第五讲全等三角形与角平分线综合、拔高

1、 第五讲 全等三角形与角平分线 (综合与拔高)一选择题（共10小题）1如图四边形ABCD中，ADBC，BCD=90°，AB=BC+AD，DAC=45°，E为CD上一点，且BAE=45°若CD=4，则ABE的面积为（）ABCD2如图，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补，若MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（）A4B3C2D13如图，在RtABC中，C=90°，以顶点A为圆

2、心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是（）A15B30C45D604如图，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB于点E，SABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A3B4C6D55如图，在ABC中，ABC=50°，ACB=60°，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）ABAC=70°BDOC=90°CBDC=35°DDAC=55&#

3、176;6如图，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个7如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（）APA=PBBPO平分APBCOA=OBDAB垂直平分OP8如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物

4、中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A1处B2处C3处D4处9如图，在ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，则三个结论AS=AR；QPAR；BPRQSP中（）A全部正确B仅和正确C仅正确D仅和正确10如图，AOB=30°，OP平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（）A4B3C2D1二填空题（共10小题）11如图，已知ABEACF，E=F=90°，CMD=70°，则2= 度12已知ABC中，AB=BCAC，作与ABC只有一条公共边，且与ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出 个13AB是四边形AC

5、BE的对角线，AB=AC，过点C作CDAE交BE于D若AE=DE，ACD=45°，BD=1，CD=5，则AE= 14如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，ABOADO下列结论：ACBD；CB=CD；ABCADC；DA=DC其中所有正确结论的序号是 15如图，AB=12，CAAB于A，DBAB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动 分钟后CAP与PQB全等16如图，ABC中，C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，GMB=A，BGMG，垂足为G，MG与BC相交于点H若MH=8cm，则BG= c

6、m17如图，已知在ABC中，A=90°，AB=AC，CD平分ACB，DEBC于E，若BC=15cm，则DEB的周长为 cm18在RtABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是 19如图，已知RtABCRtDEC，连结AD，若1=20°，则B的度数是 20如图，ABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm点P从A点出发沿AC路径向终点C运动；点Q从B点出发沿BCA路径向终点A运动点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P

7、和Q作PEl于E，QFl于F则点P运动时间为 时，PEC与QFC全等三解答题（共15小题）21如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图l），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段（不需要添加辅助线），并说明理由22如图，已知ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向A点运动（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经

8、过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？23已知ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E（1）若BDAC，CFAB，如图1所示，试说明BAC+BEC=180°；（2）若BD平分ABC，CF平分ACB，如图2所示，试说明此时BAC与BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若BAC=60°，试说明：EF=ED24如图，四边形ABCD中，B=90°，ABCD，M为BC边上的一点，且AM平分BAD，DM平分ADC求证：（1）AMDM；（2）M为

9、BC的中点25如图，已知1=2，P为BN上的一点，PFBC于F，PA=PC求证：PCB+BAP=180°26如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰RtAPD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值27如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）示例：在图1中，通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系答：AB与AP的数量关系和位置关系分

10、别是 、 （2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是 、 （3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由28如图，ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由29如图，ABC中，BA

11、C=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC；DE=DN30问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60°探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是 ；探索延伸：如图2，

12、若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离31如图，在ABC中，ACB=90°

13、，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作ADAB交BE的延长线于点D，CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且ACF=CBG求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE32如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别为C、D求证：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线33如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长34四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，ADC+B=180°求证：2AE=AB+AD3

14、5如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C=90°，B=E=30°（1）操作发现如图2，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是 ；设BDC的面积为S1，AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是 （2）猜想论证当DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想（3）拓展探究已知ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DEAB交BC于点E（如图4）若在射线BA上存在点F，

