恒定电流,物理竞赛课件

1、1 1 稳恒电流稳恒电流 +ISSenIv 为电子的为电子的漂移速度漂移速度大小。大小。v单位单位: 1A； A 101mA-3dtdqtqI/tSenqvSSjIdvenSISIjddSdjI该点该点正正电荷电荷运动方向，即电场方向运动方向，即电场方向j方向方向规定：规定：cosdddSjSjI 例例 （1）若）若每个铜原子贡献一个自由电子每个铜原子贡献一个自由电子 ，问，问铜导线中自由电子铜导线中自由电子 数密数密 度为多少？度为多少？ （2）家用线路电流最大值家用线路电流最大值 15A， 铜铜 导导 线半径线半径0.81mm此时电子漂移速率多少？此时电子漂移速率多少？ （3）铜导线中电流

2、密度均匀，电流密度值多少铜导线中电流密度均匀，电流密度值多少?解解 (1)328m/1048. 8个MNnA(2)1 -1 -4hm2sm1036. 5nSeIdv(3)26224mA1028. 7mA1010. 8(15）SIjI)/(2rIj)2/(rIj)2/(rIj0d sSj tQtQSjisdddddSSdjSI1I2I021III)sin(0tII非静电力非静电力: 能不断分离正负电荷，能不断分离正负电荷，使正电荷逆静电场力方向运动使正电荷逆静电场力方向运动.电源电源：提供非静电力的装置：提供非静电力的装置. 非静电非静电电场强度电场强度 : 为单位为单位正电荷所受的非静电力正电

3、荷所受的非静电力.kElklklEqlEEqWdd)(E+-RI+kElElEkkdd内外E0d 外lEklElEklkdd内E电源电动势电源电动势 电动势的定义：电动势的定义：单位正电荷绕闭合回路运动一周，单位正电荷绕闭合回路运动一周，非静电力所做的功非静电力所做的功.qlEqqWlkdE电动势电动势电源的电动势电源的电动势 和内阻和内阻 EiRE*正正极极负负极极电源电源+_iRIRU IRUVI线性电阻元件线性电阻元件VI开通电压，硅管开通电压，硅管约约0.60.60.8V0.8V, ,锗锗管约管约0.2 0.2 0.4V0.4V。二极管具有单向导电性！二极管具有单向导电性！0I/mAU

4、/V钨丝灯伏安特性曲线 1 1 020ttttSlSlR1电阻定律电阻定律电导率电导率电阻率（电导率）不但与材料的种类有关，而且还电阻率（电导率）不但与材料的种类有关，而且还和温度有关和温度有关 . 一般金属在温度不太低时：一般金属在温度不太低时：电阻率电阻率10为为 时的电阻率，时的电阻率， 为电阻温度系数。为电阻温度系数。Cto0IIr2r1rlrSrR2ddd12ln22d21RRlrlrRRR12ln2RRlURUI解法一解法一 例例1 一内、外半径分别为一内、外半径分别为 和和 的金属圆筒，的金属圆筒，长度长度 , 其电阻率其电阻率 ，若筒内外电势差为，若筒内外电势差为 ，且筒，且筒

5、内缘电势高，圆柱体中径向的电流强度为多少内缘电势高，圆柱体中径向的电流强度为多少 ？1R2RlU2Rl1RUrrljSjI2d ErlIj2RlIE212ln22dd21RRlIlrrrEURR解法二解法二2Rl1RUrI欧姆定律的欧姆定律的 微分微分形式形式 EEj1jSI ElU SlR/ESESSlElI)/(RUI/UlEjS表明任一点的电流密度表明任一点的电流密度 与电场与电场强度强度 方向相同，大小成正比。方向相同，大小成正比。jEIRU若电流流经的一段电路中只含有电阻元件，若电流流经的一段电路中只含有电阻元件，那么电场力做的功全部转化为热，发出的热那么电场力做的功全部转化为热，发

