选修4-4坐标系与参数方程学案

1、§极坐标系（ 1）学习目的： 1、理解极坐标的概念；2、能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系 中刻画点的位置的区别；学习重点： 理解极坐标的意义学习难点： 能够在极坐标系中用极坐标确定点位置 学习过程：一、新知导入：情境 1：军舰巡逻在海面上，发现前方有一群水雷，如何确定它们的位置以便将它们引爆情境 2：如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。他向东偏 60o 方向走 120m后到达什么位置该位置惟一 确定吗如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述问题 1：为了简便地表示上述问题中点的位置，应创建怎 样的坐标系呢问题 2：如何刻画这些点的位

2、置二、建构数学：1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点 O ，自点 O 引一条射线 OX ，同时确定一个单位长度和计算角度 的正方向（通常取逆时针方向为正方向） ，这样就建立了一个 极坐标系。（其中 O称为 ，射线 OX 称为 。）2、极坐标系内一点的极坐标的规定3、负极径的规定一 般 地 ， 如 果 （ , ） 是 点 M 的 极 坐 标 ， 那 么 点 M 也 可 表 成： 。三、例题讲解例 1： 写出下图中各点的极坐标思考： 平面上一点的极坐标是否唯一 若不唯一，那有多少种表示方法 坐标不唯一是怎么引起的变式训练在上面的极坐标系里描出下列各点A (3, 0), B (6, 2 例 2：在

3、极坐标系中，), C (3,2 ), D (5,),E (3, 5),F (4,5已知两点 P(5, ),Q(1, )，求线段 PQ 的长度；44已知 M 的极坐标为 ( , ) 且3R，说明满足上述条件的点M 所组成的图形。变式训练：若 A, B两点的极坐标为 ( 1, 1),( 2, 2)求 AB的长以及AOB 的面积。( O 为极点)例 3 已知 P( , )，分别按下列条件求出点 P 的极坐标。 P 是点 Q 关于极点 O 的对称点； P 是点 Q 关于直线的对称点；2 P是点 Q 关于极轴的对称点。变式训练：在极坐标系中，与点 ( 8, ) 关于极点对称的点的一个坐标是6四、布置作业

4、 P163，5 ，10 不同的极坐标是否可以写出统一表达式§极坐标系（ 2） 学习目的： 掌握极坐标和直角坐标的互化关系式 学习重点： 对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解 学习难点： 互化关系式的掌握 学习过程：一、新知引入： 1、怎样建立极坐标系极径和极角的几何意义是什么情境 1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便情境 2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题 1：如何进行极坐标与直角坐标的互化问题 2：平面内的一个点的直角坐标是（1, 3） ，这个点如何用极坐标表示、建构数学注： 1、上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2、通常情况下，

5、将点的直角坐标化为极坐标时，取0,0 23、互化公式的三个前提条件（ 1 ）极点与直角坐标系的原点重合 ;（2 ）极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合 ;（ 3 ）两种坐标系的单位长度相同。三、例题讲解例 1、把下列点的极坐标化为直角坐标：27（1） M （8, ） ;（2） N 6,34例 2、把下列点的直角坐标化成极坐标：(1) P( 6, 2) ; (2)Q( 6, 2);(3)R( 2, 2)例 3、若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴 ,建立直角坐标系 .5(1) 已知 A 的极坐标 (4, ), 求它的直角坐标；3(2) 已 知 点 B 和 点 C 的 直 角 坐 标 为 ( 2

6、,2) 和 (0, 15) ， 求 它 们 的 极 坐 标 .(3)在极坐标系中( 0,0 2 ),已知 A(2, 6 ), B(2, 6), 求 A,B 两点的距离2例 4、在极坐标系中 , 已知两点 A(6, ), B(6, ) 。求 A,B 中点的极坐标 63四、布置作业课本 P17 6, 7, 8， 11§曲线的极坐标方程的意义学习目的 ：1、掌握极坐标方程的意义2、能在极坐标中给出简单图形的极坐标方程学习重、难点 ：掌握极坐标方程的意义学习过程：一、新知导入：1、引例：以极点 O为圆心， 5为半径的圆上任意一点极径为 5，反过来，极径为 5 的点都 在这个圆上。因此，以极点

7、为圆心， 5 为半径的圆可以用方程 5 来表示。2、提问：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗二、新知学习：1、定义：一般地，如果一条曲线上任意一点都有 极坐标适合方程 f ( , ) 0 ,且极 坐标适合方程 f( , ) 0的点在曲线上， 那么这个方程称为这条 曲线的极坐标方 程 ，这条曲线称为这个 极坐标方程的曲线。2、求曲线的极坐标方程的步骤：第一步 建立适当的极坐标系；第二步 在曲线上任取一点 P ( , );第三步 根据曲线上的点所满足的条件写出等式；第四步 用极坐标 , 表示上述等式，并化简得极坐标方程；第五步 证明所得的方程是曲线的极坐标方程。三、新知运用：例 1求经过点 A(3,

8、0)且与极轴垂直的直线 l 的极坐标方程。变式训练：已知点 P的极坐标为 (1, ) ，那么过点 P且垂直于极轴的直线极坐标方程。例 2求圆心在 A(3,0) 且过极点的圆 A的极坐标方程。变式训练：求圆心在A(3, ) 且过极点的圆 A 的极坐标方程。例 3( 1)化在直角坐标方程 x2 y2 8y 0 为极坐标方程，2)化极坐标方程6 cos() 为直角坐标方程。四、课堂作业 ：课本第 32 页 4、5 题。§常见曲线的极坐标方程学习目标： 1、了解掌握极坐标系中直线和圆的方程2、巩固求曲线方程的方法和步骤 学习重点： 求直线与圆的极坐标方程 学习过程：一、 新知导入：情境 1

