机械工程测试技术(第五章)

1、机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院机械工程测试技术机械工程测试技术主讲教师：谷吉海主讲教师：谷吉海机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 本章主要内容本章主要内容 5.1 数字信号处理的基本步骤数字信号处理的基本步骤 5.2 信号数字化的相关问题信号数字化的相关问题 5.3 相关分析及应用相关分析及应用 5.4 功率功率谱分析及应用谱分析及应用第五章第五章 信号处理初步信号处理初步机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 1. 信号处理的目的信

2、号处理的目的 （1 1）分离信噪，提高信噪比；）分离信噪，提高信噪比； （2 2）从信号中提取出有用的特征信号。）从信号中提取出有用的特征信号。 （3 3）修正测试系统的某些误差，如：传感器的线性）修正测试系统的某些误差，如：传感器的线性 误差、温度影响等。误差、温度影响等。2.2. 信号处理的类型信号处理的类型 （1 1）模拟信号处理）模拟信号处理 由一系列能实现模拟运算的电路组成由一系列能实现模拟运算的电路组成 （模拟滤波器、乘法器、微分放大器等环节）。也作为（模拟滤波器、乘法器、微分放大器等环节）。也作为 数字信号处理的前奏，如滤波、限幅、隔直、解调等。数字信号处理的前奏，如滤波、限幅、

3、隔直、解调等。 （2 2）数字信号处理）数字信号处理 在计算机或专用信号处理机上借助算在计算机或专用信号处理机上借助算 法程序来实现。法程序来实现。 第五章第五章 信号处理初步信号处理初步机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 3.3.数字信号处理主要的研究内容数字信号处理主要的研究内容 主要研究用数字序列来表示测试信号，并用数学公主要研究用数字序列来表示测试信号，并用数学公 式和运算来对这些数字序列进行处理。式和运算来对这些数字序列进行处理。 主要内容包括主要内容包括: : 数字波形分析数字波形分析 幅值分析幅值分析 频谱分析频谱分析 相关分

4、析相关分析 数字滤波数字滤波第五章第五章 信号处理初步信号处理初步机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 信号预处理是把信号变成适于数字处理的形式，信号预处理是把信号变成适于数字处理的形式， 减减 轻数字处理的困难。包括：轻数字处理的困难。包括： （1）电压幅值调理，以便适宜于采样。）电压幅值调理，以便适宜于采样。(5V) 电平较低，转换后的信噪比将很差，电平太高电平较低，转换后的信噪比将很差，电平太高 转换中又将发生溢出。转换中又将发生溢出。 （2）必要的滤波）必要的滤波 滤去信号中的高频噪声，以提高滤去信号中的高频噪声，以提高 信噪比。信噪

5、比。 （3）隔离信号中的直流分量（如：整流检波解调时）隔离信号中的直流分量（如：整流检波解调时 所加偏置的去除）所加偏置的去除） （4）调制与解调）调制与解调 。5.1 数字信号处理的基本步骤数字信号处理的基本步骤 1. . 信号预处理信号预处理返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 指模拟信号经采样、量化并转换为二进制的过程。指模拟信号经采样、量化并转换为二进制的过程。（1 1）采样：）采样：是将连续信号变为离散时间序列信号的过是将连续信号变为离散时间序列信号的过 程。程。（2 2）截断：）截断：将采样得到的离散时序乘以窗函数，使之将

6、采样得到的离散时序乘以窗函数，使之 成为有限时序。成为有限时序。（3 3）量化：）量化：是把采样信号经过舍入变为有限个有效数是把采样信号经过舍入变为有限个有效数 字的数，这一过程称为量化。字的数，这一过程称为量化。（4）编码：）编码：将经过量化的值变为二进制数字的过程将经过量化的值变为二进制数字的过程 2. 模模数转换（数转换（A AD D）返回返回5.1 数字信号处理的基本步骤数字信号处理的基本步骤机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院3.3.分分析计算析计算 对采集到的数字信号进行分析对采集到的数字信号进行分析 计算计算, ,可用数字信号器

7、或通用可用数字信号器或通用 计算机完成计算机完成. .4. 4. 结果显示结果显示 一般采用数据或图形显示结果一般采用数据或图形显示结果. .5.1 数字信号处理的基本步骤数字信号处理的基本步骤机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院本节主要内容：本节主要内容： 5.2.1 时域采样、采样定理和混叠时域采样、采样定理和混叠 5.2.2 截断、泄漏和窗函数截断、泄漏和窗函数 5.2.3 量化和量化误差量化和量化误差 5.2.4 频域采样、时域周期延拓和栅栏效应频域采样、时域周期延拓和栅栏效应 5.2.5 分辨力、整周期截断分辨力、整周期截断 5.2

