三重积分的计算方法与例题

1、三重积分的计算方法：三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分(一重积分)和一个二重积分。从顺序看：Z2如果先做定积分f(x,y,z)dz,再做二重积分F(x,y)d，就是“投ziD影法”，也即“先一后二”。步骤为：找及在xoy面投影域D。多D上一点(x,y)“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步(定积分)；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完Z2成"后二”这一步。f(x,y,z)dvf(x,y,z)dzdDziC2如果先做二重积分f(x,y,z)d再做定积分F(z)dz,就是“截面Dzci法”，也即“先二后一”。步骤为：确定位于平面zCi与zC

2、2之间，即zci,C2,过z作平行于xoy面的平面截，截面Dz。区域Dz的边界曲面都是z的函数。计算区域Dz上的二重积分f(x,y,z)d,完成DzC2了“先二”这一步(二重积分)；进而计算定积分F(z)dz,完成“后CiC2一”这一步。f(x,y,z)dvf(x,y,z)ddzCiDz当被积函数f(z)仅为z的函数(与x,y无关)，且Dz的面积(z)容易求出时，“截面法”尤为方便。为了简化积分的计算，还有如何选择适当的坐标系计算的问题。可以按以下几点考虑：将积分区域投影到xoy面，得投影区域D(平面)(1) D是X型或Y型，可选择直角坐标系计算(当的边界曲面中有较多的平面时，常用直角坐标系计

3、算)(2) D是圆域(或其部分)，且被积函数形如f(x2y2),fd)时,x可选择柱面坐标系计算(当为圆柱体或圆锥体时，常用柱面坐标计算)(3) 是球体或球顶锥体，且被积函数形如f(x2y2z2)时，可选择球面坐标系计算以上是一般常见的三重积分的计算方法。对向其它坐标面投影或不易作出的情形不赘述。三重积分的计算方法小结：1 .对三重积分，采用“投影法”还是“截面法”，要视积分域及被积函数f(x,y,z)的情况选取。一般地，投影法(先一后二)：较直观易掌握；截面法(先二后一)：Dz是在z处的截面，其边界曲线方程易写错，故较难一些。特殊地，对Dz积分时，f(x,y,z)与x,y无关，可直接计算Sd

4、z。因而中只要za,b,且f(x,y,z)仅含z时，选取“截面法”更佳。2 .对坐标系的选取，当为柱体，锥体，或由柱面，锥面，旋转抛物面与其它曲面所围成的形体；被积函数为仅含z或zf(x2y2)时，可考虑用柱面坐标计算。三重积分的计算方法例题：补例1:计算三重积分Izdxdydz,其中为平面xyz1与三个坐标面x0,y0,z0围成的闭区域。解1“投影法”1.画出及在xoy面投影域D.2.“穿线”0z1xyWord资料zdxdydzdy0dx00zdz3.计算1xdx02(1D:y)2dy1122-(1x)2y(1x)y22013114y03xdx1(160x)3dx6x14114x0124解2

5、“截面法”1.画出。2.0,1过点z作垂直于z轴的平面截得Dz。Dz是两直角边为x,y的直角三角形，x1z,y1z3.计算zdxdydz补例2:计算/1xz(2xy)dz1z2(10jydv,其中是x21.画出及在xoy面投影域D.1zdxdydzzdxdydz0Dz1zSDzdz0z)(1z)dz-1(z2z22。31z)dz24z2和z=1围成的闭区域。2y2消去z,y21即D:y212.“穿线”Jx2y21,WordX型D：.2；222.1xy.1x1x12'2.1xy1x一22一xyz13.计算 11 x1x2 y2dvdx dyx2 y2dz11 x2x2 y211 x2 d

6、x x2 y2(1 x2 y2)dy -1?v6注：可用柱坐标计算解2“截面法”1.画出。2.z0,1过点z作垂直于z轴的平面截得Dz：x2y2z22rz02:0rz0z1112y2dvx2y2dxdydzd0Dz00213,z,23,rdrdz2-r0dz一zdz003306补例3:化二重积分If(x,y,z)dxdydz为三次积分，其中zx22y2及z2x2所围成的闭区域解：1.画出及在xoy面上的投影域D.zx22y2由z2x2消去z,得x2即D:x2y212.“穿线”2y2X型D:,1.1,1x2x22y22x2x3.计算If(x,y,z)dxdydz1/1x2dxdy11x22x2x

7、2f(x,y,z)dz2y2注：当f(x,y,z)为已知的解析式时可用柱坐标计算补例4:计算zdv,其中为z6x2y2及zx2y2所围成的闭区域。1.画出及在xoy面投影域D,用柱坐标计算2.解zdvD06r2“穿线”r(62)2解2“截面法”rcosrsin化的边界曲面方程为:z=6-r2,z=rzdzrdrdrdr1.画出2.D:2rdr0zdzriz262rdr(36r13r20如图：由zz0,60,22,6)dr923r2及zr围成。Word资用0Dz : r zi由z=r与z=2围成；z0,2,Word资料2由z=2与z=6r2围成;z2,6,Dz：rV6z3.计算zdv=zdvzd

8、vzSDzidz0zSDz2dz2z0zDrdrddz6zrdrddz2Dz22(z2)dz6z(.6z)2dz2z3dz(6z2z2)dz923注：被积函数z是柱坐标中的第三个变量，不能用第二个坐标r代换补例5:计算（x2y2）dv,其中由不等式0a&7/A,z0所x解：用球坐标计算。由y确定cossinsinsin得的边界曲面的球坐标方程：azcos2P ，连结OP=，其与z轴正向的夹角为 ，OP=P在xoy面的投影为P ,连结OP ,其与x轴正向的 夹角为。: a A, 0 一 , 022(x22 yy )dv2 A22d ( sin0 a、2) sin d=2. 3 sin1 551Aza d-22/a55、.3,255、2/4-55、=V(Aa)sind-(Aa)二1(Aa)505315三重积分的计算方法