信号与线性系统(管致中)

1、连续系统的时域分析连续系统的时域分析线性连续时间系统：建立并且求解线性微分方程。 微分方程的阶数就是系统的阶数，描述了系统的复杂度。 在分析过程中，所涉及的函数的变量都是时间t，因此这种分析方法称为时域分析法(time-domain method)。 时域分析法直观，物理概念清楚，是变换域分析法的基础，但其求解过程较为复杂。连续系统的时域分析1、数学模型的确立：、数学模型的确立：举例：举例：RLC电路如图见黑板电路如图见黑板 ( )1( )( )( )tdi tLRi tide tdtC2( )( )1( )( )d i tdi tde tLRi tdtdtCdt n阶线性系统激励函数与响应函

2、数之间的微分方程：阶线性系统激励函数与响应函数之间的微分方程： 11101110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnmmmmd i tditdi taaa i tdtdtdtd e tdetde tbbbb e tdtdtdt 线性时不变系统线性时不变系统 常系数线性微分方程常系数线性微分方程 11101110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnmmmmd i tditdi taaa i tdtdtdtd e tdetde tbbbb e tdtdtdt2. 常系数微分方程的求解：常系数微分方程的求解：a) 常系数微分方程的古典解法：直接法（特解）齐次解全响

3、应)()()(tititifn齐次解是齐次方程的解：0)()()()(0111tiadttdiadttidadttidnnn齐次解做为系统的响应来说就是系统的自然响应 (natural response)。由系统的特征根决定。特解的形式由激励函数的形式决定，这部分解是系统的 受迫响应(forced response)。例：例：RLC电路如图见黑板电路如图见黑板2( )( )1( )( )d i tdi tde tLRi tdtdtCdt0652时的全解当1)0( , 2)0(, 0,2)( ).1 (iitetet时的全解当0)0( , 1)0(, 0,)( ).2(2iitetet解(1)：

4、特征方程：61, 5, 1CRL3, 2ttneCeCti3221)(齐次解为：tftBetiete)(,2)( 其特解为：时当将其代入微分方程得：tttteBeBeBe26)(5解得：1B即：tfeti)( 自然响应 受迫响应tttfneeCeCtititi3221)()()(其中待定常数C1，C2由初始条件确定：1132)0( , 21)0(2121CCiCCi2, 321CCttteeeti3223)(系统的全解：例：例：RLC电路如图见黑板电路如图见黑板2( )( )1( )( )d i tdi tde tLRi tdtdtCdt0652时的全解当1)0( , 2)0(, 0,2)(

5、).1 (iitetet时的全解当0)0( , 1)0(, 0,)( ).2(2iitetet解(2)：特征方程：61, 5, 1CRL3, 2ttneCeCti3221)(齐次解为：将其代入微分方程得：tteeB221解得：不可解01, 1BB 即：tfetBti20)()(tftetBBtiete2102)()(,)( 其特解为：时当自然响应 受迫响应tttfnteeCeBCtititi32201)()()()(其中待定常数C1+B0，C2由初始条件确定：013)(2)0( , 11)0(201201CBCiCBCi1, 2201CBC02)(223tteeetittt系统的全解：注：注：

6、的区别和)0()0(ii)0(i包含了输入信号的信息，包括自然响应和受迫响应。)0(i仅有系统的历史状态决定，与外加激励无关，只包含自然响应，用于描述系统的历史信息。连续系统的时域分析1、数学模型的确立：、数学模型的确立： 线性时不变系统线性时不变系统 常系数线性微分方程常系数线性微分方程2、微分方程的求解：、微分方程的求解： 齐次方程的解齐次方程的解 自然响应自然响应 数学上数学上 n个指数项之和，由个指数项之和，由n个初始条件决定个初始条件决定 非齐次方程的特解非齐次方程的特解 受迫响应受迫响应 根据系统激励函数的具体形式求解根据系统激励函数的具体形式求解连续系统的时域分析1、数学模型的确

