XX年九年级数学下第26章反比例函数教案

1、XX 年九年级数学下第 26 章反比例函数教案 （人教版） 第二十六章 反比例函数 1.结合具体情景体会反比 例函数的意义，理解并掌握反比例函数的概念 . 能用待定系数法求反比例函数的解析式 . 会用描点法画反比例函数图象 . 掌握反比例函数的图象和性质 ，并能运用相关性质解决 有关问题. 理解反比例函数中比例系数的几何意义 . 能根据实际问题确定变量之间是反比例关系 ，并确定反 比例函数解析式，能灵活运用反比例函数的意义和性质解决 相关的实际问题. 从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程 使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系 发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力

2、. 通过函数图象探究函数性质 ，进一步体会数形结合思想 的数学方法 在数学中的应用，经历知识的形成过程 ,体会由特殊到一般 通过探究反比例函数解决实际问题 ,体会数学知识的现 实意义,提高分析问题、解决问题的能力 ,培养数学应用意识 经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程 ，体会建立函数模型的思想 通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程 ，体验 数学于生活，又应用于生活，提高学生应用数学的意识，体验 数学活动中的探索性和创造性 . 让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的 学习过程，使学生掌握类比、转化等学习数学的方法 ，养成既 能自主探索，又能合作探究的良好学习习惯 . 通过

3、分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反 比例函数关系，获得用数学方法解决实际问题的经验 ，感受 数学模型思想在实际问题中的应用价值 函数知识是初中代数的核心内容 ，反比例函数也是新课 标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形 式之一.本节课的内容，是在学生已经学习了函数及其图象 的初步知识，以及系统地研究了一次函数的概念、图象、性 质、简单应用，是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法 的基础上进行研究的.反比例函数是一种简单而又重要的函 数,作为重要的数学模型，在解决日常生活、物理化学学科学 习等实际问题中发挥了重要作用.通过学习可以培养和提高 学生用函数模型解决实际问题 ，逐步

4、提高分析问题、解决问 题的能力. 本章内容从实际问题情景入手引出基本概念 ，引导学生 进一步体会函数的模型思想 ，重点内容是对反比例函数的图 象和性质的理解与掌握 ，通过画特殊的反比例函数的图象 ， 归纳出一般反比例函数的图象特征和性质 ，体会由特殊到一 般的数学学习方法，提高学生观察、分析、归纳总结的能力 . 对于某些解决实际问题的安排 ，力图加强反比例函数与实际 问题的联系，让学生体会数学与生活息息相关 ，提高学生应 用数学的意识.数形结合思想贯穿本章内容 ，函数图象是研 究函数性质的直观载体，从图象上直观观察函数的变化规律 整体把握函数的性质，而解析式是对函数性质的无限 “解读” 但抽象

5、不直观，所以将两者结合起来，共同研究函数的性质. 本章重点是反比例函数的概念、图象、性质及应用 ，难 点是反比例函数图象的生成过程，以及函数图象的间断及渐 近性特点.根据学生特点，以前面学过的函数为基础，用类比 的方法探究本章内容，重视反比例函数与一次函数、二次函 数的联系、差异和综合运用. 【重点】 通过对实际问题情景的分析 ，确定反比例函数的解析式 会用描点法画反比例函数图象 ，并能从图象中认识反比 例函数的性质. 能用反比例函数性质解决简单的实际问题 . 【难点】 能根据反比例函数图象特征及其性质解决有关问题 . 应用反比例函数解决实际问题 ，能解决与其他函数结合 的问题. 初中阶段从量

6、变的角度研究函数 ，把函数定义为当一个 量变化时，另一个量随这个量的变化而变化 .根据学生的知 识基础，一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础 另一方面要进一步深化对函数内涵的理解和掌握 反比例函数是初中阶段学习的最后一类函数 ，因此，教 学中要处理好新旧知识的联系 ，通过复习相关内容，类比前 边所学函数的内容结构和思路 ，为全章的学习做好铺垫 ，尽 量减少学生接受新知识的困难 . 在教学中，要重视反比例函数与已学函数 ，特别是与正 比例函数的对比，教学时应引导从以下方面对比思考 ：函数 解析式与函数图象的异同、常数对函数图象的分布、增减性、 变化趋势等性质的影响、自变量 x 的取值范围

7、的异同.同时 要重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综 合运用. 渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索 ，类比思 想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法 等数学思想和方法，贯穿整章的教学，教学过程中每课时都 要注重数学思想的培养. 1 反比例函数 1.1 反比例函数 1.2 反比例函数的图象和性质 3 课时 2 实际问题与反比例函数 2 课时 单元概括整合 1 课时 1 反比例函数 1. 了解反比例函数概念 ，能从实际问 题中抽象出反比例关系的函数解析式 . 会画反比例函数图象，并结合图象分析总结出反比例函 数的性质. 初步运用待定系数法确定反比例函数的解析式 能

8、灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的问题 . 从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程 ， 使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系 ， 发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力 通过函数图象探究函数性质 ，进一步体会数形结合思想 在数学中的应用. 经历观察、分析实际问题中变量之间的关系 ，建立反比 例函数模型，进一步体会数学建模思想. 通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程 ，体验 数学于生活，又应用于生活，提高学生应用数学的意识，体验 数学活动中的探索性和创造性 . 让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程 ，使学 生掌握类比、转化等学习数学的方法 ，养成既能自