8、.6 常用的窗函数常用的窗函数5.2 信号数字化的相关问题信号数字化的相关问题返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 采样就是用一个等时距的周期脉冲序列（采样函数）采样就是用一个等时距的周期脉冲序列（采样函数）s(t)去乘去乘连续时间信号连续时间信号x(t)。时距时距Ts称为采样间隔，称为采样间隔，1 Tsfs称为采称为采样频率。样频率。S(f)也是周期脉冲序列，其频率间距也是周期脉冲序列，其频率间距fs 1 Ts5.2.1 时域采样、混叠和采样定理时域采样、混叠和采样定理1. 时域采样时域采样返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2

9、022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 信号采样时若采样频率信号采样时若采样频率 f fs s 过低，则采样后信号的频谱在频过低，则采样后信号的频谱在频率点率点r/2Tr/2Ts s (r= (r=1,1,3,3,) )处产生部分重叠，这种现象，称处产生部分重叠，这种现象，称为为混叠混叠。 发生混叠后，改变了原频谱的部分幅值，（图发生混叠后，改变了原频谱的部分幅值，（图5-45-4虚线），虚线），这样就不能从离散的采样信号这样就不能从离散的采样信号x(t)s(t)x(t)s(t)准确地恢复原来的时准确地恢复原来的时域信号域信号x(t)x(t)。5.2.1 时域采样、混叠和采样定

10、理时域采样、混叠和采样定理2. 混叠混叠机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 避免产生混叠的措施：避免产生混叠的措施：（1）使被采样的模拟信号使被采样的模拟信号x(t) x(t) 在采样之前，先通在采样之前，先通过低通滤波器过低通滤波器, ,滤去高频成分，使其成为带限信号，滤去高频成分，使其成为带限信号，这种处理称为这种处理称为抗混叠滤波预处理，简称抗抗混叠滤波预处理，简称抗 混滤波。混滤波。（2）应使采样频率应使采样频率f fs s大于带限信号的最高频率大于带限信号的最高频率f fm m的的2 2 倍，即：倍，即： f fs s2f2fm

11、m 5.2.1 时域采样、混叠和采样定理时域采样、混叠和采样定理3. 采样定理采样定理（Shannon定理）定理） 采样定理采样定理 为了避免混叠以使采样处理后的离散时序为了避免混叠以使采样处理后的离散时序x(n)x(n)仍仍有可能准确地恢复其原信号有可能准确地恢复其原信号x(t)x(t)，采样频率采样频率f fs s必必须大于信号频率成分中最高频率须大于信号频率成分中最高频率f fm m的两倍，即的两倍，即 f fs s2f2fm m 这就是采样定理，也称香农（这就是采样定理，也称香农（ShannonShannon）定理。）定理。 在实际工作中，由于滤波器不可能具有理想的频在实际工作中，由于

12、滤波器不可能具有理想的频率截止特性，在其截止频率率截止特性，在其截止频率f fc c后总有一定的过渡后总有一定的过渡带，故一般使采样频率带，故一般使采样频率 f fs s (3 34)f4)fc返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院由于计算机只能处理有限长度离散数据序列，因此，必须对由于计算机只能处理有限长度离散数据序列，因此，必须对无限长的时域离散信号进行截断，使之成为有限长的离散数无限长的时域离散信号进行截断，使之成为有限长的离散数据序列信号。据序列信号。截断：就是在时域上将信号乘以有限宽矩形窗函数截断：就是在时域上将信号乘以有限宽

13、矩形窗函数 (t)(t)。返回返回5.2.2截断、泄漏和窗函数截断、泄漏和窗函数1. 时域截断时域截断 机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院时域截断图解 旁瓣泄漏引起皱波5.2.2截断、泄漏和窗函数截断、泄漏和窗函数返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 由于由于W(f)W(f)是一个无限带宽的是一个无限带宽的sincsinc函数，所以即使函数，所以即使x(t)x(t)是带是带限信号，在截断后也必然成为无限带宽的信号，限信号，在截断后也必然成为无限带宽的信号，这种信号这种信号的能量在频