7、立：数学模型的确立： 线性时不变系统线性时不变系统 常系数线性微分方程常系数线性微分方程2、微分方程的求解：、微分方程的求解： 零输入响应：零输入响应： 工程上工程上 零状态响应：零状态响应：系统在无输入激励的情况下仅由初系统在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应始条件引起的响应系统在无初始储能或称为状态为零系统在无初始储能或称为状态为零的情况下，仅由外在激励源引起的的情况下，仅由外在激励源引起的响应。响应。零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应（零状态响应）零输入响应全响应)()()(zstrtrtrzi1. 用经典法求解 求解零输入响应就是求解当外加激励源为零时，系统的全响应。（

8、特解）齐次解零输入响应)()()(trtrtrfn系统的特征根决定了零输入响应的形式，系统的零输入响应只包含有齐次解的部分。注：初始条件)0( )0( )0( ),0()0()0(rrrrrrzizizizi零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应（零状态响应）零输入响应全响应)()()(zstrtrtrzi1. 用经典法求解 求解零输入状态就是求解当系统初始状态为零时，系统的全响应。（特解）齐次解零状态响应)()()(trtrtrfn系统的零状态响应由系统的初始状态和外加激励源共同决定，因此零状态响应不但包含特解的部分，也包含齐次解的部分。注：初始条件0)0( , 0)0(zszsrr零

9、输入响应和零状态响应（零状态响应）零输入响应全响应)()()(zstrtrtrzi2. 用叠加积分的方法求解零状态响应：原理原理系统的叠加性系统的叠加性)()()()()()()()(121122112211tratratfatfatrtftrtf则，若iiizsiiitratrtfate)()()()( 选取什么样的子信号集？如何将任意信号分解成子信号选取什么样的子信号集？如何将任意信号分解成子信号集的和？集的和？ 如何求系统对子信号集的响应？如何求系统对子信号集的响应？ 是否能利用子信号间的是否能利用子信号间的联系找到一个通用的表达式？联系找到一个通用的表达式？ 如何求得最后的响应：叠加积

10、分的方法如何求得最后的响应：叠加积分的方法 （杜阿美积分，（杜阿美积分，卷积积分卷积积分） 零输入响应零输入响应 零状态响应零状态响应 自然响应自然响应 受迫响应受迫响应 对于一个稳定的系统而言，系统的零输入响应必然是对于一个稳定的系统而言，系统的零输入响应必然是自然响应的一部分自然响应的一部分 零输入响应和零状态响应中的自然响应部分和起来构零输入响应和零状态响应中的自然响应部分和起来构成总的自然响应，零状态响应中有外加激励源作用产生的成总的自然响应，零状态响应中有外加激励源作用产生的响应是受迫响应响应是受迫响应零状态响应中又可以分为自然响应和受迫响应两部分。零状态响应中又可以分为自然响应和受

11、迫响应两部分。 自然响应自然响应 受迫响应受迫响应 瞬态响应瞬态响应 稳态响应稳态响应对真实系统而言，自然响应必然是瞬态响应。受迫响应中对真实系统而言，自然响应必然是瞬态响应。受迫响应中随时间增长而衰减消失的部分也是瞬态响应的部分，随时随时间增长而衰减消失的部分也是瞬态响应的部分，随时间增长仍继续存在并趋于稳定的部分则是稳态响应。间增长仍继续存在并趋于稳定的部分则是稳态响应。2-2 系统方程的算子表示法 微分算子： 积分算子： 算子方程： 11101110( )( )( )( )( )( )( )( )nnnmmmmd i tditdi taaa i tdtdtdtd e tdetde tbb

12、bb e tdtdtdtdtdp tdtdp1dtdpnn110110( )( )nnnmmmmpapar tb pbpbe t返回2-2 系统方程的算子表示法利用算子，电路中电感和电容的伏安特性可以表示为： LLuLpi1CCuiCp1CpLp其中， 和 分别为电感和电容的阻抗2-2 系统方程的算子表示法举例：举例：RLC电路如图见黑板电路如图见黑板 微分方程为：微分方程为： 算子方程：算子方程：2( )( )1( )( )d i tdi tde tLRi tdtdtCdt21( )( )LpRpi tpe tC211( )( )Rppi tpe tLLCL一般系统的算子表示法：一般系统的算

13、子表示法：110110( )( )nnnmmmmpapar tb pbpbe t( ) ( )( ) ( )D p r tN p e t( )( )( )( )N pr te tD p转移算子：转移算子：( )( )( )N pH pD p转移算子描述了响应函数和激励函数在时域中的关系转移算子描述了响应函数和激励函数在时域中的关系2-2 系统方程的算子表示法二、算子多项式的运算法则二、算子多项式的运算法则1、代数运算：、代数运算：abpbapbpap)()(2abdttdxbadttxdabdttdxadttdxbdttxdbdttdxatbxdttdxdtdtbxdttdxadtdtxbdt

