第4章水弹性力学流体与刚体、弹性体相互耦合运动理论

1、第4章 水弹性理论流体与刚体相互耦合运动4.1 刚体与外流场的耦合船舶与海洋结构物在水中的运动就是此类典型的运动。在许多工程问题中，仅考虑刚体在流体及风的作用下的运动，忽略弹性变形对流场的影响，此时结构6个自由度运动在船舶耐波性理论中就有了特定的含义：纵荡、横荡、垂荡（升沉）、横摇、纵摇和艏摇。下面就以海上浮体、水面船舶为例介绍这面的理论。4.1.1 坐标系选取与运动量描述坐标系的标注符合船体制图中的规定，见图41艏艉图 01为了描述物体在波浪中的运动，引入三个坐标系统：固定坐标系固定在大地上（流场中），不随流体或物体运动。通常平面与静水面重合，铅垂向上；第二个坐标系为动坐标系，又称连体坐标系

2、，与物体固联，随物体一起摇荡。物体处于平衡位置时，平面与静水面重合，轴垂直向上，位于船长处或通过结构物重心；另一个坐标系为称为参考坐标系，或平衡坐标系，当结构处于平衡时，它与动坐标系重合，但其不随结构摇荡，始终位于平衡位置上。若结构有平均直线航速，该坐标系也随之一起以该平均前进速度移动，它用于表征结构摇荡位移和姿态。设与关系如图4-2，则(4- 1) 图 02图 02设动坐标系的原点在中的位置为，则分别表示纵荡、垂荡（升沉）和横荡船舶摇荡运动时姿态由动坐标系转动来描述，引入辅助参考系以表达结构无旋转即无摇荡时状态。转动后转到某一新的位置，则动坐标系相对原先未转动时位置的角位移决定了船舶运动的姿

3、态（见图4-3）轴固定图 03角位移用三个欧拉角来定义，坐标系与中坐标变量关系可以通过三次旋转变换获得（见图4-4）第一次坐标系旋转，即坐标系绕轴转动一个角度，使得轴转至由轴及轴确定的平面上，此时有轴固定第二次坐标系旋转，即在第一次基础上，将新的坐标系绕转动角，使轴转至与轴重合，得坐标系，此时已与重合轴固定第三次旋转，将绕轴转动角，使得与重合(4- 2)对于小幅摇荡，较小，保留一阶小量，有则（12）改写为(4- 3)上式逆为(4- 4)转到参考坐标系中，则有(4- 5)如果为结构表面上某点位置坐标，则上式体现了结构摇荡时某一瞬时空间位置。角速度与欧拉角关系记而，而。可以利用知(4- 6)(4-

4、 7)(4- 8)设结构转动角速度为，在动坐标系中表示为：(，而在动体中不随变，故)(a)式中又，而既不转动，以不随变，则(b)比较(a)(b)两式知又其中综合以上各式，并对比两边，易得到(4- 9)线性化(4- 10)另外推导方法(reference Dr Mss thesis，1998)(April 2010)注意到，类似于三次坐标旋转，物体的角速度也可由各次坐标转换中的欧拉角速度获得，即式中分别绕，和轴的欧拉角速度，它们均可以通过坐标转换，在动坐标系中表达所以4.1.3 结构物在流体中运动1. 运动方程一般描述应用质心运动定理和绕质心的动量矩定理有(4- 11)式中为刚体动量；是绕质心动

5、量矩；和分别为外力矢量和绕质心的外力矩矢量。上式在惯性坐标系内成立。若选择动坐标系与物体固结，其原点在质心处，并设刚体质量为，质心运动速度为，绕过质心某瞬时轴转动角速度为，则注：，是在惯性坐标系中的时间导数，是在动坐标系中的时间导数，表示动坐标系中计算或表达的矢量对求导在动坐标系中，质心运动定理可写为：(4- 12)绕质心动量矩：式中，为动坐标系单位矢量，为刚体中某点至质心矢径(4- 13)令，则(4-13)改写为：(4- 14)为在动坐标系中表达，注意到(4- 15)而在动坐标系中计算与无关在动坐标系中表达式为：(4- 16)2. 动坐标系原点不通过质心时运动方程的修正修正办法：1) 改变方

6、程使之与求流体动力时所用坐标系一致。2) 把所求得的流体动力变换到以重心为原点的坐标系上去。一般采用第一种方法。设动坐标为，质心在此坐标系中位置为，在点上也固结一动坐标系，它的三个坐标轴始终与坐标系相应坐标轴平行。对于刚体来讲，其一般运动总可以分解为过基点的平动坐标系的牵连运动及相对的定点转动（相对运动）。设绕点的瞬时角速度为，则(4- 17)代入得(4- 18)上式推导如下：方法1.根据刚体运动分解：其中，代入推得(4-18)方法2.将(4-17)式两边对求导注意到从而，即(4-18)式。(4- 19)代入并注意到得(4- 20)上式为矩心为动点的动量矩定理，式中仍用坐标原点在时计算公式。上