14、率轴分布扩展的现象称为泄漏。的能量在频率轴分布扩展的现象称为泄漏。 同时，由于截断后信号带宽变为无限宽，因此无论采样频同时，由于截断后信号带宽变为无限宽，因此无论采样频率多高，信号总是不可避免地出现混叠，故信号截断必然率多高，信号总是不可避免地出现混叠，故信号截断必然导致一些误差。导致一些误差。2. 泄漏泄漏 返回返回5.2.2截断、泄漏和窗函数截断、泄漏和窗函数机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院5.2.3量化和量化误差量化和量化误差A/DA/D转换过程转换过程 （1 1）量化）量化把采样点的幅值在一组有限个离散电平把采样点的幅值在一组有限

15、个离散电平 中，取其一来近似取代信号的实际电平，这一中，取其一来近似取代信号的实际电平，这一 过程称为量化。过程称为量化。 一个一个n位二进制的数，共有位二进制的数，共有L=2n个数码，即有个数码，即有L个量化个量化电平。电平。 .（2）编码）编码将每一个量化电平用一个二进制数码表示将每一个量化电平用一个二进制数码表示 的过程。的过程。 返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 (3) (3) 量化误差量化误差 若若AD转换器位数为转换器位数为n,其允许的动态工作范围为其允许的动态工作范围为D（如（如 5v或或010v), 则两相邻量化电

16、平之差则两相邻量化电平之差 x为为 xD/2n (5-6) x也称也称A/D转换器的量化分辨率。转换器的量化分辨率。 当离散信号采样值当离散信号采样值x(n)x(n)的电平落在两个相邻量化电的电平落在两个相邻量化电平之间时，就要舍入到相近的一个量化电平上，平之间时，就要舍入到相近的一个量化电平上，该该量化电平与信号实际电平之间的差值称为量化误差量化电平与信号实际电平之间的差值称为量化误差 (n)(n)。 量化误差的最大值为量化误差的最大值为 (n)(n)maxmax= = ( ( x)/2x)/2 A/DA/D转换器的位数选择：要考虑信号的幅值大小和量转换器的位数选择：要考虑信号的幅值大小和量

17、化精度的要求。化精度的要求。 A/DA/D转换器的转换器的位数越多，量化误差越小，分辨力越高。位数越多，量化误差越小，分辨力越高。但位数增多，转换速率下降。但位数增多，转换速率下降。常用有常用有8 8位、位、1010位、位、1212位、位、1616位等。位等。5.2.3量化和量化误差量化和量化误差返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院4 4位位A/D: XXXXA/D: XXXXX(1) 0101X(2) 0011X(3) 0000X(6) 0101X(7) 0010X(8) 0000X(4) 0001X(5) 01005.2.3量化和

18、量化误差量化和量化误差返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 经时域采样和截断后，其频谱在频域是连续的。若要用数字经时域采样和截断后，其频谱在频域是连续的。若要用数字描述频谱，就必须使频率离散化，实行频域采样。描述频谱，就必须使频率离散化，实行频域采样。 频域采样是在频域中用等间隔周期脉冲序列频域采样是在频域中用等间隔周期脉冲序列S S2 2(f)(f)乘信号的频乘信号的频谱函数（谱函数（图示图示）。）。 这一过程在时域相当于将信号与一周期脉冲序列这一过程在时域相当于将信号与一周期脉冲序列s s2 2(t)(t)做卷积，做卷积，其结果是

19、将时域信号平移至各脉冲坐标位置重新构图，从而其结果是将时域信号平移至各脉冲坐标位置重新构图，从而相当于在时域中将窗内的信号波型在窗外进行相当于在时域中将窗内的信号波型在窗外进行周期延拓。周期延拓。所所以，频谱离散化，已将时域信号改造成周期信号以，频谱离散化，已将时域信号改造成周期信号, ,与原信号与原信号x(t)x(t)是不一样的。是不一样的。5.2.4 频域采样、时域周期延拓和栅栏效应频域采样、时域周期延拓和栅栏效应1. 频域采样频域采样返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院5.2.4 频域采样、时域周期延拓和栅栏效应频域采样、时域周

20、期延拓和栅栏效应频域采样图解过程频域采样图解过程时域周期延拓栅栏效应返回返回ST1f机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 2. 栅栏效应栅栏效应 对函数进行采样，实质就是对函数进行采样，实质就是“摘取摘取”采样点上对采样点上对应应 的函数值。其效果就象透过栅栏的缝隙观看外景的函数值。其效果就象透过栅栏的缝隙观看外景 一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余一样，只有落在缝隙前的少数景象被看到，其余 景象都被栅栏挡住，视为零，这种现象称为景象都被栅栏挡住，视为零，这种现象称为栅栏栅栏 效应效应。5.2.4 频域采样、时域周期延拓和栅栏效应频域