9、主探索，又 能合作探究的良好学习习惯. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强学生应用数学解决实际问题的意识. 【重点】 理解反比例函数的概念. 画反比例函数图象，理解反比例函数的性质. 利用反比例函数的性质解决有关问题 . 【难点】 理解反比例函数的意义. 通过图象分析、总结反比例函数图象的特征和性质 . 灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合问题 1.1 反比例函数 1.理解并掌握反比例函数定义. 能判断一个给定的函数是否为反比例函数 . 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及 自变量的取值范围. 让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变 量之间的反比例函数关系的过程 用类比的

10、思想方法，从实际问题中抽象出反比例函数概 念,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力 经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程 ，体会 建立函数模型的思想. 通过对一些实际问题的探究，发展学生合理的猜想、推 理能力，增强他们学习数学的兴趣. 数学于生活，又应用于生活，提高学生应用数学的意识. 【重点】 理解并掌握反比例函数的定义 ，掌握反比例函数的一般 形式. 能根据已知条件确定反比例函数的解析式 【难点】 经历探索和表示反比例函数关系的过程 ，体验用反比例 函数表示变量之间的关系. 【教师准备】 多媒体 17. 【学生准备】 预习教材 P13.导入一： 【11 同一条铁路线上，由于不同

11、车次列车运行时间有 长有短，所以它们的平均速度有快有慢. 如果速度 v 一定,那么路程 s 与时间 t 是什么关系？ 如果时间 t 一定,那么路程 s 与速度 v 又是什么关系呢？ 如果路程 s 一定,那么速度 v 和时间 t 又是什么关系呢？ 【思考1 以上关系是函数吗？这个函数是不是我们前 边学过的函数？ 【导入语1 问题中的函数是一次函数 ，中的函数不是 前边学过的函数，这类函数就是本章要研究的反比例函数 . 设计意图 通过生活中的情景问题，引导学生发现不 同于以往学过的新的函数关系 ，唤起学生对本课时的学习欲 望,使学生通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程 ,体验 带着问题进入新

12、课的学习 . 导入二： 【2】 我们知道，导体中的电流 I 与导体的电阻 R、导 体两端的电压 U 之间满足关系式 U=IR,当 U=220V 时： 你能用含有 R 的代数式表示 I 吗？ 利用写出的关系式完成下表： R/ Q20406080100 I/A 当 R 越来越大时,I 怎样变化？当 R 越来越小呢？ 变量 I 是 R 的函数吗？为什么？ 设计意图 从学生身边的生活和已有知识出发 ，创设 情景，目的是让学生感受到生活当中处处有数学 ，激发学生 学习数学的兴趣和愿望，同时也为抽象出反比例函数概念做 铺垫.同时，这个事例的引入也有助于学生从学科综合的角 度进行学习. 导入三： 【复习提问

13、】 什么是函数？什么是一次函数、二次函数 ？ 一次函数、二次函数的学习过程是怎样的 ？ 【3】 出示以往研究函数的基本思路 ： 【师生活动】 学生思考回答，教师点拨. 设计意图通过复习一次函数、二次函数的概念 ，让 学生从已有的知识体系中自然地构建出新知识 .回忆学习一 次函数、二次函数的研究思路，引导学生用类比的方法学习 本章的反比例函数，初步了解本章的基本内容和研究思路 ， 为后续学习做好铺垫. 过渡语函数是初中数学中重要的数学模型 ，我们学 习一次函数、二次函数时，在理解定义的基础上，研究它们的 图象和性质，并用之解决实际问题，本章将用类似的方法研 究一种新的函数一一反比例函数 . 思路

14、一 感知反比例函数 【出示 4】 京沪线铁路全程为 1463,某次列车的平均速度 v 随此次 列车的全程运行时间 t 的变化而变化； 某住宅小区要种植一块面积为 10002 的矩形草坪，草坪 的长 y 随宽 x 的变化而变化； 已知北京市的总面积为 1.68 X 1042,人均占有面积 S 随 全市总人口 n 的变化而变化. 教师引导学生针对上面三个事例思考 ： 每个事例中的两个变量是什么 ？ 当一个量变化时，另一个量随着怎样变化 ？ 有几个值与变化的量相对应 ？这种变化说明变量之间是 什么关系？ 题目中的等量关系是什么 ？如果是函数关系，其解析式 是什么？ 所列出的函数关系式有什么特点 ？

15、设计意图 通过问题组的形式，引导学生发现这些变 量之间的关系是一种函数关系 ，并且这种函数的解析式不同 于以往的一次函数和二次函数 ，为进一步研究反比例函数做 知识准备，同时激发学生学习的欲望 ，实现了让学生感知反 比例函数的目的. 【学生活动】 独立思考后，小组合作交流，确定三个问 题中的变量关系都是函数关系，并列出具体的函数解析式. 【参考答案】 v= y= S=. 反比例函数的概念 过渡语冈【J 才同学们总结的函数关系式 ，既不是一次 函数，也不是二次函数，接下来让我们一起研究这类函数的 特征吧. 观察前面的三个函数关系式，思考： 这三个函数是一次函数或二次函数吗 ？ 这三个函数与前边学

16、过的函数有什么不同 ？你能说出它 们的共同特征吗？ 通过观察，你能归纳出这种函数的一般形式吗 ？ 你能给这类函数下一个定义吗 ？ 【师生活动】 学生思考后，逐一回答所提问题，教师适 时启发，共同归纳结论 教师引导学生从两个方面思考 ：与一次函数和二次函数 的解析式对比；给出的三个函数关系式等号右面是整式还是 分式;三个函数关系式中的值有什么特点 . 【总结】 一般地，形如 y=的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变 量,y是函数.自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数. 思考：你身边哪些量之间存在着反比例函数关系 ？ 在反比例函数 y=中,x,y 可以取任意实数吗？ 反比例函数 y=

