数学：321《几类不同增长的函数模型》课件

1、 通过一些实例通过一些实例,来感受一次函数、来感受一次函数、二次函数、指数函数、对数函数以及幂函二次函数、指数函数、对数函数以及幂函数的广泛应用数的广泛应用;结合实例体会直线上升、结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性型意义，理解它们的增长差异性学习目标互动交流互动交流,探求新知探求新知例例1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方、假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：案供你选择，这三种方案的回报如下：回报的累积值回报的累积值方案二方案二：第一天回报：第一天回报10元，以

2、后每天比前一天多元，以后每天比前一天多 回报回报10元；元；方案三方案三：第一天回报：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前元，以后每天的回报比前 一天翻一番。一天翻一番。请问，你会选择哪种投资方案呢？请问，你会选择哪种投资方案呢？1.考虑回报量考虑回报量,除了要考虑每天的回报量之除了要考虑每天的回报量之外外,还得考虑什么还得考虑什么?想一想：想一想：方案一方案一：每天回报：每天回报40元；元；我来说我来说想一想：想一想：2.本题中涉及哪些数量关系本题中涉及哪些数量关系?如何利用函数如何利用函数描述这些数量关系描述这些数量关系?我来说我来说设第设第x天所得回报是天所得回报是y元元,则方案一可用

3、函数则方案一可用函数y=40(xN*)进行描述进行描述;方案二可以用函数方案二可以用函数y=10 x(xN*)进行描述进行描述;方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述。进行描述。10.4 2(*)xyxN想一想：想一想：3.怎样去研究这三个函数怎样去研究这三个函数,才能找到最佳的才能找到最佳的方案呢方案呢?要对三个方案作出选择要对三个方案作出选择,就要对它们的增长就要对它们的增长情况进行分析情况进行分析,用计算器计算出三种方案所用计算器计算出三种方案所得回报的增长情况得回报的增长情况,列表如下：列表如下：我来说我来说x/天天方案一方案一方案二方案二方案三方案三y/元元增增加加量量/元元y/

4、元元增增加加量量/元元y/元元增增加加量量/元元140100.4240200.8340301.6440403.2540506.46406012.87407025.68408051.294090102.43040300214748364.800000000001010101010101010100.40.81.63.26.412.825.651.2107374182.4我想问我想问根据所列的表格中提供的数据根据所列的表格中提供的数据,你对三种方你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识么认识?我来说我来说方案一每天的回报不变方案一每天的回报不变;方案

5、二、三每天的方案二、三每天的回报都在增加回报都在增加,且方案三随且方案三随x的增加每天的的增加每天的回报越来越大回报越来越大,比方案二要大得多。比方案二要大得多。我想问我想问作出三个方案的图象看看作出三个方案的图象看看?图112-1我想问我想问根据以上分析根据以上分析,你认为该作出何种选择你认为该作出何种选择?从问题从问题1可知可知,考虑回报量考虑回报量,除了要考虑每天除了要考虑每天的回报量之外的回报量之外,还得考虑回报的累积值还得考虑回报的累积值.你能你能把前把前11天回报的累积值算出来吗天回报的累积值算出来吗?累计回报表累计回报表 天数天数方案方案1234567891011一一408012

6、0160200240280320360400440二二103060100150210280360450550660三三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8我想问我想问 投资投资8天以下（不含天以下（不含8天）天）,应选择第一种投资方案；投资应选择第一种投资方案；投资810天，应选择第二种投资方案；天，应选择第二种投资方案；投资投资11天（含天（含11天）以上，应选天）以上，应选择第三种投资方案。择第三种投资方案。解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题实际问题读懂问题读懂问题抽象概括抽象概括数学问题数学问题演算演算推理推理数学问题的解数学问题

