高中数学-平面向量专题

1、第一部分：平面向量的概念及线性运算一.基础知识 自主学习1向量的有关概念名称定义备注向量既有 又有 的量；向量的大小叫做向量的 （或称 )平面向量是自由向量零向量长度为 的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于 的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向 或 的非零向量0与任一向量 或共线共线向量 的非零向量又叫做共线向量相等向量长度 且方向 的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小相反向量长度 且方向 的向量0的相反向量为02。向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律:abba.(2)结合律:(ab)ca（bc)减法求a与b的相反向量

2、b的和的运算叫做a与b的差 法则aba(b）数乘求实数与向量a的积的运算（1)a|a|。(2）当>0时，a的方向与a的方向 ；当<0时，a的方向与a的方向 ；当0时，a0。(a）a；()aaa;（ab）ab。3。共线向量定理向量a（a0）与b共线的 条件是存在唯一一个实数，使得ba。二.难点正本疑点清源1向量的两要素向量具有大小和方向两个要素用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系同向且等长的有向线段都表示同一向量或者说长度相等、方向相同的向量是相等的向量只有相等或不等，而没有谁大谁小之说，即向量不能比较大小2向量平行与直线平行的区别向量平行包括向量共线(或重合）的情况，

3、而直线平行不包括共线的情况因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合三基础自测1化简的结果等于_2下列命题：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；平行于同一个向量的两个向量是共线向量；相等向量一定共线其中不正确命题的序号是_3在ABC中，c,b.若点D满足2，则_（用b、c表示)4如图，向量ab等于()A4e12e2 B2e14e2Ce13e2 D3e1e25已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b,则一定共线的三点是 ()AA、B、D BA、B、CCB、C、D DA、C、D四题型分类 深度剖析题型一平面向量的有关概念例1给出下列命题：若ab,则ab；若A,B，C

4、，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab,bc，则ac;ab的充要条件是a|b且ab;若ab，bc，则ac。其中正确的序号是_变式训练1 判断下列命题是否正确，不正确的请说明理由（1）若向量a与b同向，且|a|b|，则a>b；(2）若a|b，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b，且a与b方向相同，则ab；（4）由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行；(5）若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；（6)若向量与向量是共线向量,则A，B,C，D四点在一条直线上；（7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一

5、向量与它的相反向量不相等题型二平面向量的线性运算例2如图,以向量a，b为边作OADB，用a、b表示、。变式训练2 ABC中,，DEBC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N。设a，b，用a、b表示向量、.题型三平面向量的共线问题例3设e1，e2是两个不共线向量，已知2e18e2，e13e2，2e1e2。（1)求证：A、B、D三点共线;（2）若3e1ke2，且B、D、F三点共线，求k的值变式训练3 设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3（ab)求证：A、B、D三点共线;（2)试确定实数k，使kab和akb共线五思想与方法5用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：如图所示，在A

6、BO中,，AD与BC相交于点M，设a,b。试用a和b表示向量。六思想方法 感悟提高方法与技巧1将向量用其它向量（特别是基向量）线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础2可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题如且AB与CD不共线，则ABCD;若，则A、B、C三点共线失误与防范1解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向;二是考虑零向量是否也满足条件要特别注意零向量的特殊性2在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误七课后练习1给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小,但它们的模

7、能比较大小；a0 （为实数)，则必为零;，为实数，若ab，则a与b共线其中错误命题的个数为(）A1B2 C3D42若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：；=;+.其中正确的有()A0个 B1个C2个 D3个3. 已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足=0，则等于（)A。 B.2C. D.4.如图所示,在ABC中，3，若a，b，则等于（）A。ab BabC。ab Dab5. 在四边形ABCD中，a2b,4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是（)A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对6. 8，5，则的取值范围是_7给出下列命题:向量的长度与向量的长度与向量的长度相

8、等；向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反；两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；两个有公共终点的向量，一定是共线向量;向量与向量与向量是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上其中不正确的个数为_8。如图，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N。若m，n,则mn的值为_9设a与b是两个不共线向量,且向量ab与(b2a）共线，则_。10.在正六边形ABCDEF中，a，b，求,。11.如图所示,ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC,AM与BN相交于点P，求APPM的值12.已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点.（1）求

