方程的根与函数的零点

1、0)( xf程方)( xfy 数函x xy yx x1 1x x2 20 0 思考：一元二次方程思考：一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根与二次函数的根与二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象有什么关系？的图象有什么关系？ 函数的图象函数的图象与与x x轴交点轴交点一元二次方程一元二次方程x22x+1=0 x22x+3=0y= x22x3 y= x22x+1相应二次函数相应二次函数函函数数的的图图象象方程的实数根方程的实数根x1=1,x2=3x1=x2=1无实数根无实数根(1,0)、(3,0)(1,0)无交点无交点x22x3=0 xy01321121234.xy0132112543

2、.yx012112y= x22x+3问题探究一：方程的根与问题探究一：方程的根与函数的零点函数的零点结论：方程的根结论：方程的根等于等于对应函数图像与对应函数图像与x x轴交点的轴交点的横坐标横坐标。 对于函数对于函数y=f(x),我们把使我们把使f(x)=0的的实数实数x叫叫做函数做函数y=f(x)的的零点零点。函数函数y=y=f(xf(x) )的的零点零点方程方程f(x)=0f(x)=0的的实数根实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴交点的轴交点的横坐标横坐标就是就是就是就是方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图

3、象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点 函数 的零点是（）A（1，0） B（2，0） C（1，0） ，（2，0） D 1,2 预习自测预习自测23)(2xxxfD零点是一个点吗零点是一个点吗? ?注意：注意：零点零点指的是一个指的是一个实数实数第第1 1组组第第2 2组组 现在有两组镜头（如图），哪幅图能说明她的现在有两组镜头（如图），哪幅图能说明她的行程一定曾渡河行程一定曾渡河? ? 哪幅图无法判断她是否渡河？哪幅图无法判断她是否渡河？ 问题探究二：问题探究二：函数零点存在性定理函数零点存在性定理 图2图1 第第1 1组情况，若将河流抽象成组情况，若将河流抽象

4、成x轴，前轴，前后的两个位置视为后的两个位置视为A A、B B两点。请大家用连两点。请大家用连续不断的曲线画出她的可能路径。续不断的曲线画出她的可能路径。xABOyab 图图1 1情况，若将河流抽象成情况，若将河流抽象成x轴，前后的两个位置轴，前后的两个位置视为视为A A、B B两点。请大家用连续不断的曲线画出她的可两点。请大家用连续不断的曲线画出她的可能路径。能路径。 若所画曲线能表示为函数，设若所画曲线能表示为函数，设A A点横坐标为点横坐标为a,Ba,B点点横坐标为横坐标为b b，问：函数的零点一定在区间，问：函数的零点一定在区间( (a,ba,b) )内？内？连续的曲线连续的曲线f(a

5、)f(b)0若函数yf（x）在闭区间a，b上的图像是连续曲线 ，并且在区间端点的函数值符号相反 ，即 f(a) f(b)0，函数在，函数在(a,b)一定没有零点？一定没有零点？baxy（3）函数）函数y=f(x)在在(a,b)内有零点，一定能得出内有零点，一定能得出f(a)f(b)0的结论？的结论？ 思考思考abb bbb bbbbbbbbbbbbxy0（4）满足定理条件时，函数在区间）满足定理条件时，函数在区间(a,b)上上只有一个零点吗？只有一个零点吗？（5）增加什么条件时，函数在区间）增加什么条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点？上只有一个零点？abxy0 思考思考若函数若函数yf

6、（x）在闭区间）在闭区间a，b上的图像是连续曲线上的图像是连续曲线 ，并且在区间端点的函数值符号相反并且在区间端点的函数值符号相反 ，即，即 f(a) f(b)0, 则在区间（则在区间（a，b）内，函数）内，函数yf（x）至少有一个零点，）至少有一个零点，即相应的方程即相应的方程f（x）0在区间（在区间（a，b）内至少有一个实）内至少有一个实数解数解,也即存在也即存在c （a，b），使得），使得f（c）=0，这个，这个c也就也就是方程是方程f（x）0的根。的根。 如果函数如果函数 y=y=f(xf(x) ) 在在 a,ba,b 上上, ,图象是图象是连续连续的，并且在闭区间的，并且在闭区间的两

7、个端点上的函数值互异的两个端点上的函数值互异即即f(a)f(b)f(a)f(b)0 0, ,且是且是单调单调函数函数, ,那么这个函数在那么这个函数在( (a,ba,b) )内必有内必有惟一惟一的一个零点。的一个零点。abxy0内内容容导学案的合作探究部分。导学案的合作探究部分。要要求求1. 小组内先一对一小组内先一对一, 然后组内合作讨论，既讨论探究然后组内合作讨论，既讨论探究内容，又讨论展示内容和疑问内容，又讨论展示内容和疑问. 动口动脑动笔。动口动脑动笔。2. 组长调控好，确保每层的学生都能组长调控好，确保每层的学生都能最大限度解决最大限度解决问题，以备质疑问题，以备质疑，保证高效完成。

8、保证高效完成。3. 组长协助组长协助C层解疑，层解疑，B 层做好展示准备，层做好展示准备，A层做好层做好点评，并记录好疑问，准备质疑。点评，并记录好疑问，准备质疑。目目标标A层解决所有问题。层解决所有问题。BC层解决导学案疑难。层解决导学案疑难。积极参与，做最主动、最好学的人！积极参与，做最主动、最好学的人！ 对于函数对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x 叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点。方程方程f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点课堂小结课堂小结方程法方程法定理法定理法图像法图像法如果函数如果函数 y=y=f(xf(x) ) 在在 a,ba,b 上上, ,图象是图象是连续连续的的，并且在闭区间的两个端点