数学立体几何基础题型(共15页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上立体几何基础题题库551-600（有详细答案）551. 已知：正三棱柱ABCABC中，ABBC，BC2，求：线段AB在侧面上的射影长.解析：如图，取BC的中点D.ADBC，侧面底面ABC，AD侧面是斜线AB在侧面的射影.又ABBC，BC.设BBx，在Rt中，BEBD，.E是BBC的重心.BEBCx·，解得：x.线段AB在侧面的射影长为.552.ABC在平面内的射影是ABC，它们的面积分别是S、S，若ABC所在平面与平面所成二面角的大小为(090°，则SS·cos.证法一 如图(1)，当BC在平面内，过A作ADBC，垂足为D.AA平面，AD

2、在平面内的射影AD垂直BC.ADBC.ADA.又SAD·BC，SAD·BC，cos,SS·cos.证法二 如图(2)，当B、C两点均不在平面内或只有一点(如C)在平面内，可运用(1)的结论证明SS·cos.553. 求证：端点分别在两条异面直线a和b上的动线段AB的中点共面.证明 如图，设异面直线a、b的公垂线段是PQ，PQ的中点是M，过M作平面，使PQ平面，且和AB交于R，连结AQ，交平面于N.连结MN、NR.PQ平面，MN，PQMN.在平面APQ内，PQa,PQMN,MNa,a，又PMMQ，ANNQ，同理可证NRb,RARB.即动线段的中点在经过中垂

3、线段中点且和中垂线垂直的平面内.554. 如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，BAC30°，BC1，AA1，M是CC1的中点，求证：AB1A1M.解析：不难看出B1C1平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影.欲证A1MAB1，只要能证A1MAC1就可以了.证：连AC1，在直角ABC中，BC1，BAC30°， ACA1C1.设AC1A1，MA1C1 tan,tg.cot(+)0,+90° 即AC1A1M. B1C1C1A1，CC1B1C1，B1C1平面AA1CC1，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影. AC1A1

4、M，由三垂线定理得A1MAB1.评注：本题在证AC1A1M时，主要是利用三角函数，证+90°，与常见的其他题目不太相同.555. 矩形ABCD，AB2，AD3，沿BD把BCD折起，使C点在平面ABD上的射影恰好落在AD上.(1)求证：CDAB； (2)求CD与平面ABD所成角的余弦值.(1)证明 如图所示，CM面ABD，ADAB，CDAB(2)解：CM面ABDCDM为CD与平面ABD所成的角，cosCDM作CNBD于N，连接MN，则MNBD.在折叠前的矩形ABCD图上可得DMCDCDCAABAD23.CD与平面ABD所成角的余弦值为556. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两

5、相互垂直，PBA45°，PBC60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB平面PMC.解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路.解 PAAB，APB90°在RtAPB中，ABP45°，设PAa，则PBa,ABa,PBPC，在RtPBC中，PBC60°,PBa.BC2a,PCa.APPC 在RtAPC中，AC2a(1)PCPA,PCPB,PC平面PAB，BC在平面PBC上的射影是BP.CBP是CB与平面PAB所成的角PBC60°，BC与平面PBA的角为60°.(2)由上知，PAPBa

6、,ACBC2a.M为AB的中点，则ABPM，ABCM.AB平面PCM.说明 要清楚线面的垂直关系，线面角的定义，通过数据特点，发现解题捷径.557. 在空间四边形ABCP中，PAPC，PBBC，ACBC.PA、PB与平面ABC所成角分别为30°和45°。(1)直线PC与AB能否垂直?证明你的结论；(2)若点P到平面ABC的距离为h，求点P到直线AB的距离.解析：主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系的综合应用及线面角，点面间距离等概念应用，空间想象力及推理能力.解 (1)AB与PC不能垂直，证明如下：假设PCAB，作PH平面ABC于H，则HC是PC在平面ABC的射影，HC

7、AB，PA、PB在平面ABC的射影分别为HB、HA，PBBC，PAPC.BHBC，AHACACBC，平行四边形ACBH为矩形.HCAB，ACBH为正方形.HBHAPH平面ACBH.PHBPHA.PBHPAH，且PB，PA与平面ABC所成角分别为PBH，PAH.由已知PBH45°，PAH30°，与PBHPAH矛盾.PC不垂直于AB.(2)由已知有PHh,PBH45°BHPHh.PAH30°，HAh.矩形ACBH中，AB2h.作HEAB于E，HEh.PH平面ACBH，HEAB，由三垂线定理有PEAB，PE是点P到AB的距离.在RtPHE中，PEh.即点P到A

