基本初等函数教案

1、指数函数教学过程（一）问题引入问题1 从2000年起的未来20年，我国国内生产总值年平均增长率可达到7.3%那么，在20012020年，各年的国内生产总值可望为2000年的多少倍？分析：如果把我国2000年GDP看成是一个单位，2001年为第一年，那么：一年后（即2001年），我的GDP可望为2000年的（1+7.3%）倍；两年后（即2002年），我的GDP可望为2000年的（1+7.3%）2倍；三年后（即2003年），我的GDP可望为2000年的 倍；引导学生逐年计算，并得出规律：设年后我国的国内生产总值为2000年的倍，那么（二）指数函数的概念观察和y=有什么共同特点，得出定义：一般地，函

2、数叫做指数函数(exponential function)，其中x是自变量，函数的定义域是R。因为0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R.若0，如在实数范围内的函数值不存在。若=1， 是一个常量，没有研究的意义。所以，只有满足的形式才能称为指数函数。思考：函数 是指数函数吗？说明：指数函数中，的系数为1，有些貌似指数函数，其实不是，但有些看上去不是指数函数，实际上却是，如：因为它可化为回答：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （1，且）1 / 20（三）指数函数的图像及性质为了研究指数函数的性质，我们

3、先利用描点法作出指数函数的图像，描点法作函数图像的步骤：列表、描点、连线。1、指数函数的函数图像列表-2-10121242、作出的函数图像列表210-1-2124从图中我们看出通过图象看出：实质是上的点（x，y）总结：从图上看（1）与两函数图象的特征关于轴对称.3、 指数函数的性质图象特征101向轴正负方向无限延伸:函数的定义域为R图象关于原点或轴不对称：非奇非偶函数函数图象都在轴上方：函数的值域为函数图象都过定点（0，1）：因为=1自左向右，图象逐渐上升：增函数自左向右，图象逐渐下降：减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1：0，1在第一象限内的图象纵坐标都小于1：0，1在第二象限内的图象纵坐

4、标都小于1：0，1在第二象限内的图象纵坐标都大于1：0，1（四）例题讲解1 比较下列各题中的两个值的大小（ 1）1.72.5 与 1.73( 2 )与( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1解：(1) 1.72.5 与 1.73可以看作是函数的两个函数值。由于底数1.7>1，所以指数函数在R上为增函数，因为2.5<3，所以1.72.5<1.73(2) 0.8-0.1 与 0.8-0.2可以看作是函数的两个函数值。由于底数0.8<1，所以指数函数在R上是减函数，因为-0.1>-0.2，所以0.8-0.1< 0.8-0.2(3)由于1.70.3 与 0.93.

5、1不能看作同一个指数函数的两个函数值，我们首先在这两个数值中间找一个数值，将这一个数值与原来的两个数值分别比较大小，然后确定原来两个数值的大小关系。由指数函数的性质可知1.70.3>1.70=10.93.1<0.90=1所以1.70.3 > 0.93.12 截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少？（精确到亿）解：设今后人口年平均增长率为1%，经过年后，我国人口数为亿，则当=20时，答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.说明：在实际问题中，经常会遇到类似例2的指数增长模型，设原有量为N，每次的

6、增长率为p,经过x次增长，该量增长到y，则y=N(1+p)x（xN）。形如的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。例3. 已知a=,b=9.求： （1） （2）.解：（1）原式=.÷a·= =a.a=，原式=3.（2）方法一 化去负指数后解.来源:Z*xx*k.Com a=a+b=方法二 利用运算性质解.a=a+b=例4. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：（1）f(x)=3;（2）g(x)=-(.解：（1）依题意x2-5x+40,解得x4或x1,f（x）的定义域是（-，14，+）.令u=x（-，14，+），u0，即0，而f(x)=330=1,函数f(x)的值域

