光学信息技术原理及应用

1、6019光学信息技术原理及应用光学信息技术原理及应用相干传递与非相干传递函数相干传递与非相干传递函数(十二十二)6019衍射受限衍射受限相干光学成像相干光学成像系统系统上图的上图的衍射受限相干衍射受限相干光学成像光学成像系统系统输入面上照明光是相干光，即输入面上照明光是相干光，即单一波长，单一偏振方向，光场中在成像过程中任意两点之间的单一波长，单一偏振方向，光场中在成像过程中任意两点之间的光程差（相对位相）恒定光程差（相对位相）恒定。 6019相干传递函数相干传递函数 公式公式表明在相干照明下的衍射受限系统，对复振幅的传递是线性空不表明在相干照明下的衍射受限系统，对复振幅的传递是线性空不变的。

2、变的。空间不变线性系统的变换特性在频域中来描述更方便。空间不变线性系统的变换特性在频域中来描述更方便。频域中描述系统的成像特性的频谱函数称为衍射受限系统的相干频域中描述系统的成像特性的频谱函数称为衍射受限系统的相干传递函数，记作传递函数，记作CTFCTF。 ),(),(),(),(),(000000iiiigiigiiiyxhyxUydxdyyxxhyxUyxU6019系统的本征函数系统的本征函数和信号频谱和信号频谱 相干成像系统的物像关系卷积积分描述相干成像系统的物像关系卷积积分描述该卷积积分把物点看做基元，而像点是物点产生的衍射图样在该该卷积积分把物点看做基元，而像点是物点产生的衍射图样在

3、该点处的相干叠加点处的相干叠加从频域来分析成像过程，系统的本征函数是复指数函数从频域来分析成像过程，系统的本征函数是复指数函数考察系统对各种频率成分的传递特性。定义系统的输入频谱和输考察系统对各种频率成分的传递特性。定义系统的输入频谱和输出频谱分别为出频谱分别为 yxUffGgyxgc,FiiiyxicyxUffG,F,6019相干传递函数相干传递函数CTFCTF 的计算的计算相干传递函数相干传递函数CTFCTF 是点扩散函数的傅里叶变换是点扩散函数的傅里叶变换由于点扩散函数本身是光瞳函数的傅里叶变换，因此根据傅里叶由于点扩散函数本身是光瞳函数的傅里叶变换，因此根据傅里叶变换的积分定理有变换的

4、积分定理有这说明，相干传递函数等于光瞳函数，仅在空域坐标和频域坐标这说明，相干传递函数等于光瞳函数，仅在空域坐标和频域坐标之间存在着一定的坐标缩放关系。之间存在着一定的坐标缩放关系。而且上一节给出的光瞳上的坐而且上一节给出的光瞳上的坐标变换产生了具体的物理意义，即空间频率标变换产生了具体的物理意义，即空间频率一般光瞳函数都是中心对称的，一般光瞳函数都是中心对称的，故可故可在一个反射坐标中来定义相在一个反射坐标中来定义相干传递函数，去掉负号的累赘，干传递函数，去掉负号的累赘，将将相干传递函数改写为相干传递函数改写为 iiyxcyxhffH,),(F),(,),(yixiiiyxcfdfdPydx

5、dPffHFFiyixdyyfdxxf,),(),(yixiyxcfdfdPffH6019衍射受限系统是一个低通滤波器衍射受限系统是一个低通滤波器 一般说来光瞳函数总是取一般说来光瞳函数总是取1 1和和0 0两个值，所以相干传递函数也是如两个值，所以相干传递函数也是如此，只有此，只有1 1和和0 0两个值两个值若由若由频率频率决定的光瞳决定的光瞳坐标坐标值值 在光瞳内，在光瞳内，则这种频率的指数基元按原样在像分布中出现，既没有振幅衰减则这种频率的指数基元按原样在像分布中出现，既没有振幅衰减也没有相位变化，即传递函数对此频率的值为也没有相位变化，即传递函数对此频率的值为1 1。若由若由频率频率决