15、使SDCF=SBDE，请直接写出相应的BF的长参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1如图四边形ABCD中，ADBC，BCD=90°，AB=BC+AD，DAC=45°，E为CD上一点，且BAE=45°若CD=4，则ABE的面积为（） ABCD【解答】解：如图取CD的中点F，连接BF延长BF交AD的延长线于G，作FHAB于H，EKAB于K作BTAD于TBCAG，BCF=FDG，BFC=DFG，FC=DF，BCFGDF，BC=DG，BF=FG，AB=BC+AD，AG=AD+DG=AD+BC，AB=AG，BF=FG，BFAF，ABF=G=CBF，FHBA，FCBC，F

16、H=FC，易证FBCFBH，FAHFAD，BC=BH，AD=AH，由题意AD=DC=4，设BC=TD=BH=x，在RtABT中，AB2=BT2+AT2，（x+4）2=42+（4x）2，x=1，BC=BH=TD=1，AB=5，设AK=EK=y，DE=z，AE2=AK2+EK2=AD2+DE2，BE2=BK2+KE2=BC2+EC2，42+z2=2y2，（5y）2+y2=12+（4z）2由得到2510y+2y2=58z+z2，代入可得z=代入可得y=（负根已经舍弃），SABE=×5×=，故选D2如图，点P为定角AOB的平分线上的一个定点，且MPN与AOB互补，若MPN在绕点P旋

17、转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：（1）PM=PN恒成立；（2）OM+ON的值不变；（3）四边形PMON的面积不变；（4）MN的长不变，其中正确的个数为（） A4B3C2D1【解答】解：如图作PEOA于E，PFOB于FPEO=PFO=90°，EPF+AOB=180°，MPN+AOB=180°，EPF=MPN，EPM=FPN，OP平分AOB，PEOA于E，PFOB于F，PE=PF，在POE和POF中，POEPOF，OE=OF，在PEM和PFN中，PEMPFN，EM=NF，PM=PN，故（1）正确，SPEM=SPNF，S四边形PMON=S

18、四边形PEOF=定值，故（3）正确，OM+ON=OE+ME+OFNF=2OE=定值，故（2）正确，MN的长度是变化的，故（4）错误，故选B3如图，在RtABC中，C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则ABD的面积是（） A15B30C45D60【解答】解：由题意得AP是BAC的平分线，过点D作DEAB于E，又C=90°，DE=CD，ABD的面积=ABDE=×15×4=30故选B4如图，AD是ABC中BAC的

19、角平分线，DEAB于点E，SABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（） A3B4C6D5【解答】解：如图，过点D作DFAC于F，AD是ABC中BAC的角平分线，DEAB，DE=DF，由图可知，SABC=SABD+SACD，×4×2+×AC×2=7，解得AC=3故选：A5如图，在ABC中，ABC=50°，ACB=60°，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）ABAC=70°BDOC=90°CBDC=35°DDAC=55°【解答

20、】解：ABC=50°，ACB=60°，BAC=180°ABCACB=180°50°60°=70°，故A选项正确，BD平分ABC，ABO=ABC=×50°=25°，在ABO中，AOB=180°BACABO=180°70°25°=85°，DOC=AOB=85°，故B选项错误；CD平分ACE，ACD=（180°60°）=60°，BDC=180°85°60°=35°，故C选项

21、正确；BD、CD分别是ABC和ACE的平分线，AD是ABC的外角平分线，DAC=（180°70°）=55°，故D选项正确故选：B6如图，在ABC中，C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF在此运动变化的过程中，有下列结论：DFE是等腰直角三角形；四边形CEDF不可能为正方形；四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；点C到线段EF的最大距离为其中正确结论的个数是（） A1个B2个C3个D4个【解答】解：连接CD；ABC是等腰直角三角形，DCB=A=4

22、5°，CD=AD=DB；AE=CF，ADECDF（SAS）；ED=DF，CDF=EDA；ADE+EDC=90°，EDC+CDF=EDF=90°，DFE是等腰直角三角形（故正确）；当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CEDF是正方形（故错误）；如图2所示，分别过点D，作DMAC，DNBC，于点M，N，可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变（故错误）；DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EFAB时，AE=CF，E，F分别是AC，BC的中点，故EF是ABC的中位线，EF取最小值=2 ，CE=CF=2，此时点C到线段EF的最大距离