6、出的热量量Q满足满足tRURtIUItQ)/(22焦耳定律焦耳定律此时电阻发热消耗的此时电阻发热消耗的电功率电功率为：为：RURIUItQP/22单位体积的热功率称为单位体积的热功率称为热功率密度热功率密度，即，即VRIVPp/2又由于又由于SlVSlRjSI),/(,焦耳定律的微分形式：焦耳定律的微分形式：/2jp 一个电源和一个负载电阻一个电源和一个负载电阻R构成最简单的闭合回路，则构成最简单的闭合回路，则闭合闭合回路欧姆定律回路欧姆定律为：为：Rr ,I)/(RrI电源总功率：电源总功率：IPtotal电源的输出功率：电源的输出功率：rIIPoutput2电阻电阻R上的消耗功率：上的消耗

7、功率：RIPconsumed2输出功率达到最大的匹配条件：输出功率达到最大的匹配条件：Rr 注意：注意：最大功率的获得，对于较高内阻、小功率的电路最大功率的获得，对于较高内阻、小功率的电路(如电如电子电路子电路)才有意义，而对于低内阻大功率的电路是没有意义的，才有意义，而对于低内阻大功率的电路是没有意义的，甚至会导致电流过大而造成危险事故。甚至会导致电流过大而造成危险事故。Rr ,IABRr ,IAB一段一段含源电路含源电路中有电流通过，在充电和放电两种情况下，其中有电流通过，在充电和放电两种情况下，其路段电压路段电压为：为：放电放电：)(RrIUAB充电充电：)(RrIUAB电路中任意电路中

8、任意两点间电势降落两点间电势降落等于连接这两点的任一支路上等于连接这两点的任一支路上各电各电路元件电势降落的代数和。路元件电势降落的代数和。11,r1IABCD4I1R3R22,r3I2R2I?ACU说明：说明：对于电阻，沿电流方向看去电势降落为正、逆电流方向对于电阻，沿电流方向看去电势降落为正、逆电流方向看去为负；对于电源，从正极到负极看去电势降落为正、从负看去为负；对于电源，从正极到负极看去电势降落为正、从负极到正极看去为负。极到正极看去为负。I1R1U2R2UnRnU多个电阻串联起来，形成一条通路，通过各电阻的电流强度多个电阻串联起来，形成一条通路，通过各电阻的电流强度I相同，则串联电路

9、两端的总电压为相同，则串联电路两端的总电压为)(2121nnRRRIUUUU串联电路的等效电阻为串联电路的等效电阻为nRRRR21各电阻消耗的功率满足各电阻消耗的功率满足nnnnRPRPRPRIURIURIUI2211221121I1R2I2RnInRU当电流通过并联电路时，各电阻两端有相同当电流通过并联电路时，各电阻两端有相同的电压，并且通过并联电路的总电流为：的电压，并且通过并联电路的总电流为：nnRURURUIIII/2121并联电路的等效电阻满足并联电路的等效电阻满足nRRRR/1/1/1/121各电阻消耗的功率满足各电阻消耗的功率满足nnnnRPRPRPRIURIURIUU22112

10、2112abFcdFooIBbcFdaF伏特表和安培表均由伏特表和安培表均由电流计电流计( 表头表头)改装而成，通改装而成，通常采用的有磁电式电流计。常采用的有磁电式电流计。GgRgI反应电流计主要特性的参量：反应电流计主要特性的参量：满偏满偏电流电流Ig 和和 内阻内阻Rg。一般而言，满偏电流较小。一般而言，满偏电流较小。 直流电路中除了电源外，只有电阻元件。直流电路中除了电源外，只有电阻元件。复杂电复杂电路路是多个电源和多个电阻，甚至电容器的复杂连接。是多个电源和多个电阻，甚至电容器的复杂连接。支路支路：由若干个电源和：由若干个电源和(或或)电阻串电阻串联而成的通路，且电流处处相等。联而成

