不定积分的概念和性质85901

1、不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积分两部分。分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念念然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法。重点重点原函数与

2、不定积分的概念原函数与不定积分的概念基本积分公式基本积分公式换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法有理函数积分有理函数积分难点难点换元积分换元积分分部积分分部积分有理函数积分有理函数积分基本要求基本要求正确理解原函数和不定积分概念正确理解原函数和不定积分概念熟记基本积分公式熟记基本积分公式熟练地运用换元积分法和分部积分法熟练地运用换元积分法和分部积分法会用待定系数法求有理函数积分会用待定系数法求有理函数积分会用万能代换和三角代换求三角有理式积分会用万能代换和三角代换求三角有理式积分会求简单无理函数的积分会求简单无理函数的积分例例 xxcossin xsin是是xcos的的原原函函数数. )0

3、(1ln xxxxln是是x1在区间在区间), 0( 内的原函数内的原函数.如果在区间如果在区间I内，内，定义：定义：可可导导函函数数)(xF的的即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()( ，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在在区区间间I内内原原函函数数. .一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念对原函数的研究须讨论解决以下两个对原函数的研究须讨论解决以下两个问题问题(1) 是否任何一个函数都存在原函数？是否任何一个函数都存在原函数？考察如下的例子考察如下的例子 0100)(xxxf若存在可导函数若存在可

4、导函数)()()(xfxFxF 使使)(xf则由则由的定义的定义时时当当0 x0)()( xfxF1)(CxF 时时当当0 x0)()( xfxF2)(CxF 处连续处连续在在可导可导由由0)()( xxFxF关于原函数的说明：关于原函数的说明：21CC （左、右极限存在且相等）（左、右极限存在且相等）CxF )(0)0( F而已知而已知1)0()0( fF矛盾矛盾这说明这说明)(xf没有原函数没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们给出如下的结论：给

5、出如下的结论：原函数存在定理：原函数存在定理：如果函数如果函数)(xf在区间在区间I内连续，内连续，那那么么在在区区间间I内内存存在在可可导导函函数数)(xF，使使Ix ，都有，都有)()(xfxF . .简言之：连续函数一定有原函数简言之：连续函数一定有原函数.（证明待下章给出）（证明待下章给出）（2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？什么联系？若若 ，则对于任意常数，则对于任意常数 ，)()(xfxF CCxF )(都都是是)(xf的的原原函函数数. 若若 和和 都是都是 的原函数，的原函数，)(xF)(xG)(xf则则CxGxF )()

6、(（ 为任意常数）为任意常数）C证证 )()()()(xGxFxGxF 0)()( xfxfCxGxF )()(（ 为任意常数）为任意常数）C任意常数任意常数积分号积分号被积函数被积函数不定积分的定义：不定积分的定义：在在区区间间I内内，CxFdxxf )()(被积表达式被积表达式积分变量积分变量函函数数)(xf的的带带有有任任意意常数项的原函数常数项的原函数称称为为)(xf在在区区间间I内内的的不定积分不定积分，记为，记为 dxxf)(. . 为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数再加上积分常数即可再加上积分常数即可例例1 1 求求.5dxx 解

7、解,656xx .665Cxdxx 解解例例2 2 求求.112 dxx ,11arctan2xx .arctan112 Cxdxx例例3 3 设曲线通过点（设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.解解设曲线方程为设曲线方程为),(xfy 根据题意知根据题意知,2xdxdy 即即)(xf是是x2的一个原函数的一个原函数.,22 Cxxdx,)(2Cxxf 由曲线通过点（由曲线通过点（1，2）, 1 C所求曲线方程为所求曲线方程为. 12 xy函函数数)(xf的的原原函函数数的的图图形形称称

8、为为)(xf的的积积分分曲曲线线.显然，求不定积分得到一积分曲线族显然，求不定积分得到一积分曲线族.由不定积分的定义，可知由不定积分的定义，可知 ),()(xfdxxfdxd ,)()(dxxfdxxfd ,)()( CxFdxxF.)()( CxFxdF结论：结论： 微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.实例实例 xx 11.11Cxdxx 启示启示能否根据求导公式得出积分公式？能否根据求导公式得出积分公式？结论结论既然积分运算和微分运算是互逆的，既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式因此可以根据求导公式得出积分公式.)1( 二、二、 基本积