21、采样、时域周期延拓和栅栏效应返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 在在DFT( (Discrete Fourier Transform)中，将频率采样中，将频率采样间隔间隔 f ，也即两条谱线之间的距离称为也即两条谱线之间的距离称为频率分频率分 辨力辨力。 f f 越小越小, ,频率分辨力越高频率分辨力越高, ,被栅栏效应所漏被栅栏效应所漏掉的频率成分便越少。掉的频率成分便越少。 当被分析时域信号的长度当被分析时域信号的长度T T（即窗宽（即窗宽T=NTT=NTs s) )和采样频和采样频率率f fs s(2(2f fm m) )确定

22、后，有确定后，有 f f f fs sN=1/TN=1/T 此时要提高频率分辨力就必须增加数据点数，从而此时要提高频率分辨力就必须增加数据点数，从而使计算机的计算量急剧增加。解决的办法是采用快使计算机的计算量急剧增加。解决的办法是采用快速傅立叶变换（速傅立叶变换（FFTFFT）。）。5.2.5 频率分辨力、整周期截断频率分辨力、整周期截断1.1.频率频率分辨力分辨力返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 在分析简谐信号在分析简谐信号x(t)=cos(2x(t)=cos(2 f f0 0t)t)时，需要了解某时，需要了解某特定频率特定频率

23、f f0 0的谱值，希望的谱值，希望DFTDFT的谱线落在的谱线落在f f0 0上上, ,而单而单纯减小纯减小 f f，并不一定会使谱线落在并不一定会使谱线落在f f0 0上，由上，由DFTDFT的的原理分析知，谱线落在原理分析知，谱线落在f f0 0上的条件为：上的条件为： f0 fn (1,2,) 即即 T=nT0 （ f f f fs sN=1/TN=1/T） 当截断信号的窗宽当截断信号的窗宽T T 等于信号周期的整数倍时，才等于信号周期的整数倍时，才能使分析谱线落在简谐信号的频率能使分析谱线落在简谐信号的频率f f0 0上，获得准确上，获得准确的频谱。的频谱。 2. 2. 整周期截断整

24、周期截断5.2.5 频率分辨力、整周期截断频率分辨力、整周期截断机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院整周期截断图解整周期截断图解5.2.5 频率分辨力、整周期截断频率分辨力、整周期截断机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院非整周期截断图解非整周期截断图解返回返回5.2.5 频率分辨力、整周期截断频率分辨力、整周期截断机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 本节只要内容本节只要内容 5.3.1 随机信号的基本概念随机信号的基本概念 5.3.2 随

25、机信号的主要特征参数随机信号的主要特征参数 5.3.3 两随机变量的相关系数两随机变量的相关系数 5.3.4 信号的自相关函数信号的自相关函数 5.3.5 信号的互相关函数信号的互相关函数5.3 相关分析及应用相关分析及应用返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院确定性信号与随机信号确定性信号与随机信号信号按描述方法可分为信号按描述方法可分为5.3.1 随机信号的基本概念随机信号的基本概念返回返回 在工程测试中所遇到的信号绝大多数是随机信号。在工程测试中所遇到的信号绝大多数是随机信号。 确定性信号仅仅是在一定条件下出现的特殊情况，确定性信

26、号仅仅是在一定条件下出现的特殊情况，或是在忽略某些次要的随机因素后抽象出的模型。或是在忽略某些次要的随机因素后抽象出的模型。 按照信息论的基本原理，只有那些具有随机行为按照信息论的基本原理，只有那些具有随机行为 的信号才能传递信息，所以，随机信号更普遍，更的信号才能传递信息，所以，随机信号更普遍，更重要，研究随机信号具有更普遍的现实意义。重要，研究随机信号具有更普遍的现实意义。 机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院1. 1. 随机信号：随机信号：不能用确定的数学关系式来描述，其不能用确定的数学关系式来描述，其 未来任何瞬时值均不可预知，任何一

27、次观测值只未来任何瞬时值均不可预知，任何一次观测值只 代表在其变动范围中可能产生的结果之一，其值代表在其变动范围中可能产生的结果之一，其值 的变动符合统计规律。这种信号称为随机信号。的变动符合统计规律。这种信号称为随机信号。2. 2. 样本函数：样本函数：对随机信号按时间历程所作的各次长对随机信号按时间历程所作的各次长 时间的观测记录，称为样本函数，记作时间的观测记录，称为样本函数，记作xi(t)。3. 3. 样本记录：样本记录：有限时间区间上的样本函数称为样本有限时间区间上的样本函数称为样本 记录。记录。4. 4. 随机过程：随机过程：在同一试验条件下，全部样本函数的在同一试验条件下，全部样