6、定的光瞳决定的光瞳坐标坐标值在光瞳之外，则系统将完全不能让此值在光瞳之外，则系统将完全不能让此种频率的指数基元通过，也就是传递函数对这频率的值为种频率的指数基元通过，也就是传递函数对这频率的值为0 0。这就是说，衍射受限这就是说，衍射受限相干光学成像相干光学成像系统是一个低通滤波器，在系统是一个低通滤波器，在空空间间频域中存在一个有限的通频带频域中存在一个有限的通频带它允许通过的最高频率称为系统的截止频率，用它允许通过的最高频率称为系统的截止频率，用 表示表示fyixifdyfdx,6019圆形光瞳相干传递函数圆形光瞳相干传递函数计算计算对于直径为对于直径为D D的圆形光瞳，其孔径函数可表为的

7、圆形光瞳，其孔径函数可表为 故故其相干传递函数其相干传递函数和和截止频率截止频率分别分别为为 例如：例如：出瞳出瞳直径直径 ，出瞳与像面距离，出瞳与像面距离 ，照，照明光波长明光波长 ，则有，则有 2/),(22DyxcircyxPiyxyixiyxcdDffcircfdfdPffH2/),(),(22idDfmmDmmdinm)(mmc6019正方形光瞳相干传递函数正方形光瞳相干传递函数计算计算对于对于出瞳是边长为出瞳是边长为 的正方形，则光瞳函数为的正方形，则光瞳函数为 相干传递函数为相干传递函数为 显然，不同方位上的截止频率不相同，在显然，不同方位上的截止频率不相同，在 轴方向上，系统轴

8、方向上，系统的截止频率的截止频率 。系统的最大截止频率在与。系统的最大截止频率在与 轴成轴成4545角方向上角方向上 aayrectaxrectyxP),(afdrectafdrectfdfdPffHyixiyixiyx),(),(iyixdafrectdafrect/yx,idafx6019相干传递函数相干传递函数计算问题举例计算问题举例如如图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑直径为光阑直径为 ，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径 应等于多大（相对于应等于多

9、大（相对于 写出关系式）？写出关系式）？ DaD6019相干传递函数相干传递函数计算例题解答计算例题解答这两个系统都是横向放大率为这两个系统都是横向放大率为1 1的系统，故不必区分物方截止频的系统，故不必区分物方截止频率和像方截止频率。对于单透镜系统的截止频率为率和像方截止频率。对于单透镜系统的截止频率为 凡是物面上各面元发出的低于空间频率的平面波均能无阻挡地通凡是物面上各面元发出的低于空间频率的平面波均能无阻挡地通过此成像系统过此成像系统 对于双透镜成像系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳对于双透镜成像系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳分别在物方和像方无穷远处。对于这种放大率为

10、分别在物方和像方无穷远处。对于这种放大率为1 1的系统，能通的系统，能通过光阑的最高空间频率也必定能通过入瞳和出瞳，系统的截止频过光阑的最高空间频率也必定能通过入瞳和出瞳，系统的截止频率可通过光阑的尺寸来计算率可通过光阑的尺寸来计算 要要保证保证4f4f系统物面上每一面元发出的低于某一空间频率的平面波系统物面上每一面元发出的低于某一空间频率的平面波均都毫无阻挡地通过此成像系统，则要求光阑直径应不小于透镜均都毫无阻挡地通过此成像系统，则要求光阑直径应不小于透镜直径与物面直径之差。于是相应的截止频率为直径与物面直径之差。于是相应的截止频率为 fDc4fac26019相干传递函数相干传递函数计算例题

11、解答（续）计算例题解答（续）按题意要求二者相等，即按题意要求二者相等，即 ，于是得，于是得应当注意，尽管表面上看第二个系统的光栏孔径可以比第一个系应当注意，尽管表面上看第二个系统的光栏孔径可以比第一个系统的透镜孔径要小，但是由于统的透镜孔径要小，但是由于要求光阑直径应不小于透镜直径与要求光阑直径应不小于透镜直径与物面直径之差物面直径之差第二个系统的透镜孔径并不小，另一方面由于第二第二个系统的透镜孔径并不小，另一方面由于第二个系统的光栏面直接就是频谱面，做空间滤波操作比较简单，因个系统的光栏面直接就是频谱面，做空间滤波操作比较简单，因此是一个常用的光学信息处理系统此是一个常用的光学信息处理系统第