9、分表基本积分表基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1 Cxdxx;ln)3( Cxxdx说明：说明： , 0 x,ln Cxxdx )ln(, 0 xx,1)(1xxx ,)ln( Cxxdx,|ln Cxxdx简写为简写为.ln Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx xdxxtansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cs

10、cCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdxsinh)14(;coshCx xdxcosh)15(;sinhCx 以上以上1515个公式是求不定积分的基础，个公式是求不定积分的基础，称为基本积分表，必须熟练掌握。称为基本积分表，必须熟练掌握。例例4 4 求积分求积分.2dxxx 解解dxxx 2dxx 25Cx 125125.7227Cx 根据积分公式（根据积分公式（2）Cxdxx 11 dxxgxf)()()1(;)()( dxxgdxxf证证 dxxgdxxf)()( dxxgdxxf)()().()(xgxf 等式成立等式成立.此性质可推广到有限多个函数之和的

11、情况此性质可推广到有限多个函数之和的情况三、三、 不定积分的性质不定积分的性质 dxxfxfn)()(1 dxxfdxxfn)()(1 dxxkf)()2(.)( dxxfk（k是是常常数数，)0 k证明只须验证右端的导数等于左端的被积函数证明只须验证右端的导数等于左端的被积函数（1）+（2） dxxfkdxxfkiniiniii)( )(11即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合即线性组合的不定积分等于不定积分的线性组合这说明不定积分具有线性运算性质这说明不定积分具有线性运算性质 注意到上式中有注意到上式中有n个积分号，形式上含有个积分号，形式上含有n个任意个任意常数常数,但由于任意常数

12、的线性组合仍是任意常数，故但由于任意常数的线性组合仍是任意常数，故实际上只含有实际上只含有一个任意常数一个任意常数分项积分法分项积分法例例5 5 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 注意注意检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看检验积分结果是否正确，只要把结果求导，看其导数是否等于被积函数其导数是否等于被积函数例例6 6 求积分求积分.)1(122dxxxxx 解解dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarctanCxx 例例

13、7 7 求积分求积分.)1(21222dxxxx 解解dxxxx )1(21222dxxxxx )1(12222dxxdxx 22111.arctan1Cxx 例例8 8 求积分求积分.2cos11 dxx解解 dxx2cos11 dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 例例9dxxx 241解解dxxx 241dxxx 2411)1(dxxx 11122Cxxx 331arctan例例10dxxx 22cossin1解解dxxx 22cossin1dxxxxx 2222cossincossin dxxxsin1cos122Cxx cottan例例11dxxx 2cos2

14、sin122解解dxxx 2cos2sin122dxxx 2cos2sin4422dxx 2sin14Cx cot4说明：说明： 以上几例中的被积函数都需要进行以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表恒等变形，才能使用基本积分表.例例 1212 已知一曲线已知一曲线)(xfy 在点在点)(,(xfx处的处的切线斜率为切线斜率为xxsinsec2 ，且此曲线与，且此曲线与y轴的交轴的交点为点为)5 , 0(，求此曲线的方程，求此曲线的方程. 解解,sinsec2xxdxdy dxxxy sinsec2,costanCxx , 5)0( y, 6 C所求曲线方程为所求曲线方程为.

15、 6costan xxy例例13 求求 dxxxI, 1max32解解 1|111, 1max2332xxxxxxx故故时时当当1 x14341CxdxxI 时时当当1 x23231CxdxxI 时时当当1| x 3CxdxI因被积函数连续，故原函数可导，进而原函数连续因被积函数连续，故原函数可导，进而原函数连续于是有于是有)4(lim)(lim14131CxCxxx 13411CC 3143CC )(lim)31(lim31231CxCxxx 32131CC 332CC I132313 xCx11 xCx143414 xCx说明说明求不定积分时一定要加上积分常数，它表明求不定积分时一定要加上积分常数，它表明一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全一个函数的原函数有无穷多个，即要求的是全体原函体原函 数，若不加积分常数则表示只求出了一数，若不加积分常数则表示只求出了一个原函数个原函数写成分项积分后，积分常数可以只写一个写成分项积分后，积分常数可以只写一个积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上积分的结果在形式上可能有所不同，但实质上只相差一个常数只相差一个常数基本积分表基本积分表(1)不定积分的性质不定积分的性质 原函数的概念：原函数的概念：)()(xfxF 不定积分的概念：不定积分的概念： CxFdxxf)()(求微分与求积分的互逆关