28、本函数的 集合集合, ,就是随机过程，记作就是随机过程，记作x(t)x(t)。5.3.1 随机信号的基本概念随机信号的基本概念返回返回x(t)=x1(t), x2(t), x3(t), ,xn(t), 机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院5.3.1 随机信号的基本概念随机信号的基本概念x(t)=x1(t), x2(t), x3(t), ,xn(t), 将集合中所有样本函数将集合中所有样本函数对同一时刻对同一时刻ti的观测值的观测值取平均称为取平均称为集合平均集合平均。按单个样本的时按单个样本的时间历程进行平均间历程进行平均的计算称为的计算称为

29、时间时间平均。平均。机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 5. 5. 平稳随机信号：平稳随机信号：是指其统计特征参数不随时间的是指其统计特征参数不随时间的变化而变化的随机信号，否则称为非平稳随机信号。变化而变化的随机信号，否则称为非平稳随机信号。 以均值为例：如果对各子集在同一时间坐标值以均值为例：如果对各子集在同一时间坐标值t t1 1上上取值作平均，取值作平均，则称为集合平均则称为集合平均，即，即 若随机过程的任一时刻所得的集合平均值若随机过程的任一时刻所得的集合平均值都相同都相同, , 则称它为则称它为平稳随机信号平稳随机信号。 。5.

30、3.1 随机信号的基本概念随机信号的基本概念返回返回NiiNtxNxE11)(1limNijiNjtxNtxE1),1,2,(j )(1lim)(机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 6. 6. 各态历经随机信号：各态历经随机信号：在平稳随机信号中，若在平稳随机信号中，若任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程任一单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机信号称为各的集合平均统计特征，这样的平稳随机信号称为各态历经随机信号。态历经随机信号。 以均值为例：以均值为例： x(t)x(t)为平稳随机信号中的一个样

31、本，为平稳随机信号中的一个样本，其时间平均为其时间平均为 若若 则称该随机信号称为各态历经随机信号。则称该随机信号称为各态历经随机信号。)()()(1lim21)(NNtxtxtxtxN)(1lim)(1lim11txNtxNNiiNiNiN5.3.1 随机信号的基本概念随机信号的基本概念机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院5.3.2 随机信号的主要特征参数随机信号的主要特征参数 1. 1. 均值均值 对于一个各态历经信号对于一个各态历经信号x(tx(t) )，其均值，其均值 定义为定义为 均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。均

32、值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。xTTTxdttxtxE01)(lim)( Ex(t) Ex(t)表示集合平均值或数学期望值。表示集合平均值或数学期望值。x(t)x(t)样本函数样本函数T T观测时间观测时间x返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 2. 2. 均方值均方值 是是x x（t t）平方的均值，表征随机信号）平方的均值，表征随机信号x(tx(t) )在在0 0T T时时间内的平均能量，也称平均功率。即间内的平均能量，也称平均功率。即5.3.2 随机信号的主要特征参数随机信号的主要特征参数TTTxdttxtxE

33、02122)(lim)(均方值均方值 的正平方根称为均方根值的正平方根称为均方根值x xrmsrms，又称为，又称为有效值，也是信号平均能量的一种表达。有效值，也是信号平均能量的一种表达。 。ExEx2 2(t)(t)表示表示x x2 2(t)(t)的数学期望的数学期望2x机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 3. 方差方差 是信号是信号x(t)x(t)偏离其均值偏离其均值 的平方的均值。描述随机的平方的均值。描述随机信号波动分量的大小，定义为：信号波动分量的大小，定义为： 5.3.2 随机信号的主要特征参数随机信号的主要特征参数TxTTxd

34、ttxtxEtxE02122)(lim)()(大方差大方差 小方差小方差 方差：反映了信号绕均值的波动程度。方差：反映了信号绕均值的波动程度。 x方差的平方根称为标准差.机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 4.4.方差、均值、均方差之间的关系方差、均值、均方差之间的关系 当当 时，有时，有 实际工程中，常以有限长度的样本函数来估计理论实际工程中，常以有限长度的样本函数来估计理论 特征参数的值。因此，均值、均方值、方差的估计特征参数的值。因此，均值、均方值、方差的估计 值分别为：值分别为： 5.3.2 随机信号的主要特征参数随机信号的主要特征