9、；(2）若PQ过ABO的重心G,且a, b，ma，nb,求证：3。第二部分:平面向量的基本定理及坐标表示一基础知识 自主学习1两个向量的夹角定义范围已知两个 向量a,b,作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角（如图）向量夹角的范围是 ,当 时,两向量共线，当 时，两向量垂直，记作ab.2.平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数1，2,使a .其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 （2）平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解(3）平面向量的坐标

10、表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使axiyj,这样，平面内的任一向量a都可由x,y唯一确定，把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a ，其中 叫做a在x轴上的坐标, 叫做a在y轴上的坐标设xiyj，则向量的坐标（x，y）就是 的坐标，即若（x，y),则A点坐标为 ,反之亦成立(O是坐标原点）3平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1），b(x2，y2），则ab ，ab ，a ，a .(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐

11、标设A（x1,y1)，B（x2，y2)，则 ，| 。4平面向量共线的坐标表示：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0。ab 。二难点正本疑点清源1基底的不唯一性只要两个向量不共线,就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后,这样的表示是唯一的2向量坐标与点的坐标的区别在平面直角坐标系中,以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)，但应注意其表示形式的区别，如点A（x，y),向量a（x,y)当平面向量平行移动到时，向量不变即(x,y),但的起点O1和终点A1的坐标

12、都发生了变化三基础自测1已知向量a(2，1）,b（1,m）,c（1,2),若（ab）c，则m_.2已知向量a（1，2)，b（3，2),若kab与b平行，则k_。3设向量a(1，3)，b(2，4)，c(1，2)若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d_.4已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2),B（1,2），C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为 （ ）A. B.C(3,2) D(1，3)5已知平面向量a（x,1)，b(x，x2),则向量ab()A平行于y轴 B平行于第一、三象限的角平分线C平行于x轴 D平行于第二、四象限的角平分线四题型分类 深度剖析题型

13、一平面向量基本定理的应用例1如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC,BC的中点,已知c,d,试用c，d表示，.变式训练1 如图,P是ABC内一点，且满足条件230，设Q为CP的延长线与AB的交点，令p,试用p表示。题型二向量坐标的基本运算例2已知A(2，4)，B（3，1)，C(3,4）设a，b，c，且3c，2b，（1)求3ab3c；（2)求满足ambnc的实数m，n；（3)求M、N的坐标及向量的坐标变式训练2 （1)已知点A、B、C的坐标分别为A(2,4）、B(0,6）、C（8，10),求向量2的坐标;(2）已知a(2,1），b（3，4)，求：3a4b;a3b;ab。题型三平行向量的坐

14、标运算例3平面内给定三个向量a（3,2)，b（1,2)，c(4，1），请解答下列问题：（1）求满足ambnc的实数m，n;（2)若(akc)(2ba），求实数k;(3)若d满足（dc）（ab），且|dc，求d.变式训练3 已知a(1,0），b(2，1)（1）求a3b|；(2)当k为何实数时，kab与a3b平行，平行时它们是同向还是反向？五易错警示8忽视平行四边形的多样性致误试题:已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（1，0)，（3，0),（1，5），求第四个顶点的坐标六思想方法 感悟提高方法与技巧1平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则,将向量进行分解2向量的坐标表示的本质是向量的

15、代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键，通过坐标运算可将一些几何问题转化为代数问题处理，从而向量可以解决平面解析几何中的许多相关问题3在向量的运算中要注意待定系数法、方程思想和数形结合思想的运用失误与防范1要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息2若a(x1，y1),b(x2,y2）,则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2x2y10。同时，ab的充要条件也不能错记为x1x2y1y20，x1y1x2y20等七课后练习1已知向量a(1，2），b（1m，1m），若ab,则实数m的值为（)A3 B3

16、 C2 D22已知平面向量a(1，2)，b(2，m)，且ab，则2a3b等于（）A(2，4) B（3，6)C（4，8） D(5,10）3.设向量a(3，），b为单位向量，且ab,则b等于（)A.或 B。C。 D.或4.已知向量a(1，m)，b（m2，m）,则向量ab所在的直线可能为(）Ax轴 B第一、三象限的角平分线Cy轴 D第二、四象限的角平分线5已知A(7,1)、B(1，4），直线与线段AB交于C,且2，则实数a等于(）A2 B1 C。 D.6若三点A(2,2),B(a,0），C(0，b) （ab0)共线，则的值等于_7已知向量a(1,2）,b（x,1），ua2b，v2ab，且uv，则实数

