第九章曲线及曲面积分(教师用)

1、第九章 曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分 98页定理 ：设L参数方程为：，则，这里要求（下限小于上限）同理，设空间曲线参数方程为：,则 这里要求.直角坐标下 设曲线L的直角坐标方程为：，则同理，设曲线L的直角坐标方程为：，则补充例1：计算是上间的一段弧。补充例2：计算:为圆柱螺线，的一段弧。.习题9-1 对弧长的曲线积分 102页.计算下列对弧长的曲线积分在第一象限部分。(2) ，L为园周，解：原式=（3）的直线段。(4) ，L为直线及抛物线所围区域的整个边界.解：原式yxaOBA（5）.，L为，直线及x轴在第一象限中所围图形的边界.解：，圆弧.线段：，由及 得 ，, 因此 (6)

2、 ，其中为折线，各点坐标：。解：,故 原式=补充；，其中为曲线，上相应于t从0到2的这段弧.解：原式练习册1设在面内有一分布着质量的曲线弧在点处的线密度为用对弧长的曲线积分表示：（1） 这曲线弧（2） 这曲线弧（3） 这曲线弧2： 计算，其中L为右半单位圆. 题图解：法一:由，考察，则.;法2:由，则.法3:由，故.法4：3计算:为以点（0，0），（2，0），（0，1）为顶点的三角形 题图4求空间曲线的弧长。解：5有一铁丝成半圆形其上每一点处的密度等于该点的纵坐标，求铁丝的质量。 题图 第二节，对坐标的曲线积分 103页设为有向曲线弧，是与方向相反的有向曲线弧，则 . 对坐标的曲线积分的计算L

3、的参数方程为：，对应于L的起点，对应于L的终点，不一定小于.且;则同理，空间曲线的参数方程为：，对应于的起点，对应于的终点，不一定小于.则 直角坐标下，设曲线L的直角坐标方程为，a对应于L的起点，b对应于L的终点，a不一定小于b. 则同理，设曲线L的直角坐标方程为：，c对应于L的起点，d对应于L的终点，c不一定小于d. 则注意:积分下限要对应积分路径的起点，积分上限要对应积分路径的终点.补充例子：计算为：（1）半径为，圆心为原点，逆时针方向绕行的上半圆周。（2）从点沿轴到的直线段。解：，例子中，两个积分的被积函数相同，起点和终点也相同，但沿不同路径的积分值并不相等。三. 两类曲线积分之间的联系

4、O 其中为L上点处的切向量的方向角。为上处切向量的方向角.习题9-2 对坐标的曲线积分 109页1. 计算下列对坐标的曲线积分：按逆时针方向绕行一周。解：令的直线段。 题图 (3) ，L为园周，上对应t从0到的一段弧；解：原式=（4）L为及轴所围成的第一象限内的区域的整个边界。（按逆时针方向绕行）。解：L为直线段和弧段之和，显然： (5) ，L为园周（按逆时针方向绕行）；（7）上对应从0到的一段弧。3 把对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中为：（1）在面内沿直线从点（0，0）到点（1，1）。解:(3)沿上半圆周从点（0，0）到点（1，1）。解:补充：，L为上点到点的一段弧。解：原式11补

5、充：. 计算，L是：（1） 抛物线上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧。42解：所以：（2） 从点(1,1)到点(4,2)的直线段。解：，所以原式先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线；42练习册1. 计算，L为园周（按逆时针方向绕行）；2计算，L是抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；解：依题意有：原式3计算上对应的一段弧。解：原式=4计算，为有向闭折线依次为点。 解：，, 5方向沿纵轴正方向，大小等于作用点的横坐标的平方的力构成一力场，求质量为的质点沿抛物线从点（1，0）移动到点（0，1）时场力所做的功 题图解：记曲线第三节.格林公式及其应用 11

6、0页边界曲线L的正向：当观察者沿边界正向行走时，区域总在他的左手边。定理1设是平面上以分段光滑封闭曲线为边界的有界闭区域,及在上有一阶连续偏导数,则有格林公式,其中是区域的正向时取正号；负向时取负号.若不满足Green公式的条件： 曲线L不封闭，则可补直（曲）线，使之封闭，再减去所补直（曲）线上的积分；（2）闭D内有“点洞”，则可作小园挖去“点洞”.补例 计算，其中L为正向圆周.解：法一 满足Green公式条件，DDD 原式法二：直接计算：，则：二.曲线积分与路径无关的条件定义：设是一个单连通域,若对内任意指定的两点,B以及内从A点到B点的任意两条不同的曲线,有,则称曲线积分在内与路径无关.这

7、时可将曲线积分记为.定理：设函数和在单连通区域G内有一阶连续偏导数，则曲线积分与路径无关充分必要条件是:在区域G内恒成立. 若在G内恒有成立，则曲线积分与路径无关.这时积分路径可以走与坐标轴平行的折线，称折线法.即 或 二元函数全微分求积定理：设区域G是单连通域，函数在G内具有一阶连续偏导数，则在G内为某函数的全微分的充要条件是在G内成立. 同时有：或者其中在G内.补例 计算，L：，逆时针方向一周.解：曲线积分满足Green公式的条件，且， 原式其中二重积分的计算利用了对称性.补例 证明：只与L的起点和终点有关，而与所取路径无关，其中L不经过y轴，且求的值.解：由 ；有 ，.只要L不经过y轴，

