几何与代数：1-1 矩阵及其运算

1、1线性代数与解析几何线性代数与解析几何231.1 矩阵及其运算矩阵及其运算一、一、 矩阵的概念矩阵的概念二、二、 矩阵的线性运算矩阵的线性运算三、三、 矩阵的乘法矩阵的乘法四、四、 矩阵的转置矩阵的转置4 mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 线性方程组线性方程组的解取决于的解取决于 , 2 , 1;, 2 , 1njmiaij 系数系数 mibi, 2 , 1 常数项常数项矩阵概念的引入矩阵概念的引入5 mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的研究可转化为对这张对线性方程组的研究可转化为

2、对这张表表的研究的研究. .线性方程组的系数与常数项按线性方程组的系数与常数项按原位置原位置可排为表可排为表6, 212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA记作记作简记为简记为 nmijaA nmA 或或), 2 , 1;, 2 , 1( njmianmij 个数个数由由列的数表，列的数表，行行排成的排成的nm.列列矩矩阵阵行行称称为为nm.矩阵矩阵简称简称nm 矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具矩阵是数学中一个极重要的应用广泛的工具. .矩阵就是一个矩阵就是一个 数表数表. .列列元元素素行行第第表表示示第第jiaij1 .定义定义7实矩阵实矩阵 元素是实数元素是实数.复

3、矩阵复矩阵 元素是复数元素是复数.例如例如 34695301是一个是一个 实矩阵实矩阵,42 2222222613i是一个是一个 复矩阵复矩阵,33 8 9532是一个是一个 矩阵矩阵,41 4是一个是一个 矩阵矩阵.11 jiaAij 2 54 ，其其元元素素矩矩阵阵问问题题：试试写写出出 421是一个是一个 矩阵矩阵,13 34567123451012332101A92. 一些特殊的矩阵一些特殊的矩阵零矩阵零矩阵)(型矩阵型矩阵对对nmA 注意注意 不同阶数的零矩阵是不相等的不同阶数的零矩阵是不相等的.元素全为零的矩阵称为零矩阵元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作零矩阵记作 或或 .

4、.nm nmo o.O,O 0000001222如如10行矩阵行矩阵列矩阵列矩阵方阵方阵只有一行的矩阵只有一行的矩阵 ,21naaaA 称为行矩阵称为行矩阵.,21 naaaB只有一列的矩阵只有一列的矩阵称为列矩阵称为列矩阵.行数与列数都等于行数与列数都等于 的矩阵的矩阵，称为称为 阶阶nn.nA方方阵阵. 也可记作也可记作11对角矩阵对角矩阵)diag(22112211nnnna,.,a,aaaaA aii 称为称为主主对角元对角元.)1, 2diag(1002 A如如不全为不全为012单位矩阵单位矩阵nnnI 111记作记作方阵，主对角元素全为方阵，主对角元素全为1，其余元素都为零，其余元

5、素都为零. IIn或或)1,.,1 , 1diag( nnnkkkkI 全全相等相等数量矩阵数量矩阵13上三角上三角矩阵矩阵形如形如 的方阵的方阵. . nnnnaaaaaa00022211211下三角下三角矩阵矩阵形如形如 的方阵的方阵. . nnnnaaaaaa2122211100014132 yx054 yx 5432A 054132A可以建立线性方程组与矩阵的一一对应可以建立线性方程组与矩阵的一一对应：称为方程组的称为方程组的增广矩阵增广矩阵.系数矩阵；系数矩阵；称为方程组的称为方程组的15例例 (价格矩阵价格矩阵)四种食品四种食品(Food)在三家商店在三家商店(Shop)中中,单位

6、量的单位量的售价售价( (以某种货币单位计以某种货币单位计) )可用以下矩阵给出可用以下矩阵给出 1915818191391521117171F2F3F4F1S2S3S16例例 某航空公司在某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若四城市之间开辟了若干航线干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图如图所示表示了四城市间的航班图,如果如果从从A到到B有航班有航班,则用带箭头的线连接则用带箭头的线连接 A 与与B.ABCD发站发站到站到站ABCDABCD四城市间的航班图情四城市间的航班图情况常用表格来表示况常用表格来表示: :其中其中 表示有航班表示有航班. .171111111000000000

7、此数表反映了四城市间交通联接情况此数表反映了四城市间交通联接情况. .为了便于计算为了便于计算, ,把表中的把表中的 改成改成1,空白地方填上空白地方填上0,就得到一个数表就得到一个数表:ABCDABCD18同型矩阵同型矩阵：nmnmB,A A与与B相等相等：njmibabBaAijijijij,.,1;,.,1,)()( 同型，且同型，且与与记为记为 A = B.例如例如 9348314736521与与为为同型矩阵同型矩阵.19例例 设设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已知已知 解解,BA . 2, 3, 2 zyx20注意注意：对于同型矩阵加法才有意义对于同型矩阵加法才