17、x的值为_8若向量a与相等，其中A(1,2),B（3，2)，则x_.9若平面向量a，b满足ab|1，ab平行于y轴，a（2,1），则b_。10 a(1，2）,b(3，2)，当k为何值时,kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？11三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b,c，设向量m（3cb，ab），n（3a3b，c),mn.(1）求cos A的值；(2)求sin（A30°）的值12在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知向量m（a，b），向量n (cos A,cos B)，向量p，若mn,p29,求证：ABC为等边三角形第三部分：平面向量的数量积一基础知识

18、自主学习1平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为,则数量_叫做a和b的数量积(或内积)，记作_.规定:零向量与任一向量的数量积为_.两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两个非零向量a与b平行的充要条件是 .2平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度a|与b在a的方向上的投影_的乘积3平面向量数量积的重要性质(1）e·aa·e ；（2)非零向量a,b，ab ；（3)当a与b同向时,a·b ；当a与b反向时，a·b ，a·aa2，a；(4）cos ；(5）a·b_a|b|.4平面向量数量积满足的运算律（1

19、）a·b (交换律)；（2）（a）·b （为实数)；（3）（ab)·c .5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1,y1)，b(x2，y2），则a·b ,由此得到(1)若a(x,y)，则|a|2 或a 。(2)设A（x1,y1）,B（x2，y2），则A、B两点间的距离AB= .(3)设两个非零向量a，b,a（x1，y1），b(x2，y2)，则ab .二难点正本疑点清源1向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时,一定要注意两向量夹角的范围2数量积的运算只适合交换律

20、、加乘分配律及数乘结合律,但不满足向量间的结合律，即（a·b）c不一定等于a（b·c）这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量,而a（b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线三基础自测1已知向量a和向量b的夹角为30°，a|2，b，则向量a和向量b的数量积a·b_.2.在ABC中，AB=3，AC=2，BC=,则_。3已知a(2,3)，b（4，7），则a在b方向上的投影为_4已知|a6，|b|3，a·b12，则向量a在向量b方向上的投影是 ( )A4 B4 C2 D25已知向量a（1，1)，b(1,2），向量c满足

21、(cb)a，(ca)b,则c等于( ）A(2，1) B（1,0)C。 D（0，1）四题型分类 深度剖析题型一求两向量的数量积例1(1）在RtABC中,C90°,AB5,AC4,求； (2）若a(3,4)，b（2,1)，试求（a2b）·(2a3b)变式训练1 （1)若向量a的方向是正南方向,向量b的方向是正东方向，且a|b1,则(3a)·（ab）_.（2)如图，在ABC中，ADAB， ，|1，则等于()A2 B. C. D。 题型二求向量的模例2已知向量a与b的夹角为120°，且|a|4，b2，求：（1）ab|；（2)3a4b|;(3）(a2b)·

22、;(ab）变式训练2 设向量a，b满足|ab2，a2，且ab与a的夹角为，则|b|_。题型三利用向量的数量积解决夹角问题例3已知a与b是两个非零向量，且|a|bab,求a与ab的夹角变式训练3 设n和m是两个单位向量,其夹角是60°，求向量a2mn与b2n3m的夹角题型四平面向量的垂直问题例4 已知a(cos ，sin ),b(cos ,sin )（0<<<）（1）求证：ab与ab互相垂直;(2）若kab与akb的模相等，求.（其中k为非零实数)变式训练4 已知平面内A、B、C三点在同一条直线上，（2，m）,（n,1），(5，1），且，求实数m，n的值五答题规范5思

23、维要严谨,解答要规范试题:设两向量e1、e2满足|e12，|e2|1，e1、e2的夹角为60°，若向量2te17e2与向量e1te2的夹角为钝角,求实数t的取值范围六思想方法 感悟提高方法与技巧1 向量的数量积的运算法则不具备结合律,但运算律和实数运算律类似如(ab）2a22a·bb2；(ab)·(satb)sa2(ts）a·btb2(，,s，tR)2求向量模的常用方法:利用公式|a2a2,将模的运算转化为向量的数量积的运算3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧失误与防范1（1)0与实数0的区别：0a00，a(a)00，

