《高等数学》第10章无穷级数习题详解

1、第十章无穷级数习题详解第十章无穷级数习题10-111 .写出下列级数的前五项(1)(3)n 1 (2 n)2(1)n15n 110n(2)1 3(2n 1)n 11(2n)-n!n 1 (n 1)工_2_3_比且3 42 4 64252627212 1101!211 31 3 524 2 4 6 工工工20 30 402!3!4!T23 T434513 5 72 4 6 8 1505!65.1 3 5 7 92 4 6 8 102 .写出下列级数的一般项3(2)a711312x x、x一 一1解(1)因为一2(2)因为(3)因为9161125133611111，- ，- 1 242 263 2

2、0aa(2 1 1) (2 1 3)3 72a(2 3 1) (2 3 3)31 (2 1 1)5一 ( 1)，一11 141)2(X 0).,因此一般项Un12n1a(2 2 1) (2 2 3)n 1因此一般项un a(2n 1)(2n 3)(2 2 1)221)3 (2 3321)12x2 X1 22 43x22 4 6因此一般项un(1)n(2n21)n2tx2xx第十章无穷级数习题详解11 -因此一般项Unx1223.判定下列级数的敛散性(2n)X，2n(123n)X，乐!(1)(3)1(2n1)(4)花sin一61232冗sin61n(n1).n冗sin611113、33343(5

3、)(n22.n1.n)；n113g735792n12n11(1 3 nnSn( 2. 1)(3 . 2) ( . 4 、3)(.n 1 . n) n 1 . 1n 时，Sn,故级数发散(2)因为1(2n 1)(2n 1)/)(9) (2nJa2n7a)(a0)n1111(10) 1一1一厂11(11)2(11)3123解(1)因为Sn(2n1)(2n1)2(1213)1(32n1,5)(2n12n1)时，Sn(3)因为1n(n1)(1(4)因为2sin1212sin1212sin12由于(5)Sn时，SnSnsin6,故级数收敛.23sinsin66.2(2sin-sin-2sin-sin12

4、61212nsin62sinsin12362sinsin-)126(cos12cos.12(cos12cos")12(cos也12cos-2n-)12cos12cos"122n1limcos12不存在，所以limSn不存在，因而级数发散.因为2n1)(,n1,n)(3.2)(.21)(43).2)(5.4)(.4.3).n1)(.n.n1)(21).n2.n1(21)时,Sn品,故级数收敛.(6)该级数的一般项Un1n.313n10(n),故由级数收敛的必要条件可知,该级数发散.1Onn131On121一-1该级数为公比qn131的等比级数，该级数收敛,12n1，该级数为公

5、比q12的等比级数，该级数也收敛,13n1，一也为收敛级数.12n(8)该级数的一般项Un2n2n122n110(n),故由级数收敛的必要条件可知，该级数发散.因为Sn(Vaa)(5a3a),2n1.(a2n1a)2n1aa时，Sna,故该级数收敛.（10）该级数的一般项1(1-)n1n1(1-)n(n），故由级数收敛的必要条件可知，1级数发散.4.证明下列级数收敛，并求其和:1710(3n2)(3n1)证Sn1710(3n2)(3n1)11、(1)34(;7)3n23n11)3(13n1时，Sn故该级数收敛，且n1(3n2)(3n1)5.若级数un与n1Vn都发散时，级数n1(unn1Vn）

6、的收敛性如何？若其中一个收敛,个发散，那么，级数(unn1Vn）收敛性又如何?解若级数分别为unn11)n1；（发散）Vnn11)n；（发散）则级数“nVn）显然收敛；但是如果另外有级数n1Wn1则级数（UnWn）显n1然发散。即两个发散的级数相加减所得级数可能收敛，也可能发散。若其中一个级数un收敛，另一个vn发散，则(unn1Vn）肯定发散.若不然,(un vn)收敛,则n 1Vn n 1(unvn)un应该收敛，与假设矛盾.同理，若(unvn)收n1n1n1敛，则Vn(UnVn)n1n1Un应该收敛，与假设矛盾.n1(1)1(2) 1+3一11(4)包6(sin 4)262(sin 2n