11、的通路，且电流处处相等。节点节点：三条或更多条支路的连接点。：三条或更多条支路的连接点。回路回路：几条支路构成的闭合通路。：几条支路构成的闭合通路。 由图论可知，对于一个有由图论可知，对于一个有n个节点个节点 p 条支路的电路中，条支路的电路中，共有共有(pn+1)个独立回路。个独立回路。 处理电路的典型问题，在给定电源电动势、内阻和处理电路的典型问题，在给定电源电动势、内阻和电阻的条件下，计算出每一条支路的电流；或者已知某电阻的条件下，计算出每一条支路的电流；或者已知某些支路中的电流，要计算某些电阻或电动势。些支路中的电流，要计算某些电阻或电动势。 复杂电路计算的基本公式是基尔霍夫方程组，原

12、则复杂电路计算的基本公式是基尔霍夫方程组，原则上可用来处理任何复杂电路。上可用来处理任何复杂电路。若规定流出节点的电流强度为正，流入节若规定流出节点的电流强度为正，流入节点的电流强度为负，则点的电流强度为负，则节点各个支路电流节点各个支路电流的代数和为零的代数和为零，即，即0iI1I2I3I(电荷守恒电荷守恒)11,r1IABCD4I1R3R22,r3I2R2I若规定电势从高到低的电势降落为正，电若规定电势从高到低的电势降落为正，电势从低到高的电势降落为负，则势从低到高的电势降落为负，则沿回路环沿回路环绕一周，电势降落的代数和为零绕一周，电势降落的代数和为零，即，即0)()(iiiRI(恒定电

13、场恒定电场)规定绕行方向后，电势降落正负的确定：规定绕行方向后，电势降落正负的确定：电阻的电势降落：电阻的电势降落：沿电流方向看去，电势降落为正，逆电流方沿电流方向看去，电势降落为正，逆电流方向看去为负。（电流方向未知时，可预设电流方向）向看去为负。（电流方向未知时，可预设电流方向）电源的电势降落：电源的电势降落：从正极到负极看去电势降落为正，从负极到从正极到负极看去电势降落为正，从负极到正极电势降落为负。正极电势降落为负。如图中如图中ABCDA回路，其回路电压方程为：回路，其回路电压方程为：0)IRrIRIrI11,r1I1R3R22,r3I2R2I4R如图所示的电

14、路中，已知电源电动势如图所示的电路中，已知电源电动势1=3.0V, 2=1.0V，内，内阻阻r1=0.50, r2=1.0，电阻，电阻R1=10.0, R2=5.0, R3=4.5, R4=19.0。求电路中三条支路上的电流强度。求电路中三条支路上的电流强度。如图标定环绕方向和各支路电流方向。如图标定环绕方向和各支路电流方向。根据基尔霍夫第一方程组可得：根据基尔霍夫第一方程组可得：321III根据回路根据回路1、2的绕行方向，可写出基尔霍夫第二方程组：的绕行方向，可写出基尔霍夫第二方程组：0)(1332111RIRRrI0)(134222RIRrI解得各支路电流为：解得各支路电流为：mAImA

15、ImAI140,20,160321在非平衡电桥电路中，已知电源电动势在非平衡电桥电路中，已知电源电动势=1V，内阻不计，内阻不计，电阻电阻R1=1, R2=2, R3=3, R4=4 , R5=5 。求电路中通。求电路中通过过R1,R2,R3的电流强度。的电流强度。如图标定环绕方向和各支路电流方向如图标定环绕方向和各支路电流方向.根据基尔霍夫第一方程组可得：根据基尔霍夫第一方程组可得：,132III根据三个独立回路的绕行方向，写出基尔霍夫第二方程组：根据三个独立回路的绕行方向，写出基尔霍夫第二方程组：05544RIRI, 0441122RIRIRI1R3R3I2R2I4RI1I4I5I5RAB