24、a·000；(2）0的方向是任意的，并非没有方向,0与任何向量平行,我们只定义了非零向量的垂直关系2a·b0不能推出a0或b0,因为a·b0时，有可能ab。3一般地，(a·b）c（b·c)a即乘法的结合律不成立因a·b是一个数量，所以（a·b)c表示一个与c共线的向量,同理右边(b·c）a表示一个与a共线的向量,而a与c不一定共线,故一般情况下(a·b)c(b·c)a。4a·ba·c(a0)不能推出bc。即消去律不成立5向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，应为120&

25、#176;，而不是60°。七课后练习1。设向量a（1，0)，b(，），则下列结论中正确的是（）Aa|b| Ba·bCab Dab与b垂直2.若向量a(1，1)，b（2,5)，c（3，x)，满足条件(8ab）·c30，则x等于（)A6 B5 C4 D33.已知向量a，b的夹角为60°，且|a2，b1，则向量a与a2b的夹角等于（)A150° B90° C60° D30°4.平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若(2，4),(1,3）,则等于(）A6 B8 C8 D65。若e1、e2是夹角为的单位向量，且向量a2e

26、1e2，向量b3e12e2，则a·b等于（)A1 B4 C D.6若向量a，b满足a|1，b|2且a与b的夹角为，则ab_。7已知向量a,b满足a|3，b|2，a与b的夹角为60°,则a·b_，若（amb)a，则实数m_.8设a、b、c是单位向量，且abc，则a·c的值为_9。（O是平面上一点,A、B、C是平面上不共线的三点。平面内的动点P满足若时，的值为_10不共线向量a，b的夹角为小于120°的角，且|a1，|b|2，已知向量ca2b，求|c|的取值范围11已知平面向量a(1，x）,b（2x3，x），xR。(1)若ab，求x的值；(2)若a

27、b，求ab|。12向量a（cos 23°，cos 67°)，向量b（cos 68°,cos 22°）(1)求a·b；（2）若向量b与向量m共线，uam,求u的模的最小值第四部分:平面向量应用举例一基础知识 自主学习1向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理:ab .（2）证明垂直问题,常用数量积的运算性质ab 。（3)求夹角问题，利用夹角公式cos （为a与b的夹角）2平面向量在物理中

28、的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知识来解决（2）物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WF·sF|s|cos （为F与s的夹角）3平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质

29、二难点正本疑点清源1向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观,向量本身是一个数形结合的产物在利用向量解决问题时,要注意数与形的结合、代数与几何的结合、形象思维与逻辑思维的结合2要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要善于应用向量的有关性质解题三基础自测1在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边ABDC，ADBC.已知A（2,0），B(6,8），C(8,6)则D点的坐标为_2已知平面向量、，|1，2，(2），则|2|的值是_3平面上有三个点A（2，y），B，C（x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_4已知A、B是以C为圆心,半径为的圆上两点,且|，等于 ( )A B。 C0 D。5某人先位移向量

30、a:“向东走3 km”，接着再位移向量b：“向北走3 km”，则ab表示 ( ）A向东南走3 km B向东北走3 kmC向东南走3 km D向东北走3 km四题型分类 深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例1 如图，在等腰直角三角形ABC中,ACB90°，CACB，D为BC的中点，E是AB上的一点，且AE2EB。求证：ADCE.变式训练1 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2),B（2,3)，C(2，1）(1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;（2）设实数t满足（t）·0，求t的值题型二平面向量在解析几何中的应用例2 已知点P(0，-3），点A在x

31、轴上，点M满足=0，,当点A在x轴上移动时，求动点M的轨迹方程变式训练2 已知圆C：(x-3）+(y3)=4及点A（1，1)，M是圆上的任意一点，点N在线段MA的延长线上，且2，求点N的轨迹方程题型三平面向量与三角函数例3已知向量a（sin x，cos x)，b（sin x，sin x），c(1，0)（1）若x，求向量a与c的夹角；（2)若x,求函数f(x）a·b的最值；（3)函数f(x）的图象可以由函数ysin 2x （xR）的图象经过怎样的变换得到？变式训练3 已知A（3，0)，B（0,3),C(cos ,sin ）（1）若·1，求sin的值；(2) 若|+，且（0,），求与的夹角五易错警示9忽视对直角位置的讨论致误试题：已知平面上三点A、B、C,向量（2k,3),（2,4）(1) 若三点A、B、C不能构成三角形，求实数k应满足的条件；(2)若ABC为直角三角形,求k的值六思想方法 感悟提高方法与技巧1 向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题2 以向量为载体，求相关变量的取值范围，是向量