7、)/ C 冗 冗 冗(5) sin sin -sin 一2481(n 1)(n 4)解(1)由于 lim -n12 n冗sin2limn2n-2二n 5n习题10.21.用比较判别法或其极限形式判定下列各级数的敛散性:1(n1)(n4)11；571113252(2n1)21，而级数2收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛n1n1limn 2n 1(2)由于lim2n-n1n一,，1.而级数1发散，由比较判别法的极限形式，故原级数发散n1n1772/(3)由于lim-(nlim()2n1n2n142n1而级数2收敛，由比较判别法的极限形式，故原级数收敛n1n_2(sin2n)2111.(4)

8、unnn，而一n为公比q1的等比级数，该级数收敛，由比66n166较判别法，故级数(sin2n)26n也收敛.(5)由于limnsin2nlimnsin2n2n一1一而一收敛，故sin一也收敛.n12nn12n2.用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1) 1(2) 345n , 3 n!3233322!333!2233(3) sin -212 sin213 sin 2'1nsin 2n(4)(n!)2 . n 1 (3n)! ;(5)In n(6)5 n 1 n!13n解(1) un3 nim可3nlim1Un 3 n 2故该级数收敛3n n!n )nlimnUnUnlimn3n 1(

9、n 1)!(n1)n 1nnn3 n!lim 3(nn 1)3lim (1n1)n故该级数发散.(3)nsinlimnUnlimn(n 1)sin：.1 nsin -2nsin力 lim 2 n 12n 112n.1 sin 2nn2n故该级数收敛(4)(n!)2(3n)!limnUn1Unlimn(n1)!23n!3(n1)!(n!)2limn(n1)2(3n1)(3n2)(3n3)故该级数收敛（5）Unlnn.n2n'limnUn1Unlimnln(n1)n12n1,n2nlnnlimn1ln(n1)1Inn2故该级数收敛limnUn1Unlimn(n1)n(n1)!n!nnlim

10、(nlim(1n-)nne1,故该级数发散2(7、nun03limnUnlimn(n1)23n13nnlim1(一3n1yn1,故该级数收敛.3.用根值判别法判定下列各级数的敛散性:(1)(n(3)n5n)n_2n2)n；(2)(11)n2nn23nn11en;(5)(6)（包）n，其中annXana(n）,an,b,a均为正数;解（1）由于limnun故该级数收敛.(x0,limanna,anlimnj("5n2)nlimn5n21,(2)由于limn/unnlimn2(11)nnlim(1n-)nn1,故该级数发散.由于limVunn-limn;(q)n2lBnlimn(12)n

11、n2lim1(1n2第十章无穷级数习题详解17 -故该级数发散.1,故该级数发散.由于limnn/Ub、n(5)nimnUnlimnn(anlimnan当ba当ba1,即b1,即b(6)nimnUn1)2)发散;a,a,limn0时,-1,即x该级数收敛；当不能判断.该级数发散limnanX时，有当一1,即Xaa4.判别下列级数的敛散性:a,根值法不能判断.(1)322(4)2333(4)34(3)(1sin1)(4)2ln(17)1.1、(一sin-)222ln(12r)ln(1(5)2sin322sin32IO2(6)2nncos32n解（1）limnunn-limn故该级数收敛.Un(n

12、1)nsin,limnUn2nn.(3)Un1sin,limnn1.1一sin一nn12nlimn1,即ba,该级数发散;a,该级数收敛;该级数(4)Unln(1与n，因ln(14)n(2)n(n1)nsin(1sin-)sin3nn6III;2).所以发散12!nn1n4(nnlimnnn故该级数收敛.），limn22n-2,1-2 n2ln(1刍故limnn1-2n.1而2收敛，故该级数收敛n1nun2sinn,因sin-nTK333c2C士n，有2sin-()3n32口.(-)n收敛,m3由比较收敛法，故该级数收敛(6)un2nncos2n3,因2nncos一32n1,二收敛,12n由比