8、B距离为h.评析：此题属开放型命题，处理此类问题的方法是先假设结论成立，然后“执果索因”，作推理分析，导出矛盾的就否定结论(反证法)，导不出矛盾的，就说明与条件相容，可采用演绎法进行推理，此题(1)属于反证法.558. 如图，在棱长为a的正方体AC1中，M是CC1的中点，点E在AD上，且AEAD，F在AB上，且AFAB，求点B到平面MEF的距离.解法一：设AC与BD交于O点，EF与AC交于R点，由于EFBD所以将B点到面MEF的距离转化为O点到面MEF的距离，面MRC面MEF，而MR是交线，所以作OHMR，即OH面MEF，OH即为所求.OH·MROR·MC，OH.解法二：考

9、察三棱锥BMEF，由VB-MEFVM-BEF可得h.点评 求点面的距离一般有三种方法：利用垂直面；转化为线面距离再用垂直面；当垂足位置不易确定时，可考虑利用体积法求距离.559 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求A1C1和平面AB1C间的距离.解法1 如图所示，A1C1平面AB1C，又平面BB1DD1平面AB1C.故若过O1作O1EOB1于E，则OE1平面AB1C，O1E为所求的距离由O1E·OB1O1B1·OO1，可得：O1E解法2：转化为求C1到平面AB1C的距离，也就是求三棱锥C1AB1C的高h.由 VV，可得ha.解法3 因平面AB1C平面C1DA1，它们

10、间的距离即为所求，连BD1，分别交B1O、DO1与F、G(图中未画出)。易证BD1垂直于上述两个平面，故FG长即为所求，易求得FG.点评 (1)求线面距离的先决条件是线面平行，而求线面距离的常用方法是把它们转化为求点面之间的距离，有时也可转化为求面面距离，从本题的解法也可悟出求异面直线之间的距离的思路.560. 在ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，.沿MN把AMN到AMN的位置，二面角AMNB为60°，求证：平面AMN平面ABC.解析：作ADBC于D，设ADMNP，APD60°，可证AP平面ABC.561. 四面体的四个顶点到平面M的距离之比为1113，则平面M的个数

11、应有多少个?解 这样的平面应分4种情况讨论：(1)4个顶点都在平面M的同侧，则有C41·14个(平面)；(2)距离比为3的顶点与其他3个顶点不同侧，则有C41·14个(平面)；(3)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的1个同侧，则有C31·C41·112个(平面)(4)距离比为3的顶点与其他3个顶点中的2个同侧，则有C32·C41·112个(平面)； 一共应有4+4+12+1232个(平面)562. 斜四棱柱侧面最多可有几个面是矩形A、 0个 B、1个 C、2个 D、3个解析：C。 只能相对的侧面均为矩形563. 在四棱锥的四个侧面中，

12、直角三角形最多可有A、1个 B、2个 C、3个 D、4个解析：D。 如图，ABCD为矩形，PA平面ABCD，则PABCD的四个侧面均为直角三角形564. 正四棱柱的一个侧面面积为S，则它的对角面面积是_。解析： 设正棱柱底面边长为a，高为h，则ah=S，对角面面积为565. 正n棱柱每相邻两个侧面所成二面角度数为_。解析： 底面正多边形的每一个内角为某两个邻面所成二面角的平面角，正n边形内角度数为566. 正六棱柱的高为5cm，最长对角线为13cm，它的侧面积是_。解析： 180cm2 设正六棱柱底面边长为a，高为h，则h2+(2a)2=132，h=5，a=6，侧面积=6ah=180567.

13、一个正棱锥的一个侧面与底面所成角是，底面积Q，则它的侧面积是_。解析： Qsec 正棱锥的底面是侧面在底面上的射影，利用面积射影定理568. 正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B与对角面A1B1CD所成角为300，求证：此四棱柱为正方体。解析： A1B1平面B1C 平面A1B1CD平面BC1，交线为B1C在平面B1C内作BOB1C，O为垂足，连A1O则BO平面A1B1CD BA1O为BA1与平面A1B1CD所成的角 BA1O=300设正四棱柱底面边长为a，高为h则sinBA1O= a2+h2=2ah a=h 正四棱柱ABCDA1B1C1D1为正方体569. 四棱柱ABCDA1B1C1D1