16、CD,145III5324IIIII, 0115533RIRIRI结合以上六个方程，解得各支路电流为：结合以上六个方程，解得各支路电流为：AIAIAIAIAIAI19923,19921,19939,19941,1992,1996254321利用以上结论，可以把电路中利用以上结论，可以把电路中A和和B之间的桥式电路的之间的桥式电路的等等效电阻效电阻 RAB 计算出来，由于计算出来，由于ABIRRIRI15544可得可得A和和B之间的桥式电路的之间的桥式电路的等效电阻等效电阻2 . 362199ABR 原则上可用基尔霍夫定律计算任何复杂电路中每一支路原则上可用基尔霍夫定律计算任何复杂电路中每一支路

17、中的电流，但有时计算较为冗繁。中的电流，但有时计算较为冗繁。 而实际的电路计算中常常不需要计算每一支路的电流而实际的电路计算中常常不需要计算每一支路的电流,只需计算某一支路的电流，或者部分电路的等效电阻。解只需计算某一支路的电流，或者部分电路的等效电阻。解决这样的问题时，可运用一些由基尔霍夫定律导出的定理。决这样的问题时，可运用一些由基尔霍夫定律导出的定理。 一个实际电源一个实际电源 (, r) 可看成是电动势为可看成是电动势为 、内阻内阻r =0的理想电源和内阻的理想电源和内阻 r 的串联。的串联。 只有电动势而无内阻的理想电源就是理只有电动势而无内阻的理想电源就是理想电压源，又称为想电压源

18、，又称为恒压源恒压源，其提供的电动势，其提供的电动势 与外阻无关。非理想情况下与外阻无关。非理想情况下, 内阻内阻r00的实的实际电源称为际电源称为电压源电压源。IRr设想有一种理想电源，不管外电路电阻如何设想有一种理想电源，不管外电路电阻如何变化，总是提供一个不变的电流变化，总是提供一个不变的电流I0，这种理，这种理想电源称为想电源称为恒流源恒流源。当一个电源串联一个很。当一个电源串联一个很大的电阻时，就可以近似为一个恒流源。大的电阻时，就可以近似为一个恒流源。IRr而非理想情况下的实际电源，可以称为电流源，相当于恒流而非理想情况下的实际电源，可以称为电流源，相当于恒流源源I0与一定内阻与一

19、定内阻r0的并联。的并联。IR0I0rIR0I0r对同一个电源和同一个外电路电阻对同一个电源和同一个外电路电阻R，可用两种等效电源。，可用两种等效电源。如图所示，计算其外电路电流：如图所示，计算其外电路电流：,rRrrrRI000rRrII由于等效特性，由于等效特性，I必然相同，可得：必然相同，可得：rrrI00,即电流源的即电流源的I0等于电压源的短路电流、电流等于电压源的短路电流、电流源的内阻等于电压源的内阻时，两电源等效。源的内阻等于电压源的内阻时，两电源等效。RABIRrAB等效电压源定理等效电压源定理(戴维宁定理戴维宁定理)：两端有源网络可以等效于：两端有源网络可以等效于一个电压源，

20、其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等一个电压源，其电动势等于网络的开路端电压，其内阻等于从网络两端看除源于从网络两端看除源(将电动势短路，内阻仍保留在网络中将电动势短路，内阻仍保留在网络中)网络的电阻。网络的电阻。所谓所谓“网络网络”，泛指电路或其中一部分；所谓，泛指电路或其中一部分；所谓“有源有源”，指网络，指网络中有电源；所谓中有电源；所谓“两端两端”，指网络与其余部分电路的联系只有两，指网络与其余部分电路的联系只有两个接口。个接口。RAB等效电流源定理等效电流源定理(诺尔顿定理诺尔顿定理)：两端有源网络可等效于一个两端有源网络可等效于一个电流源，电流源的电流电流源，电流源的电流I0等于

21、网络两端短路时流经两端点的等于网络两端短路时流经两端点的电流，内阻等于从网络看除源网络的电阻。电流，内阻等于从网络看除源网络的电阻。IR0I0rAB将将R1,R2归并到电源归并到电源1的内的内阻中，将阻中，将R4归并到电源归并到电源 2的内阻中的内阻中，两个电源的电，两个电源的电动势和内阻分别为动势和内阻分别为11,r1I1R3R22,r3I2R2I4R利用电压源与电流源之间的等效条件，结合恒流源定理计利用电压源与电流源之间的等效条件，结合恒流源定理计算【练习算【练习1-1】中通过】中通过R1的电流。的电流。已知已知1=3.0V, 2=1.0V, r1=0.50, r2=1.0, R1=10.