23、为EF=（故正确）；故正确的有2个，故选：B7如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B下列结论中不一定成立的是（）APA=PBBPO平分APBCOA=OBDAB垂直平分OP【解答】解：OP平分AOB，PAOA，PBOBPA=PBOPAOPBAPO=BPO，OA=OBA、B、C项正确设PO与AB相交于EOA=OB，AOP=BOP，OE=OEAOEBOEAEO=BEO=90°OP垂直AB而不能得到AB平分OP故D不成立故选D8如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有（）A1处B2处C3处D4处【

24、解答】解：满足条件的有：（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；（2）三个外角两两平分线的交点，共三处故选：D9如图，在ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，则三个结论AS=AR；QPAR；BPRQSP中（）A全部正确B仅和正确C仅正确D仅和正确【解答】解：PR=PS，PRAB于R，PSAC于S，AP=APARPASP（HL）AS=AR，RAP=SAPAQ=PQQPA=SAPRAP=QPAQPAR而在BPR和QSP中，只满足BRP=QSP=90°和PR=PS，找不到第3个条件，所以无法得出BPRQSP故本题仅和正确故选B10如图，AOB=30°，O

25、P平分AOB，PCOB，PDOB，如果PC=6，那么PD等于（） A4B3C2D1【解答】解：过P作PEOA于点E，则PD=PE，PCOBOPC=POD，又OP平分AOB，AOB=30°，OPC=COP=15°，ECP=COP+OPC=30°，在直角ECP中，PE=PC=3，则PD=PE=3故选B二填空题（共10小题）11如图，已知ABEACF，E=F=90°，CMD=70°，则2=20度【解答】解：AME=CMD=70°在AEM中1=1809070=20°ABEACF，EAB=FAC，即1+CAB=2+CAB，2=1=20

26、°故填2012已知ABC中，AB=BCAC，作与ABC只有一条公共边，且与ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出7个【解答】解：以AB为公共边有三个，以CB为公共边有三个，以AC为公共边有一个，所以一共能作出7个故答案为：713AB是四边形ACBE的对角线，AB=AC，过点C作CDAE交BE于D若AE=DE，ACD=45°，BD=1，CD=5，则AE=【解答】解：连接AD，过A分别作DC、BE的垂线，垂足分别为F、G，过E作EHAD于H，AE=DE，ADE=DAE，CDAE，CDA=DAE，ADE=CDA，AGBE，AFCD，AG=AF，AGD=AFD=90°

27、，AD=AD，AGDAFD，DG=FD，AGB=AFC=90°，AB=AC，AGBAFC，ABG=ACD=45°，FAC=45°，FAC=ACF，AF=CF，DC=DF+CF=DF+AF=DG+AG=5，设DG=t，则AG=5t，AG=BG=5t，BG=BD+DG=1+t，5t=1+t，t=2，DG=2，AG=3，AD=，在ADE中，AE=DE，EHAD，AH=AD=，在RtAEH中，cosDAE=，在RtADG中，cosADE=，AE=14如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，ABOADO下列结论：ACBD；CB=CD；ABCADC；DA=DC其中所

28、有正确结论的序号是【解答】解：ABOADO，AOB=AOD=90°，OB=OD，ACBD，故正确；四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，COB=COD=90°，在ABC和ADC中，ABCADC（SAS），故正确BC=DC，故正确；故答案为15如图，AB=12，CAAB于A，DBAB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动4分钟后CAP与PQB全等【解答】解：CAAB于A，DBAB于B，A=B=90°，设运动x分钟后CAP与PQB全等；则BP=xm，BQ=2xm，则AP=（12x）m，分两种情

