( dttttPdxyxPL 同理可证同理可证.)()(),( ),( dttttQdyyxQL 把以上两式相加，即得结论把以上两式相加，即得结论 .于是于是特殊情形特殊情形. , )(:)1(ba

8、xxyyL，终点为，终点为起点为起点为 .)()(,)(, dxxyxyxQxyxPQdyPdxbaL 则则. , )(:)2(dcyyxxL，终点为，终点为起点为起点为 .),()(),( dyyyxQyxyyxPQdyPdxdcL 则则. , ,)()()(: )3( 终点终点起点起点推广推广ttztytx dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),( )()(),(),( )()(),(),( (4) (4) 两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxL ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为, , ),( 为为处的切线向量的方向角处

9、的切线向量的方向角上点上点yxL LLdsQPQdyPdx)coscos( 则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt ) (上上可以推广到空间曲线可以推广到空间曲线 , ),( 为为处的切线向量的方向角处的切线向量的方向角上点上点zyx dsRQPRdzQdyPdx)coscoscos( 则则 dstA rdA, dsAt，这里这里,RQPA ,cos,cos,cos t,dzdydxdstrd 称为有向曲线元；称为有向曲线元；. 上的投影上的投影在向量在向量为向量为向量tAAt. ),( 处的单位切向量处的单位切向量上点上点为曲线为曲线其中其中zyxt .

10、)1 , 1( )1, 1( , 1 2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算例例BAxyLxydxL 解解 )1(，的定积分的定积分化为对化为对x.xy OBAOLxydxxydxxydx 1 0 0 1 )(dxxxdxxx 1 0 232dxx.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B , )2(的定积分的定积分化为对化为对 y,2yx ABLxydxxydx 1 1 22)(dyyyy. 1 1 到到从从 y 1 1 42dyy.54 xy 2)1, 1( A)1 , 1(B. )0 ,()0 ,()2( ; )1( , 22的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿

11、从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半径为半径为为为其中其中计算计算例例aBxaAaLdxyL 解解,sincos: )1( ayaxL，变到变到从从 0)0 ,(aA)0 ,( aB 0 22)sin(sindaa.343a )(cos)cos1( 0 23 da原式原式=, 0: )2( yL，变到变到从从aax . 0 注意：被积函数相同，起点和终点也相同，但注意：被积函数相同，起点和终点也相同，但 路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同. aadx 0原式原式=)0 ,(aA)0 ,( aB . )2(的积分的积分化为对化为对 y,10 ,:2变到变到从从yyxL 原式原式 1 0 45dyy. 1 ) 0 , 1 (A)1,1(B2yx )0 , 1(A)1 , 1(B)3( 原式原式 ABdyxxydx22 OAdyxxydx22 1 0 42)22(dyyyyy,上上在在OA,10,