运筹学教案第8章存贮论

1、第 8 章 存贮论第 8 章存 贮 论要使企业的生产或商店的销售能顺利进行，工商企业总需要一定数量的原材料或商品.，若过量库存不但积压了资金，而且会使仓库保管的费用增加. 反之，若存量不足，又会影响生产或失去销售机会而造成损失. 因此，就要对库存量进行合理性探讨. 存贮论就是研究如何进行合理存贮，使费用最省的一门学科，它是运筹学的一个分支.存贮模型可分为确定型模型和随机型模型两类. 前者模型中的数据都是确定的，而后者模型中含有随量.8.1 存贮问题的基本概念8.1.1 费用的有关概念在存贮论中，常常以费用标准来评价库存策略的优劣. 通常考虑的费缺货费等. 在实际计算时，常用用项目有：存贮费、订

2、货费 、生产时间平均总费用来衡量的.与属性大致如下：一个存贮周期内的各项费用的（一）保管费指保存物资所需费用，包含：（1） 资本成本库存物资占用资金的利息.（2） 保险费 库存物资的保险金.（3） 仓库保管费仓租，仓库设施维修、折旧，管理员工资等.（4） 损耗费 过程中货物降价、陈旧、损耗、变质所造成的损第 8 章 存贮论失.而言，存贮费与存贮量和存贮时间成正比.（二）订货费货物从订货到入库过程的费用. 订货订货手续购置费.（1） 订货手续费：从订购货物时支付的与订货量无关的固定费用. 如通讯联络费与旅差费等，它是与订货量无关的.（2） 购置费：货物的价格、运费、过程的损耗等. 它与订货量、运

3、输的距离有关.（三）生产费自行生产所需库存物资的费用，由固定成本与可变成本. 前者与产量无关，后者则与产量成正比.（四）缺货费因库存物资供不应求而造成的损失.：（1）（2）（3）因停工待料中断生产而造成的损失；因失去销售机会所造成的利润损失；因无法履行供货合同而被罚的损失.8.1.2 存贮模型的参数在下面的存贮模型中，常用到这些符号：a b c ep每批订货手续费（或生产固定成本）时间内货物的保管费（称为保管费系数）时间内货物的缺货费（称为缺货费系数）货物的购置费（或生产可变成本）时间内货物补充量Q 每次订货量（批量）第 8 章 存贮论t 订货周期（或生产周期）u 时间对库存货物的需求量y 库

4、存变量;8.1.3 存贮策略C总费用; C 平均费用存贮策略是指确定何时对存贮物资作补充，补充的数量为多少. 比较常见的存贮策略有：(1)t 循环策略.总是每隔一个周期 t, 补充一个固定的批量 Q.(2)（t，S）策略. 每隔一个周期 t，补充一次,补充数量为以达到最大存贮量 S 为准.因此, 若当时的存贮量为I 时,补充数量为 Q=S-I.(3)(s，S)策略. 设每期初检查存贮量，当时的存贮量为 I，若 I>s, 就使补充后存不补充存贮量，若 Is,则对存贮进行补充,补充数量 Q=S-I.贮量达到最大存贮量 S. s 称为订货点(或贮量).8.2 确定型存贮模型8.2.1 不缺货的

5、订货批量模型（模型一）1 模型的假设（1）（2）（3）（4）（5）每隔 t时间订货一次，t 称为订货周期；每次订货批量相同；拖后时间（从订货到进货之间的时间）相同量是时间的线性递减函数（即 u 为量降至 0 时，货物立刻得到补足（不）当缺货）第 8 章 存贮论存贮状态图如图 8-1 所示.yy=Q-uxQOt订货周期时间 x图 8.-12 模型的建立由于存贮量的变化是周期性的，故只需个周期的情况. 在时间0，t 范围内，库存量与时间的为y = Q - ux,(0 £ x £ t)其最大值是 Q, 最小值是 0，显然，平均库存量为 Q/2. 而保管费系数为b, 故保管费= b

