耦合模理论的推导公式

1、耦合模理论耦合模理论Coupled-Mode Theory , CMT是研究两个或多个电磁波模式间耦合的一般规律的理论。CMT可用于非接触电能传输Contactless Power Transfer , CPT系统的 计算，以降低多线圈耦合电路计算的复杂性。为了用CMT来估算线圈间的能量传输效率， 首先用电路原理Circuit Theory，CT的思想解决两个线圈的能量传输效率问题，然后通过CMT得出两个线圈感应连接的能量传输效率方程，将两个方程比照后发现可以变换为一套一样的公式。随后分析 3个线圈、4个线圈、一直到n-1个线圈都可以变换为同一套公式，最 后将此方法推广到在同一平面的 n个负载

2、线圈的效率求解。1单负载的电路分析1.1电路分析图1单负毂线圈的CPT拓扑结构在图1中磁共振系统的逆变和整流局部可以得到高频的交流电，u是逆变后的交流电源,R为原副边的阻，Rl是负载，耦合系数 K M r. L1L2，其中M为L1和L2的互感。系统最正确的工作频率就是谐振点，由集总参数的能量守恒原理可以得到1UrjL1丨1j MI 2(1)C10rRljL2 -1I2 j MI 1C2门(Rl X2)X12M 2 ,P 门 Rl令Xi R j L1匚CT旦懸竺企UI1 UI1(Rl X2)X12M2)(Rl X2)在谐振状态下，oLi oL 2 o Lii,Xi R,X2 r，从而得到 oL2

3、2M 2RlCT (Rl R)R 2M 2)(Rl R)1.2 CMT分析CPT系统中，常常只涉与稳态分析,在此也仅分析稳态特性。主线圈的幅值在正弦时为一个常数;同理，次线圈的幅值也是一个常数，两个时间域线圈ai(t), a2(t)的原始储能可分ai(t)a2(t)ai(t)2(j(j,a2(t) 2。由 CMT可得i) ai(t)jK i2a2(t)Fs(t)2Ja2(t)jK i2ai(t)在上述公式中,i, 2, L分别为原线圈的损耗、为两个线圈的耦合率,Fs(t)为励磁损耗忽略不计6负载线圈的损耗和负载的吸收功率，Ki2° CMT中, ai(t)Aiejt,a2(t)A?e

4、j 七都是正弦信号；Pi2a1 , P22A分别为原线圈、副线圈和负载的功率。由能量守恒定律可得PlL A2CMT Pi P2PlAi22 L A2(8)由方程6和7可得AiA2jKi2 ,QljKi22 , QiRl1, Q2R2。将R两者之间关系 L2Ql2QiK以与K 12 2Q22代入式8,解得lKi222 (L2)( L2)i Ki222M 2Rl2 2(Rl R)R2M2)(Rl R)CMT2K2LiL2Rl2 2(Rl R)R2K2LL)(Rl R)9与式5比照可知，两种方法求出的传输效率的表达式一样。2两个负载电路的传输效率分析2.i电路分析图2两个负載线圈的CPT拓扑结构PC

5、T U11|22RL2|32RL3UI 12M22RL2(R RL3)22M/Rl3(R Rl2)2G1(R RL2)(R RL3)(13)式中：Gi(R Rl2)(R Rl3)2M22(R RL3)2M 32(R RL2).对于图2电路，M2和M3为Li分别与L2和L3的互感，Rl3为线圈3所带的负载， 心 和K3分别为两个负载线圈的耦合系数 .同理可得13I 10URjLi|1j M2I2 j M 3|C10RRL2jL21|2 j M2I1(11)C20RRL3jL3-1I 3jM3I1(12)C3在谐振状态下的传输效率为2.2 CMT分析3个线圈的CMT分析和两个线圈的 CMT分析方法

6、类似，如下所示:a®(j 11)a1(t)jK12a2(t) jK13a3(t)FS(t)14a2(t)(j22+ L2)a2(t)jK12a1(t)(15)a3(t)(j33+L3)a3(t)jK13a1(t)(16)同理可得A13L 3rL1L2,Q2,Ql2RL2,Q3L 3L3,QL3-.冋时有关RRl3A,Q1jK13RRL2系式L22Ql2L32Ql32QiK2K32莎3莎，Ki2 ,Ki3亍.从而解得CMTPL2 PL3PiP 2 P3 PL2PL32 i Ai22 2 A222 L2|A22 L3|A3l2 A22 L3 A3L33 A3222M 22RL2(R RL

7、3)22M32 RL3(R RL2)2G2(R RL2)(R RL3)(17)式中：G2 R(R Rl2)(R Rl3)2M22(RRL3)2M32(RRL2).解出的结果与式13丨一样.用CT方法和CMT方法能够得到一样的效率公式33个负载电路的传输效率分析图3 3个负載线圈的CPT拓扑结构对于图3中3个负载电路的拓扑结构，用同样的方法能够证明用集总参数分析方法和CMT求传输效率是一样的CTCMTP I 22 RL2I 32 RL3I42 RL4UI 1UI 1Pl2Pl 3Pl4(18)P1 P2 P3 P4 PL2PL3PL4 (19)(R(RRL2)(RRl3)(RRl4)2M 22(

8、RRl3)(RRl4)2M 32(RRl2)(RRl4)2M42(R Rl2)(R Rl3)(R Rl2)(R Rl3)(R Rl4)2 2 2 2 2 2 2 212M 22RL2(R RL3)2(R RL4)22M32RL3(R RL2)2(R RL4)22M32 Rl3(R Rl2)2(R Rl3)2'求得传输效率公式为CMT204n-1个负载电路的传输效率分析用集总参数分析图图4 n-l个负载线圈的CPT拓扑结构n个方程，分别为UR j1L1|1 j M2|2 . j MnIn 21C10RRLi1j LiIij MI 1 (i 2,., n) (22)Ci解上述n个方程，并将11, |2,.,|n代入4拓扑结构，图4有n-1个负载线圈，有2 2 2I 2 RL2| 3 RL3 + |n RLnCT ni 22Mi2RLinj 2,j i(RRli)2U1123nn2n 2n式中：2 j2(R RLj)R j 2(RRLj)2i 2Mi2j2,j i(R RLj)用CMT方法分析图4的拓扑结构图，同样忽略励磁效应，由前面的方法可得a*t)(j 11)a"t) jK12a2(t).jKman(t)Fs(t)24a2(t)(j i i+ 口归jK 1ia1(t) (i 2,n)25将以上各变量代换，得到CMTnP