14、dadtdtxbpap)()()()()()()()()()()()()()(22abpbap)(2 由算子由算子p的多的多项式组成的运算项式组成的运算符号可以像代数符号可以像代数式那样相乘和因式那样相乘和因式分解。代数运式分解。代数运算中的分配和结算中的分配和结合律在算子方程合律在算子方程中完全适用。中完全适用。11pp2、相消计算：、相消计算：1=1pp?)()(1txdtxdtdppt)()()(1xtxdttdxppt时等号成立当且仅当0)(x一般情况下，系统微分和积分的运算次序不能一般情况下，系统微分和积分的运算次序不能任意颠倒，两种运算也不一定能抵消。任意颠倒，两种运算也不一定能抵

15、消。Ctytxdttdydttdx)()()()(yxpypx)()(yxC推论：当推论：当f(t)=g(t)，则，则pf(t)=pg(t)； 当当1/pf(t)=1/pg(t)，则，则f(t)=g(t)例题 如图（见黑板）所示的双耦合电路，激励函如图（见黑板）所示的双耦合电路，激励函数为电压数为电压e(t)，响应函数为电流，响应函数为电流i2(t)，求激励函，求激励函数与响应函数之间的关系。数与响应函数之间的关系。 假设假设e(t)，i1(t)，i2(t)在在t为负无穷的时刻均为零。为负无穷的时刻均为零。2-3 零输入响应的求解1、零输入响应：零输入响应：( ) ( )( ) ( )D p

16、r tN p e t110( )0nnnpapar t系统在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应。系统在无输入激励的情况下仅由初始条件引起的响应。n阶算子方程阶算子方程( ) ( )0D p r t 零输入响应零输入响应是由系统初始的能量分布状态，是由系统初始的能量分布状态，即系统的初始条件决定的。即系统的初始条件决定的。返回1、一阶方程的求解：、一阶方程的求解： () ( )0pr t( )( )( )0( )dr tdr tr tdtr t dt，即：ln ( )r ttk( )tr tce常数常数c可以根据可以根据t=0时未加激励前的初始条件时未加激励前的初始条件决定，即：决定，即：

17、c=r(0)2、二阶方程的求解：、二阶方程的求解： 212() ( )0pa pa r t12()() ( )0ppr t即即: 1() ( )0pr t或或: 2() ( )0pr t11( )tr tc e22( )tr tc e或或: 1212( )ttr tc ec ej2, 1若)cos()cossin()(21tCetCtCetrtt则3、n阶方程的求解：阶方程的求解： 即：即： 110( )0nnnpapar t( ) ( )0D p r t 12( ) ( )()()() ( )0nD p r tpppr t把上述奇次方程写成多个因式相乘的形式：把上述奇次方程写成多个因式相乘的

18、形式：12n，令：令：D(p)=0，可以求得系统的特征根，可以求得系统的特征根若这些根都是单根，则系统的零输入响应可以表示若这些根都是单根，则系统的零输入响应可以表示为：为：1( ),0intziiir tC et(1)(0 ),0,0nrrr 定解的条件定解的条件 范德蒙德矩阵nnnnnnnnnccccrrrr32111312112232221321)1(1111)0()0( )0( )0()0()0( )0( )0(1111)1(111312112232221321321nnnnnnnnnrrrrcccc12n， ，(1)(0 ),0,0nrrr 定解的条件 若在一个k重根，其余都是单根，

19、则系统的零输入响应可以表示为：11121( ),0inttkzikii kr tCC tC teC et 例1：在RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2欧姆，若激励电压源 为零，且电路的初始条件为：分别求上述两种初始条件时电路的零输入响应电流。注：这里的压降uc的方向与电流i的正方向一致。)(tesAii/1)0( , 0)0() 1 (Vuic10)0(, 0)0()2(解：系统的微分方程：dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(220)(1)()(22tiCdttdiRdttidL得到算子方程0) 12(2ipp0) 1(1222ppp得到系统的特征根：121系统