7、是1，+）.u=,当x（-，1时，u是减函数，当x4，+）时，u是增函数.而31,由复合函数的单调性可知，f（x）=3在（-，1上是减函数，在4，+）上是增函数.故f（x）的增区间是4，+），减区间是（-，1.（2）由g(x)=-(函数的定义域为R，令t=(x (t0),g(t)=-t2+4t+5=-(t-2)2+9,t0,g(t)=-(t-2)2+99,等号成立的条件是t=2,即g(x)9,等号成立的条件是(=2，即x=-1，g（x）的值域是（-，9.由g(t)=-(t-2)2+9 (t0),而t=(是减函数，要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，求g(x)的减区间实际上是求g(t

8、)的增区间.g（t）在（0，2上递增，在2，+）上递减，由0t=(2,可得x-1,由t=(2,可得x-1.g（x）在-1，+）上递减，在（-，-1上递增，故g(x)的单调递增区间是（-，-1，单调递减区间是-1，+）.小结归纳1 a，abN，logaNb(其中N>0，a>0，a1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.2处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.3含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分

9、类方案是以“底”大于1或小于1分类.4含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.课后作业：1、一批设备价值万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低，则年后这批设备的价值为（ ）A、 B、 C、 D、2、若，则 。3、若，则等于 （ ）A、 B、 C、 D、4、某商品价格前两年每年递增，后两年每年递减，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是（ ）A、减少 B、增加 C、减少 D、不增不减5、已知指数函数图像经过点，则 6、若函数的图像经过第一、三、四象限，则一

10、定有（ ）ABCD7、方程2|x|+x=2的实根的个数为_8、直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是_ 9、若，则下列不等式中成立的是（ ） 10、设，则 （ ）A、 B、 C、 D、11、设那么实数、与1的大小关系正确的是 ( )A. B. C. D. 12、函数的图象恒过定点_。13、函数的单调增区间为_14、如果函数在区间上是偶函数，则=_15、是偶函数，且不恒等于零，则( )A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数16、当时，函数和的图象只可能是（ ）17、（2005福建理5）函数的图象如图，其中a、b为常数，则下列结论正确的是（

11、）ABCD18、下列函数中，值域为的函数是（ ） 参考答案：1、D 2、0 3、A 4、A 5、1/27 6、A 7、2 8、(0,1/3) 9、B 10、C 11、D 12、(3,4) 13、 14、1 15、A 16、A 17、D 18、D对数函数基础知识讲解1、对数函数定义：一般地，当a>0且a1时，函数y=ax.叫做对数函数.这里大家要明确，对数函数与指数函数互为反函数，所以，对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到，对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.即对数函数的定义域是（0，+），值域是R.2对数函数的性质：（1）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对

12、数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。1111同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。 （图1）（图2）（2）对数函数性质列表： 图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即当时，（4）在（0，+）上是增函数（4）在上是减函数热点考题导析例1求函数的定义域解： 即 函数的定义域为点评：求函数的定义域，往往可转化为解不等式例2比较下列各组数的大小，并说明理由（1） （2） （3）解：（1）是减函数， （2）是增函数， （3）教师点评：本例给出了比较两个对数大小的常用方法：（1）和（2）的解法是利用了对数函 数的单调性；（3）利用了对数函数的性质。另外，三

13、个数以上比较大小，0和1 是两把尺度。例3求函数 定义域、值域、单调区间解：定义域为 （x3或x2），由二次函数的图象可知（图象略）0u+，故原函数的值域为（-，+）原函数的单调性与u的单调性一致原函数的单调增区间为（3，+），单调减区间为（，2）学生演板：（1）已知f（x）的图象g（x）=的图象关于直线y=x对称，求的单调减区间（先求g（x）=的反函数单调减区间为（0，1）例4设函数 （1）试判断函数f（x）的中单调性，并给出证明； （2）若f（x）的反函数为，证明方程=0有唯一解分析：为求单调性，需先求定义域，在定义域中利用单调性的定义作出判断（1）可先请同学用数字试一下，以便做到心中有数