6、 Q t = 1 bQt ， 订货费=a+eQ22而在此模型中，不许出现缺货，因此没有缺货费. 即总费用C = 1 bQt + a + eQ2显然当 Q = t = 0 时总费用最小，但不能满足需求，故总费用函数不宜作目标函数. 从而，目标设为0，t内平均C = 1 bQ + eQ + a时间费用最小，即希望2tt达到最小. 为了满足需求，订货批量应与周期成正比，且比例系数为u，即模型：第 8 章 存贮论min C = 1 bQ + eQ + a2ttìQ = ut（8-1）s.t.íîQ > 0, t > 0模型（8.2.1）中 Q 与 t 是变量，

7、其余是已知. 此模型常称为EOQ模型(Economic Ordering Qu3 模型的解ty)把 t=Q / u 代入 C，化作关于 Q 的一元函数C = 1 bQ + eu + au,（Q>0） (8-2)2这是第一象限的双曲函数.Qd 2C2audC = b - au=> 0,Q2dQ2Q3dQ2dCdQ令= 0 得最优进货批量为2au=Q*，（8-3）b从而 最优进货周期Q* uC *2abu ，t =*（8-4）=2abu + eu模型（8.2.1）的最优值为2au=即Q*公式 （8.2.3）,称为EOQ 公式，是由学家 Harrisb在 1915 年导出的.货物的购置费

8、 e 并不影响模型（8.2.1）最优解. 使用公式（8.2.3）和（8.2.4）时，要注意各参数所用到计量要一致.第 8 章 存贮论例 8-1 某厂每年需某种原料 1000 吨，每次采购该种原料的手续费是 3125 元，每年每吨保管费 100 元. 不批量与最优订货周期.缺货，试求该厂的最优订货解 以年度为时间，已知a = 3125, b = 100,u = 1000由公式（8-3）与（8-4）得2´ 3125´1000Q*2au2501Q = 250 （吨）， t =*（年）b100u10004即该厂对该种原料应每季订货一次，每次批量为 250 吨最佳.8.2.2缺货的订

9、货批量模型（模型二）在一定条件下，可以出现缺货现象，待进货后立即进行补偿. 在一个周期内，出现缺货时，因为库存量为零，故保管费为零，但要付出缺货费. 显然，当缺货量太大时是不合算的，从而要作综合考虑.1模型的假设（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）每隔 t时间订货一次每次订货批量相同拖后时间（从订货到进货之间的时间）相同量是关于时间线形递减的函数（即 u 为Q1最大库存量； Qs最大缺货量； t1库存量降为零的时刻.当库存量降至最大限度 Qs 时，库存物资立刻可以得到补足）第 8 章存贮论存贮状态图如图 8-2 所示.yQ1库 存量xOt1tQs图 8-2在此模型中，Q=Q1+Qs

10、；在0，t1时，要支付保管费；在t1，t不用支付保管费，但要付出缺货费.时，2模型的建立（1）目标函数：12tQt1Q111=平均量在0，t 上，t2t1 Q2(t - t )= Qs (t - t1 )s1平均缺货量 =t2t量´t = bQ1t1 / 2保管费= b´平均缺货费 = c ´平均缺货量´ t = cQ (t - t ) / 2 = 1 c(Q - Q )(t - t )s1112订货费 = a + eQ在0，t 上平均时间的费用为：第 8 章 存贮论C = bQ1t1 + c(Q - Q1 )(t - 2t2t（2）约束条件：为保证需求

11、，则要Q=ut，Q1=ut1，Q>0，t>0，Q10，t10（3）模型：+ c(Q - Qmin C = bQ1t12tìQ = ut, Q1 = ut1,(8-6)s.t.íîQ > 0, t > 0, Q1 ³ 0,模型中 a，Q1，t，t1 为变量，其余为已知.3模型的解Q t = Q , t= Q1，将其代入(8-6)的目标函数可得二元函数1uubQ2c(Q - Q )2auQC =1 +1+ eu2Q2Q如图 8-3 所示.340033003200150令¶C= 0, ¶C= 0 ，可解得最优解为：图