20、的零状态响应为：tetccti)()(10把初始条件i(0)=0,i(0)=1代入得：1; 010cc0)(ttetit例1：在RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=2欧姆，若激励电压源 为零，且电路的初始条件为：分别求上述两种初始条件时电路的零输入响应电流。注：这里的压降uc的方向与电流i的正方向一致。)(teAii1)0( , 0)0() 1 (Vuic10)0(, 0)0()2(系统的零状态响应为：tetccti)()(10010)(ttetitdttdetidttdiRdttidL)()()()(22把初始条件i(0)=0, uc(0)=1代入：dttiCtutc)(1)()()

21、()()(tetutRidttdiLcAi10)0( 0)0(i代入得：10; 010cc根据特征根得到的零输入响应，并不能确定系统的阶数根据特征根得到的零输入响应，并不能确定系统的阶数0;1010cc思考：思考：010)(tetit例1：在RLC串联电路中，设L=1H，C=1F，R=1欧姆，若激励电压源 为零，且电路的初始条件为：分别求上述初始条件时电路的零输入响应电流。注：这里的压降uc的方向与电流i的正方向一致。)(tesAii/1)0( , 0)0() 1 (解：系统的微分方程：dttdetiCdttdiRdttidL)()(1)()(220)(1)()(22tiCdttdiRdtti

22、dL得到算子方程0) 1(2ipp012 pp得到系统的特征根：23212, 1j系统的零状态响应为：tectectitt23cos23sin)(212211把初始条件i(0)=0,i(0)=1代入得：0;3221cc023sin32)(21ttetit2-3 零输入响应的求解Step1：给出系统的微分方程Step2：将微分方程用算子的形式来描述Step3：求解算子方程，得到算子方程的特征根Step4：根据特征根得到微分方程的解Step5：根据初始条件得到参数c0，c1的数值Step6：给出系统的零输入响应 零状态响应的求解方法：零状态响应的求解方法：1.将任意信号分解为一系列将任意信号分解为

23、一系列“标准统一标准统一”的的子信号之和（或积分）子信号之和（或积分）2.求线性系统对各个子信号的响应求线性系统对各个子信号的响应3.将各子信号的响应相叠加，从而得到系统将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。对激励信号的响应。 选取什么样的子信号？如何将选取什么样的子信号？如何将信号分解成子信号的和或积？信号分解成子信号的和或积？如何求系统对子信号的响应？如何求系统对子信号的响应？ 如何求得最后的响应如何求得最后的响应 如何选取子信号如何选取子信号 ？完备性：任意函数（或决大部分函数）完备性：任意函数（或决大部分函数）都都可以分解为可以分解为该子信号的和，该子信号的和，没有没有

24、（或（或几乎没有几乎没有）例外；）例外；简单性：简单性：容易容易求得系统对该子信号的响应；求得系统对该子信号的响应；相似性：不同子信号的响应具有内在相似性：不同子信号的响应具有内在联系联系，可以类推。，可以类推。 2-4 奇异函数冲激函数阶跃函数 函数函数本身本身或其或其各阶导数各阶导数存在一个或多个存在一个或多个间断点，这样的函数统称为奇异函数。间断点，这样的函数统称为奇异函数。奇异函数在间断点上的导数用一般方法不好确定。奇异函数在间断点上的导数用一般方法不好确定。2-4 奇异函数1/2101/T-1/TTtTtTtTtTtrn101111212)()(lim)(trtTT阶跃阶跃函数函数工

25、程定义：工程定义：单位阶跃函数：单位阶跃函数：( )0( )00AAutEtutt 当当( )10( )00tttt当当E信号的简单处理：信号的简单处理：信号的相乘：信号的相乘：( ) ( )( )0( ) ( )00f ttf ttf ttt当当信号的延时：信号的延时：000()0Etttttt信号的相乘信号的相乘+延时：延时：000( )( ) ()0f tttf ttttt 宽度为宽度为T的矩形脉冲信号：的矩形脉冲信号：1( )220 TTtf tT 其他11( )()()22TTf tttTT-T/2T/21/Tf(t)t()2Tt( -)2Tt-T/2T/21/Tf(t)t 阶跃函数

