圆的标准方程与一般方程教案

1、圆的标准方程【自主预习】1、在平面直角坐标系中，确定一个圆的要素有哪些？2、若一个圆的圆心是（0，0），半径是2，圆的方程是什么？若一个圆的圆心是（-2，1），半径是3，圆的方程是什么？若一个圆的圆心是（a，b），半径是r(y>0)，圆的方程是什么？3、分析圆的标准方程有何特点？4、写出下列圆的方程圆心在原点，半径为3圆心在点C(3,4),半径为经过点P（5，1），圆心在点C(8，-3)已知点A(-4,-5),B(6,-1),求以AB为直径的圆的方程。特殊的：过直径两端点A（x1，y1）、B(x2，y2)的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=05、根据圆的方程写

2、出圆心和半径 【典例探究】（点与圆的位置关系）例题1 已知圆心在C(-3,-4),且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点和圆的位置关系。1 / 9判定方法1、 几何法2、 代数法（三角形外接圆）例题2、ABC的三个顶点的坐标分别是A(-2，4),B(-1，3),C(2,6),求它的外接圆的方程。变式：已知四点A（0,1）、B（2,1）、C（3,4）、D（-1,2），这四点是否在同一个圆上，为什么？（圆的标准方程）例题3 已知一个圆C经过两个点A（2，-3），B（-2，-5），且圆心在直线上，求此圆的方程。思考： 比较例题2和例题3，你能归纳求任意ABC外接圆的方程的两种方法吗？1、 待定系数法

3、2、 弦的垂直平分线过圆心这一性质（圆的对称性）例四 已知一个圆C：(x+2)2+(y-6)2=1和一条直线l：3x-4y+5=0,求圆C关于直线l对称的圆的方程。圆的一般方程【自主学习】1下列方程分别表示什么图形（1） (2) (3) (4) 只有满足条件 ，才是圆的方程！ 2、圆的一般方程是什么？ 1、 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？ x、y二次项系数相同且不为0；没有关于xy的一次项 圆的一般方程表明了方程形式的特点 一般方程有三个待定系数D、E、F 3、 由圆的一般方程如何确定点与圆的位置关系？【典例探究】（求圆的方程）例题1 ABC的三个顶点的坐标分别是A(-1，5),B(

4、-2，-2),C (5，5),求它的外接圆的方程，在平面直角坐标系中画出该圆的图形，并指出圆心和半径。思考：用待定系数法求圆的方程的方法与步骤1、 选定方程形式2、 根据条件列出方程组3、 代入数值计算出待定系数（确定圆的条件）例题3若方程ax+ay-4(a-1)x+4y=0表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。（轨迹方程）例题4已知O为为坐标原点，P在圆C：上运动，求线段的中点M的轨迹方程。关于求轨迹问题注意的地方：1、一般步骤 建系、设点、找关系式、验证 2、注意对不符合题意的点的排除 3、求轨迹与求轨迹方程不一样，求轨迹需要说明轨迹的形状【拓展提高】一、与圆有关最值问

5、题1、 与距离相关已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆C：x+y-2x-2y+1=0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值。2、与圆上点有关已知实数x,y满足方程 ，求：（1）求y/x的最大值与最小值（2）的最大值和最小值 （3）求y-x的最大值与最小值3、 与弦长有关已知P（-1,2）为圆C：x2+y2=8内一定点，求 （1）过点P且被圆所截弦最短的直线方程 （2）过点P且被圆所截弦最长的直线方程二、圆的参数方程圆的参数方程及应用对于圆的普通方程来说，圆的方程还有另外一种表达形式为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。一、求最值例1 已知点（x，y）在圆上，求的最大值和最小值。CxyOAB图1解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。二、求轨迹例2 在圆上有定点A（2，0），及两个动点B、C，且A、B、C按逆时针方向排列，BAC=，求ABC的重心G（x，y）的轨迹方程。用圆的几何性质，求出轨迹的参数方程，在消参后，要注意x的范围的限定。三、求范围例3 已知点P（x，y）是圆上任意一点，欲使不等式x+y+c0恒成立，求c的取值范围。将恒成立的问题，转化为求最值问题，利用圆的参数方