12、二个系统的两个透镜焦距并不一定相等，在光学信息处理中，第二个系统的两个透镜焦距并不一定相等，在光学信息处理中，有时需要放大率不是一有时需要放大率不是一cc2Da 6019非相干照明非相干照明的特点的特点 非相干照明非相干照明时时物面上各点的振幅和相位随时间变化的方式是彼此物面上各点的振幅和相位随时间变化的方式是彼此独立、统计无关的。独立、统计无关的。虽然物面上每一点通过系统后仍可得到一个对应的复振幅分布，虽然物面上每一点通过系统后仍可得到一个对应的复振幅分布，但由于物面的照明是非相干的，应该先由这些复振幅分布分别求但由于物面的照明是非相干的，应该先由这些复振幅分布分别求出对应的强度分布，然后将

13、这些强度分布叠加（非相干叠加）而出对应的强度分布，然后将这些强度分布叠加（非相干叠加）而得到像面强度分布。得到像面强度分布。在传播时光的非相干叠加对于强度是线性的，因此非相干成像系在传播时光的非相干叠加对于强度是线性的，因此非相干成像系统是强度的线性系统。统是强度的线性系统。在等晕区光学系统成像是空不变的，故非相干成像系统是强度的在等晕区光学系统成像是空不变的，故非相干成像系统是强度的线性空不变系统。线性空不变系统。 6019非相干线性空不变成像系统卷积积分非相干线性空不变成像系统卷积积分 非相干线性空不变成像系统，物像关系满足下述卷积积分非相干线性空不变成像系统，物像关系满足下述卷积积分 式

14、中，式中， 是几何光学理想像的强度分布，是几何光学理想像的强度分布， 为像强度分布，为像强度分布， 是是常数，由于它不影响的常数，由于它不影响的 分布形式，所以不用给出具体表达式分布形式，所以不用给出具体表达式h h1 1为强度脉冲响应（或称非相干脉冲响应、强度点扩散函数）。它为强度脉冲响应（或称非相干脉冲响应、强度点扩散函数）。它是点物产生的像斑的强度分布，它应该是复振幅点扩散函数模的是点物产生的像斑的强度分布，它应该是复振幅点扩散函数模的平方，即平方，即线性空不变成像系统的像强度分布是理想像的强度分布与强度点扩线性空不变成像系统的像强度分布是理想像的强度分布与强度点扩散函数的卷积，系统的成

15、像特性由强度点扩散函数表示，而强度散函数的卷积，系统的成像特性由强度点扩散函数表示，而强度点扩散函数又点扩散函数又复振幅复振幅点扩散函数由决定。点扩散函数由决定。 000000),(),(),(ydxdyyxxhyxIkyxIiiIgiii),(),(iiIiigyxhyxkIgIiIkiI2),(),(iiiiIyxhyxh6019强度线性空不变系统频域物像关系强度线性空不变系统频域物像关系 将卷积积分式两边进行傅里叶变换并略去无关紧要的常数后得将卷积积分式两边进行傅里叶变换并略去无关紧要的常数后得其中其中由于由于 , , 和和 都是强度分布，都是非都是强度分布，都是非负实函数，因而其傅里叶

16、变换必有一个常数分量即零频分量，而负实函数，因而其傅里叶变换必有一个常数分量即零频分量，而且它的幅值大于任何非零分量的幅值。且它的幅值大于任何非零分量的幅值。决定像的清晰与否的，主要不是包括零频分量在内的总光强有多决定像的清晰与否的，主要不是包括零频分量在内的总光强有多大，而在于携带有信息那部分光强相对于零频分量的比值有多大，大，而在于携带有信息那部分光强相对于零频分量的比值有多大，所以更有意义的是所以更有意义的是 ， ， 相对于各相对于各自零频分量的比值。自零频分量的比值。 yxIyxgyxiffHffAffA,),(),(iiiyxiyxIffAF),(,iigyxgyxIffAF),()

17、,(iiIyxIyxhffHF),(iiiyxI),(iigyxI),(iiIyxh),(yxiffAyxgffA,),(yxIffH6019物像强度物像强度与传递函数的与传递函数的归一化频谱归一化频谱 用零频分量对它们归一化，得到归一化频谱用零频分量对它们归一化，得到归一化频谱 iiiiiiiiyixiiiiyxiyxidydxyxIdydxyfxfjexpyxIAffAff),()(),(),(),(),(AiiiigiiiyixiiggyxgyxgdydxyxIdydxyfxfjexpyxIAffAff),()(),(),(),(),(AiiiiIiiiyixiiIIyxIyxdydxy