12、 8-3¶Q¶Q12au(b + c) ,2a=Q*t*(8-7)，bc2acucQ*=,(8-8)1b(b + c)b + c第 8 章 存贮论2abcu + eu ,*C=(8-9)最优值为b + cb2abu最大缺货量：Q* = Q* - Q* =Q*=,(8-10)s1b + cc(b + c)b + c ®1，c注意，在(8-7)、(8-8)、(8-9)、(8-10)中，当 C +时®1,b + cc从而得2au ,2au®®Q*Q*1bb2a , bu2a , but*®t*®Q*= Q* - Q* &

13、#174; 01s1这是不缺货情形的结果，即它是本模型的特例.例 8-2 在例 8-1 中，缺货，缺货费系数为每年每吨 500 元.试求该厂的最优订货批量与最优订货周期.解 以年度为时间，已知a = 3125, b = 100, u = 1000，c = 500 ,由公式（8-3）与（8-4）得2au(b + c)2´ 3125´1000´ (100 + 500)Q* = 612.37 （吨），100´ 500bcQ* u*500´ 612.37612.37ct = 0.612*=Q*= 510.31 （吨），（年）， Q1b + c100 +

14、 5001000Q= 510.31 =Q*= Q* - Q* = 612.37 - 510.31 = 102.06t1 =* 1 0.51（年），（吨）1u1000s8.2.3 不缺货的生产批量模型（模型三）当库存物资是本企业自产的时候，补充过程就可逐渐地进行. 在一周期内，前 t1时间生产批量 Q 的库存物资.第 8 章 存贮论1假设时间产量为 p（1）库存货物是自产的，（2）（3）（4）生产过程是周期性分批进行的，周期为 t，批量 Q 是.需求系数 u 是，且 p>u当库存量降到 0 时，立即投入生产，每时间所生产的货物先满足需求，剩余的入库，当该批量 Q 完成后，又暂停生产.y(p

15、-u)t1t1Ot2tx图 8-4此模型的存贮状态如图 8-4 所示. 在一周期内的前 t1时间内，库存量以速率 p-u 递增，而在后 t-t1时间内则以速率 u 递减.2模型的建立（1）目标函数在0，t 内平均库存量y = 1 ( p - u )t12保管费= b ´ 1 ( p - u)t t = b ( p - u)t t112生产成本 = a + eQ2总费用= b ( p - u )t t + a + eQ12y=(p-u)xy=u(t-x)第 8 章 存贮论+ a + eQ时间费用C = b ( p - u)t平均12t（2）约束条件每个周期的生产批量 Q = 一个周期的

16、总需求量 = u t= 0，t1 的总产量 = pt1 Q = u t = p t1，Q > 0，t > 0，t1 >0（3）模型+ a + eQmin C = b ( p - u)t12t(8-11)ìQ = ut = pt1，s.t.íîQ > 0, t > 0, t1 > 03 模型的解把 t = Q / u 与 t1 = Q / p 代入 (8-11)的目标函数，可化为一元函数C = b Q(1- u ) + au + eu,(Q > 0) ，(8-12)2pQd 2CdC = buau2au(1-) -,=>

17、; 0Q2dQ2Q3dQ2pdC由此，令= 0 可解得最优解为dQQ*u2ap2aupQ*p2aut =*Q*=t *=，,(8-13)bu( p - u)b( p - u)1bp( p - u )2abu(1- u ) + eu ,*C=(8-14)最优值p例 8-3某企业每天可生产某种电器元件 7000 只,生产的固定成本为1000 元,一年中该厂对该种电器元件的需求量为 720000 只,每只电器元件第 8 章 存贮论的每年保管费为 14 元.一年以 360 天计算,试求最佳生产批量.解 统一以天为时间，已知p=7000, a=1000, u=720000/360=2000,b=14/3

18、60=7/180,则2´1000´ 2000´ 70002aup= 12000Q*b( p - u)(7000 - 2000) ´ 7 /180最佳生产批量是每批生产 12000 只电器元件.8.2.4 有价格的 EOQ 模型（模型四）在以上的三个模型中，都单价 e 是，最佳批量与最佳周期都与单价 e 无关. 但在实际上，我们常常看到一种商品的单价可随购买量而变化.情况.规律是购买量越大，单价就越低. 这就是所谓的有价格的设当购买批量达到某数 Q0 时，卖方给买方一定的价格，此时，单价 e 是 Q 的阶梯函数. 为讨论方便，我们仅考虑最简单的情况.设0