17、中，自变量 x 的指数是 1 吗？为什么？ 反比例函数除了这种分式的形式外 ，还有其他表示方法 吗？ 【师生活动】 学生独立思考后，小组交流，学生回答时 教师及时点评和引导，师生共同归纳反比例函数概念的有关 特点： 反比例函数 y=等号右边是分式形式. 反比例函数中，比例系数工 0,自变量 x 工 0,函数值 y 工 0. 反比例函数的三种表示形式 ：y=,xy=,y=x-1. 设计意图 通过学生观察讨论，依据老师设计的问题 串，类比已学函数，抽象出函数的本质特征，归纳出反比例函 数的特征，学生经历概念的形成过程 ，从而达到真正理解定 义的目的，同时培养学生归纳总结能力. 思路二 认识新的函数

18、一一反比例函数 【出示 6】 下列五个事例： 某住宅小区要种植一块面积为 10002 的矩形草坪，草坪 的长 y 与宽 x 有何关系？ 物理学中电流 I、电阻 R、电压 U 之间满足关系式 U=IR. 当U=220V 时,R 与 I 有何关系？当 R=10Q时,1 与 U 有何关系？ 京沪线铁路全程为 1463,某次列车的平均速度 v 与此次 列车的全程运行时间 t 有何关系？ 用 10 长的篱笆围成矩形的小花园. 如果花园的长为 y,宽为 x,那么 y 与 x 有何关系？ 如果花园的长为 x,面积为 y2,那么 y 与 x 又有何关系？ 已知北京市的总面积为 1.68 X 1042,人均占有

19、面积 S 与 全市总人口 n 有何关系？ 教师引导学生针对上面五个事例思考 ： 每个事例中的两个变量是什么 ？ 当一个量变化时，另一个量随着怎样变化 ？这种变化说 明变量之间是什么关系？ 题目中的等量关系是什么 ？如果是函数关系，其解析式 是什么？ 所列出的函数关系式有什么特点 ？ 设计意图问题情景既有教材“思考”栏目的问题 ， 又有新增设的跨学科的物理问题，这些事例都要求学生从实 际问题中找到两个变量 ，确定函数解析式.使已学函数和要 研究的新函数都呈现在学生面前 ，引发学生的认识冲突，为 形成反比例函数概念、辨析反比例函数做好准备 【总结】 经过学生交流研讨，确认五个问题中的变量 关系都是

20、函数关系，并列出具体的函数解析式. y=. R=;l=. v=. y=5-x. y=5x-x2. S=. 反比例函数的概念 过渡语刚才同学们列出了相关的 7 个函数关系式， 接下来我们开始研究这些函数解析式的特征吧 反比例函数的一般形式 【出示 7】 思考下列问题： 【问题 1】 明 B 些是正比例函数、一次函数、二次函数 ? 【问题 2】 明 B 些函数与问题 1 中的函数不同？能给这类 函数下定义吗？ 【问题 3】 你能尝试写出类似问题 1 中这种函数的一 般形式吗？ 【问题 4】 上述函数中的常数分别是多少 ？ 【问题提示】 上述情景中给出七个函数 ，其中、二、 三、四个及第七个函数不是

21、以往学习过的函数 .通常情况下， 我们用 y 表示函数，用表示常量，用 x 表示自变量.这几个特 殊的函数学生可以初步总结为 y=. 理解反比例函数概念 【问题 11 反比例函数的一般式 y=的等号右边是什么 式子？ 【问题 21 反比例函数 y=的比例系数、自变量 x 取值 有什么要求？ 【问题 31 反比例函数解析式还可以写成其他形式吗 ? 设计意图 通过前面的三个问题，观察学生是否能理 解反比例函数的意义，是否能用数学语言表达反比例函数的 解析式，是否理解自变量的取值范围 ，是否掌握判断反比例 函数的标准和方法.通过学生的观察、思考、合作、交流 ，反 比例函数概念及模型的建立也就会水到渠

22、成 . 例题讲解 过渡语我们通过实例归纳总结了反比例函数的概 念,试试能不能解决下列问题. 下列函数：y=;y=;y=;y=;xy=2;y=. 其中是反比例函数的 是 ,它们的比例系数分别是 解析 根据反比例函数概念进行判断，易得,是反 比例函数,其中分别为 5,04,2. 答案 ,04,2 若 y=x|a|-3 是反比例函数，则 a 的值为 【师生活动】 学生独立思考后，小组交流答案，教师对 学生的答案进行点评，并强调易错点 解析 根据反比例函数概念可得，反比例函数满足 两个条件：常数工 0；自变量 x 的指数为-1.由题意可得 |a|-3=-1, 且 a-2 工 0,解得 a=-2.故填-

23、2. 设计意图 通过练习让学生进一步理解和掌握反比 例函数的一般形式及特点，特别是忽略考虑工 0 这一易错点. 已知 y 是 x 的反比例函数,并且当 x=2 时,y=6. 写出 y 关于 x 的函数解析式； 当 x=4 时，求 y 的值. 【师生活动】 师生共同复习待定系数法求函数解析式 ， 然后学生独立完成，并板书过程，学生之间互相纠正错误答 案,教师点评，并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤 . 解析 类比一次函数、二次函数求解析式的方法一 待定系数法，设出函数解析式，将一对 x,y 的值代入，求出 待定系数. 解：设所求函数解析式为 y=. 因为当 x=2 时,y=6,所以有 6=.