26、的性质：阶跃函数的性质：1. 可以方便地表示某些信号可以方便地表示某些信号 阶跃函数的性质：阶跃函数的性质：1. 可以方便地表示某些信号可以方便地表示某些信号T2T0tf(t)3-2)T2(2)T(5)(3)(ttttf3-5T2T0 阶跃函数的性质：阶跃函数的性质：2. 可以定义信号输出时间可以定义信号输出时间)(tftf(t)tf(t)()(ttf)()()(21tttttftf(t)t1t2 宽度为宽度为T的矩形脉冲信号：的矩形脉冲信号： 1( )220 TTtf tT 其他-T/2T/21/T阴影部分的面积为1当当T不断不断减小减小时，矩形脉冲的宽度随之不断时，矩形脉冲的宽度随之不断减

27、小减小，而脉冲的幅度则无限增大。然而不论矩形脉冲的而脉冲的幅度则无限增大。然而不论矩形脉冲的宽度与幅度怎样变化，其宽度与幅度怎样变化，其面积保持不变面积保持不变，仍然为，仍然为1。( ) t 在在T无限趋近于零的极限条件下，矩形脉冲信无限趋近于零的极限条件下，矩形脉冲信号成为单位冲激信号，用符号号成为单位冲激信号，用符号 表示。表示。冲激函数冲激函数1、工程定义：、工程定义：2、单位阶跃函数：、单位阶跃函数：-( )( )0,0pdEp tt-( )1( )0,0dtt 0(1)( ) t高度无穷大，宽度无限窄的矩形脉冲。高度无穷大，宽度无限窄的矩形脉冲。冲激函数的性质：冲激函数的性质：1、函

28、数的相乘：、函数的相乘：2、延时：、延时：( ) ( )(0) ( )f ttft-0( )( )0,dEttt 0()tt)()()()(000tttftttf0(1)t0t)(tf例：例： )(22)()4sin()()4sin(tttt3、尺度变换：尺度变换： 推论：推论：1()( )atta001()()tatttaa4、偶函数性：、偶函数性：()( )tt5、抽样性：、抽样性：设函数设函数f(t)在在t=0处连续，则处连续，则( ) ( )(0)f tt dtf推论：函数推论：函数f(t)在在t=t0处连续处连续00( ) ( - )( )f tt t dtf t 5、抽样性：、抽样

29、性：设函数设函数f(t)在在t=0处连续，则处连续，则 ( ) ( )(0)f tt dtf 用一个单位冲激函数去乘以一个函数并进行积分，用一个单位冲激函数去乘以一个函数并进行积分，其结果等于其结果等于冲激所在处冲激所在处该函数的数值。随着冲激所该函数的数值。随着冲激所在位置的移动，可以抽取该函数在在位置的移动，可以抽取该函数在任意时刻任意时刻的数值。的数值。单位冲激函数的这种性质称为单位冲激函数的这种性质称为取样性质取样性质。例： 22)()4sin(dttt0)()4sin(12dttt0) 1()4sin(02dttt22)()4sin(00dttt其他0112)(211ttdt)()(

30、) 1(12tdt6、微积分性质：、微积分性质：由冲激函数的定义可以得到：由冲激函数的定义可以得到： -( )10( )00ttdtdt 当当( )10( )00tttt当当1/2101/T-1/T-1/T1/TT/21(1)6、微积分性质：、微积分性质：由冲激函数的定义可以得到：由冲激函数的定义可以得到： -( )10( )00ttdtdt 当当( )10( )00tttt当当 阶跃函数是冲激函数的积分，或阶跃函数是冲激函数的积分，或者说冲激函数是阶跃函数的导数。者说冲激函数是阶跃函数的导数。-112) 1(2) 1(2)(tttf) 1(2) 1(2)( tttf(2)(-2)-11单位冲

31、激偶：单位冲激偶：当当t从从负值负值趋于零时，它是一强趋于零时，它是一强度为度为无限大无限大的的正正冲激函数；当冲激函数；当t从从正值正值趋于零趋于零时，它是一强度为时，它是一强度为无限大无限大的的负负冲激函数。冲激函数。-1/T1/T(T/2)(-T/2)f(t)t-1/T1/TT/2)1()1(2)(TtTtTtf)1()1(2)( TtTtTtf)()1()1(2lim)(tTtTtTtfT)( )1()1(2lim)( tTtTtTtfT零状态响应的求解方法：零状态响应的求解方法：1.将任意信号分解为一系列将任意信号分解为一系列“标准统一标准统一”的子信的子信号之和（或积分）号之和（或