29、况：若BP=AC，则x=4，AP=124=8，BQ=8，AP=BQ，CAPPBQ；若BP=AP，则12x=x，解得：x=6，BQ=12AC，此时CAP与PQB不全等；综上所述：运动4分钟后CAP与PQB全等；故答案为：416如图，ABC中，C=90°，CA=CB，点M在线段AB上，GMB=A，BGMG，垂足为G，MG与BC相交于点H若MH=8cm，则BG=4cm 【解答】解：如图，作MDBC于D，延长MD交BG的延长线于E，ABC中，C=90°，CA=CB，ABC=A=45°，GMB=A，GMB=A=22.5°，BGMG，BGM=90°，GBM

30、=90°22.5°=67.5°，GBH=EBMABC=22.5°MDAC，BMD=A=45°，BDM为等腰直角三角形BD=DM，而GBH=22.5°，GM平分BMD，而BGMG，BG=EG，即BG=BE，MHD+HMD=E+HMD=90°，MHD=E，GBD=90°E，HMD=90°E，GBD=HMD，在BED和MHD中，BEDMHD（AAS），BE=MH，BG=MH=4故答案是：417如图，已知在ABC中，A=90°，AB=AC，CD平分ACB，DEBC于E，若BC=15cm，则DEB的周长为

31、15cm【解答】解：CD平分ACBACD=ECDDEBC于EDEC=A=90°CD=CDACDECDAC=EC，AD=EDA=90°，AB=ACB=45°BE=DEDEB的周长为：DE+BE+BD=AD+BD+BE=AB+BE=AC+BE=EC+BE=BC=15cm18在RtABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=15，且BD：DC=3：2，则D到边AB的距离是6【解答】解：BC=15，BD：DC=3：2CD=6C=90°AD平分BACD到边AB的距离=CD=6故答案为：619如图，已知RtABCRtDEC，连结AD，若1=20

32、°，则B的度数是65°【解答】解：RtABCRtDEC，AC=CD，ACD是等腰直角三角形，CAD=45°，DEC=1+CAD=20°+45°=65°，由RtABCRtDEC的性质得B=DEC=65°故答案为：65°20如图，ABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm点P从A点出发沿AC路径向终点C运动；点Q从B点出发沿BCA路径向终点A运动点P和Q分别以每秒1cm和3cm的运动速度同时开始运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PEl于E，QFl于F则点P运动时间为1

33、或时，PEC与QFC全等【解答】解：如图1所示；PEC与QFC全等，PC=QC6t=83t解得：t=1如图2所示：点P与点Q重合，PEC与QFC全等，6t=3t8解得：t=故答案为：1或四解答题（共15小题）21如图，在ABC中，AC=BC，ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点（1）直线BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图l），求证：AE=CG；（2）直线AH垂直于CE，垂足为H，交CD的延长线于点M（如图2），找出图中与BE相等的线段（不需要添加辅助线），并说明理由【解答】解：（1）点D是AB中点，AC=BC，ACB=90°，CDAB，ACD=BCD=

34、45°，CAD=CBD=45°，CAE=BCG，又BFCE，CBG+BCF=90°，又ACE+BCF=90°，ACE=CBG，在AEC和CGB中，AECCGB（ASA），AE=CG；（2）BE=CM理由：CHHM，CDED，CMA+MCH=90°，BEC+MCH=90°，CMA=BEC，又ACM=CBE=45°，在BCE和CAM中，BCECAM（AAS），BE=CM22如图，已知ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向

35、A点运动（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD与CQP是否全等，请说明理由（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD与CQP全等？【解答】解：（1）经过1秒后，PB=3cm，PC=5cm，CQ=3cm，ABC中，AB=AC，在BPD和CQP中，BPDCQP（SAS）（2）设点Q的运动速度为x（x3）cm/s，经过tsBPD与CQP全等；则可知PB=3tcm，PC=83tcm，CQ=xtcm，AB=AC，B=C，根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：当BD=PC，BP=CQ时，当BD=CQ，BP=PC时，两三角形全等；当