8、有意义.例如例如 221112010011211101加法加法：).(ijijbaBABA 同型，定义同型，定义与与 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111即即21减法减法负矩阵负矩阵 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211 ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵称为矩阵A矩阵矩阵加法加法满足的运算规律满足的运算规律.) 1 (ABBA 交换律：交换律：).()( )2(CBACBA 结合律：结合律：.)()4(OAA .,)3(是同型矩阵是同型矩阵与与其中其中OAAOA )()(对应元素相减对应元素相减B

9、ABA OBABA 22)(ijkakA 数乘数乘 204210212),()1(ijaAA例，例，.)(112222111211 mnmmnnijkakakakakakakakakakakA即即23 ;)2(AA ;)3(AAA ;)4(BABA 矩阵矩阵数乘数乘满足的运算规律满足的运算规律矩阵加法与数乘运算合起来矩阵加法与数乘运算合起来, 统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算.设设 为为 矩阵矩阵， 为数为数 ,nm BA、结合律结合律分配律分配律 AA 1 )1(241.引例引例两个工厂生产甲两个工厂生产甲,乙乙,丙三种产品丙三种产品.矩阵矩阵A表示一年中各工厂生产每种产品的数量表示

10、一年中各工厂生产每种产品的数量, 矩阵矩阵B表示每种产品的单位价格及单位利润表示每种产品的单位价格及单位利润, 矩阵矩阵C表示各工厂的总收入和总利润表示各工厂的总收入和总利润.某地有某地有21, 232221131211aaaaaaA 323122211211bbbbbbB12甲甲乙乙丙丙甲甲乙乙丙丙单位单位价格价格单位单位利润利润 22211211ccccC12总收入总收入总利润总利润收入收入= =单位价格单位价格* *数量数量利润利润= =单位利润单位利润* *数量数量25 322322221221312321221121321322121211311321121111bababababa

11、bababababababa 22211211cccc其中其中)2 , 1,(332211 jibababacjijijiij2. 矩阵的乘法矩阵的乘法nmijnmnttmcCBA )(其中其中= cij C .A.第第i 行行第第 j列列B skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 27例例222263422142 C22 16 32 816? 106861985123321不存在不存在. . 只有当只有当第一个矩阵的第一个矩阵的列数列数等于等于第二个矩阵的第二个矩阵的行行数数时，两个矩阵才能相乘时，两个矩阵才能相乘. .注意注意2

12、8 解解 ),.,(2121nnbbbaaaAB nnaaabbbBA2121),.,( nnnnnnbababababababababa212221212111nnababab 2211.,).,.,(,2121BAABbbbBaaaAnn求求设设 例例29例例计算下列矩阵的乘积计算下列矩阵的乘积43337311020854121111 444311117311020854121 437311020854121 437311020854121 单位矩阵单位矩阵在矩阵乘法中的作用与在矩阵乘法中的作用与数数“1”在数的乘在数的乘法中的作用一样法中的作用一样.,nmnmmAAI nmnnmAIA

13、30定义定义 上三角矩阵上三角矩阵下三角矩阵下三角矩阵)1, 2 , 1(0,)( njajiaAijnnij时时当当对对于于), 3 , 2(0,)(njajiaAijnnij 时时当当对对于于31证明证明，设设 nnnnaaaaaaA22211211 nnnnbbbbbbB22211211,)(nnijcCAB 要证要证C是是上三角上三角矩阵矩阵.当当ji 时时,kjnkikijbac 1kjnikikkjikikbaba 11. 0 结论结论两个两个下三角下三角矩阵的乘积仍为矩阵的乘积仍为下三角下三角矩阵矩阵.两个两个上三角上三角矩阵的乘积仍为矩阵的乘积仍为上三角上三角矩阵矩阵.32nn

14、naaa 21nnnbbb 21nnnnbababa 2211特别特别333. 矩阵乘法满足的运算规律矩阵乘法满足的运算规律);()( ) 1 (BCACAB 结合律结合律,)()2(ACABCBA 分配律分配律;)(CABAACB )()()()3(BABAAB 数数乘乘结结合合律律（其中其中 为数为数） 与数的乘法的运算规律比较来学与数的乘法的运算规律比较来学: 相同点和不同点相同点和不同点.34注意注意(1)矩阵乘法矩阵乘法不满足不满足交换律交换律，即，即.可交换与否则称BABAAB (2)两个两个非零非零矩阵的乘积可能是矩阵的乘积可能是零零矩阵矩阵.例例 设设,1111 A 1111B

15、则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故, 0, 0 BA若若, 0 AB而而BA是是称称的的左零因子左零因子.的的右零因子右零因子.AB是是称称35例例 设设,4221 A,1231 B则则,101055 ACAB., 0CBA 且且但但(3)矩阵乘法矩阵乘法不满足不满足消去律消去律，即，即 2117C,ACAB 不能推出不能推出.CB 0 A, 0 AB特特别别：0 A不能推出不能推出. 0 B36 矩阵的乘法应用广泛矩阵的乘法应用广泛,许多复杂的问题都可用许多复杂的问题都可用矩阵乘法表达得非常简洁矩阵乘法表达得非常简洁. 37方程组的矩阵表示方程组的矩阵表示设方程组为设方程组

