二次函数与幂函数

1、第五节二次函数与幂函数1五种常见幂函数的图像与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图像定义域RRRx|x0x|x0值域Ry|y0Ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减，(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)2二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图像和性质a>0a<0图像定义域xR值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减奇偶性b0时为偶函数，b0时既不是奇函数也不是偶函数图像特点对称轴：x；顶点：1研究

2、函数f(x)ax2bxc的性质，易忽视a的取值情况而盲目认为f(x)为二次函数2形如yx(R)才是幂函数，如y3x不是幂函数试一试1若f(x)既是幂函数又是二次函数，则f(x)可以是()Af(x)x21Bf(x)5x2Cf(x)x2 Df(x)x22已知函数f(x)ax2x5的图像在x轴上方，则a的取值范围是()A.B.C. D.1函数yf(x)对称轴的判断方法(1)对于二次函数yf(x)，如果定义域内有不同两点x1，x2且f(x1)f(x2)，那么函数yf(x)的图像关于x对称(2)二次函数yf(x)对定义域内所有x，都有f(ax)f(ax)成立的充要条件是函数yf(x)的图像关于直线xa对

3、称(a为常数)2与二次函数有关的不等式恒成立两个条件(1)ax2bxc>0，a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc<0，a0恒成立的充要条件是3两种数学思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次方程根的大小等练一练如果函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图像关于直线x1对称，则函数f(x)的最小值为_考点一：幂函数的图像与性质1.幂函数yf(x)的图像过点(4,2)，则幂函数yf(x)的图像是()2.图中曲

4、线是幂函数yx在第一象限的图像已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的值依次为_3设a，b，c，则a，b，c的大小关系是_ 类题通法1幂函数yx的图像与性质由于的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)的正负：>0时，图像过原点和(1,1)，在第一象限的图像上升；<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降(2)曲线在第一象限的凹凸性：>1时，曲线下凸；0<<1时，曲线上凸；<0时，曲线下凸2在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键考点二：

5、求二次函数的解析式典例已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式 类题通法求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下： 针对训练已知yf(x)为二次函数，且f(0)5，f(1)4，f(2)5，求此二次函数的解析式考点三：二次函数的图像与性质研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有：(1)轴定区间定求最值；(2)轴动区间定求最值；(3)轴定区间动求最值.角度一轴定区间定求最值1已知函数f(x)x22ax3，

6、x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)当a1时，求f(|x|)的单调区间角度二轴动区间定求最值2已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值角度三轴定区间动求最值3设函数yx22x，x2，a，若函数的最小值为g(a)，求g(a) 类题通法影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法：(1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的端点或二次函数图像的顶点处取得最值当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论第六节指数与指数函数1根式的性质(1)()na.(2)当n为奇数时a；当n为偶数时

7、2有理数指数幂(1)幂的有关概念：正分数指数幂：a(a>0，m，nN*，且n>1)负分数指数幂：a(a>0，m，nN*，且n>1)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义(2)有理数指数幂的性质：arasars(a>0，r，sQ)；(ar)sars(a>0，r，sQ)；(ab)rarbr(a>0，b>0，rQ)3指数函数的图像与性质yaxa>10<a<1图像定义域R值域(0，)性质当x>0时，y>1；x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；x<0时，y>1过

8、定点(0,1)在(，)上是增函数在(，)上是减函数1在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数2指数函数yax(a>0，a1)的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a>1或0<a<1.试一试1化简(2)6(1)0的结果为()A9B7C10 D92若函数y(a21)x在(，)上为减函数，则实数a的取值范围是_方法指导：1对可化为a2xb·axc0或a2xb·axc0(a2xb·axc0)的指数方程或不等式，常借助换元法解决2指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此

9、解题时通常对底数a按0<a<1和a>1进行分类讨论练一练1函数y 的定义域为_2若函数f(x)ax1(a>0，a1)的定义域和值域都是0,2，则实数a_.考点一：指数幂的化简与求值求值与化简：(1)022·(0.01)0.5；(2)a·b2·(3ab1)÷(4a·b3) ；(3)类题通法指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用

10、幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答.考点二：指数函数的图像及应用典例(1)(2012·四川高考)函数yax(a>0，且a1)的图像可能是()(2)已知实数a，b满足等式ab，下列五个关系式：0<b<a；a<b<0；0<a<b；b<a<0；ab.其中不可能成立的关系式有()A1个B2个C3个 D4个 类题通法指数函数图像的画法及应用(1)画指数函数yax(a>0，a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像(3)

