黄金分割法机械优化设计

1、机械优化设计黄金分割法班级：学硕一班学号：姓名：黄金分割法黄金分割法也成为0.618法，是一种应用广泛的一维搜索方法。该方法对函数无特殊要求，函数甚至可以是不连续的。黄金分割法是利用序列消去原理，通过不断缩小单峰区间长度，使搜索区间不断缩小，从而不断逼近目标函数极小点的一种优化方法。一、基本思想在搜索区间a,b内必须按下述规则对称地取和两点，使，这两点把区间分为三段，计算插入点的函数值，如图1-1所示。根据单峰函数的性质，通过比较函数值大小，删去其中一段，使搜索区间缩小。在新的区间继续上面的过程，使搜索区间不断缩小，当搜索区间无限缩小时，便可得到函数在极小点附近的近似解。在第一次缩小区间后，新

2、区间只需要再插入一点即可形成区间新三段。按比例缩小，新区间三段与原区间三段具有相同的比例分布，每次缩小所得新区间长度与原区间长度之比成为区间收缩率。图1-1设初始区间长度为L，为了保证区间收缩率不变，第一次收缩后的长度为，第二次收缩后的长度为，而第二次的收缩率应该相等。解次方程并舍去负根，就可得到。所以，和两点的取法为：，。所以，对于黄金分割法，适用于设计变量少的优化问题中的一维搜索。二、黄金分割法的搜索过程1）给出初始搜索区间及收敛精度，将赋以0.6182）按坐标点计算公式计算，；并计算其对应的函数值。3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并

3、在保留区间中计算一个新的试验点及其函数值。如果，则新区间 令，记N0=0；如果，则新区间令，记N0=1；如图2-1所示。图2-14）检查区间是否缩短到足够小和函数值收敛到足够精度，如果收敛条件满足，则取最后两试验点的平均值作为极小点的数值近似解。如果条件不满足则转向步骤5。5）产生新的插入点，然后再进行新的区间缩小。总体如图2-2所示。图2-2从迭代过程可以看出，除第一次缩小区间长度时需要在选定的单峰区间内增加两个点外，以后每次缩小区间长度只需要增加一个点，因此区间长度缩小次数应等于缩小区间长度所增加的点数减一。例如，为了达到规定的收敛精度所需要增加的点数为n，则为达到规定的收敛精度所需缩小区

4、间长度的次数k=n-1。第一次缩小后新区间长度第二次缩小后新区间长度第k次缩小后新区间长度设k次缩小后区间长度已缩到足够小，满足规定的收敛精度，即由上式得：编程计算时，可以根据预先规定的精度求得所需插入的点数n，然后用n作为终止迭代的标志。三、算法框图四、机械优化的算例某公司要预制一零件工具箱，初始设计为使用一块长为4m，宽为3m的长方形铁板作为原材料，利用这块铁板按照一定比例分配，围成一个矩形制成工具箱的4个侧面，应该如何设计才能使工具箱的底面积最大？方案一二三四五长（a）0.30.611.21.8宽（b）1.71.410.80.2面积（S）0.510.8410.960.36根据方案可以看到

5、：选取不同的长宽比例，会影响到底面积的大小，并且底面积的大小类似正态分布的图形，也就是会出现一个峰值，因此可以使用黄金分割法进行简单的运算。如图：n 我们可以先设围成工具箱底面的矩形的长为X，因此宽则为2-X，而工具箱的底面积为S，这我们可以把题目传化为以下模型：n 目标函数：S=(2-X)*X；n 约束条件：0X2；n 设置搜索区间为：a,b=0,2，迭代精度为0.000001实现程序#include<math.h>#include<stdio.h>/#include "StdAfx.h"#define f(x) (2-x)*xint main()

6、 double F1,F2,F3,FP,x1,x2,x3,xp,a,b,e; int n; n=1;printf("设¦置目标函数为f(x)=(2-x)*xn"); printf("迭代精度：e="); scanf("%lf",&e); printf("搜索左区间：a="); scanf("%lf",&a); printf("搜索右区间：b="); scanf("%lf",&b); printf("n a b x

7、1 x2 F1 F2n"); x1=b-0.618*(b-a); x2=a+0.618*(b-a); F1=-f(x1); F2=-f(x2); printf("%d %.4lf %.4lf %.4lf %.4lf %.4lf %.4lfn",n,a,b,x1,x2,F1,F2); n=n+;do if(F1<F2) b=x2; x2=x1; F2=F1; x1=a+0.618*(b-a); F1=-f(x1); printf("%d %.4lf %.4lf %.4lf %.4lf %.4lf %.4lfn",n,a,b,x1,x2,F1

8、,F2); n=n+; else a=x1; x1=x2; F1=F2; x2=b-0.618*(b-a); F2=-f(x2); printf("%d %.4lf %.4lf %.4lf %.4lf %.4lf %.4lfn",n,a,b,x1,x2,F1,F2); n=n+; while(fabs(b-a)/b)>=e&&fabs(F2-F1)/F2)>=e); xp=(a+b)*0.5; FP=f(xp); printf("其中为迭代次数，最后求得和如下所示：n"); printf("x*=%.5lf F*=%

9、.5lfn",xp,FP); double c,d; c=xp; d=2-c; printf("取长a=%.5lf 宽b=%.5lfn",c,d); printf("所围成的最大底面积S=%.5lfn",FP);getchar();scanf("%lf",&e);运行结果：输入迭代精度0.000001。 如图3-1所示。图3-1 精度为0.000001当精度为0.1时，所得结果如图3-2所示。图3-2 精度为0.1当精度为0.00001时，所得结果如图3-3所示。图3-3 精度为0.00001当精度为0.1时，迭代次数只有2次；所得到的值精度一般；当精度为0.00001时，迭代次数只有5次；所得到的值精度比0.1所得的高；当精度为0.000001时，迭代次数有8次；所得到的值精度较高，接近结果；精度越高，则越接近最优解。验算黄金分割法的可行性：由S=(2-X)*X=2X-X*X；求导后得到S=2-2*X，另导数等于0，求的当X等于1的时候，面积S可以取最