24、 解得=12.因此所求函数解析式为 y=. 把 x=4 代入 y=,得： y=3. 设计意图 通过复习待定系数法，再次用这一方法求 反比例函数解析式，并让学生体会反比例函数解析式中只有 一个待定系数，所以代入一组值即可求出函数解析式 .同时 让学生体会建模思想在数学中的应用 ，提高学生的归纳能力 知识拓展 反比例函数 y=等号右边分式的分母不能 是多项式，只能是 x 的一次单项式，如 y=,y=等都是反比例函 数，但 y=中,y 就不是 x 的反比例函数. 反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为 0 的 常数，因此可以写成 xy=,y=x-1 的形式. 反比例函数定义：形如 y=的函数叫

25、做反比例函数. 反比例函数满足的条件： 函数右边是分式形式； 自变量的指数是-1; 比例系数不为 0. 反比例函数的三种表示形式 ：y=;xy=;y=x-1. 反比例函数自变量的取值范围 :x 工 0. 下列函数中，是反比例函数的是 A. y=2x+1 B. y=0.75x c.y= D.xy=1 解析:A 中函数是一次函数;B 中函数是正比例函数;c 中 函数右边分母不是 x 的单项式，所以 A,B,c 都不是反比例函 数,只有 D 符合反比例函数定义.故选 D. 反比例函数 y=x-1 中的取值范围是 A. 工 1 B. 工-1 c.工土 1 D.全体实数 解析：在反比例函数 y=x-1

26、中，比例系数工 0,所以+1 工 0, 所以工-1.故选 B. 若函数 y=x2-1 为反比例函数,则的值是 解析：根据反比例函数定义可得 2-1=-1,解得=0.故填 0. 某蓄水池的排水管每小时排水 83,6h 可将满池水全部排 空. 蓄水池的容积为 若每小时排水用 Q 表示,则排水时间 t 与 Q 的函数解析 式为 解析：由题意可得等量关系为 ：单位时间内的排水量x 排水时间=总排水量，所以蓄水池的容积为 8X 6=48,故 Qt=48, 即 t=. 答案:483 t= 已知 y 与 3x 成反比例，且当 x=1 时,y=. 写出 y 与 x 的函数解析式； 当 x=时,求 y 的值；

27、当 y=时,求 x 的值. 解：设 y 与 x 的函数解析式为 把 x=1,y=代入， 得=,所以=2, 所以 y 与 x 的函数解析式为 当 x=时,y=2. 当 y=时,=, 解得 x=. 1.1 反比例函数 思路一 感知反比例函数 反比例函数的概念 思路二 认识新的函数一一反比例函数 反比例函数的概念 例题讲解 例 1 例 2 例 3 一、教材作业 y=, y=. 【必做题】 教材第 3 页练习第 1,2 题. 【选做题】 教材第 3 页练习第 3 题. 二、课后作业 【基础巩固】 下列函数中，不是反比例函数的是 A. y=- B. y= c.y= D.3xy=2 下列反比例函数中，当

28、x=2 时,y 的值为-3 的是 A. y= B. y=- c.y=- D.y=- 若 y=是反比例函数，则 a 的值为 A. 1 B. -1 c. 1 D.任意实数 若一个矩形的面积为 10,则这个矩形的长与宽之间的函 数关系是 A.正比例函数关系 B.反比例函数关系 c. 一次函数关系 D.不能确定 下列函数：y=2x-1; y=-;y=x2+8x-2; y=; y=; y=.其中 y 是 x 的反比例函数的有 若反比例函数 y=,当 x=-1 时,y=2,则的值是 已知 y 是 x 的反比例函数,且当 x=3 时,y=8,那么当 x=4 时,y= 若梯形的下底长为 x,上底长为下底长的，

29、高为 y,面积为 60,则y 与 x 的函数解析式是 分别写出下列函数的解析式 ，指出是哪种函数，并确定 其自变量的取值范围. 在路程为 60 的运动中，速度 v 关于运动时间 t 的函数关 系式； 某校要在校园中开辟出一块面积为 842 的矩形土地做花 圃,这个花圃的长 y 关于宽 x 的函数关系式； 市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石总 量为106 米 3,某运输公司承办了该项工程运送土石的任务 ， 运输公司的平均工作量 V 与完成运送任务所需要的时间 t 之 间的函数关系式. 0.已知 y 与 x 的反比例函数解析式为 y=. 请完成下表： x-3-113 求当 x=-10

30、时函数 y 的值； 求当 y=6 时自变量 x 的值. 【能力提升】 1.将乂=代入反比例函数 y=-中，所得函数值记为 y1,又将 x=y1+1 代入原反比例函数中 ，所得函数值记为 y2,再将 x=y2+1代入原反比例函数中，所得函数值记为 y3,如此继 续下去，则yXX= 已知一个长方体的体积是 100c3,它的长是 yc,宽是 5c, 咼是 xc. 写出用高表示长的解析式； 当 x=3 时，求 y 的值. 【拓展探究】 3.已知 y=y1+y2,y1 与 x2 成正比例,y2 与 x 成反比例， 且当 x=1时,y=3;当 x=-1 时,y=1.求当乂=时 y 的值. 【答案与解析】

31、c B A B -2 X 2=-2.故填-2.)6 y= 解:v=,是反比例函数,t0. y=,是反比例函数，x0. V=,是反比例函数,t0. 0.解:-1 -3 3 1 当 x=-10 时,y=-. 当 y=6 时,6=, 解得 x=. 1.- 解:y=. 当 x=3 时,y=. 3.解：设 y1=1x2,y2=, 则 y=y1+y2=1x2+. 把 x=1,y=3;x=-1,y=1 代入得解得所以 y=2x2+.当 x=时,y=2 x +2=.本课时精心设计了课程导入环节，顺利地把学生带入 课时学习的情景之中，为学好本课时的内容做了很好的铺垫 在教学设计思路上，不是把概念直接交给学生 ，