7、式还可用理论力学其它方法推导：(a)(b)©©式代入上式得即(4-20)式。4.1.4 作用在结构物上的流体力及力矩的求解势流波浪理论下式中为船舶或其它结构物表面单位法矢量在动坐标系中表达相对流场为外法线，为表面上某点至动系原点矢径，为流场压力，也在动坐标系中表达，这将在下面章节中详细叙述。这里假定外力只有流体作用力，而实际外力中还应有系泊力等。从上式看出求解外力的关键是确定流场压力，的求解需通过速度势及拉格朗日方程获得。1. 基本方程及自由表面条件设固定坐标系中速度势为，则其定解条件为：基本方程：边界条件：(4- 21)初始条件：求出后，由拉格朗日积分：可求得压力，注意上

8、式中常数归到了中。由于在固定坐标系中求解及不方便，一般将它们转至参考系中求解。引入参考系，其速度沿固定坐标系的轴正向移动，则 图4-4 参考系与固定系关系与关系为：(4- 22)在参考坐标系中拉格朗日积分表达式为：(4- 23)自由表面条件，在上(4- 24)推导时注意到：，令，则引入定常速度势以描述船体无摇荡，只作定常运动的兴波速度势。具体定解条件为：(4- 25)若船舶还作摇荡，可令，为非定常部分，包括入射，绕射，辐射三个部分。定解条件为：，流场内。上：(4- 26)(4- 27)关于物面条件需作单独讨论。2. 物面条件平均位置瞬时位置固结坐标系参考坐标系辅助坐标系点在中位置为，另引入表示

9、角位移以点作为研究对象，其在及中位置见图。时刻，在参考坐标系中，在动系中。初始位置（平衡位置），显然有：(4- 28)几何关系：(4- 29)在原点与重合，而三轴与平行的参考系中：(4- 30)在动坐标系中：(4- 31)由知识式中(4- 32)(4- 33)利用上面关系式，可将转至中表达，即绝对速度势在动坐标系中表达：(4- 34)式中，和类似表达，为中相应元素。第一项表示在静止物面(平均湿表面上)的值，法向导数：(4- 35)注释：在什么坐标系中表达，也应在相应这个坐标系中表达，由于在中表示所以也应在中表示，而，同时，故有式中为在参考系中投影。(4- 36)(注：)(都用表示分量，理由是对

10、应点上(),相对于各自坐标轴上分量不会在运动中改变，亦即刚体在旋转过程中，连体上是不随改变的，但相对于参考坐标系来讲是随变的)又(同矢量在不同坐标系中表达)(4- 37)式中为的元素，取到二阶量，则(4- 38)由(4-36)t和(4-38)得到(4- 39)瞬时物面上点速度(先考虑无航速)，则(4- 40)由前面知识知：(4- 41)(4- 42)(4- 43)因为所以由(4-39)和(4-43)两者相等，注意到(4- 44)(4- 45)引入。式中为物面平均位置上法线矢量和位置坐标在参考系坐标轴上投影。注意到：从而(4- 46)现考虑有航速情况，沿以移动。物面条件精确提法为：(4- 47)

11、(4- 48)(4- 49)(4- 50)若，只有定常兴波，设此时湿表面为，即在上迭加定常移动兴波引起的湿表面变化，此时物面条件：(4- 51)上式与(4-25)中自由表面条件构成精确边界条件。现引入非定常运动是微幅的假定，即和均为小量，记作，相应地与差别也是同级小量。先求一任意函数：取，则而(4- 52)其中另外注意©(d)异同；表达方式相同，但具体值不同，©中无摇荡，故；(d)中存在摇摆，令(4- 53)物理意义：定常绕流速度场，即流体力学中提到的相对速度势诱导的速度场。则代入(4-50)得(4- 54)若设(4- 55)上式称为Timman&Newmman条件

12、。讨论：若还引入船体等移动的定常兴波较小，即(对应于细长体一类结构)，则(4- 56)Timman&Newmman条件其它形式：(4- 57)推导如下：则令代入(4-50)(4-57)式。具体推导参见船舶在波浪上运动理论。下面从Price-Wu方法推导：设总速度势物面条件：而(4- 58)令，则。考虑到小幅摇荡，即量，则与之间差异亦是同级小量。从而，其中，(4- 59)式中为结构角位移，即，而(4- 60)(4- 61)代入(4-58)式(4- 62)可证明，所以(4-62)式可改写为(4-57)式。4.2 弹性体与外流场相互耦合坐标系选取及运动量描述 坐标系选取与4.1节中相同，为坐