8、曲线积分与路径无关. 取折线路径：. 则方法二 用直接计算法（取直线AB）由两点式，直线AB：，则.补例 计算 ，其中是闭折线.解：ABOA为负向.补充例子：，为圆周正向.解：因为是正向闭路，有人就利用Green公式计算如下： 原式这是一个错误的结果.事实上，曲线为：，.故原式为什么？因、在D上不连续（原点是奇点），不满足Green公式的条件.讨论(1)也可以按如下作法来应用Green公式计算：曲线积分沿：的正向，因此上有：又，在围成的区域D内连续. 原式讨论(2)若改为不包含也不通过原点的任意闭曲线，（例如：逆时针方向）因为连续；则原式=0讨论(3)若改为包含原点的任意正向闭曲线.由于包含原

9、点，由所围成的区域是复连通域.为了除去原点（点洞），作小圆，为逆时针方向，a充分小，使得小的圆周也包含在之中. 故有，因为，所以. 即 故：包含原点在任意正向闭路上的积分等于包含原点的充分小的正向圆周上的积分.故 补例：设是沿上半圆周=1上的点（1，0）到一段弧，如图.解一，曲线积分与路径无关，可选线段.得=.解二设为参数，从0到得=（+cos4t）.补例 计算，其中L为逆时针方向一周. 解：因为L上；所以补充例：设是任意一条分段光滑的闭曲线，证明：证明：，有：习题9-3 Green公式及其应用 120页1. 利用Green公式，计算下列曲线积分：（1），L是抛物线和所围区域的正边界.解：由G

10、reen 公式，（2）为顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界。解：（4），为正向星形线。解：（2），其中L是四个顶点分别为（0，0），（2，0），（2，2）和（0，2）的正方形的正向边界。解：在上连续，所以由格林公式有2 用曲线积分计算下列曲线所围的面积.（1）椭圆：（3）圆：解：参数方程：3计算的一段弧。L4. 计算，L为园周，方向为逆时针方向. 解：，除原点外上式恒成立包含原点，因此作小圆，（a充分小）方向为逆时针方向.则5. 证明下列曲线积分在整个xoy面内与路径无关，并计算积分值：（1）解：因为曲线积分在xoy面内与路径无关.取路径：(2) 解：曲线积分在整个x

11、oy面内与路径无关.取路径：补充：解：曲线积分在xoy面内与路径无关. 取路径：补充：利用Green公式，计算曲线积分：，L为在抛物线上由点(0,0)到的一段弧； 解：，所以：法2该曲线积分在整个xoy面内与路径无关. 取路径，故原式6. 验证下列在整个xoy平面内是某一个函数的全微分，并求这样的一个：（1）解：,（2）解：，在整个面内恒成立，是某函数的全微分，积分路线如图所示，则：本题的不定积分解法：因 ， ,对y求偏导数：，而 ，故,因此，(C为常数)或：是某函数的全微分，故：(4) ； 解：,除原点外均成立.取. 则补充：； 解：,除原点外均成立.取. 则练习册2 用曲线积分计算星形线所

12、围的面积.解：3. 计算，L为园周，方向为逆时针方向.a题图 解：，但法2：，.4计算的正弦曲线L5.证明在整个xoy平面内是某一个函数的全微分，并求这样的一个：,取. 则6试确定与路径无关，并求当时曲线积分的值。解故:原式=7求OL题（1）图题（2）图解：（1）因为所以的点成立，显然L包含的区域不包含（1，0）。所以 第四节 对面积的曲面积分 121页设曲面的方程为：在xoy平面上的投影区域为，在上有连续偏导数，在上连续，则同理，如果曲面的方程可以写为或，则把投影到yoz平面上（投影区域为）或xoz平面上（投影区域为）则习题9-4 对面积的曲面积分 125页3计算，为抛物面在xoy面上方的部

13、分.分别如下：（1）；（3）解:原式=4 计算： (5) ，为锥面被柱面所截的有限部分；补充：求抛物面壳的质量，此壳的面密度的大小为.(上题等价于：曲面上每点处的面密度等于该点到xoy面的距离，求曲面的质量).解:原式=练习册1设有一分布着质量的曲面处的面密度为用曲面积分表示：曲 ;曲曲2 ，其中为平面在第一卦限中的部分； 解：故：3 计算：，其中为锥面及平面所围城的区域的整个边界曲面。.1记：，所以： 4计算，其中是界于平面及之间的园柱面；解：此圆柱面不能表为的形式，故不能在面投影。所以或法2：原式5计算zxy解：因为投影所以补充：计算 第五节 对坐标的曲面积分直接投影法：把曲面的表达式直接