11、一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解针对训练1(2014·北京模拟)在同一坐标系中，函数y2x与yx的图像之间的关系是()A关于y轴对称B关于x轴对称C关于原点对称 D关于直线yx对称2方程2x2x的解的个数是_考点三：指数函数的性质及应用典例已知f(x)(axax)(a>0，且a1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性在本例条件下，当x1,1时，f(x)b恒成立，求b的取值范围. 类题通法利用指数函数的性质解决问题的方法求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数

12、的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决针对训练已知函数f(x)ax24x3.(1)若a1，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)有最大值3，求a的值；(3)若f(x)的值域是(0，)，求a的值七节对数与对数函数1对数的定义如果axN(a>0且a1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数2对数的性质与运算及换底公式(1)对数的性质(a>0且a1)：loga10；logaa1；alogaNN.(2)对数的换底公式基本公式：logab(a，c均大于0且不等于1，

13、b>0)(3)对数的运算法则：如果a>0且a1，M>0，N>0，那么loga(M·N)logaMlogaN，logalogaMlogaN，logaMnnlogaM(nR)3对数函数的图像与性质a>10<a<1图像定义域(0，)值域R定点过点(1,0)单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数函数值当0<x<1，y<0当x>1时，y>0；正负当0<x<1时，y>0当x>1时，y<0；4反函数指数函数yax(a>0且a1)与对数函数ylogax(a>0且a1)互为反函数，

14、它们的图像关于直线yx对称1在运算性质logaMnnlogaM中，易忽视M>0.2解决与对数函数有关的问题时易漏两点：(1)函数的定义域；(2)对数底数的取值范围试一试1(2013·重庆高考)函数y的定义域是()A(，2)B(2，) C(2,3)(3，) D(2,4)(4，)2(2013·四川高考)lglg的值是_方法指导：1对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性；(2)作差或作商法；(3)利用中间量(0或1)；(4)化同真数后利用图像比较2明确对数函数图像的基本点(1)当a>1时，对数函数的图像“上升”；当0<a<1时，对数函数的

15、图像“下降”(2)对数函数ylogax(a>0，且a1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，函数图像只在第一、四象限练一练1函数yloga(3x2)(a>0，a1)的图像经过定点A，则A点坐标是()A. B.C(1,0) D(0,1)2(2013·全国卷)设alog32，blog52，clog23，则()Aa>c>b Bb>c>aCc>b>a Dc>a>b考点一：对数式的化简与求值1.(2013·陕西高考)设a，b，c均为不等于1的正实数， 则下列等式中恒成立的是()Alogab·logcblogc

16、aBlogab·logcalogcbCloga(bc)logab·logac Dloga(bc)logablogac2计算下列各题：(1)lglg 70lg 3；(2)lglglg 类题通法对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算性质化简合并(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算考点二：对数函数的图像及应用典例(1)已知lg alg b0，则函数f(x)ax与函数g(x)logbx的图像可能是()(2)当0<x时，4x<

17、;logax，则a的取值范围是()A.B.C(1，) D(，2) 类题通法应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解针对训练已知函数f(x)则yf(1x)的大致图像是()解析：选C由题意可得f(1x)因此当x0时，yf(1x)为减函数，且y>0；当x<0时，yf(1x)为增函数，且y<0.考点三：对数函数的性质及应用典例已知函数f(x)log4(ax22x3)(1)若f(1)1，求f(x

18、)的单调区间；(2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由 类题通法求复合函数yf(g(x)的单调区间的步骤(1)确定定义域；(2)将复合函数分解成基本初等函数yf(u)，ug(x)；(3)分别确定这两个函数的单调区间；(4)若这两个函数同增或同减，则yf(g(x)为增函数，若一增一减，则yf(g(x)为减函数，即“同增异减”针对训练已知f(x)loga(ax1)(a>0且a1)(1)求f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性第八节函数与方程1函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零

19、点2二次函数yax2bxc(a>0)的图像与零点的关系000二次函数yax2bxc (a0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数两个一个零个3二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法易误点：1函数yf(x)的零点即方程f(x)0的实根，易误为函数点2由函数yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示所以f(a)·f(b)<0是yf

20、(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件试一试1若函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0,2B0，C0， D2，2函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)方法指导：1函数零点个数的判断方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图像交点的个数：画出两个函数的图像，看其交点

21、的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点2三个等价关系(三者相互转化)3用二分法求函数零点近似值的步骤第一步：确定区间a，b，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度；第二步：求区间(a，b)的中点c.第三步：计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)·f(c)<0，则令bc(此时零点x0(a，c)；若f(c)·f(b)<0，则令ac(此时零点x0(c，b)第四步：判断是否达到精确度：即若|ab|<，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步练一练(2014·中山模拟)函数f(x)exx2的