32、积分）2.求线性系统对各个子信号的响应求线性系统对各个子信号的响应3.将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。励信号的响应。选取什么样的子信号？选取什么样的子信号？如何将信号分解成子信号的和或如何将信号分解成子信号的和或积？积？2-5 信号的脉冲分解信号的时域分解：信号的时域分解： 把一个复杂的信号用若干个奇异信号之和来描述。把一个复杂的信号用若干个奇异信号之和来描述。一、特例：一、特例：1、门函数：仅在、门函数：仅在-1 到到 1之间有数值为之间有数值为2的直流信的直流信号输出，其数学描述可以表示为：号输出，其数学描述可以表示为： -11

33、2) 1() 1(2)(tttf2、周期性矩形脉冲：、周期性矩形脉冲：-11235-5-3tf(t) 1() 1(2)(tttf) 3()2(2tt)2() 3(2ttkktkttf) 14() 14(2)(将任意信号表示为多个将任意信号表示为多个阶跃阶跃函数之和：函数之和： )()0()(0tftfttttftfttftftf)()0()()()0()()(1ttktttkftkftkttkftkftfk) 1()()() 1()()(如图见黑板如图见黑板 .) 1() 1()(.)()2()(0)()(0.)(.)()()(10ttktttkftkftttttftftttftftftftf

34、tftfk）（1()(1)( )0( )(1)kf k tfktf tfttkttt（ ）tkttkftktttkftkf)( ) 1() 1()(tdtftftf0)()( )()0()()0(或dt 令令，则，则将任意信号表示为多个将任意信号表示为多个冲激冲激函数之和：函数之和： )()0()(0tgftf)() 1 ()(1ttgftf)2()2()(2ttgftf)()()(tktgkftfk1tf(t)0)()()(ktktgtkftftttktgtkftfkt00)()(lim)(dtftf)()()(将任意信号表示为多个将任意信号表示为多个冲激冲激函数之和：函数之和： 取样特性取

35、样特性:对于任意一个函数而言，可以用对于任意一个函数而言，可以用f(t)函数与一个函数与一个冲激序列冲激序列相乘积分相乘积分的形式来描述函的形式来描述函数数f(t)在多个在多个离散的时间点离散的时间点上的输出：上的输出：(0)=( ) ( )ffd ()( ) ()f kTfkT d 对于任意的时间对于任意的时间t：( )( ) ()f tft d 若若f(t)为有始函数，积分的上下限变为为有始函数，积分的上下限变为0到到t，即：，即：0( )( ) ()tf tftd 零状态响应的求解方法：零状态响应的求解方法：1.将任意信号分解为一系列将任意信号分解为一系列“标准统一标准统一”的子信的子信

36、号之和（或积分）号之和（或积分）2.求线性系统对各个子信号的响应求线性系统对各个子信号的响应3.将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。励信号的响应。选取什么样的子信号？如何将信号选取什么样的子信号？如何将信号分解成子信号的和或积？分解成子信号的和或积？如何求系统对子信号的响应？如何求系统对子信号的响应？ 2-6 阶跃响应和冲激响应 一、定义：一、定义：阶跃响应阶跃响应：系统对阶跃信号的：系统对阶跃信号的零状态零状态响应；响应；冲激响应冲激响应：系统对冲激信号的：系统对冲激信号的零状态零状态响应；响应；)(th( )r t一般用一般用表示系

37、统的冲激响应，表示系统的冲激响应，表示系统的阶跃响应。表示系统的阶跃响应。系统的系统的冲激响应冲激响应和和阶跃响应阶跃响应之间的关系？之间的关系？ ( )( )dh tr tdt0( )( )tr thd或所以两者只要知道其一就可以了。所以两者只要知道其一就可以了。现在很少将信号分解为阶跃信号，所以一般没现在很少将信号分解为阶跃信号，所以一般没有必要求阶跃响应，只要求有必要求阶跃响应，只要求冲激响应冲激响应就可以了。就可以了。系统的冲激响应可以由系统的微分方程计算系统的冲激响应可以由系统的微分方程计算110110( )( )nnnmmmmpapar tb pbpbe t)()()()()()(