19、< Q < Q0e(Q) = ìe,í pe, Q ³ Qî率.0其中，0 <p < 1 称为价格此时，模型一的(8-2)C = 1 bQ + eu + au,（Q>0）2Q化为第 8 章 存贮论ìbQ + eu + au ,0 < Q < Q0ï2QC = í，(8-15)bQauïïî + peu +, Q ³ Q02Q从图形上看，(8-15)式是把(8-2)相应的双曲线在 Q0 处割为两段，且把右半段往下移(1-p)eu. 见图 8-5.

20、分段函数的最小值可通过比较每段内的最小值而求得， 驻点仍Q*=2au b .时， C 在间断点 Q0当价格有处的左极限大于右极限，从而不外有下列三种情况，见图 8-5.CCCoooQ*Q0Q*Q0Q*QQQ0Q(a)(b)(c)图 8-51） Q £ Q 且C(Q ) ³ C(Q ) ，此时最优解为Q = Q ,t = Qu ,C(Q ) 为最优值.（*00000（2） Q £ Q 且C(Q ) < C(Q ) ，此时最优解为Q = Q , t = Q u ,C(Q*) 为最优值.*00（3）Q > Q ,此时必定C(Q ) < C(Q ) ,此

21、时最优解为Q = Q , t = Q u ,C(Q*) 为最优值.*00可见最优解在驻点或间断点处达到最值.地，对于模型四，只需比较驻点与间断点的C 值就可以确定C的最小值，即使有多个间断点亦然.例 8-4在例 8-1 中，a=3125，b=100，u=1000，再设第 8 章 存贮论ì80,0 £ Q < 200e(Q) = ï 8,200 £ Q < 3007íï76, 300 £ Qî试求最佳订货批量和最佳订货周期.=2au b = 250 ，解：驻点Q*C(Q*) = C(250) = 100&

22、#180; 250 + 78´1000 + 3125´1000 = 1030002250间断点 Q1=200，Q2=300，C(Q1) = C(200) =103625 ,因 此 ， 最 佳 订 货 批 量C(Q2 ) = C(300) =101417 ,Q=300( 吨 ) ， 最 佳 订 货 周 期t=300/1000=0.3(年).最低平均费用为C(300) = 101417 (元).参见图 8-6.C200250300Q图 8-68.3 随机型存贮模型在第 7，例 7-5 的需求量是随量，每天（周期）订货一次，这类问题称为单周期随机需求问题. 在实践中大量，如报纸、

23、书刊、的订货问题.服装、食品等时令性有时订货不是每周期订货一次的，而是多个周期才订货一次，这就是第 8 章 存贮论多周期订货问题. 随机性需求的（s，S）存贮策略就属于这种情形.现在考虑随机性需求的（s，S）存贮策略（模型五）.这里 s 与 S 分别表示库存量的下限和上限. 假设整个供需过程是分为若干个周期进行的，设周期初存贮量为 I, (s，S)策略是：若 I>s, 就不补充存贮量，若 Is,则对存贮进行补充,补充数量 Q=S-I. 使补充后存贮量达到最大存贮量 S. s 称为订货点(或贮量). 设每周期需求量 u 是随量，保管费、缺货费按期末量计算.确定参数 S 与 s 等价于解决以

24、下问题：（1）某周期订货时，至多应把库存量提高到什么水平，才使总费用期望值最小；（2）对各周期而言，库存量至多下降至什么水平，仍是不订货比订货合算？1当需求量 u 是离散型分布时的情况设 u 的取值分别是0 £ i1 < i2 << im ，概率分布为P(u = ik ) = pk(k = 1,2,.,m) ，以下用边际分析来确定 s 与 S.设订货量为 Q，拖后时间为 0，进货后的库存量为 y=Q+I（1） 确定 S 的以一个周期的情况来分析.(u) = ìb( y - u),u £ yu > y本周期保管费gíyî0