22、零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1,0)C(0,1) D(1,2)考点一：函数零点所在区间的判定1.函数f(x)x23x18在区间1,8上_(填“存在”或“不存在”)零点2(2014·保定调研)函数f(x)log3xx2的零点所在的区间为()A(0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)3(2013·朝阳模拟)函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2)C(0,3) D(0,2) 类题通法判断函数零点所在区间的方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理当能直接求出零点时，就直接求出进行判断

23、；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图像判断考点二：判断函数零点个数典例(1)已知函数f(x)则函数yf(f(x)1的零点个数是()A4 B3C2 D1(2)(2013·天津高考)函数f(x)2x|log0.5x|1的零点个数为()A1 B2C3 D4 类题通法函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数，其步骤是：(1)令f(x)0；(2)构造y1f1(x)，y2f2(x)；(3)作出y1，y2图像；(4)由图像交点个数得出结论针对训练函数f(x)3coslogx的零点的个数是()A2 B3C4 D5考点三：函数零点的应用典例若函数

24、f(x)xln xa有两个零点，则实数a的取值范围为_ 类题通法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解针对训练(2014·海淀模拟)已知函数f(x)有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_第九节函数模型及其应用1几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a

25、0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a>0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a>0且a1，b0)幂函数模型f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n0)2三种函数模型性质比较yax(a>1)ylogax(a>1)yxn(n>0)在(0，)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x值增大，图像与y轴接近平行随x值增大，图像与x轴接近平行随n值变化而不同易误点：1易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域2注意问题反馈在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理

26、性试一试据调查，苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系是()Ay0.1x800(0x4 000)By0.1x1 200(0x4 000)Cy0.1x800(0x4 000)Dy0.1x1 200(0x4 000)方法指导：解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)求模：求解数学模型，得出

27、数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题以上过程用框图表示如下： 练一练(2013·陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A15,20B12,25C10,30 D20,30考点一：一次函数与二次函数模型1.某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差()A10元B20元C30元 D.元2(2013·北京西城区抽检)将进货单价为80元的商

28、品按90元出售时，能卖出400个若该商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了赚取最大的利润，售价应定为每个()A115元 B105元C95元 D85元3为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：yx2200x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？ 类题通法求解一次函

29、数与二次函数模型问题的关注点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法；(3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题考点二：分段函数模型典例提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数(1)当

30、0x200时，求函数v(x)的表达式(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)x·v(x)可以达到最大，并求出最大值(精确到1辆/小时) 类题通法应用分段函数模型的关注点(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理、不重不漏(3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)针对训练某公司研制出了一种新产品，试制了一批样品分别在国内和国外上市销售，并且价格根据销售情况不断进行调整，

31、结果40天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调研，结果如图所示，其中图(一条折线)、图(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系，图是每件样品的销售利润与上市时间的关系(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系；(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6 300万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由考点三：指数函数模型典例一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为

32、止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？ 类题通法应用指数函数模型应注意的问题(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型(3)ya(1x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解提醒：解指数不等式时，一定要化为同底，且注意对应函数的单调性针对训练(2013·长春联合测试)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内

33、，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利 B略有亏损C没有盈利也没有亏损 D无法判断盈亏情况第十节变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数：称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(

34、xx0)(3)函数f(x)的导函数：称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式(sin x)cos_x，(cos x)sin_x，(ax)axln_a，(ex)ex，(logax)，(ln x).3导数的运算法则(1)f(x)±g(x)f(x)±g(x)；(2)f(x)·g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyu·ux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积易误点：1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防

35、止与乘法公式混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别试一试1(2013·江西高考)设函数f(x)在(0，)内可导，且f(ex)xex，则f(1)_.2函数yxcos xsin x的导数为_考点一：利用导数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数：(1)yx2，(2)f(x). 类题通法定义法求函数的导数的三个步骤一差：求函数的改变量yf(xx)f(x)二比：求平均变化率.三极限：取极限，得导数yf(x).考点二：导数的运算典例求下列函数的导数(1)yx

36、2sin x；(2)y；(3)yln(2x5) 类题通法1求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错2有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量3复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导针对训练已知f(x)sin 2x，记fn1(x)fn(x)(nN*)，则f1f2f2 013f2 014_.考点三：导数的几何意义角度一求切线方程1(2014·洛阳统考)已知函数f(x)3xcos 2xs

37、in 2x，af，f(x)是f(x)的导函数，则过曲线yx3上一点P(a，b)的切线方程为()A3xy20B4x3y10C3xy20或3x4y10D3xy20或4x3y10角度二求切点坐标2(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y3ln xx2在点P0处的切线方程为4xy10，则点P0的坐标是()A(0,1)B(1，1)C(1,3) D(1,0)角度三求参数的值3已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图像都相切，且与f(x)图像的切点为(1，f(1)，则m等于()A1 B3C4 D2 类题通法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要