22、0, R2=5.0, R3=4.5, R4=19.0。10,0 . 332111RRrrV20,0 . 14222RrrV11,r1R22,r图图(a)(a)1R01r01II02r02I图图(b)(b)把图把图(a)中的电压源改为等效的电流源，如中的电压源改为等效的电流源，如图图(b)所示。两电流源的电流分别为：所示。两电流源的电流分别为：10,3 . 0/011101rArI20,05. 0/012202rArI因两个电流源并联，可以处理为一个电流因两个电流源并联，可以处理为一个电流源，对应的哦电流和内阻为源，对应的哦电流和内阻为7 . 6,35. 002010201002010rrrrr

23、AIII流过流过R1的电流为的电流为ARrrII14. 01000如图电路中如图电路中1=4.0V, 2=1.0V, R1=10, R2=20, R3=30，电，电源内阻不计。求电容源内阻不计。求电容C两极板间的电势差两极板间的电势差UAUB 。11R3R2R2BACEF12R21R3RAEF当电路达到平衡时，电当电路达到平衡时，电容器不通电。容器不通电。设电路中设电路中E, F两点作为两点作为下部分电路下部分电路(两端有源网两端有源网络络)的输出端，等效电压的输出端，等效电压源的电动势源的电动势和内阻和内阻r为为21212121,RRRRrRRR2r3R所以通过所以通过2, R3的电流强度为

24、的电流强度为ArRI1 . 03211R3R2R2BACEFI以以E点为参考点，可得到点为参考点，可得到A点的电势为点的电势为)(0 . 33VUIRUUEEAB点的电势为点的电势为)(0 . 41VUUUEEB)(0 . 1VUUBA电容电容C两极板间的电势差两极板间的电势差1R22BAR2R2R2R2RRR1nn1A2A1nAnA(1)如图所示网络中，各电池的电动势以此为如图所示网络中，各电池的电动势以此为1, 2, n, 内内阻不计。当阻不计。当A、B两端为输出端时，网络可等效为一个有内两端为输出端时，网络可等效为一个有内阻的电源。求此等效电源的电动势阻的电源。求此等效电源的电动势和内阻

25、和内阻r。(2)若在若在A、B两端间接入电阻两端间接入电阻2R，取，取n=10且且Vi=(10+i)伏特伏特(i=1,2,10)，问图中，问图中A1,A2,A10各点中，哪一各点中，哪一点电势最高？并求出该点电势。点电势最高？并求出该点电势。(1) 对于此题，由于网络较为复杂，不容易算出等效电源的对于此题，由于网络较为复杂，不容易算出等效电源的电动势和内阻。可以寻找电路的规律，采用从左到右逐节电动势和内阻。可以寻找电路的规律，采用从左到右逐节应用等效电压源定理得到想要的结果。应用等效电压源定理得到想要的结果。R2R2nnAnAR2n1nAR241nnnAR2nR2R1n1nA1AR22.212

26、2nnABR2R2R2R1nn1nAnA等效电源的电动势等效电源的电动势和内阻和内阻r：Rrnn,22.21221R22BAR2R2R2R2RRR9101A2A9A10AR2R2R2R1ii1iAiAnARil)(RR1nA1)(ir根据对称性，结合根据对称性，结合(1)的结论可知：的结论可知：22.2)(2111010iiiil11221122.2)(iiiir首先，选择首先，选择A1A10之中的中间两点之中的中间两点A5, A6做比较：做比较：56)(21641781816193220)(rl21111612813414215)(5r利用二分法，可得出利用二分法，可得出A8点的电势最高：点