13、较收敛法，故该级数收敛1unenlimn11nneeT-2n221（由罗比达法则），故该级数收敛5.判别下列级数是否收敛？若收敛的话，是绝对收敛还是条件收敛?(1)(3)(5)(6)(8)(1)n11；n1.nn11(1)sin；n1n111(2)(n1(4)(n111a2a3a4aln2In3ln4In5；1.2sin一21.1,3sin4sin一3344-1sinsin12122.1sin32.1sin421)n1)nI 1.cn；n8II n1ln;n（a不为负整数）III；lim unn-n11解（1）Un（1），显然Un为交错级数，且un数收敛，又因为.nn1un发散,即原级数是条件

14、收敛(2)因为nX1n8nnUnUn收敛，即原级数是绝对收敛。因为n1sin3,lim3n1n-1sin3n1-3n1，而1,，收敛,31n对收敛。(4)Un1)n,n1口”ln，显然nUn为交错级数,ln-Un收敛，即原级数是绝UnlimUnn0,故该级数收敛。又因为n1lnn1nln(1n11),limnnln(1-)n1散，即原级数是条件收敛Unn1(1)n，显然na为交错级数，且(n1)alimUnn0,故该级数收敛;又因为limnna1而1收敛.(6)Un1)nln(1n)，显然Un发散，即原级数是条件un为交错级数，且Unln(1n)1ln(2n)Un1limUnn0,故该级数收敛

15、,又因为11ln(1n)1ln(1n),由比较收敛法，而1土发散，故Un因为n收敛，故发散,即原级数是条件收敛-47sin，因sin1n1n1Un收敛，即原级数是绝对收敛。第十章无穷级数习题详解19(8)因为n1.1sin-n1n.1sin2n12n收敛,即原级数是绝对收敛。习题10.31.求下列哥级数的收敛域:(1)2X23x3;(2)(3)123X了222""12332x;321(5)X21!(6)2X222!2X2321)n1x(2n3X233!3X332n14X厂4XF44!(9)2n12n22nx解（1）unnxn,an，、，一1所以收敛半径R-当x1时，原级数为

16、n1)!limn(8)(10)1)n1(X1)n;n(x5)n1、.n当X1时，原级数为1)因而该级数的收敛域为1,1).n(2)un(1)nX,ann1)nlimnan1anl41,nn0,该级数发散lim(1)nnn0,该级数发散limnan1an2lim-21,n(n1)21所以收敛半径R-当x1时，原级数为1)n2n,为交错级数，该级数收敛第十章无穷级数习题详解37 -当X1时，原级数为因而该级数的收敛域为1,1.nX(3)un246limnan1an故收敛半径R(4)Un2n2nlimnan1an所以收敛半径-1当X一时,2,an(2n)limn246(2n)46(2n)n-X,an

17、1limn46(2n)(2n2)limn,因而该级数的收敛域为2n2n2n1(n1)21原级数为-1当x2时，原级数为因而该级数的收敛域为nXun-2nn!limnan1anlimn故收敛半径R1(6)unU12n20,).2n""2nn212n1)n2,2.12nn!,2nn!2n(n1)!nX,anlimn2(n2(n1)21)12,，该级数也收敛lim1一n2(n1),因而该级数的收敛域为limnan1an-,该级数收敛.10,limn).n3n(n1)3n113,1所以收敛半径R,3当x3时，原级数为n111,该级数发散.n当x3时，原级数为n(1)n-,该级数为交

18、错级数，收敛1n因而该级数的收敛域为3,3).(7)因为该级数缺少偶次哥,我们根据比值审敛法来求收敛半径limnun1Unlimn2n1x(2n1)!(2n1)!2n1limn2x2n(2n1)0,因而该级数的收敛域为).(8)un(1)1(x1)nn1tnun(1),an1)nlimnan1anlim一nn1，收敛半径1,即0时，原级数为(1)2n11n2时，原级数为(1)n1n1n该级数为交错级数，收敛因而该级数的收敛域为(0,2limnun1limn(2n1)x2n2nlimn2(2n1)x22xun2n1(2n1)x2n22(2n1)2(9)因为该级数缺少奇次哥，我们根据比值审敛法来求