16、为令令则上述方程组可用矩阵表示为则上述方程组可用矩阵表示为 AX = b . mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111,212222111211 mnmmnnaaaaaaaaaA,21 nxxxX.21 mbbbb 对于对于n元线性方程组元线性方程组例例38例例(线性变换线性变换) nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111n个变量个变量nxxx,21与与m个变量个变量myyy,21之间的之间的关系式关系式表示从变量表示从变量nxxx,21到变量到变量myyy,21的的线性

17、变换线性变换.其中其中ija为常数为常数,.)(称称为为系系数数矩矩阵阵nmijaA 39 .,22112222121212121111nmnmmmnnnnxaxaxayxaxaxayxaxaxay mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 nxxxX21,21 myyyY线性变换可写为线性变换可写为.AXY 令令40线性变换线性变换与与矩阵矩阵A之间存在着之间存在着一一对应一一对应关系关系.,XYIA 则则若若称为称为恒等变换恒等变换.例例旋转变换旋转变换. yx yx cossinsincos在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, 线性变换线性变换的的角得到的新点角得到的新

18、点逆时针旋转逆时针旋转是将点是将点),(),(yxyx 41方阵的幂方阵的幂 AA1定义定义为正整数，为正整数，阶方阵，阶方阵，为为设设knAmkkmkmkmAAAAAkm )(, 为正整数，为正整数，设设注意注意kkkBAAB ）（一般，一般，4. 方阵方阵幂幂和方阵的和方阵的多项式多项式AAAkk 1相相乘乘个个A1 k42;)(kkkBAAB,时时当当BAAB ,时时当当BAAB .)(kkkBAAB .)( kkkBAABABABAB 注意注意kkkBAAB ）（一般，一般，43方阵的多项式方阵的多项式01)(axaxaxfkk 设设的多项式的多项式为为x设有多项式设有多项式 f (x

19、), g(x), A, B 为为n阶方阵，则阶方阵，则 f(A) g(A) = g(A) f (A).但是但是，一般一般 ).()()()(AfBfBfAf 阶方阵，则阶方阵，则是是nA.次次多多项项式式的的称称为为kA0111)(aAaAaAaAfkkkk I44IAIAIAIAAIA 222)(2）（等等等等)(2()2(IAIAIAIA ）（如，如，22222)(2BABABABABABA ）（一般，一般，但是但是451.定义定义（转置转置），设设 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211.212221212111的的转转置置为为称称AaaaaaaaaaAmnnnmm T

20、 T A矩阵，矩阵，为为若若nmA .矩阵矩阵为为则则mnAT (把把A的的行行换成同序数的换成同序数的列列得到的新矩阵得到的新矩阵)46例例,854221 A;825241 TA ,618 B.618 TB472.转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB TkAAA21推推论论TTTkAAA12 48证明证明(4) TTTABAB )(snijnmijbBaA )(,)(设设.)(为同型矩阵为同型矩阵与与TTTABAB， nkkijkba1 nkjkkiab1.)(TTTABAB 所以，所以，矩阵，矩阵，是是则则smAB 矩阵，

21、矩阵，是是msABT )(矩阵，矩阵，是是mnAT 矩阵，矩阵，是是nsBT 矩阵，矩阵，是是msABTT ,)(列元列元行第行第的第的第又又jiABT即为即为,列元列元行第行第的第的第也就是也就是ijAB列元为列元为行第行第的第的第又又jiABTT， nkkijkba149例例 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解解 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB法法150法法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 ,102324171,231102 BA513. 对称对称矩阵与矩阵与反对

22、称反对称矩阵矩阵定义定义设设A为为n阶方阵阶方阵，如果满足如果满足 ，即即TAA njiaajiij, 2 , 1, .6010861612为对称矩阵为对称矩阵例如例如 A.,称称为为反反对对称称矩矩阵阵则则矩矩阵阵如如果果AAAT 对称矩阵以对称矩阵以主对角线主对角线为对称轴对应的元素相等为对称轴对应的元素相等.说明说明.001006160为为反反对对称称矩矩阵阵 A那末那末A称为称为对称矩阵对称矩阵.,0 iia即即jiaajiij ,52AAT 为为反反对对称称矩矩阵阵A为为对对称称矩矩阵阵AAAT jiaajiij, jiaaiajiijii, 053. ,)2(都都是是对对称称矩矩阵阵和和则则设设TTnmBBBBB 阵阵？反反对对称称矩矩阵阵？下下列列矩矩阵阵是是否否是是对对称称矩矩)1(， 021203130， 501001112 013102322证证 (BBT)T = (BT)TBT = BBT .54证证 T T)(BAABT TT TT TT TT TT TBAABBAAB )()(BAAB)()( . ）（BAAB .,)3(阶阶反反对对称称矩矩阵阵是是则则nBAABBBBA