7、的解还原说明还原说明实际问题的解实际问题的解例例2 2、某公司为了实现、某公司为了实现10001000万元利润的目标，万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到销售利润达到1010万元时，按销售利润进行奖万元时，按销售利润进行奖励，且奖金励，且奖金y(y(单位：万元单位：万元) )随着销售利润随着销售利润x x ( (单位：万元单位：万元) )的增加而增加，但奖金数不超的增加而增加，但奖金数不超过过5 5万元，同时奖金不超过利润的万元，同时奖金不超过利润的25%25%。现有。现有三个奖励模型：三个奖励模型：y=0.25x，y=log

8、7x+1，y=1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求，其中哪个模型能符合公司的要求呢？呢？我想问我想问本题中涉及了哪几类函数模型本题中涉及了哪几类函数模型?实质是什么实质是什么?本例涉及了一次函数、对数函数、指数函本例涉及了一次函数、对数函数、指数函数三类函数模型数三类函数模型,实质是比较三个函数的增实质是比较三个函数的增长情况。长情况。我来说我来说我再问我再问怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公怎样才能判断所给的奖励模型是否符合公司的要求呢司的要求呢?我来说我来说要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出要对每一个奖励模型的奖金总额是否超出5万元万元,以及奖励比例是否超过以及奖励比例是否超过2

9、5%进行分析进行分析,才能做出正确选择。才能做出正确选择。解解:借助计算机作出三个函数的图象如下借助计算机作出三个函数的图象如下:对于模型对于模型y=0.25x,它在区间它在区间10,1000上递增上递增,当当x(20,1000)时时,y5,因此该模型不符合要求。因此该模型不符合要求。对于模型对于模型 ,由函数图象由函数图象,并利用计算器并利用计算器,可可知在区间知在区间(805,806)内有一个点内有一个点 满足满足 ,由于它在由于它在10,1000上递增上递增,因此当因此当 时时,y5,因因此该模型也不符合要求。此该模型也不符合要求。1.002xy 0 x0 xx01.0025x对于模型对

10、于模型 ,它在区间它在区间10,1000上递上递增增,而且当而且当x=1000时时, ,所以它符合奖金总数不超过所以它符合奖金总数不超过5万元的要求。万元的要求。7log1yx7log 1000 14.555y 再计算按模型再计算按模型 奖励时奖励时,奖金是否不奖金是否不超过利润的超过利润的25%,即当即当x10,1000时时,是否有是否有 7log1yx7log10.25xyxx 成立。成立。 令令 ,x10,1000,利用计算机作出函数利用计算机作出函数f(x)的图象的图象7( )log1 0.25f xxx 由图可知它是减函数由图可知它是减函数,因此因此f(x)f(10)-0.31671

11、)1)，对数函数，对数函数 y=y=logloga ax(ax(a1)1)和幂函数和幂函数y=x y=x n n (n (n0)0)在区在区间（间（0 0，+）上的单调性如何？）上的单调性如何？ 2.2.利用这三类函数模型解决实际问利用这三类函数模型解决实际问题，其增长速度是有差异的，我们怎样题，其增长速度是有差异的，我们怎样认识这种差异呢？认识这种差异呢？ 探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异探究（一）：特殊幂、指、对函数模型的差异 对于函数模型对于函数模型 ：y=2y=2x x, y=x, y=x2 2, y=log, y=log2 2x x 其中其中x x0. 0. 思考思考1:1:

12、观察三个函数的自变量与函数值对应观察三个函数的自变量与函数值对应 表表, , 这三个函数增长的快慢情况如何？这三个函数增长的快慢情况如何？ 1.7661.7661.5851.5851.3791.3791.1381.1380.8480.8480.4850.4850 0-0.737-0.737-2.322-2.322y=logy=log2x x11.5611.569 96.766.764.844.843.243.241.961.961 10.360.360.040.04y=xy=x210.55610.5568 86.0636.0634.5954.5953.4823.4822.6392.6392 2