14、的底面ABCD是菱形，A1B=A1D，求证：（1）对角面AA1C1C截面A1BD；（2）对角面D1DBB1是矩形解析：（1）ABCD是菱形，BDAC设BDAC=0，又A1B=A1D， BDA1O A1OAC=O BD平面AA1C1C 平面A1BD对角面AA1C1C（1） 由（1），BD平面AC1 BDAA1又DD1AA1 BDDD1570. 正四棱锥棱长均为a，（1）求侧面与底面所成角；（2）若相邻两侧面所成角为，求证：=2。解析：如图，正四棱锥SABCD，SO、SF分别为高、斜高，SFO为二面角SABO平面角，SFO=，在SBC中，作BESC，E为垂足，连DE BCEDCE DESCBED为

15、侧面BSCD平面角，BED= （1） （2）连EO 由得： =2571. 正三棱锥的侧棱等于10cm，侧面积等于144cm2，求棱锥的底面边长和斜高。解析：设底面边长为a，斜高为h则 或572. 斜三棱柱ABCA1B1C1的底面ABC中，AB=AC=10，BC=12，A1到A、B、C三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。解析：A1A=A1B=A1C 点A1在平面ABC上的射影为ABC的外心，在BAC平分线AD上 AB=AC ADBC AD为A1A在平面ABC上的射影 BCAA1 BCBB1 BB1C1C为矩形，S=BB1×BC=156取AB中点E，连A1E A1A=A

16、1B A1EAB S侧=396573. 四棱锥VABCD底面是边长为4的菱形，BAD=1200，VA底面ABCD，VA=3，AC与BD交于O，（1）求点V到CD的距离；（2）求点V到BD的距离；（3）作OFVC，垂足为F，证明OF是BD与VC的公垂线段；（4）求异面直线BD与VC间的距离。解析：用三垂线定理作点到线的垂线在平面ABCD内作AECD，E为垂足 VA平面ABCD AE为VE在平面ABCD上的射影 VECD 线段VE长为点V到直线CD的距离 BAD=1200 ADC=600 ACD为正三角形 E为CD中点，AE= VE= （2） AOBD 由三垂线定理VOBD VO长度为V到直线BD

17、距离 VO= （3）只需证OFBD BDHC，BDVA BD平面VAC BDOF OF为异面直线BD与VC的公垂线 （4）求出OF长度即可在RtVAC中OC=AC=2，VC= OF=OC·sinACF=OC·574. 空间四边形DABC中，P、Q为边CD上两个不同的点，M、N为AB上两个不同的点，连PM、QN，如图，问图中共有多少对异面直线？解析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象，可采用逐步添加的方法。首先考虑空间四边形DABC的四条边DA、AB、BC、CD连同对角线AC、BD，这六条线段可形成三对异面直线DA与BC，AB与CD，AC与BD。其次添加线段PM，

18、则除去与PM相交的CD、AB，又可新形成4对异面直线，即PM与DA、BC、AC、BD。因QN与PM位置等同，当添上QN时，也同样新增4对异面直线。最后注意到，PM与QN也是异面直线。 图中共有3+4+4+1=12（对）异面直线575. 长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a，BC=b，AA1=c，求异面直线BD1和B1C所成角的余弦值。解析：显然，通过平移在长方体的表面及内部不可能构造出一个BD1和B1C所成的角，但同时又为了使构造出的角便于计算，故可考虑补上一个与已知长方体相同的长方体DCEFD1C1E1F1。具体作法是：延长A1D1，使A1D1=D1F1，延长B1C1至E1，使B1C1

19、=C1E1，连E1F1，分别过E1、F1，作E1EC1C，F1FD1D，连EF，则长方体C1D1F1ECDFE为所作长方体。 BCD1F1 BD1CF1 B1CF1就是异面直线BD1与B1C所成的角。 BD2=a2+b2 RtBDD1中，BD12=BD2+DD12=a2+b2+c2 CF12=BD12=a2+b2+c2 B1C2=b2+c2，B1F12=a2+4b2 B1CF1中 cosB1CF1=（1） 当c>b时， cosB1CF1>0 B1CF1为锐角，B1CF1就是异面直线BD1和B1C所成的角（2） 当c<b时，cosB1CF1<0 B1CF1是钝角 -B1C