27、的电势最高：;219420)(9l2561112812.218)(8r9AR9)(lRR8A8)(rVRRUlrlrr14.16)(31)(323)()()(989888电阻分布具有电阻分布具有对称性对称性的电阻网络，一旦接入电源，往往可的电阻网络，一旦接入电源，往往可以在网络中找到由于对称性所提供的以在网络中找到由于对称性所提供的等势点等势点。等电势点之间的连接线路可以拆除等电势点之间的连接线路可以拆除；有时一个等电势点根有时一个等电势点根据需要可以分成若干个点据需要可以分成若干个点(慎用慎用)；而若干个等电势点根据而若干个等电势点根据需要可合并为一点需要可合并为一点。从而使问题得到简化。从

28、而使问题得到简化。一个无源电阻网络，经过某种一个无源电阻网络，经过某种“操作操作” (如镜面反射、旋如镜面反射、旋转转)，所得新网络与原网络相同，则称原网络在此操作下，所得新网络与原网络相同，则称原网络在此操作下具有对称性。具有对称性。设在桌面上的固定孤立接线柱数为设在桌面上的固定孤立接线柱数为: (1)4个个;(2)5个个;(3)n个。个。任意两个接线柱之间均接入电阻值为任意两个接线柱之间均接入电阻值为r的电阻。求接的电阻。求接线柱线柱1和接线柱和接线柱2间的等效电阻。间的等效电阻。1234123452)2241()21211(11412rrrrrrRR;52)2251(1512rrrRR;

29、2)221(112nrrnrRRn三只相同的金属圆圈，两两正交地连成如图所示的形状。三只相同的金属圆圈，两两正交地连成如图所示的形状。若每一只金属圈原长的电阻为若每一只金属圈原长的电阻为R，试求图中，试求图中A、B两点间的两点间的等效电阻等效电阻RAB。BABArrrr2/r2/r2/r2/rrrRAB485125已知已知12根长度相同、阻值均为根长度相同、阻值均为R的电阻组成立方体。的电阻组成立方体。试求等效电阻：试求等效电阻：RAC，RAB，RAG 。ABCDEFGHABCDEFGHABCDEFGHACR2R3R2RRAC43(1) RAC的求解的求解(2) RAB的求解的求解ARR2/R

30、2/R2/R2/R2/RBHG)(ED)(FDR2/RAC2/R2/RR2RRAB127(3) RAG的求解的求解ARGRRRRAG65在如图所示的有阻金属丝网格中，每一段金属丝的电阻值在如图所示的有阻金属丝网格中，每一段金属丝的电阻值为为r。试求等效电阻：。试求等效电阻：RAB，RMN，RAM和和 RAN 。ABCDEFMNABMNECRRAB713RRMN75RAM和和 RAN 的计算是否的计算是否有对称可用？有对称可用？RAM和和 RAN 的计算是否有对称可用？的计算是否有对称可用？ABMNEC表述为：若电路中有多个电源，则通过电路表述为：若电路中有多个电源，则通过电路中任一支路的电流，

31、等于各个电动势单独存在时在该支路中任一支路的电流，等于各个电动势单独存在时在该支路产生电流的代数和。产生电流的代数和。对一些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流叠加性，对一些并不具备直观的对称性的电路，可根据电流叠加性，重新设置电流分布，将原来不对称问题转化为具有对称性重新设置电流分布，将原来不对称问题转化为具有对称性的问题加以解决。的问题加以解决。ABiiABIRRIU原则上原则上，不论多么复杂的两端电阻网络不论多么复杂的两端电阻网络，其等效电阻总可其等效电阻总可以在求得电流分布以在求得电流分布(可令流入电流强度为可令流入电流强度为I)后得以解决后得以解决。这是一种常规的方法这是一种常规的