18、xhdydxyfxfjexpyxhHffHff),()(),(),(),(),(H6019非相干成像系统的光学传递函数非相干成像系统的光学传递函数 归一化频谱也满足公式归一化频谱也满足公式其中其中H H为非相干成像系统的光学传递函数（为非相干成像系统的光学传递函数（OTFOTF），它描述非相干），它描述非相干成像系统在频域的效应。成像系统在频域的效应。式中三者一般都是复函数，都可以用它的模和辐角表示，于是光式中三者一般都是复函数，都可以用它的模和辐角表示，于是光学传递函数可以表示为学传递函数可以表示为 其中其中通常称通常称 为调制传递函数（为调制传递函数（MTFMTF），）， 为相位传递函为相

19、位传递函数（数（PTFPTF）. .前者描写了系统对各频率分量对比度的传递特性，后前者描写了系统对各频率分量对比度的传递特性，后者描述了系统对各频率分量施加的相移。者描述了系统对各频率分量施加的相移。 yxyxIyxiffffff,HAAyxyxyxf ,f jexpf ,fmf ,fH)()(),()()(yxgyxiIyxIyxf ,ff ,fHf ,fHf ,fmAA)()()(yxgyxiyxf ,ff ,ff ,fyxf ,fm)(yxf ,f6019系统的本征函数系统的本征函数: :余弦函数余弦函数物物强度分布、像的强度分布与强度点扩散函数强度分布、像的强度分布与强度点扩散函数是非

20、负实函数是非负实函数, ,余余弦函数是这种系统的本征函数弦函数是这种系统的本征函数即强度余弦分量在通过系统后仍为同频率的余弦输出，其对比度即强度余弦分量在通过系统后仍为同频率的余弦输出，其对比度和相位的变化决定于系统传递函数的模和辐角。和相位的变化决定于系统传递函数的模和辐角。OTFOTF唯一的影响是改变这些基元的对比度和相对相位。唯一的影响是改变这些基元的对比度和相对相位。一个余弦输入的光强分布一个余弦输入的光强分布通过非相干光学系统成像后得到的输出光强分布为通过非相干光学系统成像后得到的输出光强分布为余弦条纹余弦条纹的的变化取决于系统的光学传递函数在该频率处的取值变化取决于系统的光学传递函

21、数在该频率处的取值 ),()(cos),(yxgyxgffyfxfbayxIyxyxgiyixyxffffyfxfcosffm,bayxIiii),(6019余弦强度分布的对比度余弦强度分布的对比度对比度或调制度定义为对比度或调制度定义为 物（或理想像）和像的调制度为物（或理想像）和像的调制度为 合并以上两式得合并以上两式得 传递函数传递函数辐角辐角 显然是余弦像和余弦物的相位差：显然是余弦像和余弦物的相位差： MTFMTF给出了对比度的给出了对比度的降低降低，PTFPTF给出了相应的相移给出了相应的相移 minmaxminmaxIIIIVabbabababaIIIIVggggg)()()()

22、(minmaxminmaxyxyxyxyxyxiiigiffmabffbmaffbmaffbmaffbmaIIIIV,minmaxminmaxgyxiVffmV,yxff,yxyxgyxiffffff,6019OTFOTF与与CTFCTF的关系的关系 光学传递函数光学传递函数与相干传递函数与相干传递函数 分别描述同一系分别描述同一系统采用非相干和相干照明时的传递函数，它们都决定于系统本身统采用非相干和相干照明时的传递函数，它们都决定于系统本身的物理性质，相互有联系的物理性质，相互有联系利用自相关定理和帕色伐定理得到利用自相关定理和帕色伐定理得到因此，对同一系统来说，光学传递函数等于相干传递函数

23、的自相因此，对同一系统来说，光学传递函数等于相干传递函数的自相关归一化函数。这一结论对有像差的系统和没有像差的系统都完关归一化函数。这一结论对有像差的系统和没有像差的系统都完全成立全成立 yxff ,HyxcffH,),(/),(),(IIHHHiiiiIiiIdydxyxhyxh),(,FddHddHHdydxyxhyxhccciiiiIiiI2),(),(),(),(,F6019衍射受限系统的衍射受限系统的OTFOTF 相干照明的衍射受限系统相干照明的衍射受限系统有有 相应的非相应的非相干照明衍射受限的相干照明衍射受限的OTFOTF 为为令令 ，积分变量的替换不会影响积分结果，于是得，积分