35、参数222xxx0 x ,22 x rmsxxxTxdttxT0)(1TxdttxT022)(1TxxdttxT022)(1机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 5. 5. 概率密度函数概率密度函数 概率密度函数是指一个随机信号概率密度函数是指一个随机信号x(t)x(t)的瞬时值落在的瞬时值落在指定区间指定区间(x，x+ x)内的概率与内的概率与 x比值的极限值。比值的极限值。 图图1-221-22所示信号，在观察时间长度所示信号，在观察时间长度T T的范围内，随机的范围内，随机信号信号x(t)x(t)的瞬时值落在的瞬时值落在(x,x+(x,

36、x+ x) )区间内的总时间为区间内的总时间为 当样本函数的记录时间当样本函数的记录时间T T时，时，Tx / T的比值就是随的比值就是随机信号机信号x(t)的幅值落在的幅值落在(x,x+(x,x+ x) ) 区间内的概率，即区间内的概率，即 5.3.2 随机信号的主要特征参数随机信号的主要特征参数niinxttttT121TTxxtxxPxTrlim)(机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 于是，概率密度函数于是，概率密度函数p(x)p(x)则定义为则定义为 概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信息，不概率密度函数提供了随机信号幅值分布的信

37、息，不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，因此，同的随机信号有不同的概率密度函数图形，因此，可借此来识别信号的性质。图可借此来识别信号的性质。图1-231-23是四种常见随机是四种常见随机信号的概率密度函数图形（假设信号的均值为零）信号的概率密度函数图形（假设信号的均值为零）。xTTxxxtxxPxpxTxrx/lim)(lim)(005.3.2 随机信号的主要特征参数随机信号的主要特征参数机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院5.3.2 随机信号的主要特征参数随机信号的主要特征参数(a) 正弦信号（初始相角为随机量）(b) 正弦信号加随机噪

38、声( c) 窄带随机信号 (d) 宽带随机信号返回返回四种常见随机信号的概率密度函数图形四种常见随机信号的概率密度函数图形机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院1.1.相关的概念相关的概念5.3.3 两随机变量的相关系数两随机变量的相关系数返回返回 相关是指两变量间的线性依从关系。相关是指两变量间的线性依从关系。 静态测试，相关静态测试，相关表表示示两特征两特征量量数值之间的数值之间的线性依从关系。线性依从关系。 动态测试，相关表示两信号波形之间的线性依从关系。动态测试，相关表示两信号波形之间的线性依从关系。机械工程测试技术机械工程测试技术20

39、22年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 2. 2. 相关系数相关系数5.3.3 两随机变量的相关系数两随机变量的相关系数 评价随机变量评价随机变量x x和和y y之间的线性相关程度，通常是计之间的线性相关程度，通常是计 算两变量的协方差算两变量的协方差 xyxy和相关系数和相关系数 xyxy。 (1) (1) 协方差的定义为：协方差的定义为： 式中：式中：E E数学期望；数学期望； x x=Ex=Ex随机变量随机变量x x的均值；的均值； y y =Ey =Ey 随机变量随机变量y y的均值的均值; ; NiyixiNyxxyyxNyxE1)(1lim)(机械工程测试技术机械工程

40、测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院(2)(2) 随机变量随机变量x x和和y y的相关系数的相关系数 xyxy 定义为：定义为： 由由 x2 =E(x- x )2 y2= E(y- y )2 利用柯西许瓦兹不等式：利用柯西许瓦兹不等式： E(x- x ) (y- y )2 E(x- x )2 E (y- y )2 可知可知 xy 1 。5.3.3 两随机变量的相关系数两随机变量的相关系数yxyxyxxyxyyxE)(返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院1. 1. 自相关函数的定义自相关函数的定义 5.3.

41、4 信号的自相关函数信号的自相关函数 设设x(t)x(t)是某各态历经随机过程的是某各态历经随机过程的 一个样本，一个样本，x(t+x(t+ ) )是是x(t)x(t)时移时移 后的样本，定义两样本后的样本，定义两样本x(t)和和 x(t+ )的相关系数的相关系数 x x( ( ) )为为20)()(1lim)(xTxxTdttxtxTx返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院将分子展开并注意到将分子展开并注意到 ：得得 （5-18）于是，定义各态历经随机信号于是，定义各态历经随机信号x(t)的的自相关函数自相关函数R Rx x( ( )