13、标系，为随结构物以航速沿作匀速前进的参考系，以表示结构物摇荡姿态，为随体坐标系。为平动参考系，以描述结构旋转运动，具体见图 图4.2-1 坐标系选取位移矢量定义：结构上任意一点经摇荡及变形后总位移（相对）为其可以分解为刚体平动位移、转动引起位移及弹性变形引起的位移，分别表示如下：刚体位移：1） 刚体平动位移，在水弹性力学中一般表示为：(4- 63)其中分量物理意义分别代表纵荡，垂荡（升沉）和横荡引起的位移2）刚体转动引起的位移：(4- 64)式中(4- 65)其中(4- 66)当只考虑到一阶量时，（4.64）可改写为若令，则(4- 67)在水弹性力学中将改写成 (4- 68)其中 (4- 69

14、)各项物理意义是分别由横摇，艏摇，纵摇引起的位移从(4.69)可以推出：（此式只有在线性化条件下才成立）(4- 70)所以，因刚体转动引起的一阶位移量为：(4- 71)3）结构弹性变形引起的位移：(4- 72)式中表示第r阶主振动（模态）下引起的变形位移。转至中表达时，只考虑一阶量时，。从而结构上任一点p处总位移（在中）表达式为：(4- 73)若引入主模态，主坐标的概念，则结构上任意点处位移可表达为另一种形式：(4- 74)式中为结构第r阶干模态，其前6阶为刚体模态，分别对纵荡，垂荡（升沉），横荡，横摇，艏摇和纵摇，具体表达式为：(4- 75)另外式(4.74)中表示第r阶主坐标，对应刚体运动

15、的前6阶模态分别为：(4- 76)结构在流体作用下运动方程经有限元离散后总体运动方程为(4- 77)式中，分别为广义质量，阻尼和刚度矩阵，和 分别为广义流体力、广义集中力和体积力列向量将代入并注意到干模态正交性，则(4.77)可以改写为 ，水弹性力学方程(4- 78)式中，分别为干结构广义质量，阻尼和刚度阵。（具体推导见）式(4.78)就是同时考虑了刚体运动和弹性变形的水弹性力学方程。流体力及广义水动力流体压力在固定坐标系中，表达式为：(4- 79)式中，即绝对速度势在固定系中表达。设在中速度势表达式为与关系：，故(4-79)式改写为：(4- 80)又可分解为即定常，非定常部分，代入上式，式中

16、令（参考坐标系坐标轴单位矢量；动坐标系坐标轴单位矢量）则上式可改写为：(4- 81)又，因为(4- 82)将上两式代入p表达式得(4- 83)上式就是在参考系（平衡系）中在瞬时上计算p的公式。下面将其摄动到平均湿表面上。转换之前首先说明一下与的区别：表示无航速时，摇荡平均湿表面，而表示有航速时定常速度势诱导出的定常速度场（相对而言）引起的平均湿表面位置，两者仅当定常速度为小量时，误差才是小量。根据摄动理论，有：(4- 84)若取，则将(4-83)代入并注意到，可得到(4- 85)式中若考虑二阶量，则(4- 86)广义水动力(4- 87)4.2.4 物面条件只需将刚体运动中物面条件，即(4-62

17、)式中改写成：式中，及改写成，即就可以得到水弹性力学中物面条件：(4- 88)引入主坐标后，(4- 89)式中入射速度势，为绕射势，为辐射势可以证明 （Haskin关系）代入（4-88）得：(4- 90)下面就总速度势中各项速度势定解条件作一总结：定常速度势：绕流速度势：4.2.5 水弹性力学主坐标方程为了克服切片理论或二维水弹性理论无法解决诸如多体、半潜体等非梁、弹性结构等动力问题的局限，必须建立一个适合处理任意形状的航行于海上的浮体结构的力学模型。本节将讨论此方面问题。4.2.5.1 弹性结构的离散化结构的离散化有多种形式，其基本目的就是把一个具有无限多自由度的连续体简化为一个只有有限个自