19、收敛半径J2xJ2时，该级数收敛.即xJ2时，该级数发散.J2时，原级数为2n_J,该级数发散.n12,一2n1当xJ2时，原级数也为三，该级数发散n12因而该级数的收敛域为（,2,2）.(10)(x5)nx5,则Untn,annlimnan1anlimnnM1，收敛半径1,有x1,4时，原级数为（Dn一该级数为交错级数，收敛1<n16时，原级数为1=,该级数发散.n1nn因而该级数的收敛域为4,6).2.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数在收敛区间内的和函数:(1)2x3x234x(2)(n1n11)nx(3)4n1x(4)4n3x315x5lib并求1n1(2n1)2n的和.解（1）

20、由于nnx1dxxnnx1dx故有nx1(2)由于1)nx故有1)n1nnx(1（3）由于4n1x14n1)(1x)21).1dx4nx1(4n(1故有n14n1x4n1c4dx01x41In4x0(1)1nxdx1)nx)21).4nx4x1x41).ctanxx2x1).(4)由于x2”1(n12n2n1?(1x1)，故有n12n1x2n1n1(2n1)2nnX11n2nxn11-1),令x1，得11ln,223(12.2)1)题1.求下列函数的麦克劳林公式：10.4(1)f(x)xxe;(2)f(x)cos2x;解(1)2x2!3x3!(n1)!xen一xn!(01).f(x)xxe3x

21、2!4x3!(n1)!xexn!1(01).(2)因为cosx1-x2!14一x4!(1)n(2n)!2n/2n、xo(x).则有cos2x11(2x)2!1(2x)4!(2x)2no(x2n)(2n)!2x2工2n(2n)!/2nxo(x).2.求下列函数展开成关于x的哥级数，并求收敛区域:(1)(3)ln(ax)(a10)；(2)(5)2-x3xcos;2(4).2sinx；解(1)ln(ax)lna(1x.)lnaaxln(1-)a由于ln(1x)3xnxn1nx则有ln(ax)lnaln(1-)Inaax(a,an一，xXx(2)因为e,anon!xlnae(xlna)nnon!12x

22、23x21111(xi)(x2)Flx-2x-112(”nn1nx(1)x(1)(-)n02n02(1)n(1焉)xnn02(1x1).2(4)sinx11-cos2x222n1)22n2nx1)n2n1122nx(2n)!).(j£x2n (2n)!5/n n 0 (2n)!cos- 12土)4M宇0 (2n)! 2).3.将 f (x)解 lg xlg x展开为关于lg1 (x 1)x 1的哥级数.ln1 (x 1)ln10,3(x ln 10 n 1 n1)n(0 x 2).1，4.将f(x)F展开为x2泰勒级数x5x6解 f (x)1x2 5x 61(x 2)(x 3)因为c

23、osx1x21x42!4!114(x2)5(x2)1)n(-1114(x2)41(x2)J45(x2)51(X2)15n(1)n(?)n5因此f(x)5.6.n1,1)王(x2)n(x5)；2x5x6n01)n(-44i)(x2)n5(x24).将函数cosx展开成x一的哥级数.3cosxcos(x1,、-cos(x-)2312n3)38s(x3Tsin(x3)cossin(x)sin3333(x1)n-3)2n(2n)!,31)2n1n1(x3)(2n1)!1)n2n(x3)3(x-)2n(2n)!(2n1)!).1将展开成关于xx4的哥级数4(x4-)11Vt14n(0卢,给上式左右两边同