42、 )为为 （5-19）则则 （5-20）202)()(1lim)(xTxTxdttxtxTxTTxTTdttxTdttxT00)(1lim)(1limTTxdttxtxTR0)()(1lim)(22)()(xxxxR5.3.4 信号的自相关函数信号的自相关函数机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院（1） Rx( )的取值范围的取值范围 因因（2）自相关函数在自相关函数在 0 0时为最大值，并等于该随机信号的均时为最大值，并等于该随机信号的均 方值方值 2 2x x，即，即（3）不含确定性周期成分的纯随机信号不含确定性周期成分的纯随机信号,当当时

43、，随机信号时，随机信号x(tx(t) )和和 x(tx(t+ + ) )之间不相关，故之间不相关，故 2. 2. 自相关函数的性质自相关函数的性质 22)()(xxxxR1)(1x2222)(xxxxxR2020)(1lim)0()(1lim)0(xTTTTxdttxTdttxtxTR 0)(x )(2xxR5.3.4 信号的自相关函数信号的自相关函数机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 （4）自相关函数为偶函数，即自相关函数为偶函数，即 Rx(- )= Rx( ) （5）周期函数的自相关周期函数的自相关 函数仍为同频的周函数仍为同频的周 期

44、函数，其幅值与期函数，其幅值与 原周期信号的幅值原周期信号的幅值 有关，而丢失了原有关，而丢失了原 信号的相位信息。信号的相位信息。5.3.4 信号的自相关函数信号的自相关函数机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 例例5-1 5-1 求正弦函数求正弦函数x(t)=xx(t)=x0 0sin(sin( t+t+ ) )的自相关函数。的自相关函数。初始相角初始相角 为随机变量。为随机变量。 解：自相关函数为解：自相关函数为 T T0 0=2=2 / / , ,正弦函数的周期。正弦函数的周期。 令令 t+t+ = = , 则则 dt=d / , ,

45、于是于是 5.3.4 信号的自相关函数信号的自相关函数dtttxTdttxtxTRTTTx002000)(sin)sin(1 )()(1lim)(cos2 )2cos(21)cos(212 )cos()cos(212 )sin(sin2)(2020202020202020 xddxdxdxRx可见，正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在可见，正弦函数的自相关函数是一个余弦函数，在 o时时具有最大值，但它不随具有最大值，但它不随 的增加而衰减至零。它保留了原正的增加而衰减至零。它保留了原正弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息。弦信号的幅值和频率信息，而丢失了初始相位信息。机械工程测试技术

46、机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院5.3.4 信号的自相关函数信号的自相关函数3. 3. 自相关函数的应用区别信号类型自相关函数的应用区别信号类型 只要信号中含有周只要信号中含有周期成分，其自相关期成分，其自相关函数在函数在 很大时都很大时都不衰减，不衰减，并具有明并具有明显的周期性。显的周期性。不包含周期成分的不包含周期成分的随机信号，当随机信号，当 稍稍大时自相关函数就大时自相关函数就将趋近于零。将趋近于零。窄带随机噪声的自窄带随机噪声的自相关函数有较慢的相关函数有较慢的衰减特性。衰减特性。宽带随机噪声的自宽带随机噪声的自相关函数则很快衰相关函数则很快

47、衰减到零。减到零。返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院1.互相关函数的定义互相关函数的定义 两个各态历经的随机信号两个各态历经的随机信号x(t)x(t)和和y(t)y(t)的互相关函数的互相关函数R Rxyxy( ( ) )定义为定义为 （5-255-25）2.互相关函数的性质互相关函数的性质：（1 1）当当时，时，x(t)x(t)和和y(t)y(t)不相关，即不相关，即 此时此时, ,（2 2）R Rxyxy( ( ) )的取值范围为：的取值范围为：5.3.5 信号的互相关函数信号的互相关函数dttytxTRTTxy0)()(1li

48、m)(yxxyR )(yxyxxyyxyxR)(返回返回0)(xy机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 （3 3）同频相关，不同频不相关。同频相关，不同频不相关。即若即若x(t)x(t)和和y(t)y(t)是同频的周是同频的周期信号或者包含同频的周期成分，则期信号或者包含同频的周期成分，则时，时， R Rxyxy( ( ) )不收敛，不收敛，并会出现该频率的周期成分。若两信号含有频率不等的周期并会出现该频率的周期成分。若两信号含有频率不等的周期成分，则两者不相关。成分，则两者不相关。利用相关滤波消除噪声，提取有用利用相关滤波消除噪声，提取有用