32、方法，但不一定是最简单的方法但不一定是最简单的方法。如图所示，如图所示，2=21=6.0V, r1=8, r2=2, R=8，试分别求断，试分别求断开和合上电建开和合上电建K时，伏特表的读数。时，伏特表的读数。V11,rBAR22,rK根据电流叠加定理，画出相应根据电流叠加定理，画出相应的等效电路，如图的等效电路，如图(a)和图和图(b)。图图(a) 中流经中流经R的电流为的电流为ArRrrRRrrI161)/(2222111图图(b) 中流经中流经R的电流为的电流为ArRrrRRrrI21)/(11112221rR12r图图(a)(a)1rR22r图图(b)(b)则原电路中伏特表的读数：则原

33、电路中伏特表的读数：VRIIUAB5 . 4)(21如图所示电路中，已知如图所示电路中，已知1=10V, 2=5V, R1=5, R2=5, R3=5, R4=15。(1) 求经过求经过R4的电流大小。的电流大小。(2) 电源电动势电源电动势1减小减小3V，则通过各段电路的电流发生变化，为了使电源则通过各段电路的电流发生变化，为了使电源2的电的电流仍为原来的值，问电动势流仍为原来的值，问电动势2应该怎样变化？应该怎样变化？4R3R2R1R1BA24R3R2R1RBA24R3R2R1R1BAARRRRRRRRI6 . 1424231311ARRRRRRRRI8 . 0434321212 AIII

34、ABABAB6 . 02 . 04 . 0 依电流叠加原理可得依电流叠加原理可得4R3R2R1RBA2I 4R3R2R1R1BAIARRRIIAB4 . 0422ARRRIIAB2 . 0433 (2) 电源电动势电源电动势1减小减小3V，则通过各段电路的电流发生变，则通过各段电路的电流发生变化，为了使电源化，为了使电源2的电流仍为原来的值，问电动势的电流仍为原来的值，问电动势2应该应该怎样变化？怎样变化？4R3R2R1R1BA24/12AB一段电阻率为常量、粗细均匀的无限长金属导线，导线上一段电阻率为常量、粗细均匀的无限长金属导线，导线上有有A、B两点，两点，A、B间的一段金属导线的电阻为间

35、的一段金属导线的电阻为r。试求当。试求当A、B作为端点时，此无限长金属导线的等效电阻作为端点时，此无限长金属导线的等效电阻RAB。ABABC如图所示如图所示, 由有阻金属丝构成二维的正方形由有阻金属丝构成二维的正方形、正三角形正三角形、正六边形的无限网格正六边形的无限网格, 以及三维空间中正方体结构的无限以及三维空间中正方体结构的无限网格网格。已知每一段电阻阻值为。已知每一段电阻阻值为r, 求相邻两个格点求相邻两个格点A,B之之间的等效电阻间的等效电阻RAB。ABCABApplication of the lattice Greens function for calculating the

36、resistance of infinite networks of resistors. Author: Jozsef Cserti. arXiv:cond-mat/9909120v4如图所示如图所示, 在在”田田”字形的复杂电路中字形的复杂电路中, 每小段电阻丝阻每小段电阻丝阻值均为值均为r, 求求A,B之间的等效电阻之间的等效电阻RAB。ABO如图所示如图所示, 电阻网络包含两个立方体电阻网络包含两个立方体, 每小段电阻丝阻值每小段电阻丝阻值均为均为r, 求求A,B之间的等效电阻之间的等效电阻RAB。ABCD如图所示如图所示, 有阻金属丝构成三棱柱有阻金属丝构成三棱柱, 每小段电阻丝阻值

37、均每小段电阻丝阻值均为为r, 求求A,B之间的等效电阻之间的等效电阻RAB。BD在处理复杂电路时，常常会遇到电阻连接成在处理复杂电路时，常常会遇到电阻连接成Y型或型或型，型，无法用简单的串并联计算。无法用简单的串并联计算。若把若把Y型连接等效代换成型连接等效代换成型连接，或把型连接，或把型连接等效代换型连接等效代换成成Y型连接，就可以把复杂电路简化为串并联电路加以处型连接，就可以把复杂电路简化为串并联电路加以处理。理。2R2I3R3I1R1I12323R23I31R31I12R12I123所谓所谓Y-等效代换，是指在做两种电阻连接的代换时，应等效代换，是指在做两种电阻连接的代换时，应保持电路中