36、BD=PC且BP=CQ时，83t=5且3t=xt，解得x=3，x3，舍去此情况；BD=CQ，BP=PC时，5=xt且3t=83t，解得：x=；故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为cm/s时，能够使BPD与CQP全等23已知ABC，点D、F分别为线段AC、AB上两点，连接BD、CF交于点E（1）若BDAC，CFAB，如图1所示，试说明BAC+BEC=180°；（2）若BD平分ABC，CF平分ACB，如图2所示，试说明此时BAC与BEC的数量关系；（3）在（2）的条件下，若BAC=60°，试说明：EF=ED【解答】解：（1）BDAC，CFAB，DCE+D

37、EC=DCE+FAC=90°，DEC=BAC，DEC+BEC=180°，BAC+BEC=180°；（2）BD平分ABC，CF平分ACB，EBC=ABC，ECB=ACB，BEC=180°（EBC+ECB）=180°（ABC+ACB）=180°（180°BAC）=90°BAC；（3）作BEC的平分线EM交BC于M，BAC=60°，BEC=90°+BAC=120°，FEB=DEC=60°，EM平分BEC，BEM=60°，在FBE与EBM中，FBEEBM，EF=EM，同理D

38、E=EM，EF=DE24如图，四边形ABCD中，B=90°，ABCD，M为BC边上的一点，且AM平分BAD，DM平分ADC求证：（1）AMDM；（2）M为BC的中点 【解答】解：（1）ABCD，BAD+ADC=180°，AM平分BAD，DM平分ADC，2MAD+2ADM=180°，MAD+ADM=90°，AMD=90°，即AMDM；（2）作NMAD交AD于N，B=90°，ABCD，BMAB，CMCD，AM平分BAD，DM平分ADC，BM=MN，MN=CM，BM=CM，即M为BC的中点25如图，已知1=2，P为BN上的一点，PFBC于F

39、，PA=PC求证：PCB+BAP=180° 【解答】证明：如图，过点P作PEBA于E，1=2，PFBC于F，PE=PF，PEA=PFB=90°，在RtPEA与RtPFC中，RtPEARtPFC（HL），PAE=PCB，BAP+PAE=180°，PCB+BAP=180°26如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰RtABC（1）求C点的坐标；（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰RtAPD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值【解答】解：（1）如图1，过C作CMx轴于M点，

40、MAC+OAB=90°，OAB+OBA=90°，则MAC=OBA，在MAC和OBA中MACOBA（AAS），CM=OA=2，MA=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6，点C的坐标为（6，2）（2）如图2，过D作DQOP于Q点，则DE=OQOPDE=OPOQ=PQ，APO+QPD=90°，APO+OAP=90°，QPD=OAP，在AOP和PQD中，AOPPQD（AAS）PQ=OA=2即OPDE=227如图1，ABC的边BC在直线l上，ACBC，且AC=BC；EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP（1）示例：在图1中，通过观察、测量，

41、猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系答：AB与AP的数量关系和位置关系分别是AB=AP、ABAP（2）将EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ请你观察、测量，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系答：BQ与AP的数量关系和位置关系分别是BQ=AP、BQAP（3）将EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP、BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由【解答】解：（1）AB=AP，ABAP；（2）BQ=AP，BQAP；（3）成立证明：如图，EPF=4

42、5°，CPQ=45°ACBC，CQP=CPQ，CQ=CP在RtBCQ和RtACP中，RtBCQRtACP（SAS）BQ=AP；延长QB交AP于点N，PBN=CBQRtBCQRtACP，BQC=APC在RtBCQ中，BCQ+CBQ=90°，APC+PBN=90°PNB=90°QBAP28如图，ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，ADDE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M（1）求证：FMC=FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由【解答】（1）证明：ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，DFAE，DF=AF=E