38、体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0)求斜率k，即求该点处的导数值：kf(x0)；(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k；(3)已知过某点M(x1，f(x1)(不是切点)的切线斜率为k时，常需设出切点A(x0，f(x0)，利用k求解第十一节导数的应用1函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数2函数的极值(1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近

39、的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值3函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a

40、)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值易误点：1求函数极值时，误把导数为0的点作为极值点；极值点的导数也不一定为0.2易混极值与最值：注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念试一试1设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点2函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1B(0,1C1，) D(0，)方法指导：解决含参数问题及不等式问题中的两个转化(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定

41、转化为函数的单调性、极值问题处理练一练1函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则a的取值范围是_2函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_第一课时导数与函数单调性考点一：判断或证明函数的单调性典例(2013·天津高考节选)设a2,0，已知函数f(x)证明f(x)在区间(1,1)内单调递减， 在区间(1, )内单调递增 类题通法导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f(x)；(2)确认f(x)在(a，b)内的符号；(3)作出结论：f(x)>0时为增函数；f(x)<0时为减函数针对训练已知函数f(x)x2ex试判断f(x)的单调性

42、并给予证明考点二：求函数的单调区间典例(2012·北京高考改编)已知函数f(x)ax21(a0)，g(x)x3bx.(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；(2)当a24b时，求函数f(x)g(x)的单调区间 类题通法求函数的单调区间的“两个”方法(1)方法一：确定函数yf(x)的定义域；求导数yf(x)；解不等式f(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间(2)方法二：确定函数yf(x)的定义域；求导数yf(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切

43、实根；把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性针对训练(2013·重庆高考)设f(x) a(x5)26ln x，其中aR，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与y轴相交于点(0,6)(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间与极值考点三：已知函数的单调性求参数的范围典例(2014·山西诊断)已知函数f(x)ln xa2x2ax(aR)(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函

44、数f(x)在区间(1，)上是减函数，求实数a的取值范围 类题通法已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解针对训练(2014·荆州质检)设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2

45、)若a>0，求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围第二课时导数与函数极值、最值考点一运用导数解决函数的极值问题典例(2013·福建高考节选)已知函数f(x)x1(aR，e为自然对数的底数)(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，求a的值；(2)求函数f(x)的极值解(1)由f(x)x1，得f(x)1.又曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线平行于x轴，得f(1)0，即10，解得ae.(2)f(x)1，当a0时，f(x)>0，f(x)为(，)上的增函数，所以函数f(x

46、)无极值当a>0时，令f(x)0，得exa，即xln a.x(，ln a)，f(x)<0；x(ln a，)，f(x)>0，所以f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增，故f(x)在xln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)ln a，无极大值综上，当a 0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在xln a处取得极小值ln a，无极大值若把本例中f(x)变为“f(x)xaln x(aR)”，试求函数的极值.解：由f(x)1，x>0知：(1)当a0时，f(x)>0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x)无极值；(2)当a&

47、gt;0时，由f(x)0，解得xa.又当x(0，a)时，f(x)<0；当x(a，)时，f(x)>0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上，当a0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值类题通法求函数f(x)极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值针对训练设f(x)2x3ax2b

48、x1的导数为f(x)，若函数yf(x)的图像关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值解：(1)因为f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb，从而f(x)62b，即yf(x)关于直线x对称从而由题设条件知，即a3.又由于f(1)0，即62ab0，得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，所以f(x)6x26x126(x1)(x2)，令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x2或x1，当x(，2)时，f(x)>0，即f(x)在(，2)上单调递增；当x(2,1)时，f(x)<0，即f(x)在(2,1)上单调递减；当x(1

49、，)时，f(x)>0，即f(x)在(1，)上单调递增从而函数f(x)在x2处取得极大值f(2)21，在x1处取得极小值f(1)6.考点二运用导数解决函数的最值问题典例已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a>0时，求函数f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x>0)，当a0时，f(x)a>0，即函数f(x)的单调增区间为(0，)当a>0时，令f(x)a0，可得x，当0<x<时，f(x)>0；当x>时，f(x)<0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当1，即a1时，函数f

50、(x)在区间1,2上是减函数，f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0<a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，f(x)的最小值是f(1)a.当1<<2，即<a<1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，当<a<ln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a<1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0<a<ln 2时，函数f(x)的最小值是a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是ln 22a.类题通法求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值针对训练设函数f(x)aln xbx2(x>0)，若函数f(x)在x1处与直线y相切， (1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在上的最大值解：(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得(2)f(x)ln xx2，f(x)x，当xe时，令f(x)>0得x<1；令f(x)<0，得1&l