20、F1就是异面直线BD1和B1C所成的角（3） 当c=b时，B1CF1=900 BD1B1C法二：作异面直线所成角的过程，其实就是平移异面直线的过程。借助于三角形中位线的平行性，也可以达到平移的目的。如图，分别取BC、BB1、B1D1的中点P、M、Q，连PM、MQ、PQ 则 MPB1C，MQBD1 PMQ（或其补角）就是异面直线BD1与B1C所成的角 PMQ中，MP=B1C= MQBD1=，PQ=利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果576. M、N分别是空间四边形ABCD中AB、CD中点，求证：MN<（AD+BC）。证明：取AC中点P，则MP=BC，NP=AD MN<MP+NP=（

21、BC+AD）577. 长方体ABCDABCD中，AB=2，BC=BB=1，M、N分别是AD和BC中点，求异面直线MN和BC所成角的大小解析：MNAC，ACAC，MNAC BCA就是MN与BC所成的角 BAC中，BC=，BA=AC= cosBCA=578. 正方体ABCDA1B1C1D1中，若E、M、N分别是棱AB、BC及B1D1的中点，求异面直线DN与MC1所成的角。解析：连NG、EM、EN、DE EMAC，NC1AC NC1EM NEMC1 DNE为异面直线DN与MC1所成的角设AB=a，则DE=EN=GM=，DN= DNE中，cosDNE= 异面直线DN与MC1所成的角为arccos.57

22、9. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系： （1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF解析：（1）C平面ABCD，AB平面ABCD 又CAB，C1平面ABCD AB与CC1异面（2）A1B1AB，ABDC，A1B1DC （3）A1D1B1C1，B1C1BC，A1D1BC 则A1、B、C、D1在同一平面内 A1C与D1B相交（4）B平面ABCD，DC平面ABCD 又BDC，D1平面ABCD DC与BD1异面（5）如图，CF与DA的延长线交于G，连结D1G， AF

23、DC，F为AB中点， A为DG的中点，又AEDD1， GD1过AA1的中点E， 直线D1E与DF相交580. 求证：空间四边形的两条对角线是异面直线。证明：如图，假设空间四边形ABCD的对角线AC与BD不是异面直线。则AC、BD共面于，则A、B、C、D均在平面内，这与已知“ABCD是空间四边形（四个顶点不在同一平面内）”相矛盾。故假设错误，因此AC、BD是异面直线。点评：反证法是间接证法的一种，在立体几何的证中经常用到。581. 已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点。（1）如图（甲）中，F、G分别是BC、CD的中点，求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如图（乙）中，若F是

24、BC上的点，G是DC上的点，且，求证：四边形EFGH是梯形，并且直线EF、GH、AC共点。证明：（1）如图（甲），连结BD。 EH是的ABD中位线， EHBD，同理FGBD 根据公理4，EHFG 四边形EFGH是平行四边形。（2）如图（乙）由（1）知EHBD，又在ABD中， FGBD，FG=BD 由公理4，EHFG，又FG>EH。 四边形EFGH是梯形。 则直线EF、GH相交，设EFGH=P 则PEF，又EF平面ABC P平面ABC，同理P平面ADC。 又平面ABC平面ADC=AC 由公理2，得PAC， 即EF、GH、AC三条直线共点。点评：证明四边形是平行四边形或者梯形，首先必须证明它

25、是平面图形，本题中的EHFG是关键582. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1D1，A1B的中点，求证：EFAD1。解析：要证两条直线平行一是证这两条直线在同一平面内，再用平面几何知识证明它们平行；二是用平行公理即平行直线的传递性，找到与它们都平行的“公共”直线。这里E为D1B1的中点，易想到用构造三角形的中位线的方法直接证明平行。因此，连AB1是非常重要的步骤。证明：连AB1，则AB1过A1B的中点F。 又E为D1B1的中点， EF为AD1B1的中位线， 则EFAD1 583. 如图，=C，a，ac=A，b，bc=B，A、B为不同点。则a与b的位置关系为（ ） A、平

26、行 B、异面 C、平行、异面均可能 D、平行、相交、异面均可能解析：B符合两条异面直线的判定，选B584. 下面的三个命题：四边相等的四边形是菱形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形。其中正确命题的个数是：（ ） A、1个B、2个C、3个D、0个解析：D均不能保证它们是平面图形，故均不正确，选D585. 空间两个角和，若和的两边对应平行，当=50°时，= 。解析：50°或130°与相等或互补586. 正方体的12条面对角线所在的直线中，互相异面的直线共有 对。解析：30面对角线中，与AC相交的有5条，平行