32、而是让 学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结 论,这样既巩固了先前的知识 ，又很好地做到了知识的迁移 和延伸. 依托教材的素材对教材进行了开发 ，依据教材的情景， 设计了对学生具有启发性和引导性的问题 ，精心设置了教材 例题之外的例题，更好地为实现本节课的教学目标服务 . 在复习一次函数和二次函数等函数知识的时候 ，给学生 的时间较少，部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识 这在一6 定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难 .在讨 论问题组的时候，让学生自我学习和交流做得不够深入 ，老 师过早地把问题结论提示给学生 ，对学生的思维活动没有做 到很好的引导.在习题处理环节上，个

33、例题可以让学生通过 交流合作去完成. 因为本课时的学习内容需要联系以往的函数知识 ，教师 应该在课前让学生进行有针对性的复习 降低补充的两个例 题的综合程度，把处理的重点放在巩固基础知识上 ，而不是 强调对知识的综合练习 .在明确了反比例函数的定义之后 ， 建议学生利用函数解析式把不同的函数特点进行对比 ，这样 更有利于学生对知识的掌握. 练习 t= h= p= 解:y=-,xy=123 中的 y 是 x 的反比例函数. 解：设函数解析式为 y=,所以 4=,=36,所以函数解析式为 y=. y=16. 当 y=6 时,6=,解得 x= . 反比例函数与正比 例函数的异同. 函数名称正比例函数

34、反比例函数 一般形式 y=xy= 自变量 x 的取值范围任意实数 x 工 0 函数 y 的取值范围任意实数 y 工 0 自变量 x 的次数 1-1 函数 y 与自变量 x 的数量关系商为定值积为定值 本节课要学习的内容是反比例函数的概念 ，通过具体实 例中的变量关系的特征 ，感受反比例函数的特征和意义 ，从 而形成反比例函数的初步认识 ，本节课的重点是在实际问题 中建立数学模型及用待定系数法求函数解析式 .教师引导学 生分析实际问题，并用解析式表示实际问题中的等量关系 ， 从而引出反比例函数的概念 ，让学生获得用反比例函数表示 变量关系的体验，学生在教师的引导下，通过自主探索与合 作交流，理解

35、并掌握本节课的重点，同时学生通过主动探究， 获取了知识，丰富了数学活动的经验，逐步达到学会学习. 对于九年级的学生来说，之前已经学习过一次函数和正 比例函数、二次函数，对于函数是刻画变量之间关系的数学 模型思想也有了一定的认识 ，可以在此基础上用类比的方法 继续深入学习反比例函数 ，所以在学习本节课内容时 ，要重 视新旧知识之间的联系，如适时复习函数、自变量、函数值、 正比例函数、一次函数及二次函数等有关概念 ，为学习反比 例函数概念做好铺垫. 已知关于 x 的函数 y=x2-n+. 当,n 为何值时，该函数为一次函数？ 当,n 为何值时，该函数为正比例函数？ 当,n 为何值时，该函数为反比例

36、函数？ 解：由题意可得 解得 n=1,工, 所以当 n=1,工时该函数为一次函数. 由题意可得 解得 n=1,=-1. 所以当 n=1,=-1 时该函数为正比例函数. 由题意可得 解得 n=3,=-3,工, 所以当 n=3,=-3 时该函数为反比例函数. 1.2 反比例函数的图象和性质 1.能用描点法画出反 比例函数 y=的图象. 能根据图象理解和掌握反比例函数 y=的性质，并能灵活 运用解决函数问题. 理解反比例函数中比例系数的几何意义 . 初步建立反比例函数解析式与图象之间的关系 . 经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过 程,获得研究函数性质的经验. 通过函数图象探究函数性质 ，

37、进一步体会运用数形结合 思想研究函数的性质. 经历知识的形成过程，了解从特殊到一般的认识过程 , 培养学生观察、探究、归纳及动手能力 经历观察、推理、交流等过程 ，获得研究问题和合作交 流的方法与经验，体验数学活动中的探索性和创造性 . 在数学学习过程中，进一步理解变量和常量间的辨证关 系,培养严谨的科学态度，感受数学美，并发现学习的乐趣. 【重点】 用描点法画反比例函数的图象；探索反比例函数的图象 特点和性质. 【难点】 探究反比例函数的图象特点和性质的过程及比例系数 的几何意义. 第课时 1.能用描点法画出反比例函数 y=的图象. 能根据图象理解和掌握反比例函数 y=的性质. 能运用反比例

38、函数的性质解决有关问题 . 经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过 程,获得研究函数性质的经验. 通过函数图象探究函数性质 ，进一步体会运用数形结合 思想研究函数的性质. 经历知识的形成过程，了解从特殊到一般的认识过程 ， 培养学生观察、探究、归纳及动手能力 经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动 ，获得研究 问题和合作交流的方法与经验，体验数学活动中的探索性和 创造性. 在数学学习过程中，体验与领悟数学发现的成功感 ，感 受数学美，发现学习的乐趣 【重点】 用描点法画反比例函数的图象；探索反比例函数的图象 特点和性质. 【难点】 探究反比例函数的图象特点和性质的过程 . 【教师准备】