24、时求导数，得4(1)nn04(1)n04nn11(x4)14)n1(x44).x7.将ea展开为解因为a的哥级数.(a0)xxa-1aaeee一n0n!(aa)nee一(xa)ae2(x2!a2a)2en!(x、na)习题10.51.求下列各数的近似值,精确到104(1)e;5240(3)1sin*d(4)0.5解(1)ex(2)即得(4)因为2!3!n!5.24052401sinxdx0x10(110(10.511x42!3!524313(151112一x3!12一x3!4dx4!3(1-3-3一(xxx3!1416一xx5!7!-x4)dx5!1)n4nx,5!6!7!2.718282!1

25、-x5!3851一x7!)dx3!35!513(15)dx0.94611)2.9926341.-dxxn4n1)xdx(1)4ndxn4n1(1)x4n10.51dx(1)n(1)4n14n1计算得0.5八4dx01x410.00625250.000280.006250.000280.4940.2.利用欧拉公式将sinx展开成x的哥级数.解ex1sinx一x一一esinx2!3!n!1x3!1x5!1x7!(12!3x3!(x13x3!15、-x)5!1.证明下列各式:(2)证明a015x30习题10.6兀cosnxcosmxdx兀兀sinnxsinmxdx兀cosnxcosmxdx-1sin

26、(nm)x-2nmcosnxcosnxdxsinnxsinmxdx1sin(nm)x2nmsinnxsinnxdx0,n,n;0,n,n.2sin(ncos(nm)xcos(nm)xdxm)x0(mn)2,cosnxdxcos(nm)xsin(nm)x】nmsin2nxdx-22.将下列函数展开成以2f(x)(1)Tt由于该函数为偶函数,1f(x)dx一(cos2nx1)dxcos(nm)xdx0(mn).(1cos2nx)dx为周期的傅立叶级数:(mn).(mn).x/；(2)f(x)sinx,可利用积分的性质:_223_2(3x1)dx()2(1);x九.12f(x)cosnxdx一(3x

27、1)cosnxdx2(3x1)cosnxdx(1)n12n1,2bn12f(x)sinnxdx(3x1)sinnxdx0n1,2故f(x)a02(ancosnxbnsinnx)1112/cosnx.n1na。一、.1.,f(x)dx一0sinxdxan一、.1.f(x)cosnxdx一°sinxcosnxdx0-(1n为奇数1.2.1f(x)sinxdxsinxdx一02bnn 2,3 ；1.f(x)sinnxdx-osinxsinnxdx故f(x)a。ancosnxbnsinnx-1sinx21-cos2nx.n14n13.将下列函数展开成以2为周期的傅立叶级数，并分别作出原函数与

28、傅立叶级数的和函数在演冗上的图形.x(1)f(x)sin-,冗x冗；(2)0,f(x)xe,<x<0,解(1)设F(x)为f(x)周期延拓而得到的新函数,F(x)在(f(x)的间断点，且F(0)F(0)/2f(),F(0)F(0)/2f(),F (x)的傅里叶级数不收敛故在(，)中F(x)的傅里叶级数收敛于f(x),在x于f(x),计算傅里叶系数如下:第十章无穷级数习题详解39x,、因为f(x)2sin(x)是奇函数，所以an30(n0,1,2),14.x.,bnf(x)sinnxdxsinsinnxdx0318.3n1_n1,2,3故f(x)18.3(1)n1nn19n21sin

29、nxx(,).a011x,e1f(x)dx一0edx1an一、,1x.1,xf(x)cosnxdxqecosnxdx(en°exsinnxdx)2nan0即a(?ne1(n1),类似地可得：n(n21)1 1xbn一f(x)sinnxdx一0eao.故f(x)ancosnxbnsin2 n1其中(x,xn,n0,2._4.将函数f(x)2x(0x解(1)正弦级数2x2,x0,对f(x)作奇延拓，得F(x)0,x0_22x,x(,0)再周期延拓5J)到(，)，易见x是一个间断点(1)ne1nx.、(esinx)nexcosnxdxcosnx(1)ne1sinnxdxnan;e1(1)n