14、代入被积表达式中，再取定有向曲面的侧的符号.其中前侧、右侧、上侧取正号；后侧、左侧、下侧取负号.、分别为曲面在三个坐标面上的投影区域.因此，曲面积分P、Q、R三项齐全时，要分别向三个坐标面投影.有Pdydz，则把向yoz平面投影；有Qdzdx，则把向zox平面投影；有Rdxdy，则把向xoy平面投影.三 两类曲面积分之间的联系：如果取上侧其中；，；是曲面上点处的法向量的方向余弦. 间接投影法：设曲面由方程表出，函数在上具有一阶连续偏导数（是在xoy面上的投影）.由；,；则 其中为上侧时取正号，为下侧时取负号.同理可得把投影到yoz平面或xoz平面上的相应的公式.补例下列各计算的理由及结果是否正

15、确？为什么？其中均为球面的外侧表面.(1) ，因为被积函数z是关于z的奇函数，且积分区域对称；(2)，考虑到和的侧的符号，而且在xoy平面上的投影都圆域：，故 解：对坐标的曲面积分，不仅要考虑被积函数，还要曲面的侧的符号.故(1)(2)中的理由及结果是错误的.因为(1)只考虑了被积函数z在上有正负，即是一个双值函数，而没有考虑曲面有侧的符号，也有正有负. 而(2)中只考虑了曲面的侧的符号有正有负及相同的投影区域，而忘了被积函数是定义在上的双值函数，z在和是不相同的.正确的计算应该是两者同时考虑，即习题9-5 对坐标的曲面积分134页2 计算下列对坐标的曲面积分： (1) ，是球面下半部分的下侧

16、；(2) ，其中是圆柱面被平面所截得的在第一卦限部分的前侧；(3)，是球面外侧在的部分。解：把分成，积分曲面取上侧。则：，所以：(4)，其中是长方体的整个表面的外侧，。 解：把有向曲面分成以下六个部分：除外，其余四片在面上的投影为0，因此：类似的：3 把对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分，其中（1）是抛物面在xoy面上方的部分的上侧.解:原式，取法向量，从而原式=（2）是平面在第一卦限部分的上侧。解：原式=4利用两类曲面积分之间的关系计算： (1) ，其中是圆锥面被所截下部分的下侧；解：添上侧，则(2) ，为连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧；解：由有，.在xoy平面上的投影为.，为上侧，

17、取正号；原式=（三角形面积）.练习册1当面内的一个闭区域时，与二重积分的关系为：2计算的上侧。3计算所围空间区域的整个边界曲面的外侧。4，是长方体的整个表面的外侧。解：把分成以下六部分： 除外，其余四片在面上的投影为0，因此：类似的：所以5计算所截出部分的外侧。2yxxy题图解：记，由高斯公式有：-22xx+z=2-222xy 第六节 Gauss公式通量与散度定理1 若空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成， 函数、在闭上具有一阶连续偏导数，则曲面积分化为三重积分计算. 即是外侧，则右端取正。若是曲面的内侧，则右端取负。若曲面不封闭，则可补面，使之封闭，再减去所补面上的积分；补充例子1：利用高斯

18、公式计算曲面积分：为锥面介于平面和之间部分的下侧，是在点处的法向量的方向余弦。h解：不封闭，设：一起构成一个封闭曲面，记它们围城的空间闭区域为，由高斯公式：，注意到：即得：而： 所以：补例2 设有连续导函数，试计算曲面积分，为的锥面与球面，所围立体表面的外侧.解：且，.原式.球坐标： 原式补例3：计算，是锥面的外侧.解：补平面上侧，则+封闭，且为外侧. 又由，所以（奇且对称）原式（奇且对称）补例4 计算，是旋转曲面 的外侧.解：补上侧；投影区域为圆域：.公式：原式=(奇且对称）补例5 计算，是曲面被截部分的上侧.解：下做法有错：用Gauss公式，补平面取上侧，使为封闭曲面，又有：.原式这是错误

19、的. 问题出在虽然成为封闭曲面，但没有构成外侧的条件. 只有取的下侧，才能使+的闭曲面构成外侧. 因此，前面计算的实际上是：；而 原式.习题9-6 Gauss公式通量与散度 142页1. 利用Gauss公式计算曲面积分：（1），为立体, 外表面外侧.解：满足Gauss公式条件，且，.原式，三重积分利用了轮换对称性.(2)，为曲面及平面所围成空间闭区域整个边界曲面的外侧.解：曲面积分满足Gauss公式的条件，且则（3）其中是曲面及所围立体表面的外侧；(4) ，其中是上半球面的上侧；解:添下侧，则原式（5），是曲面被截部分的下侧.解：用Gauss公式，补平面，取上侧，使为封闭曲面，又有：.原式(3) 为上半球体的表面外侧；原式= (4) 是界于和之间的园柱体的整个表面外侧；解:原式=练习册1计算为平面所围成立体表面的外侧。 题图解：由高斯公式：2计算外侧的上半部分题图3 设有连续导函数，试计算