14、解：（1）由 解得函数f（x）的定义域为（-1，1）设则=又又（1+即故函数f（x）在区间（-1，1）内是减函数（2）这里并不需要先求出f（x）的反函数，再解方程即是方程的一个解若方程还有另一解则又由反函数的定义知这与已知矛盾故方程有唯一解点评：（1）中用定义证明了单调性，虽较复杂，但很重要，应掌握可先用数字试探 一下，以便做到心中有数（由（2）知函数在定义域上是单调的，因为存在反 函数） （2）中告诉我们并不需要求出反函数，其思维过程，妙用了互为反函数的函数 定义域和值域之间的关系，既考虑存在性又反证了唯一性，这是一个好题，我 们甚至可以求解不等式；请自己完成例5若函数（1）若函数的定义域为

15、R，求a的取值范围（2）若函数的值域为R，求a的取值范围（1） 若函数在上是增函数，求a的取值范围解：（1）定义域为R，是指不等式的解集为R，即（2）值域为R，是指能取遍（0，+）中的所有的值只需即或（3）在上为减函数且大于0，由图象可知：教师点评：对数函数的定义域为R，即指不等式的解集为R值域为R指对数函数的真数 能取遍所有的正数，不要认为判别式大于或等于0，那么在x轴下面的部分是负 数似乎不合题意，实质上定义域会排掉x轴下面的负的函数值要画个图仔细 研究在（3）中特别要注意在区间上函数大于0例6已知函数 （1）判断f（x）的奇偶性；（2）解关于x的方程（3）解关于x的不等式：解：（1）设则

16、 它的定义域为（-1，1） f（x）为奇函数 （2）由f（x）=即得 （3）由即得： （a）当m1时，解得： （b）当时， 解得：由（a）、（b）知，当m1时，原不等式解集为教师点评：本题涉及到求函数的表达式，解对数方程，对数不等式要注意对底数m的讨 论课后作业：1、求函数f（x）=的定义域.2、定义在全体实数上的奇函数要使求x的取值范围若在区间0，1上是减函数，求a的取值范围3、（2001年上海，1）设函数 ，则满足的x值为 4、（2001年上海，4）设集合A= 则的元素个数为 5、（93年全国文，25）解方程：考点检测（1）若1x2，则下列不等式中正确的是（ ）（A）（B）（C）（D）（2

17、）函数的值域为（ ）（A） （B）R （C） （D）（3）函数在上恒有|y|1，则a的取值范围是 （4）设a、b为正数，若有解，则的取值范围是 （5）已知函数在有上意义，求实数C的取值范围（6）设的反函数是 （其中a0，且a1）（a）求，并求出它的定义域（b）设若 ），求a的取值范围课后练习答案：1、 定义域为 2、，（1，2）3、答案：3分析：当时，值域为当时值域为（0，+） 4、答案：1分析：集合A： 而x=5时，的元素个数为15、答案：分析：解得：点评：本题主要考查对数方程的解法，属常规题，对等价转化思想有较高的要求考点检测答案：（1）B （2）A （3） （4）或（5） （6）（a）当

18、a1时，当0a1时，（b）.幂函数教学目标：（一）知识和技能：1了解幂函数的概念，会画幂函数，的图象，并能结合这几个幂函数的图象，了解幂函数图象的变化情况和性质。2了解几个常见的幂函数的性质。教学过程：一、 创设情景，引入新课问题：如果张红购买了每千克1元的水果w千克，那么她需要付的钱数p（元）和购买的水果量w（千克）之间有何关系？（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）（适当引导：从自变量所处的位置这个角度）二、新课讲解（一）幂函数的概念1、幂函数的定义：一般地，我们把形如y=xa的函数称为幂函数，其中x是自变量，是常数 。我们可以归纳出幂函数的性质定义域值域奇偶性单调性定点R偶函数（0，0）（1，1）RR奇函数增函数（0，0）（1，1）奇函数（1，1）非奇非偶增函数（0，0）（1，1）归纳：当是，图象过点，且在第一象限随的增大而上升,函数在区间上是单调增函数。请同学们模仿我们探究幂函数图象的基本特征的情况探讨时幂函数图象的基本特征。时幂函数图象的基本特征：过点，且在第一象限随