30、e1nx-2(cosnxnsinnx).2n1(n1)1,2,|)°)分别展开成正弦级数和余弦级数.第十章无穷级数习题详解57 -F(x)的傅里叶系数为an0n0,1,21bn2f(x)sinnxdx一2x2sinnxdx42(n2-)(1)n2-3n1,2n由于x处，f(F(0)2F(0)故f(x)4(/n1n2-)(n1)n-23sinnxn(0x).(2)余弦级数对f(x)作偶延拓，得F(x)2x),再周期延拓F(x)到(),则F(x)内处处连续,F(x)f(x),x0,F(x)的傅里叶系数为:a0f(x)dx02x2dxanf(x)cosnxdx22x20cosnxdx1)n

31、n1,2bn1,2f(x)1)n一cosnx(0x).an5.设a。f(x)的周期为2,且101f(x)dxxdxf(x)cosnxdxf(x)1210dxxcosn1xdxx,1x011,0x211,x12J11)dx1292cosn0使将其展开成傅立叶级数xdx11(1)cosnxdx2bn而在工1n(1)n11f(x)sinnxdx2ncos-)上,f(x)6.将a02anbnf(x)令上式x因此f(x)2-sinn0xsinnxdx1n1,2,1,2,12-2sin0f(x)的间断点为x2k,2k11(1)n22n121f(x)dx2nxdx0,0,11(1)sinnxdx20,1,2

32、,n2sin2,cosnn(x2k,x2k,11一，在(一，一)上展开成傅立叶级数,22142xdx01彳f(x)cos2nxdx21,2,142xcos2nxdx0k0(2k1)2cos2(2n1)x_2(2n1)(ii)_20(2n1)0,n2cos2-sinnx,n1,2,).并求级数2(nr0的和.n为奇数n为偶数习题10.71.设篮球架上的篮筐到地面的距离为3.05m,一学生投篮未进，篮球落到地面后反弹到原来高度的40%处，落地后又反弹，后一次反弹的高度总是前一次高度的40%.这样一直反弹下去，试求篮球反弹的高度之和解设第n次的反弹高度为xn,根据题意cccc4ccc,4、2cXi3

33、.05,X23.052,X33.05()22,1010xn3.05()n12,10则篮球反弹的高度之和3.05n 12X1X2X3Xn3.053.0523.05()2210104c4423.053.0521()2101010413.053.05110即篮球的反弹高度之和为7.12m.2.2000年保险公司可以保证预定年利率一直是6.5%,几十年不变.某人每年在保险公司存入1000元（每年按复利计算）.试求（1）10年后，投资额累积（即本息和）是多少？（2）要存入多少年后才能存到10万元？解（1）由题意可知2001年本息和是1000（10.065）100022002年本息和是

34、1000（10.065）1000（10.0065）100092010年本息和是1000(10.065)n14371.56(元)n0（2）由题意可知k4n41000(10.065)1010n0k即(10.065)n100k31.2(年)n0本章复习题A一、选择题1.A2,C3.D4.A5.B6.D7.D二、填空题11. 一；22. 0,2)3.nn(1)x04.5.26.x(x1)2二、判断题.5.6.四、计算题1 .判断下列级数的敛散性:(1)(1Pcos)n(P0)；(2)(3)1)n(k0);(4)(5)(1)n(7)(1)sinnn1(6)冗工n1n2nn!1nnnlnn(

35、8),冗ntan-12n2 .求下列级数的收敛域：(1);n1n2x13.求下列级数的收敛区间:(2)(1)n212n32V(1)2nX4.n1(2n1)(2n)求下列哥级数的收敛区间和收敛半径(2)(11n2nx5.6.7.(1)n将函数将函数(x1)2n.1n32n'.1f(x)In4larctanx2(3)3n吗x1)n;x展成为关于x的哥级数.xf(x)29x2展成X的哥级数求下列哥级数的收敛域及和函数(1)n(n1)xn;n1(2)2nnxn1n!四.计算题解答1.判断下列级数的敛散性:(1)因为1cos2sin2n2n时，sin,2n2n1时，该级数收敛，当211p一时,2该级数发散。(2)unn2丁故该级数收敛。(3)(1)nn12nT(k0)nlimnunn'limn该级数为