18、由度的多自由度系统。对于静力学问题，这个离散化的系统与初始系统的等效性是基于哈密尔顿原理，也有不少方法是基于相应的广义变分原理。当然，也可直接从微分方程出发，在对划了的结构引入某些近似假设后，建设离散化的数学模型(如迁移矩阵法)。积分形式的能量原理或广义变分原理，可以作为微分形式的平衡方程或运动方程的替代形式。然而，这两种形式的描述方法并非具有同等的内涵。前者反映了作为整体性原理的力学原理，它们要求有关力学场局部可积性，而后者则反映微元的规律，它们要求有关力学场局部可微。局部可微性并非物理现象中一定成立的条件。严格来说，连续物理场中有关规律的变分或积分的形式或许是考察这些规律的唯一自然的严密正

19、确的形式。在此仅讨论有限元法这种离散形式，有关方程的形式带有普遍性，可将结论用于其它离散化方法。一个动力学系统中任一点的位移是位置和时间函数，即，若我们将该连续体系统划分成若干个尺度有限元，在每个元的局部坐标中，元上任一点位移(表示局部坐标中表达)，可用该元有限节点上的位移列阵展开为：(4- 91)上式中为开关函数，它是函数。严格讲，此表达式只适合静力学系统，因为动力学系统中，单元在慢性力作用下出现了变形。因而也应是函数。但当单元数足够多，单元划分较小，而又是由系统的动力学方程求得时，这种方法能够给出较好近似。利用相应结构的物理议程，可以用(4-91)式相对于的微分形式表示结构的内力(例如对板

20、、壳、梁元)或借助于几何关系及物理关系表示结构的应力(三维元、平面联元)等。代入应变能表达式，可求得单元刚度阵表达式，代入动能表达式可以从质量分布求得单元质量阵表达式，即(4- 92)推导如下：式中分别为几何关系与物理关系的系数阵。即其中泊松系数，弹性模量。假如以表示结构中分布粘性阻尼系数阵，亦即阻尼力为，则单元阻尼阵可通过虚功原理推导为：(4- 93)()由它定义作用在单元节点上的阻尼力。作用在单元节点上的集中力及分布作用面力可以通过虚功原理转换为等效节点力：(4- 94)其中为单元表面的内法线向量。当然公是结构受外载面的一部分。运动总体方程局部坐标可通过与总体坐标系转换关系阵转至总体坐标系

21、中，表达式为：(4- 95)从而在中任意矢量可在中表达：(4- 96)单元上节点位移列阵在表达式为：(4- 97)其中(4- 98)上面式子中不带的量为在总体坐标系中表达的相应量。显然和均为正交阵，即(4- 99)因此在中表达的广义质量、刚度、阻尼阵及广义体积力等力可分别表示成：(4- 100)若体积力中只有变力作用，且在总体坐标系中沿轴向下，则(4- 101)(注：表达在不同总体坐标下，应作变化！)其中已知，而，从而利用哈密尔顿原理(4- 102)又(4- 103)并将有关式代入得到总体坐标系中单元运动方程：(4- 104)若将各单元相加，则需将(4102)中改成，并注意到，则整个结构离散后

22、总体坐标系中运动方程：(4- 105)式中分别称为系统质量阵，系统刚度阵和阻尼阵。结构运动方程的简化1. 结构固有频率及主振型自由振动时，令(4- 106)代入(4-105)，得(4- 107)若为正定，则上式给出正的特征值，称之为固有频率。对于任何一个特征值存在一个特征向量，又称为阶主振型，其几个元素，每个元素相应于一个节点的六个自由度的振型位移，即而(4- 108)将每个单元各个组合对应的子阵用表示，则单元节点位移可表示为：(4- 109)利用插值函数及局部坐标转至总体坐标系中转换关系阵及，则单元中任一点的阶振型位移表示成：(4- 110)2. 刚体振型结构物完全自由，如自由浮体，则是半正

23、定的，且，频率方程(4-107)变为：从而导致六个零根，即此时需利用刚体运动理论定出其振型。假定旋转中心在质心C处(原点不一定在C处)，且处于平衡位置时，与参考系重合，并用表示质心处位移和角位移，且假定这些位移是一阶小量，则可发现6阶刚体位移振型在第点处的六个分量可以用矩阵形式表示成如下一般形式：(4- 111)注：上式可以从导出，其中其中与r阶振型相应的质心线位移与角位移为任意选取的常数，不同取法对应于刚体不同的定义方式。情况A：因为刚体振型的特征向量可以按任意比例常数定性幅值，也可按所需形式归一化(正比例)，譬如将其表达为纵荡、横荡、垂荡、横摇、纵摇和艏摇等六个熟悉的形式，即(4- 112)代入(4-111)可得到对应各阶振型：(4- 113)刚体上任一点处位移振型可表达为：(4- 114)情况B：刚体振型的另一个取法是水弹性力学中常用的方法，即将结构上某一参照点的位移取为