微积分：5-7 常系数齐次线性微分方程

1、 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程1二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程定义二阶常系数齐次线性方程解法二阶常系数齐次线性方程解法小结小结 思考题思考题 作业作业n阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法5.7 常系数齐次线性微分方常系数齐次线性微分方程程齐次齐次常系数常系数常系数齐次常系数齐次常系数齐次常系数齐次常系数齐次常系数齐次第第5 5章章 微分方程微分方程 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程20 qyypy方程方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程二阶二阶常系数常系数齐次齐次线性线性一、定义一、

2、定义 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程3- - 特征方程法特征方程法rxye 将其代入方程将其代入方程, 0e )(2 rxqprr, 0e rx故有故有02 qprr2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二阶二阶设设解解 得得特征方程特征方程常系数常系数齐次齐次线性方程线性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二阶二、二阶常系数齐次常系数齐次线性方程解法线性方程解法其中其中r为待定常数为待定常数. 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程4,2421qppr ,2422qppr ,e11

3、xry ,e22xry 两个两个 特解特解 y)0( 0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.有两个不相等的实根有两个不相等的实根特征根特征根r的不同情况决定了方程的不同情况决定了方程02 qprr特征方程特征方程xr1e2C.e2xr 1C21yy常数常数线性无关线性无关的的 得得齐次齐次方程的通解为方程的通解为rxye 设设解解其中其中r为待定常数为待定常数. 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程5有两个相等的实根有两个相等的实根,e11xry ,221prr )0( 一特解为一特解为.e )(121xrxCC 代代入入到到将将222,yyy , 0)()2(121

4、1 uqprrupru, 0 u,)(xxu ,e12xrxy 2y常数常数 12yy. 0 qyypy化简得化简得0 0 设设)(xu,e1xr取取则则知知 yxr1exrx1e 1C2C得得齐次齐次方程的通解为方程的通解为rxye 其中其中r为待定常数为待定常数. 设设解解其中其中u(x)为待定函数为待定函数. 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程6有一对共轭复根有一对共轭复根,1 ir ,2 ir xi)(e xry2e2 )0( )(21211yyy xx cose )(21212yyiy xx sine ).sincos(e21xCxCyx 0,21 qyypyyy为

5、为方方程程为了得到实数形式的解为了得到实数形式的解,重新组合重新组合的两个的两个线性无关线性无关的解的解.rxye 其中其中r为待定常数为待定常数. xry1e1 xi)(e 用欧拉用欧拉(Euler)公式公式:xixixsincose 设设解解)sin(cosexixx )sin(cosexixx 21yy常数常数得得齐次齐次方程的通解为方程的通解为 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程7称为称为.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解为故所求通解为 y例例由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程的特征方

6、程的根确定其通解的方法确定其通解的方法特征方程法特征方程法. .特征根特征根.e )(221xxCC 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程8.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解为故所求通解为 y例例特征根特征根).2sin2cos(e21xCxCx ,1 ir ,2 ir )sincos(e21xCxCyx 得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为ir2121 ， 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程9 y例例 解初值问题解初值问题 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程0924162

7、 rr特征根特征根43 r所以方程的通解为所以方程的通解为41 CxxCy432e )4( xxCCy4322e433 4(二重根二重根)00 12 C特解特解.e )4(43xxy 002xxCC4321e )( 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程10特征方程特征方程0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rxkkxCxCCe )(121 sin)(cos)(e121121xxDxDDxxCxCCkkkkx 三、三、n阶阶常系数齐次线性方程解法常系数齐次线性方程解法若是若是k重根重根r若是若是k重共轭重共轭复根复根 i n阶阶( )

8、(1)110nnnnyP yPyP y 线性微分方程线性微分方程常系数齐次常系数齐次形如形如 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程11注意注意一个根都对应着通解中的一项一个根都对应着通解中的一项, .2211nnyCyCyCy n次代数方程有次代数方程有n个根个根, 而特征方程的每而特征方程的每且每一项各且每一项各一个任意常数一个任意常数. 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程12例例 求方程求方程解解052)4( yyy的通解的通解.特征方程特征方程052234 rrr021 rr故所求通解为故所求通解为特征根特征根xCCy21 0)52(22 rrr即即和和

9、ir214,3 ).2sin2cos(e43xCxCx 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程13特征根特征根11 r故所求故所求通解通解 xCye1解解01222345 rrrrr特征方程特征方程0)12)(1(24 rrr.022)4()5(的通解的通解求方程求方程 yyyyyy例例ir 3,2对应的对应的特解特解,e1xy ,cos2xy ,sin3xy ,cos4xxy xxysin5 xxCCcos)(32.sin)(54xxCC () ()()0)1()1(2)1(24 rrrrr0)1)(1(22 rr(单根单根)(二重二重)共轭复根共轭复根 5.7 常系数齐次线性

10、微分方程常系数齐次线性微分方程14(1) 写出相应的特征方程写出相应的特征方程(2) 求出特征根求出特征根四、小结四、小结二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程02 qprr0 qyypy特征根的情况特征根的情况通解的表达式通解的表达式实根实根21rr xrxrCCy21ee21 实根实根21rr xrxCCy2e )(21 复根复根)sincos(e21xCxCyx 求通解的步骤求通解的步骤:(3) 根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况, 得到相应的通解得到相应的通解 ir 2, 1 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程15思考题思考题求微分方程求微分方程 的通解的通解.yyyyyln)(22 5.7 常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程16思考题解答思考题解答, 0 y,ln)(22yyyyy ,)(lnyyyx 令令yzln 则则0 zz特征根特征根1 r,ee21xxCCz 求微分方程求微分方程 的通解的通解.yyyyyln)(22 特征方程特征方程012 r二阶常系数齐次线