可降阶的二阶微分方程

1、第五节 可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解的类型，读者应注意学习解微分方程的各种技巧。对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的解。§5.1 f(x)型的微分方程这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种

2、类型，求解方法也较容易，只需二次积分，就能得它的解积分一次得 f(x)dxC1再积分一次得 yf(x)dxC1dxC1 / 19上式含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以这就是方程的通解。 例1. 求方程 满足yx，1的特解。解 积分一次得 ctanxC1以条件1代入得C10，即有 ctanx再积分一次得 ylnsinxC2以条件yx代入，得 lnC2 即C20于是所求特解是 ylnsinx。这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程f(x)，只要积分n次，就能求得它的通解。例2. 解微分方程lnxx解 积分一次得 xlnxxC1积分二次得 x2lnxC1xC2积分三次得 ylnxx2C2

3、xC3§5.2 f(x, )型的微分方程这种方程的特点是不明显含有未知函数y，解决的方法是：我们把作为未知函数，而使变换，令 p于是有，这样可将原方程降为如下形式的一阶方程 =f(x,p)这里p作为未知函数，如能求出其通解 p(x,C)然后根据关系式p即可求得原方程的通解 y(x,C1)dxC2 例3. 求微分方程(1x2) 2x0的通解解 这是一个不明显含有未知函数y的方程作变换 令 p，则，于是原方程降阶为 (1x2) 2px0 dx积分得 lnpln(1x2)lnC1即 pC1(1x2)从而 C1(1x2)再积分一次得原方程的通解 yC1(x)C2 例4. 设有柔软而无伸缩性的

4、均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)。解 取曲线上最低点N的铅直线作Oy轴，取水平方向的直线为Ox轴，ON的长暂时不定。取曲线上任一点M，由于这时绳索处在平衡状态，故可将这段绳索看作刚体，这段绳索上受到三个力的作用，在N点处切线方向的张力H，在M点处切线方向的张力T，以及本身重量pS，其中S是的长度，是绳索单位长度的重量。将力T分解为水平分力及铅直分力，并应用力的平图6-2 衡条件，可得知如下两个等式 TsinS TcosH两式相除得tanS若yy(x)是所求曲线的方程，则 kS 其中k=为消去变量S，将上式两边对x求导，得得 kk这就是绳索曲线所

5、满足的微分方程，也即绳索曲线的数学模型，此方程不明显含未知函数y，设p，则，代入方程中得 k即 kdx两边积分得 ln(p)kxC1由于在点N处x0，且有p0，(因N是曲线最低点)代入上式得C10，于是有 pekx为求p，用p乘上式两边，整理得 pekx上述两式相加，得 p (ekxek)即 (ekxekx)积分得 y (ekxekx)C2现在取ONa 即得yx0a，得C20，则所求曲线方程为 y (ee)此曲线为悬链线。§5.3 f(y，)型的微分方程这种方程的特点是，不明显含自变量x，解决的方法是，可把y暂时作为这种类型方程的自变量，作变换，令 p于是 p这样可将原方程降一阶而成

6、为关于p与y的一阶微分方程，将，代入原方程得 pf(y，p)若其通解为 p(y,C1)换回原来的变量，便有 (y,C1)这是可分离变量的一阶微分方程，对其积分得通解dyxC 例5. 解方程(）2y0解 这方程不明显含有x，令p，于是p，代入方程得 p2yp0即 p(py)0由此有 p0，或py0其中由 p0，即0，得y常数而 py0，可化为 积分得 lnplnylnC1即 pC1y即有 C1y即 dyC1dx两边积分得 lnyC1xlnC故 yC2e在上式中令C10得y常数，因此当p0时的解y常数 已包含在 yC2e所以，yC2e即为所求方程的通解。第六节 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分

7、方程的一般形式是 p(x) q(x)yf(x) (6.1)它是关于未知函数y，及其导数，是一次式的微分方程，其中p(x)、q(x)、f(x)是x的已知函数，函数f(x)称为方程的自由项，当f(x)0时，则(6.1)成为 p(x) q(x)y0 (6.2)称为二阶线性齐次方程，而(6.2)称为二阶线性非齐次方程。下面我们讨论线性方程解的结构问题，为方便起见我们利用微分算子，将(6.1)式的左端记为y，即 Lyp(x) q(x)yLp(x) q(x)表示这样一种运算，将其施行于y，就得p(x) q(x)y，这种运算具有线性变换的二条性质：(1)若y具有二阶导数，C为常数，则有 LCyCLy事实上