27、的有1条，（自身为1条）故与AC异面的直线有12-5-1-1=5（条）。则共有12×5×=30（对587. 四面体ABCD中，AB=CD，AC=BD，AD=BC，则BAC+CAD+DAB= 。解析：180°四个三角形均是全等的三角形，故所求三个角即其中任一三角形的三个内角588. 在四面体ABCD中，已知点M，N，P分别在棱AD，BD，CD上，点S在平面ABC内，画出线段SD与过点M，N，P的截面的交点O。解析：图中，SD与平面MNP的交点O点画在MNP内的任何位置好象都“象”，即直观上不能直接看出画在何处才是准确的。采用上一题的思想方法，找出经过直线SD的平面，

28、如平面ASD（平面CSD），作出它与平面MNP的交线。解：连接AS交BC于E，连ED交NP于F，连MF。MAD，AD平面AED，M平面AEDFED，ED平面AED，F平面AED又M平面MNP，F平面MNP，平面AED平面MNP=MFOSD，SD平面AED，O平面AED，又O平面MNP则OMF即O为MF与SD的交点。589. 已知直线ab，ca=A，cb=B。求证：a、b、c在同一平面内。证明：ab 经过a、b可确定一个平面 ca=A，Aa，而a A，同理B 则AB，即c a、b、c在同一平面内点评：利用ab，可确定平面，易证c 。若利用ca=A，也可确定平面，但证b就较困难。因此，选择恰当的点

29、或线确定平面是非常重要的。590. 空间四边形ABCD中，P、Q、R分别AB、AD、CD 的中点，平面PQR交BC于S , 求证：四边形PQRS为平行四边形。 证明：PQ为AB、AD中点 PQBD 又PQ平面BCD ，BD平面BCD PQ平面BCD 又平面PQR平面BCDRS , PQ平面RQR PQRS R为DC中点, S为BC中点,PQ RS PQRS 为平行四边形评述:灵活运用线面平行的判定定理和性质定理,“线线平行 线面平行”是证平行关系的常用方法。变式题：如图，在四面体ABCD中，截面EFGH是平行四边形求证：AB平面EFG证明 面EFGH是截面点E，F，G，H分别在BC，

30、BD，DA，AC上EH 面ABC，GF 面ABD，由已知，EHGFEH面ABD又  EH 面BAC，面ABC面ABD=ABEHABAB面EFG591. 两个惟一性定理(1)过一点有且只有一条直线和一已知平面垂直(2)过一点有且只有一个平面和一已知直线垂直过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A，且垂直于直线a的平面内，试证之已知：A，a于点O，ABa求证：证明：假AB不在平面内，连结AOaaAO又aAB，且AOAB=Aa垂直于相交直AO、AB所确定的平面说明： 关于直线和平面垂直的问题中，有两个基本作图：(1)过一点有且只有一条直线和一个平面垂直(2)过一点有且只有一个平面和

31、一条直线垂直这两个基本作图可作为公理直接使用592. 直线上有两点到平面的距离相等，这条直线和平面的位置如何？解析：(1)若直线上的两点到平面的距离都等于0，这时直线在平面内(如图)(2)若直线上的两点在平面的两侧,且到平面的距离相等,这时直线与平面相交(如图)(3)若直线l上的两点在平面的同一侧，且到平面的距离相等(如图)AA1于点A1，BB1于点B1又 A、B均在l上，且在的同侧AA1 BB1AA1BB1为一平行四边形ABA1B1 这时直线l与平面平行想一想：若直线l上各点到平面的距离都相等，那么直线l和平面的位置关系又怎样？593. 经过两条相交直线，有且只有一个平面 证明：如图：设直线a、b相交于点A，在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在一直线上的三点A、B和C，过这三点有且只有一个平面（公理3），因此a、b各有两点在平面内，所以a、b在平面内，因此平面是过相交直线a、b的平面如果过直线a和b还有另一个平面，那么A、B、C三点也一定都在平面内，这样过不在一条直线上的三点A、B、C就有两个平面、了，这和公理3矛盾，所以过直线a、b的平面只有一个594. 经过两条平行直线，有且只有一个平面证明：因为当两条直线在同一个平面内，且不相交时叫做平行线，所以两条平行直线a和b必在某个平面内，就是说过两条平