25、,u £ yu > y( u ) = ì0,本周期缺货费híyîc( u - y ),本周期费用为 f y (u) = a + eQ + gy (u) + hy (u) ,期望值为Ef y (u) = a + eQ + Eg y (u) + Ehy (u)记Ey = Efy (u) = a + e( y - I ) + åb( y - ik ) pk + åc(ik - y) pk ,(8-16)ik £ yik > y第 8 章存贮论Ey 的特性如图 8-7 所示.我们要求 y 使 Ey 达最小，而 y 必在i

26、1 ,.,im 的某点上使得 Ey 达到最小， 故只需比较各Ei 的值.k若 y = in时Ei 达到最小，nEy则Ei- Ein+1n³ 0,Ein- Ein-1£ 0yi1im图 8-7由(8-16)式不难推出nå kå k,- Ei = ( in+1 - in )( e + bp - cp ) ³ 0Ein+1(8-17)k £nk >n若记qn = å pk ，则因in+1 > in ，故有k £n ³ c - ee + bq - c(1 - q ) ³ 0 Þ q

27、nnnc + b£ c - e同理， e + bq- c(1- q) £ 0 Þ qn-1n-1n-1c + b若记r = c - e ，则当c + b£ r £ qnqn-1(8-18)时， y = in使Ei 达到最小.n可取此值作库存量上限S = in ，订货批量 Q=S-I.（2）确定 s 的当库存量下降时，某周期不订货可以减少订货费支出，但若降得太多，又会使缺货费增加. 那么，至多降至什么水平，不订货仍是合算的呢？设 y 表示周期初的库存量. 若某周期不订货，则这周期总费用的期望值为：第 8 章 存贮论åb( y - ik

28、) pk + åc( ik - y )pk ,(8-19)ik £ yik > y若某周期初订货,订货量为 S - y 时，即库存量提高到 S，这周期总存贮费用期望值为：a + e( S - y ) + åb( S - ik ) pk + åc( ik - S )pk,(8-20)ik £Sik >S显然，当(8-19)的值小于(8-20)的值时，这周期不订货比订货合算. 故s 应是使下式成立的最小 y 值：åb( y - ik ) pk + åc( ik - y )pk + ey £ a + eS +

29、 åb( S - ik ) pk + åc( ik - S )pk, (8-21)ik £ yik > yik £Sik >S此不等式必有解，例如 y=S 就可满足式(8-21).当 S 给定后,式(8-21)J(y)的图的右端是一个，记为 w. 同时，把式(8-21)的左边记为 J(y).形与图 8-7 类似. 则(8-21)简写为J ( y) £ w从而确定 s 的步骤是:(8-22)，从小到大分别取i1 , i2 , i3 ,的按式(8-18)求出 S; 求出 w; 对 y值，分别计算出 J (i1 ), J (i2 ), J

30、 (im ) ，第一个小于 w 者,此 y 的值即为 s.例 8-5 设某百货公司出售某种商品月销量 u 服从离散分布:每次订货手续费为 1000 元，每件商品订购单价为 200 元，每件商品每月的存贮费为 20 元，缺货费系数为 600 元. 请确定（s, S）策略.解 a=1000,b=20,c=600,e=200. r = c - e = 600 - 200 = 0.645 ,此数介于前三个概c + b600 + 20率的累计与前四个概率的累计之间，故 S=130.销量100110120130140150概率0.10.20.30.20.10.1第 8 章 存贮论w = 1000 + 20

31、0´130 + 20(3 + 4 + 3) + 600(1+ 2) = 29000J (100) = 600(2 + 6 + 6 + 4 + 5) + 200´100 = 33800 > wJ (110) = 20´ 2 + 600(3 + 4 + 3 + 4) + 200´110 = 30440 > w J (120) = 20(2 + 2) + 600(2 + 2 + 3) + 200 ´120 = 28280 < w可知，s=120,即（s, S）策略为（120,130）.2. 当需求量 u 为连续型分布的情况此时，设时间需求量 u 的密度函数p(u) = ì f (u), u > 0í0,u £ 0î其分布函数为ìuF (u) = ïò f (x)dx, u > 0í 0ï0,u £ 0î若库存量达到 S，则本周期总费用的期望值为¥SC(S ) = a + e(S - I ) + òb(S - u) f (u)du + ò c(u - S ) f (u)du0S