39、 多媒体 14. 【学生准备】 在练习本上画两个平面直角坐标系 .导 入一： 【1 展示】 校园内有一块矩形草坪面积为 2002,它的长 y 与宽 x 之 间满足的函数关系是什么 ？当它的长 y 增加时，它的宽 x 将怎 样变化？ 【师生活动】 学生思考回答，并观察该反比例函数中 y 随 x的增大而减小，教师引出课题. 设计意图由生活实际情景导入新课 ，让学生体会生 活中处处有数学，激发学生学习兴趣，同时通过观察，思考问 题中长 y与宽 x 之间的关系，很自然地由实际问题抽象出本 课时学习重点之一的反比例函数图象的增减性 . 导入二： 【复习提问】 以前学习一次函数、二次函数时，是用什么思路和

40、方法 研究的？ 一次函数、二次函数的图象分别是什么 ？ 请你说出一次函数、二次函数的性质是什么 画函数图象的基本步骤是什么 ？ 【导入语】 我们可以类比研究一次函数、二次函数性 质的方法来研究反比例函数的性质 ，如果可以，应先研究什 么？ 设计意图 通过复习画函数图象的基本步骤 ，为本节 课的学习做好铺垫，复习通过画函数图象来研究一次函数、 二次函数性质的方法，让学生用类比的方法自然地构建出新 知识，降低本节课的学习难度. 过渡语这节课我们通过画反比例函数的图象来研 究它的一般性质. 一、描点法画反比例函数图象 画函数 y=与 y=的图象. 思路一 教师引导，师生共同完成，同时展示画图象的过程

41、. 自变量 x 的取值范围是什么？函数值 y 的取值范围是什 么？ 画函数图象时取哪些 x 的值列表，使函数图象完整、准 确？ 在平面直角坐标系中描点. 如何用平滑的曲线连接各点 ？ 从左到右连线时，图象与 x 轴、y 轴有没有交点？为什么？ 教师强调连线时从左到右依次用平滑曲线连接 ，由自变 量 x、函数值的取值范围可得函数图象与两坐标轴没有交点 ， 故画反比例函数图象时与画一次函数、二次函数图象时不同 坐标轴把图象分成两部分. 设计意图 通过师生合作，经历用描点法画函数图象 的过程，培养学生动手操作能力 ，理解描点法画函数图象的 本质，经历知识的形成，进一步体会数形结合思想 ，通过展示 画

42、图的过程，直观形象，学生既感兴趣又记忆深刻. 思路二 【任务】 同桌合作，每人在课前准备的平面直角坐标 系中画一个函数图象. 【师生活动】 学生独立完成列表、描点、连线 ，画图 后,小组合作交流，发现组内成员的画图错误 ，并帮助改正， 教师在巡视过程中及时发现常见典型错误 ，进行汇总，在展 示完整画图过程后展示典型画图错误 . 【2 展示】 列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表 ： x -6-4-3-2-112346 y= .-1-1.5-2-3-66321.51 y=-2-3-4-6-12126432 描点. 连线. 设计意图 通过动手操作，让学生自己经历画反比例 函数图象的过程，进一

43、步了解用描点法的方法画图象的基本 步骤，培养学生动手操作能力，经历知识的形成过程.通过小 组合作交流，培养学生合作精神，在讨论画图结果时互相纠 错的过程中，加深了学生对画函数图象的理解和认识 . 二、反比例函数 y=的性质 过渡语 通过函数图象可以得到函数的有关性质 ，让 我们一起观察所画的函数图象有哪些性质吧 ！ 思路一 观察教材图 26.1-2 的函数图象，学生在教师的引导下思 考回答： 你能描述反比例函数图象的形状吗 ？ 反比例函数图象无限延伸后与 x 轴、y 轴有公共点吗？ 与函数解析式之间有什么关系 ？ 函数图象在哪个象限内？该图象关于原点 o 对称吗？ 观察函数图象，当 x0 时呢

44、？你能根据函数解析式说明理 由吗？ 对于反比例函数 y=,以上结论还成立吗？ 【师生活动】 学生在教师设计的问题下边思考边回答 ， 教师提示学生可以通过表格和图象两个方面思考解决问题 ， 对回答有困难的问题，教师要给学生足够的时间思考、交流 . 设计意图 将探究函数的性质设计成问题的形式 ，使 学生在探究过程中有方向和目的 ，降低学习新知识的难度 ， 同时进一步体会数形结合思想及由特殊到一般的研究方法 . 【共同总结】 反比例函数 y=的图象是双曲线； 双曲线的两支分别位于、第三象限 ； 在每个象限内,y 随着 x 的增大而减小； 两支双曲线向两边无限延伸，与坐标轴没有交点； 两支双曲线关于坐

45、标原点成中心对称 . 思路二 类比以前研究的一次函数、二次函数的性质的方法 ，根 据所列表格、函数解析式、所画函数图象 ，你能得到哪些结 论?看看哪个小组得到的正确结论最多 . 【师生活动】 学生观察函数图象后先独立思考，再小 组合作交流，然后学生展示，教师在巡视过程中及时帮助有 困难的学生，发现学生思考片面时，可以及时提醒学生从图 象形状、增减性、对称性等多个角度观察思考 ，学生展示后， 教师点评，师生共同归纳函数的性质. 【共同总结】 反比例函数 y=的图象是双曲线； 双曲线的两支分别位于、第三象限 ； 在每个象限内,y 随着 x 的增大而减小； 双曲线两支向两边无限延伸，与坐标轴没有交点