8、LCyp(x)q(x)(Cy)C(p(x) q(x)y)CLy(2)对于任意两个具有二阶导数的函数y1和y2有 Ly1yLy1Ly2事实上 Ly1y2p(x)q(x)(y1y2)p(x)q(x)y1p(x)q(x)y2Ly1Ly2这样(6.1)，(6.2)可写成如下形式 Lyf(x) (6.3) LyO (6.4) 我们可将算子Ly看作映射，那么求解方程(6.3)，(6.4)，就是相应地求f和O在Ly下的原象。因此，在映射的观点下，不论求代数z方程的解还是求微分方程的解，都是求原象问题，这样可把不同类别的方程的求解问题，在映射概念的基础上统一了起来。对于线性齐次方程的解，有下述两个定理定理一

9、设y1和y2是方程(6.2)的两个解，则C1y2C2y2也是方程(6.2)的解，这里C1和C2是常数。证 因为y1和y2是方程(6.2)的解，则有 Ly10，Ly20，再由L的性质，有 LC1y1C2y2C1Ly1C2Ly20所以C1y1C2y2是方程(6.2)的解。 证毕为进一步考察C1y1C2y2是不是方程(6.2)的通解，我们引入函数线性相关与线性无关概念。定义 对于定义在某区间上的两个函数y(x),y2(x)，若存在两个不全为零的常数k1，k2，使得在该区间内恒等式 k1y1(x)k2y2(x)0成立，则称函数y1(x)，y2(x)在该区间内是线性相关的。若上式仅当k1，k2全为零时才

10、能成立，则称y1(x)，y2(x)在该区间内是线性无关的。由定义可知，若函数y1(x)，y(x)线性相关，则存在两个不全为零的常数k1，k2，使得 k1y1(x)k2y2(x)0设k20有 (常数)；反之若它们的比不是常数，则y（x），y2(x)必为线性无关。例如：函数y1(x)sin2x，y2(x)sinxcosx是两个线性相关的函数，因为 。又如：函数y1(x)e4x，y2(x)ex是两个线性无关的函数，因为e3x下面给出C1y1C2y2是方程(6.2)通解的条件，有以下定理：定理二 若y1，y2是方程(6.2)的两个线性无关的特解，则 y=C1y1Cy2是方程(6.2)的通解，其中C1，

11、C2是两个任意常数。证 由定理一，yC1y1C2y2是方程(6.2)的解，又因为y1与y2是线性无关的，所以两个任意常数C1,C2不能合并，即它们相互独立，所以yC1y1C2y2是方程(6.2)的通解。证毕下面讨论非齐次方程的通解的结构，有如下定理：定理三 设是方程(6.1)的一个特解，而YC1y1C2y2是其对应的齐次方程(6.2)的通解，则 yYC1y1C2y2是方程(6.1)的通解，其中C1，C2是两个任意常数。证：因为是方程(6.1)的一个特解，所以有 Lf(x)又因为YC1y1C2y2是方程(6.2)的通解，有 LC1y1C2y20则 LC1y1C2y20f(x)f(x)从而yC1y

12、1C2y2是方程(6.1)的解。又由于其含有两个相互独立的任意常数C1，C2，所以yC1y1C2y2是方程(6.1)的通解。证毕这个定理对于一阶线性微分方程的通解也成立。在第三节中我们已看到方程p(x)yq(x)的通解是其本身的一个特解ep(x)dxq(x)epdxdx与对应的齐次方程p(x)y0的通解YCep(x)dx之和，即yY是方程p(x)yq(x)的通解。定理四 设函数y1与y2分别是线性非齐次方程 p(x) q(x)yf1(x) p(x) q(x)yf2(x)的一个特解，则y1y2是方程 p(x) q(x)yf1(x)f2(x)的一个特解证 由假设Ly1f1(x)，Ly2f2(x)，所以Ly1y2Ly1y2f1(x)f2(x)，即y1y2是方程p(x) q(x)yf1(x)f2(x)的一个特解。证毕定理五 设yy1iy2是方程 p(x) q(x)yf1(x)if2(x)(其中p(x),q(x)，f1(x),f2(x)是实值函数)的解。则 y1是方程p(x) q(x)yf1(x)的解。y2是方