9、：3cos 3 , 5, sin 2,分别表示什么曲线4情境 2 ：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什 么二、新知学习：1、若直线 l经过 M( 0, 0)，且直线 l的倾斜角为 ，求直线 l的极坐标方程。运用此结果 可以推出哪些特殊位置的直线的极坐标方程。2、若圆心的坐标为 M( 0, 0) ，圆的半径为 r ，求圆的极坐标方程。运用此结果可以推出 哪些特殊位置的圆的极坐标方程。二、 新知运用：例1、 按下列条件写出直线的极坐标方程：(1) 经过极点和点 C(3, ) 的直线；62) 经过点 B(4, ) ，且垂直于极轴的直线；3) 经过点 C(8, ) ，

10、且平行于极轴的直线；624) 经过点 D(2 3,0) ，且倾斜角为 的直线。3例 2、 按下列条件写出圆的极坐标方程：(1)以 A(3,0) 为圆心，且过极点的圆；(2) 以 B(8, ) 为圆心，且过极点的圆；2(3) 以极点 O 与点 C( 4,0) 连接的线段为直径的圆；(4) 圆心在极轴上，且过极点与 D(2 3, ) 的圆。例 3 在圆心的极坐标为 A(4,0) , 半径为 4 的圆中，求过极点 O 的弦的中点的轨迹方程。四、课堂作业 ：课本第 32 页 1,2 题。§参数方程学习目的： 1了解参数方程的定义，了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义；2理解直线的参数方程及

11、其应用；理解圆和椭圆(椭圆的中心在原点)的参数方程及其简单应用；学习重点：理解参数方程的概念；学习难点：理解直线、圆、椭圆的参数方程及其应用。学习过程：、新知导入：设炮弹发射角为 ，发射初速度为 vo ，怎样求弹道曲线的方程(空气阻力不计)二、新知学习：1、参数方程的定义：一般地，在取定的坐标中，如果曲线 C上任一点 P 的坐标 x和 y都可以表示为某个变 量 t 的函数：x f (t )y g(t )反过来，对于 t 的每个允许值，由函数式：x f (t )y g(t )所确定的点 P(x , y) 都在曲线 C上，那么方程x f (t )y g(t )叫做曲线 C 的参数方程，变量 t是参

12、变数，简称参数2、关于参数几点说明：(1) 参数方程中参数可以是有物理意义，几何意义，也可以没有明显意义。(2) 同一曲线选取的参数不同，曲线的参数方程形式也不一样(3) 在实际问题中要确定参数的取值范围3、参数方程的意义： 参数方程是曲线点的位置的另一种表示形式， 它借助于中间变量把曲线上的动点的两个 坐标间接地联系起来， 参数方程与变通方程同等地描述， 了解曲线， 参数方程实际上是一个 方程组，其中 x ， y 分别为曲线上点 M 的横坐标和纵坐标。4、参数方程求法( 1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为 (x, y)( 2)选取适当的参数（3）根据已知条件和图形的几何性质，物理意义

13、，建立点P 坐标与参数的函数式5、关于参数方程中参数的选取 选取参数的原则是曲线上任一点坐标当参数的关系比较明显关系相对简单。 与运动有关的问题选取时间 t 做参数 与旋转的有关问题选取角 做参数 或选取有向线段的数量、长度、直线的倾斜斜角、斜率等。三、新知应用例 1求椭圆的参数方程（见教材例 1）变式训练 1 、求x 3 cos已知椭圆 （ 为参数 ）y 2sin（1）时对应的点 P 的坐标6（2）直线 OP 的倾斜角§参数方程与普通方程的互化学习目的： 会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。学习重点： 参数方程与普通方程的互化学习难点： 如何进行互化，参数的取值范围的确定学习过程

14、：例 1：化下列曲线的参数方程为普通方程，并指出它是什么曲线。x 3t 5 x 2 pt 2（1）（t 是参数） （ 2）（t 是参数， p 是正常数）x sin ,4)2 0,2y cos2y 2t 1 y 2 pta1xt3）2t（a、b1yt2tb 为正常数， t 为参数）注：参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：（ 1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数 t ，然后代入消去参数（ 2） 三角法：利用三角恒等式消去参数（ 3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。化参数方程为普通方程为 F（x,y） 0 ：在消参过程中注意变量 x、 y取值范围的一致性，

15、必须根据参数的取值范围，确定f（t）和g（t）值域得 x、 y的取值范围。例 2 、已知直线过点 P（x0 , y0 ） ，且倾斜角为 （ ） ，写出直线的普通方程，并选择适 当的参数将它化为参数方程。例 3、选择适当的参数，将圆的方程(x a)2 (y b)2 r 2化为参数方程。布置作业：课本第 56 页 2， 3, 4， 6§参数方程的应用 学习目的： 利用圆锥曲线的参数方程来确定最值，解决有关点的轨迹问题。 学习重点： 参数方程的应用。学习难点： 合理地选择参数求点的轨迹。学习过程：一、新知导入： 如何利用曲线的参数方程来研究曲线的相关性质二、新知学习：1、应用参数方程来求最值的一般步骤是：2、应用参数法求轨迹方程的一般步骤是：3、常见的几种参数的选择方法：三、新知应用2例 1 ：已知 M 是椭圆 x2a22 y b21ab 0 上在第一象限的点，A a,0 和 B 0,b 是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形 MAOB 的面积的最大值。变式： (1) AB 为过椭圆2 x 252 y 161中心的弦， F1， F2 为焦点，求 ABF1面积的最大值。(2) 已知椭圆2 x 252y 1和直线 l : x y 1 ，试在椭圆的第一象限内求一点16 5 4M ，使得 M到直线 l 的距离最大，并求出最大距离。例 2：已知 O