43、F，又ABC=90°，DCF，AMF都与MAC互余，DCF=AMF，在DFC和AFM中，DFCAFM（AAS），CF=MF，FMC=FCM；（2）ADMC，理由：由（1）知，MFC=90°，FD=FA=FE，FM=FC，FDE=FMC=45°，DECM，ADMC29如图，ABC中，BAC=90°，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC；DE=DN 【解答】证明：（1）BAC=90

44、76;，AB=AC，B=ACB=45°，FCBC，BCF=90°，ACF=90°45°=45°，B=ACF，BAC=90°，FAAE，BAE+CAE=90°，CAF+CAE=90°，BAE=CAF，在ABE和ACF中，ABEACF（ASA），BE=CF；（2）如图，过点E作EHAB于H，则BEH是等腰直角三角形，HE=BH，BEH=45°，AE平分BAD，ADBC，DE=HE，DE=BH=HE，BM=2DE，HE=HM，HEM是等腰直角三角形，MEH=45°，BEM=45°+45

45、76;=90°，MEBC；由题意得，CAE=45°+×45°=67.5°，CEA=180°45°67.5°=67.5°，CAE=CEA=67.5°，AC=CE，在RtACM和RtECM中，RtACMRtECM（HL），ACM=ECM=×45°=22.5°，又DAE=×45°=22.5°，DAE=ECM，BAC=90°，AB=AC，ADBC，AD=CD=BC，在ADE和CDN中，ADECDN（ASA），DE=DN30问题背景：如

46、图1：在四边形ABCD中，AB=AD，BAD=120°，B=ADC=90°E，F分别是BC，CD上的点且EAF=60°探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G使DG=BE连结AG，先证明ABEADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+DF；探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180°E，F分别是BC，CD上的点，且EAF=BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中

47、心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离【解答】解：问题背景：EF=BE+DF；探索延伸：EF=BE+DF仍然成立证明如下：如图，延长FD到G，使DG=BE，连接AG，B+ADC=180°，ADC+ADG=180°，B=ADG，在ABE和ADG中，ABEADG（SAS），AE=AG，BAE=DAG，EAF=BA

48、D，GAF=DAG+DAF=BAE+DAF=BADEAF=EAF，EAF=GAF，在AEF和GAF中，AEFGAF（SAS），EF=FG，FG=DG+DF=BE+DF，EF=BE+DF；实际应用：如图，连接EF，延长AE、BF相交于点C，AOB=30°+90°+（90°70°）=140°，EOF=70°，EOF=AOB，又OA=OB，OAC+OBC=（90°30°）+（70°+50°）=180°，符合探索延伸中的条件，结论EF=AE+BF成立，即EF=1.5×（60+80）=

49、210海里答：此时两舰艇之间的距离是210海里31如图，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作ADAB交BE的延长线于点D，CG平分ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且ACF=CBG求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE 【解答】证明：（1）ACB=90°，CG平分ACB，ACG=BCG=45°，又ACB=90°，AC=BC，CAF=CBF=45°，CAF=BCG，在AFC与CGB中，AFCCBG（ASA），AF=CG；（2）延长CG交AB于H，CG平分ACB，AC=BC，CHAB，CH平分AB，A

50、DAB，ADCG，D=EGC，在ADE与CGE中，ADECGE（AAS），DE=GE，即DG=2DE，ADCG，CH平分AB，DG=BG，AFCCBG，CF=BG，CF=2DE32如图，点E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，垂足分别为C、D求证：（1）ECD=EDC；（2）OC=OD；（3）OE是线段CD的垂直平分线 【解答】证明：（1）OE平分AOB，ECOA，EDOB，ED=EC，即CDE为等腰三角形，ECD=EDC；（2）点E是AOB的平分线上一点，ECOA，EDOB，DOE=COE，ODE=OCE=90°，OE=OE，OEDOEC（AAS），OC=OD；（3）OC=OD，且DE=EC，OE是线段CD的垂直平分线33如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长 【解答】（1）证明：连接BD，CD，