38、)()(0111101111tebdttdebdttedbdttedbtradttdradttrdadttrdmmmmmmnnnnn)(t)(th)()(01110111tapapapbpbpbpbthnnnmmmm)()(01110111tapapapbpbpbpbthnnnmmmm)()()()()(22112211tpktpktpktpkpkpkthnnnn一阶系统一阶系统)()(1tpkth)()()( 1tkthth)()()( tkethethetttttdkedhedd00)()()()0()(tkhthet)()(tketht)()()(tketpkthtn阶系统，系统的特征根

39、无重根：阶系统，系统的特征根无重根：)()()()()()()()()()()()(H)(212122112211tektektektpktpktpktpkpkpktpDpNtpthtnttnnnnnn阶系统，阶系统，l 重根：重根：)()(H)(tpthnllll.12121)(.)()()(.)()()(221121211nnlllllnlpkpkpkpkpkpkpH)()!1()()(12tentktpktnnnnn)()()!()(111tekteptkthtnliitliiiiii)(.)()()(2211nnmpkpkpkCpH)(.)()()()()(.)()()(2121221

40、1tektektektCtpkpkpkCthtnttmnnmn)(.)()(.)(2211111nnnnnmmnmmpkpkpkCpCpCpCpH)(.)()()(.)()()(2121)1(1)(tektektektCtCtCthtnttnnmmnmmn 例例1：RC串联电路如图所示，系统初始状态串联电路如图所示，系统初始状态为零，受激于单位冲激电压源，求响应电流及为零，受激于单位冲激电压源，求响应电流及电容上的电压。电容上的电压。CuciR)(t解：电路的微分方程：解：电路的微分方程：)()(1)(tdhCtRit对左右两边微分，得到系统的算子方程：对左右两边微分，得到系统的算子方程：)(

41、)(1tRpthRCp)(1)(tRCpRpth)(111)(2tRCpCRRth)(1)(1)(2teCRtRthRCt电容上的电压为：电容上的电压为：)(1)(11)(1)(1)(11)(2teRCteRCtRCdtteCRtRCtuRCtRCttRCtc2-7 叠加积分叠加积分回顾：回顾： 零状态响应的求解方法：零状态响应的求解方法：1.将任意信号分解为一系列将任意信号分解为一系列“标准统一标准统一”的的子信号之和（或积分）子信号之和（或积分）2.求线性系统对各个子信号的响应求线性系统对各个子信号的响应3.将各子信号的响应相叠加，从而得到系统将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号

42、的响应。对激励信号的响应。选取什么样的子信号？如何选取什么样的子信号？如何将信号分解成子信号的和将信号分解成子信号的和或积？或积？如何求系统对子信号的响应？如何求系统对子信号的响应？ 如何求得最后的响应如何求得最后的响应 tdtetete0)()( )()0()(ttdtredte00)()( )()( 信号可以分解为一系列阶跃函数的积分：信号可以分解为一系列阶跃函数的积分：而：系统对阶跃信号的响应：而：系统对阶跃信号的响应：)()( )()( trete齐次性齐次性叠加性叠加性、通过阶跃响应求解、通过阶跃响应求解杜阿美积杜阿美积分分)()(trt)()(trt时不变时不变=0( )(0) (

43、 )( ) ()tr ter ter td冲激响应tdtetete0)()( )()0()(ttdtredte00)()( )()( 信号可以分解为一系列阶跃函数的积分：信号可以分解为一系列阶跃函数的积分：而：系统对阶跃信号的响应：而：系统对阶跃信号的响应：)()( )()( trete齐次性齐次性叠加性叠加性、通过阶跃响应求解、通过阶跃响应求解杜阿美积杜阿美积分分)()(trt)()(trt时不变时不变=0( )( ) ()tr ter td0( )(0) ( )( ) ()tr ter ter tddxdxtxt,则令ttdxxrxtetrexdxrxtetretr00)()( )()0(