49、信息。信息。 （4 4） R Rxyxy( ( ) )不是偶函数不是偶函数, ,其峰值点不在其峰值点不在 0 0处，其峰值点偏处，其峰值点偏 离原点的位置离原点的位置 0 0 , ,反映了信号反映了信号x(tx(t) )和和y(t) y(t) 之间有之间有 0 0时移时时移时, ,其相关性最高。其相关性最高。5.3.5 信号的互相关函数信号的互相关函数机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 例例5-2 设有两个周期信号设有两个周期信号 x(t)=x0sin( t+ ), y(t)=y0sin( t+ - ) x(t) 的初始相位角的初始相位角

50、求：互相关函数求：互相关函数Rxy( ) 解：因信号是周期函数，可用一个共同周期内的平均值代替解：因信号是周期函数，可用一个共同周期内的平均值代替 其整个历程的平均值，故其整个历程的平均值，故 式中：式中： T T0 0=2=2 / / 令令 t+t+ = = , 则则 dt=d / , , 于是于是 5.3.5 信号的互相关函数信号的互相关函数000000)(sin)sin(1)()(1lim)(TTTxydttytxTdttytxTR)cos(21)2cos()(cos212)(002000yxdyxRxy机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工

51、学院光电随机信号x(t)和y(t) 因来自带钢上的同一轨迹而基本相同,但有一时差 0。信号x(t)经磁带记录仪磁头变为x(t+)。信号x(t+ )与y(t)被输入相关器作相关运算，得Rxy()曲线如图示。控制装置C根据输出曲线峰值位置来控制电机M的转向。改变两磁头间的距离L1，亦即改变信号的延时，直至 0 值稳定为止。带钢的运动速度为v=L/ 03. 3. 互相关函数的应用带钢运动速度测量互相关函数的应用带钢运动速度测量 5.3.5 信号的互相关函数信号的互相关函数返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 本节主要内容：本节主要内容： 5

52、.4.1 自功率谱密度函数自功率谱密度函数 5.4.2 互功率谱密度函数互功率谱密度函数 5.4.3 功率谱的应用功率谱的应用5.4 功率谱分析及应用功率谱分析及应用返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 1. 1. 定义及物理意义定义及物理意义 设设x(t)x(t)为一零均值随机过程，且为一零均值随机过程，且x(t)中无周期性分量，其自相中无周期性分量，其自相关函数关函数R Rx x( ( ) )当当时有：时有：R Rx x( ( ) )0 0 于是，该自相关函数于是，该自相关函数R Rx x( ( ) )满足博里叶变换的条件满足博里

53、叶变换的条件 ，对，对R Rx x( ( ) )作傅立叶变换，可得作傅立叶变换，可得 （5-345-34） 其逆变换为其逆变换为 （5-355-35） 称称Sx(f)为为x(t)的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。的自功率谱密度函数，简称自谱或自功率谱。 5.4.1 自功率谱密度函数自功率谱密度函数dRx| )(|deRfSfjxx2)()(dfefSRfjxx2)()(返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院5.4.1 自功率谱密度函数自功率谱密度函数 Sx(f)和和 Rx( )之间是傅立叶变换对的关系，即之间是傅立叶变换对的关系，

54、即 由于由于R Rx x( ( ) )是实偶函数，所以是实偶函数，所以S Sx x(f)(f)也是实偶函数，因此常用也是实偶函数，因此常用f=(0f=(0 ) )范围内的范围内的G Gx x(f)=2S(f)=2Sx x(f)(f)来表示信号的全部功率谱，并来表示信号的全部功率谱，并称称G Gx x(f(f) )为为信号信号x(t)x(t)的单边功率谱（图示）。的单边功率谱（图示）。)()(fSRxFTIFTx返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院 若若 0 0，根据，根据R Rx x( ( ) )和和S Sx x(f)(f)的定义，可

55、得：的定义，可得： （5-365-36） 由此可见，由此可见， S Sx x(f)(f)曲线下和频率轴所包围的面积即为信号的曲线下和频率轴所包围的面积即为信号的平均功率，平均功率， S Sx x(f)(f)就是信号的功率密度沿频率轴的分布，故就是信号的功率密度沿频率轴的分布，故称称S Sx x(f) (f) 为自功率谱密度函数。为自功率谱密度函数。5.4.1 自功率谱密度函数自功率谱密度函数dffSdttxTRxTT)()(1lim)0(02返回返回机械工程测试技术机械工程测试技术2022年2月21日22时16分 哈尔滨商业大学轻工学院2. 2. 巴塞伐尔巴塞伐尔( (Parseval) )定理定理 在时域中计算的信号总能量，等于在频域中计算的信号总能在时域中计算的信号总