第四节初等函数求导问题双曲函数和反双曲函数导数

1、第四节初等函数求导问题双曲函数和反双曲函数导数一、初等函数的求导问题一、初等函数的求导问题xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.常数和基本初等函数的导数公式常数和基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则

2、（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C 3.复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或导数为导数为的的则复合函数则复合函数而而设设利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决决.注意注意: :初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.例例1 1.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xx

3、xxxx .812422xxxxxxxxxx 例例2 2.)(sin的的导导数数求求函函数数nnnxfy 解解)(sin)(sin1nnnnnxfxnfy )(sin)(sin1nnnxxn 1cos nnnxx).(sin)(sin)(sin)(sincos1113nnnnnnnnnnxxfxxfxxn 二、双曲函数与反双曲函数的导数二、双曲函数与反双曲函数的导数xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xxxcoshsinhtanh xxxx222coshsinhcosh)(tanh 即即xx2cosh1)(tanh 同理同理)11(1122xxxx 211x 112 x211x

4、 )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx arar)cosh( xar)tanh( x例例3 3.)harctan(tan的的导导数数求求函函数数xy 解解)(tanhtanh112 xxyxx22cosh1tanh11 xxx222cosh1coshsinh11 xx22sinhcosh1 .sinh2112x 三、小结三、小结任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键: 正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.思考题思考题幂函数在其定义域

5、内（幂函数在其定义域内（ ）.（1） 必可导；必可导； （2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例32)(xxf ),( x在在 处不可导，处不可导，0 x )1(2)(xxf ),( x在定义域内处处可导，在定义域内处处可导， )2(一、一、 填空题：填空题：1 1、 设设nxxyln ，则，则y = =_._.2 2、 设设xy1cosln ，则，则y = =_._.3 3、 设设xxy ，则，则y = =_._.4 4、 设设tttteeeey ，则，则y = =_._.5 5、 设设)999()2)(1()( xx

6、xxxf则则 )0(f = =_._.二二、 求求下下列列函函数数的的导导数数：1 1、 )1tanh(2xy ；2 2、 ysinhar)1(2 x；练练 习习 题题 3 3、 ycoshar)(2xe； 4 4、xxeycoshsinh ； 5 5、2)2(arctanxy ； 6 6、xey1sin2 ； 7 7、212arcsintty . .一、一、1 1、1ln1 nxxn； 2 2、xx1tan12； 3 3、xxxx 412； 4 4、t2cosh1； 5 5、-999!.-999!.二、二、1 1、)1(cosh222xx ； 2 2、22224 xxx；3 3、1242 xxee； 4 4、)