44、)()()( )()0()(tdrtetretr0)()( )()0()(0( )() ( )tr te trd2-7 叠加积分叠加积分( )( ) ()e tetd ( ) ()( ) ()etdeh td 二、通过冲激响应求解二、通过冲激响应求解卷积积分卷积积分信号可以分解为一系列冲激函数的积分：信号可以分解为一系列冲激函数的积分：系统对冲激信号的响应：系统对冲激信号的响应：)()(tht )()(tht=时不变时不变)()()()(thete齐次性齐次性叠加性叠加性-( )( ) ()r teh td-( )( ) ()e tetd 二、通过冲激响应求解二、通过冲激响应求解卷积积分卷积积

45、分信号可以分解为一系列冲激函数的积分信号可以分解为一系列冲激函数的积分：-( )( ) ()e teh td有始信号有始信号作用于作用于因果系统因果系统，可以得到：，可以得到： tdthete0)()()(分析：分析：-( )( ) ()e tetd -( )( ) ()e teh td)2(1)2()(121)(ttttttestep1:给出外加激励源的数学描述)(2)(2)(1)(1)(2tetteCRtRthtRCtstep:求解系统的冲激响应求解系统的冲激响应dthetrt0)()()(dtetdthetittt)(2)(2)2(121)(121)()()()(00)2(1)2()(1

46、21)(tttttte)(2)(2)(1)(1)(2tetteCRtRthtRCtdtetdthetittt)(2)(2)2(121)(121)()()()(00)2(1)(1)()2(tetetitt回顾：回顾： 零状态响应的求解方法：零状态响应的求解方法：1.将任意信号分解为一系列将任意信号分解为一系列“标准统一标准统一”的的子信号之和（或积分）子信号之和（或积分）2.求线性系统对各个子信号的响应求线性系统对各个子信号的响应3.将各子信号的响应相叠加，从而得到系统将各子信号的响应相叠加，从而得到系统对激励信号的响应。对激励信号的响应。选取什么样的子信号？如何选取什么样的子信号？如何将信号分

47、解成子信号的和将信号分解成子信号的和或积？或积？如何求系统对子信号的响应？如何求系统对子信号的响应？ 如何求得最后的响应如何求得最后的响应 返回2-8 卷积及其性质卷积及其性质幻灯片 861、几何求解、几何求解1212( )*( )( )()f tf tff td、代数求解、代数求解)()()(1 )(2)()(21)(121tteettttetytttttt12()()121 () 1 ()t tt tet tet t 112()()()f tt tt t 2()()tf tet1212( )*( )( )()f tf tff td1212( )*( )( )()f tf tff td2-8

48、 卷积积分的性质二、卷积积分的性质：二、卷积积分的性质：)(*)()(*)(tutvtvtu与乘法运算相同的性质：与乘法运算相同的性质：1）交换率：）交换率： )(*)(*)()(*)(*)(twtvtutwtvtu2）分配率：）分配率： )(*)()(*)()()(*)(twtutvtutwtvtu3）结合率：）结合率：例dtfftftf)()()(*)(1212tdtff012)()(1210)(*)(tttftfdtfftftf)()()(*)(1212tdtff012)()(211221)()()(*)(1tttdtfftftftt21)(0)(111tttedetttttdtfftf

49、tf)()()(*)(1212tdtff012)()(ttdtfftftftttt21221)()()(*)(21tteedetttttttt2)()(1221)(*)()(*)()(*)(tvdtdtutvtudtdtvtudtd卷积的微积分卷积的微积分1、微分：、微分：tttdvtutvdudvu)(*)()(*)()(*)(2、积分：、积分：nmnmtvtutvtu)(*)()(*)(3、多重微积分：、多重微积分：将复杂函数转变为简单函数的卷积积分。将复杂函数转变为简单函数的卷积积分。)()(*)(tftvtu)()(*)(2121tttfttvttu函数延时后的卷积函数延时后的卷积假设

50、：假设： 则：则：)(1)(*)(tettett)()(2tetft)()()(211tttttf)()(*)(2121tttfttvttu)(1)(*)(111ttetttettt)(1)(*)(222ttetttettt12()()1212( )*( )1 () 1 ()t tt tf tf tet tet t 相关与卷积相关与卷积两个时间函数两个时间函数x(t)与与y(t)的相关的相关(correlation)运运算是由下面的积分所定义的，即：算是由下面的积分所定义的，即：dtyxtRxy)()()(dtxytRyx)()()(dytxtRxy)()()(dxtytRyx)()()()()(tRtRxyyx自相关自相关如果进行相关运算的是同一时间信号，则称相如