24、变量的替换不会影响积分结果，于是得对于光瞳函数只有对于光瞳函数只有1 1和和0 0两个值的情况，分母的两个值的情况，分母的 可以写成可以写成 。公式表明衍射受限系统的。公式表明衍射受限系统的OTFOTF是光瞳函数的自相关归一化函数是光瞳函数的自相关归一化函数 yixiyxcfdfdPffH,ddddPddfdfdPddPffiiyixiiiyx),()(),(),(,Hdy,dxiidxdyyxPdxdyfdyfdxPyxPffyixiyx),(),(),(),(HPP6019 光学传递函数光学传递函数的几何解释的几何解释 一般情况下光瞳函数只有一般情况下光瞳函数只有1 1和和0 0两个值，上

25、式中分母是光瞳的总面两个值，上式中分母是光瞳的总面积积S S0 0，分子代表中心位于，分子代表中心位于 的经过平移的光瞳的经过平移的光瞳与原光瞳的重叠面积与原光瞳的重叠面积 ，求衍射受限系统的，求衍射受限系统的OTFOTF只不过只不过是计算归一化重叠面积，即是计算归一化重叠面积，即 如下图所示，重叠面积取决于两个错开的光瞳的相对位置，也就如下图所示，重叠面积取决于两个错开的光瞳的相对位置，也就是和频率有关。对于简单几何形状的光瞳不难求出归一化重叠面是和频率有关。对于简单几何形状的光瞳不难求出归一化重叠面积的数学表达式。对于复杂的光瞳，可用计算机计算在一系列分积的数学表达式。对于复杂的光瞳，可用

26、计算机计算在一系列分立频率上的立频率上的OTFOTF。SffSffyxyx,Hyixifdfd,yxffS,6019光学传递函数光学传递函数的几何解释的几何解释图图6019衍射受限系统衍射受限系统OTFOTF的的几个几个性质性质 光学传递函数光学传递函数是实的非负函数。因此衍射受限的非相干成像系统只是实的非负函数。因此衍射受限的非相干成像系统只改变各频率余弦分量的对比，而不改变它们的相位。即只需考虑改变各频率余弦分量的对比，而不改变它们的相位。即只需考虑MTFMTF而不必考虑而不必考虑PTF PTF 当时当时 ，两个光瞳完全重叠，归一化重叠面积为，两个光瞳完全重叠，归一化重叠面积为1 1，这正

27、是，这正是OTFOTF归一化的结果，这并不意味着物和像的平均光强相同。由于吸归一化的结果，这并不意味着物和像的平均光强相同。由于吸收、反射、散射及光阑挡光等原因，像面平均收、反射、散射及光阑挡光等原因，像面平均( (背景背景) )光强总要弱于光强总要弱于物面光强。但从对比度考虑，物像方零频分量的对比度都是单位值，物面光强。但从对比度考虑，物像方零频分量的对比度都是单位值，无所谓衰减，所以无所谓衰减，所以 。 这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠的面积小于这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠的面积小于完全重叠面积得出完全重叠面积得出 有一截止频率。当有一截止频率。当 足够大，两光瞳完全分离时，足够大

28、，两光瞳完全分离时，重叠面积为零。此时，重叠面积为零。此时， 即在截止频率所规定的范围之外，即在截止频率所规定的范围之外，光学传递函数为零，像面上不出现这些频率成分光学传递函数为零，像面上不出现这些频率成分 ,Hyxff,HHyxffyxff ,Hyxff ,yxff ,H6019例一：例一：方形光瞳衍射受限方形光瞳衍射受限OTFOTF的计算的计算 求光瞳为边长求光瞳为边长 正方形的衍射受限非相干成像系统的光学传递函正方形的衍射受限非相干成像系统的光学传递函数数 l6019例一解：例一解：方形光瞳衍射受限方形光瞳衍射受限OTFOTF方形方形光瞳函数可表为光瞳函数可表为光瞳总面积光瞳总面积 当当 在在 方向分别位移方向分别位移 后可以求出后可以求出和的重叠面积和的重叠面积 光学光学传递传递函数为函数为 式中式中 是同一系统采用相干照明的截止频率，非相干系是同一系统采用相干照明的截止频率，非相干系统沿和轴方向上截止频率是统沿和轴方向上截止频率是其两倍其两倍 lyrectlxrectyxP),(lsyx,yxP ,yixifdfd,其它,iyixyixiyxdlfdlffdlfdlffScycxyxyx