38、其余部分在三个端点的电势保持电路中其余部分在三个端点的电势U1, U2, U3以及流经以及流经三个端点的电流三个端点的电流I1, I2, I3完全相同。完全相同。2R2I3R3I1R1I12323R23I31R31I12R12I123在在Y型网络中：型网络中：;212211URIRI;311133URIRI0321III)(13121231332211URURRRRRRRI消去消去I2, I3，可得，可得在在型网络中型网络中;211212URI;313131URI3131121231121RURUIII可得可得Y-等效代换的电阻等效关系为：等效代换的电阻等效关系为：;313322112RRRR

39、RRRR113322123RRRRRRRR213322131RRRRRRRR联立以上方程可得联立以上方程可得-Y反代换的电阻等效关系为：反代换的电阻等效关系为：;31231231121RRRRRR;31231212232RRRRRR;31231223313RRRRRR如图所示电路中，已知如图所示电路中，已知1=5V, 内阻不计。电阻内阻不计。电阻 R1=1, R2=2, R3=3。试利用。试利用Y-变换，求出等效电阻变换，求出等效电阻RAB,并给出通过电源的电流强度并给出通过电源的电流强度I。BA1231R2R3R3R2RIBA11r3R2RI2r3r把桥式电路中把桥式电路中1,2,3个节点构

40、成的个节点构成的型型电路变换为电路变换为Y型电路，如图所示。型电路，如图所示。利用利用Y-变换公式，可得变换公式，可得r1, r2, r3的的数值：数值：;1321321RRRRRr;21321132RRRRRrBA11r3R2RI2r3r31321123RRRRRr因此，因此，A, B两点之间的等效电阻为两点之间的等效电阻为7177101)(332233221RrRrRrRrrRAB通过电源的电流强度为通过电源的电流强度为ARIAB735/双双T型桥式桥式电路中各个电阻的阻值如图所示型桥式桥式电路中各个电阻的阻值如图所示, 求等效求等效电阻电阻R13 。11222122135 . 28454

41、522315 . 2442231589311813R如图所示如图所示, 无限梯形网络中无限梯形网络中, 每小段电阻丝阻值均为每小段电阻丝阻值均为r, 求求等效电阻等效电阻RAB, RAC, RAD 。ABCDEF与无源电阻网络相似与无源电阻网络相似，主要讨论两端无源电容网络等效主要讨论两端无源电容网络等效电容的问题。电容的问题。求解等效电容的方法与求解等效电阻的方法类似求解等效电容的方法与求解等效电阻的方法类似，可利，可利用电容器的串并联公式用电容器的串并联公式, 对简单网络采用简单串并联对简单网络采用简单串并联的方法的方法; 也可利用电容网络的对称性也可利用电容网络的对称性, 采用对称性和采

42、用对称性和等电势方法等电势方法; 也可利用也可利用Y-等效变换对电路进行简化。等效变换对电路进行简化。应该指出应该指出，由于电阻串并联公式和电容并串联公式相，由于电阻串并联公式和电容并串联公式相似，可把电容网络中每个电容用其倒数表示，再按求似，可把电容网络中每个电容用其倒数表示，再按求解等效电阻的各种方法，求得原电容网络的解等效电阻的各种方法，求得原电容网络的”等效倒等效倒数电容数电容”，即可得到电容网络的等效电容。，即可得到电容网络的等效电容。1C2C1C2C2112CCC2112111CCC如图所示如图所示, 已知已知C1=1uF, C2=2uF, C3=3uF, C4=4uF, 求求A, B两端点间的两端点间的等效电容等效电容CAB。A1C2CB3C4CAB1C2C3C4C已知已知n个电容器的电容分别为个电容器的电容分别为C1,C2,Cn，则这