46、； 双曲线两支关于坐标原点成中心对称 . 设计意图 通过小组合作交流，归纳反比例函数的性 质,学生之间的合作交流，培养了学生合作精神，同时提高分 析问题的能力.类比以前学过的函数的方法和性质归纳总结 让学生体会数学中重要的学习方法类比法 ，同时进一步 体会数形结合思想是学习数学最常用的思想方法之一 三、 反比例函数 y=的图象与性质 【导入语】 回顾以上探究过程，你能用同样的方法探 究函数 y=的图象与性质吗？ 【师生活动】 学生在刚才的平面直角坐标系中画函数 y=-与 y=-的图象.观察函数图象，小组合作交流，归纳反比例 函数y=的性质.教师巡视过程中帮助学习有困难的学生 ，引 导学生归纳反

47、比例函数的性质 . 【共同归纳】 反比例函数 y=的图象是双曲线； 双曲线的两支分别位于第二、第四象限 ； 在每个象限内,y 随着 x 的增大而增大； 双曲线两支向两边无限延伸，与坐标轴没有交点； 双曲线两支关于坐标原点成中心对称 . 四、 归纳反比例函数 y=的图象与性质 【4 展示】 一般地，反比例函数 y=的图象是双曲线，它具有以下性 当0 时,双曲线的两支分别位于、 第三象限，在每个象限 内,y 随 x 的增大而减小； 当 y2y3 B. y2y1y3 C. y3y1y2 D. y3y2y1 解析 已知三点的横、纵坐标分别是什么 ？函数值 y1,y2,y3 与已知点的横坐标有什么关系

48、？已知函数解析式和 自变量的值，怎样求出对应的函数值？你能分别求出 y1,y2,y3 的值吗？三者的大小关系是什么 ？反比例函数 y=的 图象及增减性是怎样的？你能根据函数增减性判断 y1,y2,y3 的大小关系吗？ 【师生活动】 学生独立思考，并回答问题，教师及时点 评，然后归纳两种比较函数值大小的方法 . 解法 1:把三个点的横坐标分别代入 y=, 得 y1=-,y2=-1,y3=1, y3y1y2.故选 c. 解法 2:可以看出点，在同一象限， =10, 在每个象限内,y 随 x 的增大而减小， -20, y30, y3y1y2.故选 c. 设计意图 通过例题加深学生对反比例函数的图象

49、和性质的理解与掌握，体会运用数形结合思想解决函数问题 的方法 和技巧，提高学生分析问题、解决问题的能力.例 2 中 用不同思路解决问题，培养学生多角度思考问题的能力 知识拓展 反比例函数的图象是双曲线 ，它有两支， 它的两个分支是断开的. 当0 时,双曲线的两支分别位于、第三象限 ；当 0 时,在 每一个象限内,y 随着 x 的增大而减小，但不能笼统地说：当0 时,y随着 x 的增大而减小.同样，当 0 时,图象经过、第三象 限 当 0 时,图象位于、第三象限 当 0 时,y 随 x 的增大而增大 当 0 时,在每一象限内,y 随 x 的增大而减小 当 0 时，函数 y=-的图象在 A. 第四

50、象限 B. 第三象限 c.第二象限 D.象限 解析：反比例函数 y=-中,=-50 时，函数的图象位于第 四象限.故选 A. 对于反比例函数 y=,下列说法正确的是 A. 图象经过点 B. 图象在第二、四象限 c.x0 时,y 随 x 的增大而增大 D.x0, 图象在、三象限，故 B 错误；0, x0 时,y 随 x的增大而减小，故 c 错误； 0, x0,所以错误；观察图象 可得,在每个象限内,y 随 x 的增大而减小，所以错误；当 x=-1 时,y=h0,所以 hy2,则的取值范围是 解析：因为 x1y2,所以双曲线在第二、 四象限，则+21,则 0 x20,则 y1 和 y2 有怎样的大

51、小关系？ 【拓展探究】 3.如图所示，在直角坐标系中，矩形 oABc 的顶点 o 与坐 标原点重合，顶点 A,c 分别在坐标轴上，顶点 B 的坐标为.过 点 D 和 E的直线分别与 AB,Bc 交于点,N. 求直线 DE 的解析式和点的坐标； 若反比例函数 y=的图象经过点，求该反比例函数的解析 式,并通过计算判断点 N 是否在该函数的图象上； 若反比例函数 y=的图象与厶 NB 有公共点，请直接写出的 取值范围. 【答案与解析】 A 满足 y=-.故选 A.) D 代入 y=,得=2X =-2, T =-20 时，图象在、三象限，在每 个象限内,y 随 x 的增大而减小，故 B 错误,c 正

52、确;=20,当 x1 时,00, A一次函数 y=x-的图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴 且该一次函数值y 随 x 的增大而增大，一次函数 y=x-的图 象经过、三、四象限. 故选 B.) -2 代入反比例函数解析式，得=x 2=2 故填-2.) y=- -2 解：将 A 代入 y=x+1 中得 2=a+1,解得 a=1,即 A,将 A 代入 反比例函数解析式中得 =2,则反比例函数的解析式为 y=. 将 x=2 代入反比例函数解析式，得 y=, 点 B 在反比例函数 的图象上. 0.6,把代入反比例函数解析式中，得=2X 3=6.故填 6.) 1.32, oD=3,cD=4,由勾股定理

53、可得 oc=5, oc=Bc=5, 点B 坐标为，反比例函数=的图象经过顶点 B, =32.故 填 32.) 解：根据题意，得 1-20,解得 x20, E,F 两点都在象限， 即y 随 x 的增大而减小， y1 B.0,所以 0,则7. 设 AB 与 x 轴交于点 c,如图所示， 点 B 与点 A 关于 x 轴对称，且厶 oAB 的面积为 6, oAc的面积为 3. 设 A,则 x?=3, 解得=13. 第课时 1.进一步理解和掌握反比例函数的图象与性 质. 能用待定系数法求反比例函数解析式 理解并掌握反比例函数 y=中比例系数的几何意义. 能运用反比例函数的图象和性质解决与其他函数或几 何