13、1.5161.5161.1491.149y=2y=2x3.43.43.03.02.62.62.22.21.81.81.41.41 10.60.60.20.2x xx012345678y=2x12481632 64 128 256y=x201491625 364964思考思考2:2:对于函数模型对于函数模型y=2y=2x x和和y=xy=x2 2，观察下列，观察下列自变量与函数值对应表：自变量与函数值对应表： 当当x x0 0时，你估计函数时，你估计函数y=2y=2x x和和y=xy=x2 2的图象共的图象共有几个交点？有几个交点？ 思考思考3:3:在同一坐标系中这三个函数图象的相在同一坐标系中

14、这三个函数图象的相对位置关系如何？请画出其大致图象对位置关系如何？请画出其大致图象. . xyo11 24y=2xy=x2y=log2xy=log2x思考思考4:4:根据图象，不等式根据图象，不等式loglog2 2x x2 2x xx x2 2和和loglog2 2x xx x2 21 1和和n n0 0，在区间，在区间(0,+(0,+) )上上a ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? ? a ax x是否恒小于是否恒小于x xn n? ?思考思考2:2:当当a a1 1，n n0 0时，在区间时，在区间(0,+(0,+) )上上, a, ax x与与x xn n的大小关系应如何阐述？

15、的大小关系应如何阐述？ 思考思考3:3:一般地，指数函数一般地，指数函数y=ay=ax x (a(a1)1)和幂函和幂函数数y=y=x xn n(n(n0)0)在区间在区间(0,+(0,+) )上，其增长的快上，其增长的快慢情况是如何变化的？慢情况是如何变化的？总存在一个总存在一个 ，当，当x 时，就会有时，就会有0 x0 xnxxa 思考思考4:4:对任意给定的对任意给定的a a1 1和和n n0 0，在区间，在区间 (0,+)(0,+)上上, ,logloga ax x是否恒大于是否恒大于x xn n? ? logloga ax x是否是否恒小于恒小于x xn n? ?思考思考5:5:随着

16、随着x x的增大的增大, ,logloga ax x增长速度的快慢增长速度的快慢程度如何变化程度如何变化? ? x xn n增长速度的快慢程度如何增长速度的快慢程度如何变化？变化？思考思考6:6:当当x x充分大时充分大时, ,logloga ax(ax(a1)x1)xn n与与(n(n0)0)谁谁的增长速度相对较快？的增长速度相对较快？总存在一个总存在一个 ，当，当x 时，就会有时，就会有0 x0 xnaxx log思考思考7:7:一般地，对数函数一般地，对数函数y=y=logloga ax(ax(a1)1)和幂和幂函数函数y=y=x xn n(n(n0) 0) 在区间在区间(0,+)(0,

17、+)上，其增长的上，其增长的快慢情况如何是如何变化的？快慢情况如何是如何变化的？xyo1y= =loglogax xy= =x xn思考思考8:8:对于指数函数对于指数函数y=y=a ax x(a(a1)1)，对数函数，对数函数 y=y=logloga ax(ax(a1)1)和幂函数和幂函数y=y=x xn n(n(n0)0)，总存在一，总存在一个个x x0 0，使，使x xx x0 0时时, ,a ax x,log,loga ax,xx,xn n三者的大小关系三者的大小关系如何？如何？思考思考9:9:指数函数指数函数y=ay=ax x (0(0a a1)1)，对数函数，对数函数y=logy=

18、loga ax(0 x(0a a1)1)和幂函数和幂函数y=y=x xn n(n(n 时，时，就会有就会有0 x0 xxnaaxxlogxyo1y=a=axy= =x xny=log=log0.2x一般地一般地,对于指数函数对于指数函数 和幂函数和幂函数(1)xya a(0)nyxn通过探索可以发现通过探索可以发现,在区间在区间(0,+)上上,无论无论n比比a大大多少多少,尽管在尽管在x的一定变化范围内的一定变化范围内, 会小于会小于 ,但由于但由于 的增长快于的增长快于 的增长的增长,因此因此,总存在一总存在一个个 ,当当 时时,就会有就会有xanxxanx0 x0 xxxnax同样地同样地,对于对数函数对于对数函数 和幂函数和幂函数 ,在区间在区间(0,+)上上,随着随着x的增大的增大, 增长得越来越慢增长得越来越慢,图