54、知识综合的问题. 通过探究反比例函数性质的应用 ，感受反比例函数解析 式与图象之间的联系，体会数形结合思想的魅力. 经历观察、思考、分析、交流等学习过程 ，提高学生数 学学习能力及合作精神，逐步提高学生分析问题、解决问题 的能力. 通过分析、解决与反比例函数的图象和性质有关的问题 及探究比例系数的几何意义的过程 ，获得研究问题和合作交 流的方法与经验，体验数学活动中的探索性和创造性 . 通过解决与一次函数、二次函数有关的综合题 ,增强学 生的自信心，培养学生学习的兴趣，提咼学生综合运用知识 解决问题的能力. 【重点】 灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题 ；比例系 数的几何意义. 【难点】

55、 灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题 . 【教师准备】 多媒体. 【学生准备】 预习教材 P78.导入一： 【复习提问】 反比例函数有几种表示形式 ？ 反比例函数的图象和性质是什么 ？ 用待定系数法求函数解析式的一般步骤是什么 ？ 【师生活动】 学生回答，教师点评补充. 导入二： 思考并回答下列问题. 判断点是否在正比例函数 y=2x 的图象上，你是如何判定 的？ 判断点，是否在反比例函数 y=的图象上，点，呢？如何判 定？ 【教师归纳】 判断点是否在函数图象上 ，将点的坐标 代入函数解析式，判断是否满足函数解析式即可 . 导入三： 思考并回答下列问题. 反比例函数 y=-的图象位于哪几

56、个象限？y 随 x 的变化趋 势是什么？ 反比例函数 y=的图象位于哪几个象限？y随x 的变化趋 势是什么？ 【师生活动】 学生独立完成后同桌之间交流答案 ，教 师确定正确答案. 设计意图 通过对不同类型旧知识的复习回顾 ，并且 复习了数与形的对应关系及反比例函数的图象和性质 ，对本 节课的学习起到承上启下的作用 ，降低了学生学习本节课的 难度. 过渡语 这节课我们继续研究反比例函数的图象与 性质，应用反比例函数的图象和性质能解决哪些问题呢 ？让 我们一起去探究吧！ 一、共同探究一 已知反比例函数的图象经过点 A. 这个函数的图象位于哪些象限 ？y 随 x 的增大如何变化？ 点 B,c,D 是

57、否在这个函数的图象上 ？ 思路一 【师生活动】 学生独立思考后完成解题过程，然后小 组合作交流，纠正解题思路和解题过程中的错误 ，学生板书 展示结果，教师在学生交流过程中帮助学习有困难的学生 ， 最后教师点评. 解：点 A 在象限， 这个函数的图象位于、第三象限 ，在每个象限内,y 随 x 的增大而减小. 设这个反比例函数的解析式为 y=, 点 A 在其图象上， 点 A 的坐标满足 y=,即 6=, 解得=12. 这个反比例函数的解析式为 y=. 点 B,c 的坐标满足 y二，而点 D 的坐标不满足 y二， 点 B,c 在函数 y=的图象上，点 D 不在这个函数图象上. 【思考总结】 待定系数

58、法求反比例函数解析式的一般 步骤是什么？ 待定系数法求反比例函数解析式 ，只需要代入几个点的 坐标？ 如何判断点是否在反比例函数图象上 ？ 思路二 师生共同分析，教师引导并提出下列问题. 点 A 在反比例函数图象上的含义是什么 ？ 图象的位置由哪个量确定 ？如何求出这个量？ 反比例函数中函数值 y随自变量 x的变化情况与哪个量 有关？y 随 x 的变化有没有限制条件 ？ 某点不在函数图象上的含义是什么 ？ 待定系数法求反比例函数解析式需要几个点的坐标 ？ 你能归纳待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤 吗？ 【师生活动】 学生在教师问题的引导下思考回答 ，教 师对学生的回答点评归纳后，学生独立

59、完成解答过程，教师 展示纠正书写过程中常见错误 . 设计意图 学生从已有的知识出发，在正确理解反比 例函 数图象上的点与函数图象的关系的基础上 ，运用待定系 数法求反比例函数解析式 ，并判断点是否在函数图象上 ，感 悟由“数”到“形”，又由“形”到“数”的过程，体会数形 结合思想在数学中的应用. 二、共同探究二 过渡语 在反比例函数 y=中，已知函数解析式，可以 判断函数图象所在象限及增减性 ，反之，已知函数图象可以 判断比例系数的范围，我们一起探究下边的例题. 如图所示，它是反比例函数 y=图象的一支.根据图象，回 答下列问题. 图象的另一支位于哪个象限 ？常数的取值范围是什么？ 在这个函数图象的某一支上任取点 A 和点 B.如果 x1x2, 那么 y1 和 y2 有怎样的大小关系？ 教师引导提出下列问题. 反比例函数图象的两支有什么对称性 ？ 函数图象的一支位于哪个象限 ？ 函数图象所在象限和解析式中的哪个量有关 ？ 函数解析式中的比例系数用哪个式子表示 ？ 在比例系数范围确定的情况下，在图象的另一支上,y 随 x 的变化如何变化？ 【师生活动】 学生独立思考后，小组合作交流，共同探 究,教师在巡视过程中帮助有困难的学生 ，学生板书解题过 程,教师点评. 解：反比例函数的图象只有两种可